1. Батлав:................................ ПХТ-ийн эрхлэгч :/ Л. Батбилэг/
МТ102 Лекц-8 2012-2013 оны хаврын Б улирал
Муруй шугаман интеграл замаас үл хамаарах нөхцөл
Теорем 1
Муруй шугаман интеграл ∫ d ̅ = ∫ dx + dy + dz (1)
Интегралчлах замын хэлбэрээс хамаарахгүй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь
интегралын доорхи дифференциал илэрхийлэл, нэг холбоост G мужид гурван хувьсагчийн
ямар нэг u(x,y,z) функцийн бүтэн дифференциал
dx + dy + dz =du (2)
болж байх явдал болно.
Хэрэв (2) нөхцлийг хангах u(x,y,z) функц орших бол
= , = , = ,
ба II эрэмбийн тухайн уламжлалууд тасралтгүй байхад
= , = , = , (3)
Нөхцлүүд нь dx + dy + dz илэрхийлэл ч функцийн бүтэн дифференциал
болж байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл байдаг.
Теорем 2
Нэг холбоост G мужид муруй шугаман интеграл (1) интегралчлах замаас үл хамаарах
зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь тасралтгүй дифференциалчлагдах компонентууд
бүхий вектор орон = i + j + k хуйлралгүй орон байх явдал юм. Өөрөөр хэлбэл
rot F=0 (4)
байхад оршино.

2. Потенциалт орон, потенцаилыг тодорхойлох
Хэрэв G мужийн бүх цэг дээр
(M) = grad u (M), M∈G (5)
байх скаляр функц u(M) орших бол
(M) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , )
вектор оронг потенциал орон гэнэ. Вектор тэнцэтгэл (5) нь дараах гурван скаляр тэнцэтгэл
өгөгдөхгүй адио юм. Үүнд:
= , = , = (6)
Өөрөөр хэлбэл
+ + = du (7)
байна. Потенциалыг тогтмол хэмжигдэхүүний нарийвчлалаар тодорхойлно.
Теорем 3
Нэг холбоост G мужид вектор орон
(M)= i + j + k
потенциал орон байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь (M) хуйлралгүй орон
байхад оршино. Өөрөөр хэлбэл,
rot F( )=0, ∀M (8)
байхад оршино.
(8) нь теорем 2 биелэх нөхцөл тул хуйлрахгүй оронд
1. Интеграл ∫ , интегралчлах замын хэлбэрээс хамаарахгүй, зөвхөн эх ба
төгсгөлийн цэгийн байрлалаас хамаарна.
2. Дурын битүү L хүрээгээр бодсон векторын циркуляци тэгтэй тэнцэнэ.
∮ =0 (9)

3. Теорем 4
(M) потенциал оронд муруй шугаман интегралын утга нь орны u(M) потенциал
ялгавартай тэнцүү
∫
( )
( )
= u(M) =u(M)-u( ) (10)
Циркуляцийн физик утгаас потенциал орны өөр нэгэн тодорхойлолт гардаг.
Тодорхойлолт 1
Хэрэв вектор оронд дурын битүү муруйн дагуух орны ажил тэгтэй тэнцүү байвал түүнийг
потенциал орон гэнэ.
Грины томъёо
Мужийн хүрээний дагуу тойроход муж зүүн гар талд үлдэх бол хүрээний чиглэлыг
эерэг гэнэ. Эсрэг бол сөрөг гэнэ.
Хэрэв J –мужийн хөвөө AB хэрчим дээр тасралтгүй y = φ(x), y = (x), функцүүд
= , = шулуунаас тус тус бүрдэж байвал J –мужийг Îó тэнхлэгийн хувьд энгийн
муж гэнэ.
Теорем4: J – энгийн муж бөгөөд F = F(x, y)i + F(x, y)j, энэ вектор функц ,
тухайн уламжлалуудынхаа хамт G = G +  энэ мужид тасралтгүй бол ∬ ( −
)dxdy = ∮ F dx + F dy дараах грины томъёо хүчинтэй байна.