1. Батлав.............................. Сургалтын албаны дарга Г. Мөнхзаяа
Лекц №3
Вектор үржвэр
Энд хэрэг болох тодорхойлогчийн тухай авч үзье.
a11 a12
= a11a 22  a12 a 21 II эрэмбийн тодорхойлогч .
a 21 a 22
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23 III эрэмбийн тодорхойлогч
a 31 a 32 a 33
III эрэмбийн тодорхойлогчийг бодох Саррюсийн дүрмийг схемээр харуулъя.
                    
              
                    
Тодорхойлолт: R3 дахь a,b -ын вектор үржвэр нь дараах вектор байна.

a  b  a b sin  n  нь a, b -ын хоорондох өнцөг. n нь a, b -ын хавтгайд  бөгөөд
баруун гарын дүрмээр тодорхойлогдсон чиглэлтэй.Вектор үржвэрийг a  b ,эсвэл a, b
гэж тэмдэглэнэ.
Вектор үржвэрийн чанарууд:
1. a  b = - b  a
 
2. a  b  c = a  b + a  c
3. k a b = a  k b=k( a  b )
Теором: a  0, b  0 ба a  b =0 векторууд коллинеар байна.
Ортуудын скаляр үржвэр,вектор үржвэр
1|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

2. i j  0, i  j  ( i j sin 90 0 )n  k , ii  1, i  i  0, i k  0, j  i  k , j k  0 , j  k  i, k  j  i,
k  i  j, i  k   j, k  k  0, j j0
a  b -г координатаар нь илэрхийлье.
ax1 ; y1 ; z1 ; bx 2 ; y 2 ; z 2 ; a; b  R 3
   
a  b = x1 i  y1 j  z1 k  x 2 i  y 2 j  z 2 k = x1 y 2 k  x1 z 2 j  y1 x 2 k  y1 z 2 i  z1 x 2 j  z1 y 2 i =
i j k
 y1 z 2  z1 y 2 i  x1 z 2  z1 x 2  j  x1 y 2  y1 x 2 k = x1 y1 z1
x2 y2 z2
2 векторын холимог үржвэр
 
a b  c -г 3 векторын холимог үржвэр гэнэ.
  
a b  c = x1 i  y1 j  z1 k (  y 2 z 3  z 2 y 3 i  x 2 z 3  z 2 x 3  j  x 2 y 3  y 2 x 3 k )=
x1 y1 z1
y2 z2 x2 z2 x2 y2
x1  y1  z1  x 2 y2 z2
y3 z3 x3 z3 x3 y3
x3 y3 z3
Холимог үржвэрийн хувьд a b  c байна.  
Талбай ба эзэлхүүн
Параллелограммын талбай  
S= a b sin  =| a  b | S 
1
2
|a b|
V=| a  b |пр ab c =| a  b c  
x1 y1 z1
a, b, c |-ууд компланар бол a  b c =0   x2 y2 z 2 =0
x3 y3 z3
2|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

3. Шугам ба гадаргуугийн тэгшитгэл
Oxy тэгш өнцөгт координатын системд L шугам өгөгдсөн байг. F(x;y) = 0 ( * )
тэгшитгэлийг L шугамын цэг бүрийн координат хангадаг.L шугам дээр оршихгүй ямар ч
цэгийн координат хангадаггүй бол дээрх тэгшитгэлийг L шугамын тэгшитгэл гэнэ.
( * ) тэгшитгэлийг хангаж байгаа дурын цэгийн координатыг хувьсах координат гэнэ.
Шугамын тэгшитгэлийг зохиохдоо шугам дээрх дурын цэгийг авч тухайн шугамын
чанараас үндэслэн координатуудын хоорондын хамаарлыг тогтооно.
Жишээ ¹1 A(a,b) цэг дээр төвтэй R радиустай тойргийн тэгшитгэлийг зохиоѐ.
AM=R учир 2 цэгийн хоорондох зайн томьѐогоор (x-a)2+(y-b)2=R2 .Тойрог дээрхээс бусад
цэгүүд энэ тэгшитгэлийг хангахгүй.M(x;y) цэг тойргийн дотор байвал (x-a)2+(y-b)2<R2 ;
тойргийн гадна байвал (x-a)2+(y-b)2>R2
Шугамын хувьсах цэгийн координатуудыг 3 дахь хувьсагчаар илэрхийлж болно.
x=  (t ) ;y=  (t ) Үүнийг параметрт тэгшитгэл гэнэ.t- параметр .Эндээс t-г зайлуулж ( * )-д
шилжиж болно.Дээрх жишэн дээр Ox тэнхлэгийг AM вектортой давхцуулахаар цагийн
зүүний эсрэг эргүүлэхэд үүсэх өнцгийг t гэе. Y=Rsint+b x=Rcost+a
Энэ нь (a,b) цэг дээр төвтэй R радиустай тойргийн параметрт тэгшитгэл.
Хавтгайн шулуун,шулууны өнцгийн коэффициенттэй тэгшитгэл
y b
 tg  y  xtg   b; tg  k гэж тэмдэглэх ба шулууны өнцгийн коэффициент
x
гэнэ.
Y=kx+b /1/ k,b –г шулууны тэгшитгэлийн параметрүүд гэнэ.
B=0 үед y=kx болох ба O(0,0) цэгийг дайрна.
K=b=0 үед y=0 болох ба энэ нь Ох тэнхлэгийн тэгшитгэл .x=0 нь Oy тэнхлэгийн
тэгшитгэл болно.
3|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

4. Өгөгдсөн чиглэлээр өгөгдсөн цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл
A(x1,y1) цэг байг .А цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэлийг өнцгийн коэффициент бүхий
хэлбэртэй бичвэл y=kx+b болно. A(x1,y1) цэгийг дайрах тул y1 =kx1 +b  b= y1 -kx1 
y=kx+ y1 -kx1  y- y1= k(x -x1) Энэ нь А цэгт төвтэй багц шулууны тэгшитгэл к-гийн утга
бүрд нэг шулууныг тодорхойлно.Хэрэв k=k1 бол y- y1= k1 (x -x1) /2/ шулууны өнцгийн
коэффициент нь шулууны чиглэлийг заана.
Өгөгдсөн 2 цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл
Ялгаатай 2 цэгийг дайруулан цор ганц шулуун татаж болно.
Px1; y1 ; Qx2 ; y2  цэгүүдийг авч үзье. y  y1  k x  x1   y2  y1  k x2  x1  
y2  y1 y  y1
k  y  y1  2 x  x1   y2  y1 = x  x1 /3/
x2  x1 x2  x1 x2  x1 x2  x1
ШУЛУУНЫ ХЭРЧМЭЭР ИЛЭРХИЙЛЭГДЭХ ТЭГШИТГЭЛ
Сонгосон шулууны Ох –тэй огтлолцох цэг A(a;0),Oy –тэй огтлолцох цэгийг B(0;b) гэе.
y0 xa y x
/3/-г ашиглавал     1 /4/
b0 0a b a
ШУЛУУНЫ ЕРӨНХИЙ ТЭГШИТГЭЛ
Өмнө авч үзсэн бүх тэгшитгэлүүд нь шугаман тэгшитгэл байна.Эндээс 2 хувьсагчтай
шугаман тэгшитгэл бүхэн шулуун тодорхойлох уу ? гэсэн асуулт гарна.2 хувьсагчтай
шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр нь Ax+By+C=0 /5/ байна.
A,B,C – ийн бүх тохиолдлуудыг авч үзье.
A C A C
1. A  0, B  0, C  0 байг. y   x нь  коэффициенттэй ,Oy тэнхлэгийг 
B B B B
цэгээр огтолсон шулуун байна.
A A
2. A  0, B  0, C  0 байг. y   x нь  коэффициенттэй координатын эхээр дайрсан
B B
шулуун байна.
C C
3. A  0, B  0, C  0 байг. x   нь Ох тэнхлэгийг  цэгээр огтолсон Oy –тэй
A A
параллель шулуун.
4|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

5. C C
4. A  0, B  0, C  0 байг. y   нь Oy тэнхлэгийг  цэгээр огтолсон Ох –тэй
B B
параллель шулуун.
5. A  0, B  0, C  0 байг . y=0 нь Ох тэнхлэгийн тэгшитгэл.
6. A  0, B  0, C  0 байг. х=0 нь Oy тэнхлэгийн тэгшитгэл.
Эндээс 2 үл мэдэгчтэй шугаман тэгшитгэл бүхэн шулуун тодорхойлно гэсэн дүгнэлт хийж
болно.
ШУЛУУНЫ ХООРОНДОХ ӨНЦӨГ,шулуунууд паралель ба перпендикуляр байх нөхцөл
Нэг шулууныг нөгөөтэй нь давхцуулахаар цагийн зүүний эсрэг эргүүлэхэд үүсэх хамгийн
бага өнцгийг 2 шулууны хоорондох өнцөг гэнэ.
  2  1; y  k1x  b1; y  k2 x  b2
tg 2  tg1 k k
tg  tg  2  1    2 1 /6/
1  tg1tg 2 1  k1k2
a // b    0  k1  k2 /7/
1 1  k1k2
a  b    900  ctg     0  k1k2  1 /8/
tg k2  k1
ЦЭГЭЭС ШУЛУУН ХҮРТЭЛХ ЗАЙ .
Ax+By+C=0 тэгшитгэл M1(x1;y1) цэг өгөгдсөн байг.
M1
N
A
M1N –г M1 цэгээс е шулуун хүртэлх зай гэнэ. k  tg ,
B
 
tg   900  ctg   
1
tg

1
k
 M1N  -ын коэффициент нь 
1
k
байна.
5|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

6. y  y1 
B
x  x1   Bx  x1   A y  y1   0 N цэг энэ шулуун дээр орших тул
A
x2  x1 y2  y1
Bx2  x1   A y2  y1     t гэе. /9/ пропорционалийн коэффициент
A B
гэнэ.
d x2  x1 2   y2  y1 2  A2  B 2 t /10/
/9/ -өөс x2  x1  At ; y2  y1  Bt N цэг энэ шулуун дээр орших тул
Ax1  By1  C

Ax1  At   B y1  Bt   C  0  Ax1  By1  A2  B 2 t  C  0  t   A2  B 2
Ax1  By1  C
Үүнийг /10/-д орлуулбал d /11/
A2  B 2
ОГТОРГУЙ ДАХЬ ГАДАРГУУ БА ШУГАМЫН ТЭГШИТГЭЛ
S гадаргуу ,F(x,y,z) =0 тэгшитгэл байг.
Тодорхойлолт: S гадаргуугийн цэг бүр F(x,y,z) =0 тэгшитгэлийг хангах ба S гадаргуу
дээр оршихгүй аливаа цэгийн координат хангахгүй бол F(x,y,z) =0 тэгшитгэлийг S
гадаргуугийн тэгшитгэл гэнэ.Жишээ нь (a,b,c) цэгт төвтэй R радиустай бөмбөлгийн
тэгшитгэл бичье
Тойргийн төвийг O(a,b,c) гэвэл 2 цэгийн хоорондох зайн томьѐогоор
OM  x  a 2   y  b2  z  c2  R  x  a    y  b   z  c   R 2
2 2
Хэрэв М цэг
бөмбөлгийн дотор байвал x  a 2   y  b2  z  c  R 2 ,бөмбөлгийн гадна байвал
x  a 2   y  b2  z  c  R 2 байна.
Огторгуй дахь шугамыг 2 гадаргуугийн огтолцол гэж ойлгож болно.
 F1 x, y, z   0
 /1/
F2 x, y, z   0
ХАВТГАЙН ЕРӨНХИЙ ТЭГШИТГЭЛ Огторгуй дахь хавтгай нь түүн дээр орших
M 0 x0 , y0 , z0  цэг, N  A, B, C  гэсэн өгөгдсөн хавтгайд  вектор 2 –оор бүрэн
6|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

7. тодорхойлогдоно. N  A, B, C  -г хавтгайн нормаль буюу чиглүүлэгч вектор гэнэ.Хавтгайн
тэгшитгэлийг зохиохын тулд хавтгайн дурын M x, y, z  цэг авч үзье.
M 0 M x  x0 , y  y0 , z  z0  , M 0M  N
 Ax  Ax0  By  By0  Cz  Cz0  0  Ax  By  Cz  D  0 /2/ Хавтгайн ерөнхий
тэгшитгэл.
N
Энд D   Ax0  By0  Cz0 /2/-д нормаль векторын оронд n 0  гэсэн нэгж векторыг
N
A B C Ax  By  Cz
авбал n0  ( , , ) 0 /3/
A  B C
2 2 2
A  B C
2 2 2
A  B C
2 2 2
A2  B 2  C 2
болно. Үүнийг хавтгайн нормаль /эгэл/ тэгшитгэл гэнэ.
Хавтгайн гадна орших M1 x1 , y1 , z1  цэгээс /3/ тэгшитгэлтэй хавтгай хүртэлх зайг олъѐ.
N1M1 нь M1 x1 , y1 , z1  цэгээс /3/ хавтгай хүртэлх зай .
Ax1  By1  Cz1
N1M1  пр M 0 M1  n0 M 0 M1  /4/
n0
A2  B 2  C 2
ХОЁР ХАВТГАЙН ХООРОНДОХ ӨНЦӨГ
2 хавтгайн хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн нормаль векторуудын хоорондох өнцөгтэй
тэнцүү.
A1x  B1 y  C1z  D1  0
A1 A2  B1B2  C1C2
A2 x  B2 y  C2 z  D2  0  cos   /5/
A  B12  C12 A2  B2  C2
1
2 2 2 2
A1 B1 C1
Хэрэв 2 хавтгай параллель бол   байна. /6/
A2 B2 C2
Хэрэв 2 хавтгай  бол A1 A2  B1B2  C1C2  0 /7/
ШУЛУУНЫ ТЭГШИТГЭЛ
7|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

8. Огторгуй дахь шулуун нь түүн дээр орших M 0 x0 , y0 , z0  цэг ,шулуунтай параллель 0-ээс
ялгаатай S l , m, n  вектор 2- оор бүрэн тодорхойлогдоно. S l , m, n  -г шулууны чиглүүлэгч
вектор гэнэ.
 x  x0  kl

r  r0  M 0 M ; M 0 M // S  M 0 M =k S  r  r0  k S   y  y0  km /8/ Үүнийг огторгуй
 z  z  kn
 0
дахь шулууны параметрт тэгшитгэл гэнэ.
x  x0 y  y0 z  z0
k   /9/ огторгуй дахь шулууны эгэл тэгшитгэл гэнэ.
l m n
L,m,n тоонуудыг шулууны чиглүүлэгч коэффициентүүд гэнэ.
Шулууны Ox,Oy,Oz тэнхлэгүүдтэй үүсгэж байгаа өнцгийг  ,  ,  гэвэл cos , cos  , cos 
нь s -ын чиглүүлэгч cos-ууд болно.   s cos  ; m  s cos  ; n  s cos  /10/
x  x0 y  y0 z  z0
/10/-г /9/-д орлуулбал   /11/
cos  cos  cos 
Огторгуйд орших шулуун нь 2 хавтгайн огтлолцлоор тодорхойлогдоно.
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
 /12/ шулууны ерөнхий тэгшитгэл
 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
N1  A1 , B1, C1; N2  A2 , B2 , C2 
/12/ шулууны чиглүүлэгч векторыг s гэвэл s  N1; s  N2  s  N1  N2 /13/
2 ШУЛУУНЫ ХООРОНДОХ ӨНЦӨГ,шулуунууд параллель ба перпендикуляр байх
нөхцөл
2 шулууны хоорондох өнцөг нь чиглүүлэгч векторуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү.
x  a1 y  b1 z  c1 x  a2 y  b2 z  c1 1 2  m1m2  n1n2
  ;   байг. cos  
1 m1 n1 2 m2 n1 1  m12  n12  2  m2  n2
2
2
2 2
/14/
8|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

9.  1 m1 n1
2 шулуун параллель бол   /15/
 2 m2 n2
2 шулуун  бол 1 2  m1m2  n1n2  0 /16/
ШУЛУУН БА ХАВТГАЙН ХООРОНДОХ ӨНЦӨГ
xa y b z c
Ax+By+Cz+D=0 ,   авч үзье.
 m n
Шулууны хавтгай дээрх проекцтойгоо үүсгэж байгаа хамгийн бага өнцгийг хавтгай
шулуун 2-ын хоорондох өнцөг гэнэ.Шулууны чиглүүлэгч вектор,хавтгайн нормаль вектор
2-ын хоорондох өнцгийг сонирхоѐ.
A  Bm  Cn

cos 900      sin  /17/
A2  B 2  C 2  2  m2  n 2
 //  бол k  s  A  Bm  Cn  0 /18/
A B C
   бол k // s    /19/
 m n
ШУЛУУН БА ХАВТГАЙН ОГТЛОЛЦОЛ
x  a y b z  c
  
 m n  -г олохын тулд
Ax  By  Cz  D  0

xa y b z c 
   t  x  t  a; y  mt  b; z  nt  c 
 m n  -г 2-р тэгшитгэлд орлуулбал


 A  Bm  Cnt  Aa  Bb  Cc  D  0  t   Aa  Bb  Cc  D
A  Bm  Cn
а/ A  Bm  Cn  0 үед 1 шийдтэй
б/ A  Bm  Cn  0 боловч Aa  Bb  Cc  0 бол шийдгүй.
В/ A  Bm  Cn  0 ба Aa  Bb  Cc  0 бол төгстөлгүй олон шийдтэй.
9|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг