Координатын дугуй

1. Эрдэнэт цогцолбор сургууль
У.Дулмаа
Б.Уранчимэг
x
y

2. Сэдэв сонгосон үндэслэл:
• X-XI ангид математикийн хичээлийг судлах цагийн
24,7%-27,6%-ийг “Тригонометр” сэдэв эзэлж байна.
• Элсэлтийн Ерөнхий Шалгалтын (ЭЕШ) бэлтгэл
болон үндсэн сэдэвт “Тригонометр”-ийн 2-3
бодлого тавигддаг.
• Агуулга ихтэй оюутан суралцагчдад цаашид өргөн
хэрэглэгддэг.

3. Сэдэв сонгосон шалтгаан:
 Нийт суралцагчдын хувьд авч үзэхэд
тригонометрийн функцүүдийн үндсэн чанаруудыг
төдийлөн сайн ойлгож мэдээгүйн улмаас зөвхөн
томьёонуудыг цээжилснээр тригонометрийн
тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийг алдаагүй зөв бодож
чадахгүй байна.

4. Сэдвийн агуулга:
1. Тригонометрийн үндсэн функцүүд, тэдгээрийн
чанар ( X анги )
2. Эмхтгэлийн томьёо ( X анги )
 3. Тригонометр тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш (XI анги
)

5. Сэдвийн арга зүй:
Координатын дугуйг
хэрэглүүлэн “ гаргалгаа”
хийлгэх (шинэ мэдлэг
бүтээлгэх)

6. Координатын дугуй
x
y

7. “ Координатын дугуй” дээр ажиллаж чаддаг байх нь дараах ”5
тоглоомын дасгал”-ыг хэрхэн тоглож байгаагаас шалтгаална.
 1. Тоон дугуй, тоон шулууны ялгааг
мэдрэх (тоон шулуун дээр цэг тоо хоёр
харилцан нэгэн утгатай харгалздаг
бол тоон дугуй нь тойргийн нэг цэгт
хэд хэдэн тоо харгалзана.)
“Координатын дугуйн” тойрог дээр
“π” тооны хэсгүүдтэй тэнцүү тоог олж
сурах

8. 2. Координатын дугуй дээр тоон
координаттай цэгүүдийг баримжаалан
олох, координатуудын тэмдгийг тогтоох
3. Координатын дугуйн тойргийн нумыг
илэрхийлэх бичиглэл (аналитик
илэрхийлэл) хийх. Аналитик
илэрхийллээс нь нумыг дүрслэх

9. 4. Координатын дугуйн тойрог дээрх цэгийг харгалзах
өнцгөөр нь, харгалзах өнцгийнх нь тригонометр
функцийн утгаар нь тус тус илэрхийлэх. (Туйлын
координатын системээс декартын координатын
системд шилжих)
5. Өгсөн нөхцлийг хангах цэгийг /нумын цэгүүдийг/
координатын дугуйн тойрог дээр байгуулах

10. Эдгээр “5 тоглоомын дасгал”-
ыг дараах “7 дадлага ажил”-
уудаар “гаргалгаа” хийлгэх
явцад “чадвар” болно.

11. Дадлага №1 Координатын дугуй дээр
тригонометрийн үндсэн функцүүдийг “тодорхойлох”

)sin;(cos);( MyxM 
x
y
);( yxM
α
x
y1

12.  Дадлага №2
Тригонометр функцүүдийн утгын тэмдгийг
“тодорхойлох”
0
0
0
0
280
210
140
70
)9(
)660(
)2011(
)258(
0
0
0
0




0
0
0
0
680
214
489
765
0
0
0
0
1075
972
487
79





13. 70
140
30
10
M70(+;+)
M140(-; +)
M210(-;-)
M280(+;-)
?)(?;)sin;(cos aa

14. Дадлага №2 дүгнэлт
sin

x
y +
-
sina

15. Дадлага №2 дүгнэлт
cosa
+
+
++
+
+-
-
- -
-
-
tga
sina
ctga

16. Дадлага №3 а
Тригонометр функцүүдийн тэгш , сондгой
чанарыг “тодорхойлох”





17. Дадлага №3 б
Тригонометр функцүүдийн тэгш , сондгой
чанарыг “тодорхойлох”
Сондгой




x
y
x
y

18. Дадлага №3 в
Тригонометр функцүүдийн үелэх чанарыг
“тодорхойлох”
 


 

 2
0
0
0
0
1075
972
487
79




I мөч: )355()360(21075 000

II мөч: 000
252)360(2972 
III мөч: )37()360(1487 000

IY мөч: 0000
11270)79(279  
23600

0
180

19. Координатын дугуй

20. 2
30
270 


21. XI анги

22. Координатын дугуй
Котангенсийн шугам
Косинусийн шугам
Синусийншугам
Тангенсийншугам
cos α
sinα
ctg α
tgα


23. Дадлага № 6 тэгшитгэл бодох

28. ,( , , )tgx a   
Дадлага №7
тэнцэтгэл биш бодох

29. Нумд харгалзах шийдийг бич
7
;2
6


 
  
y
x0
30

30. Нумд харгалзах шийдийг бич
4


3
4

y
x
3
; ;
2 4 2 4
      
       


31. Нумд тохирох тэнцэтгэл бишийг бич
1
sin
2
t 
5
6 6
t
 
 
300
?
y
x0

32. Нумд тохирох тэнцэтгэл бишийг бич
11
6 6
t
 
 
3
cos
2
t 
300
?
y
x0
6

6
11
6
11
62? 
  2
3
6cos 

33. Тэнцэтгэл бишийг бод
5
2 2
6 2 6
5
4 4 ,
3 3
x
l l
l x l l Z
 
 
 
 
   
    
1
sin 0
2 2
x
 
-300
y
x
6


5
6


0
2
1
2sin x
626
5 
 x2
1


34. Тэнцэтгэл бишийг бод
3
cos2
2
x 
2 2 2
6 6
,
12 12
k x k
k x k k
 
 
 
 
   
    
6


300
y
x
6

0

35. Дараахь тэгшитгэлийг ямар
аргаар бодох вэ?
 Туслах өнцөг оруулах
 Ялгаврыг үржвэрт шилжүүлэх
tg x, ctg x тэгшитгэлд
шилжүүлэх
sin cos 0x x  ?

36. Зорилго: “Нэгж тойрог” ашиглаж тригонометр
тэнцэтгэл биш бодохМэдлэг: Тангенсийн тэнцэтгэл
бишийн хэлбэрүүд, тангенсийн
шугам,тэнцэтгэл бишийн шийд
Чадвар: Хялбар тэнцэтгэл бишийг
тухайн тохиолдлоос ерөнхий
тохиолдолд бодож сурах, шийд зөв
бичих, шийдийг дүрслэх
Хэрэглээ: Асуудлыг хялбар аргаар
шийдэж сурах

37. • 1. a=-2 үед tg t ≤-2 2. tg t ≥ -2
tg t≥a (≤, >,< )
y
x
(1;-2)
arctg(-2)=- arctg2
2


2

1. 2 ,
2
n t arctg n n

       
2. 2 ,
2
arctg n t n n

      
0

38. Тэнцэтгэл бишийг бодож
шийдийг нэгж тойрог дээр
дүрсэл.
. 1; 1
. 1; 1
. 1; 1
. 3; 3
. 3; 3
Atgx tgx
B tgx tgx
C tgx tgx
D tgx tgx
E tgx tgx
 
 
   
 
   

39. Хариу:
1. ,
4 2
2. ,
2 4
A k x k k
A k x k k
 
 
 
 
    
     


1. ,
4 2
2. ,
2 4
B k x k k
B k x k k
 
 
 
 
    
     


1. ,
4 2
2. ,
2 4
C k x k k
C k x k k
 
 
 
 
     
      


1. ,
2 3
2. ,
3 2
D k x k k
D k x k k
 
 
 
 
     
    


1. ,
3 2
2. ,
2 3
E k x k k
E k x k k
 
 
 
 
     
      



40. tg x ≤a (tg x ≥a) тригонометр
тэнцэтгэл биш бодох загвар
 Координатын эх дээр төвтэй нэгж тойрог зурж
тангенсийн тасралтын цэг ( ) ийг
тойрог дээр тэмдэглэнэ.
 Тангенсийн шугам ( ) дээр (1;а) цэгийг
тэмдэглэж , (1;а) цэг болон координатын эхийг
дайрсан шулуун татаж тойрогтой огтлолцох
цэгүүдийг тэмдэглэж утгыг бичнэ.
 Шийдийг дүрсэлж хариуг бичнэ
◦ Жишээ 1: tg x ≤
◦ Жишээ 2: tg x >-2
,
2
x k k Z

   
1x 
3

41. y
x
a
tg t≥a шийд:
tg t≤a шийд:
, ,
2
n arctg a t n n Z a

      
, ,
2
m t arctg a m m Z a

      

42. Дүгнэлт :Шийдийг тохируул.
1. tgx=1
2. tgx>1
3. ctgx=-1
4. tgx ≤-1
5. sinx=0
. ,
. ,
4
. ,
2 4
. ,
4 2
3
. ,
4
a x n n
b x m m
c l x l l
d n x n n
e x k k



 
 
 
 


 
  
      
    
  





Хариу: 1.b 2.d 3.e 4.c 5.a

43. y
x
a
tg t≥a шийд:
tg t≤a шийд:
, ,
2
n arctg a t n n Z a

      
, ,
2
m t arctg a m m Z a

      

44. Даалгавар
Сурах бичгийн 54-р хуудас. № 101-103
Сурах бичгийн 54-р хуудас. № 104-108
МУИС-ийн тест 130-р хуудас №508-510
ХИЧЭЭЛД АМЖИЛТТАЙ ОРОЛЦСОН та бүхэнд
БАЯРЛАЛАА.

45. • 1. a=-0.5 үед ctg t ≤-0.5 2. ctg t ≥ -0.5
ctg t≥a (≤, >,< )
y
x
(-0.5;1)

1
2arcctg 
1
1. ,
2
arcctg n t n n        
1
2. ,
2
n t arcctg n n      
0 20

46. Тэнцэтгэл бишийг бодож
шийдийг нэгж тойрог дээр
дүрсэл.
. 1; 1
. 1; 1
. 1; 1
. 3; 3
. 3; 3
E ctgx ctgx
D ctgx ctgx
C ctgx ctgx
B ctgx ctgx
Actgx ctgx
 
   
 
 
   

47. Хариу:5
1. ,
6
5
2. ,
6
A k x k k
A k x k k

 

  
   
    


1. ,
6
2. ,
6
B k x k k
B k x k k

  

 
    
   


1. ,
4
2. ,
4
C k x k k
C k x k k

 

  
   
    


3
1. ,
4
3
2. ,
4
D k x k k
D k x k k

 

  
   
    


1. ,
4
2. ,
4
E k x k k
E k x k k

 

  
   
    



48. ctg x ≤a (ctg x ≥a) тригонометр
тэнцэтгэл биш бодох загвар Координатын эх дээр төвтэй нэгж тойрог зурна.
 Котангенсийн тасралтын цэг ( ) ийг
тойрог дээр тэмдэглэнэ
 Котангенсийн шугам ( ) дээр (а;1) цэгийг
тэмдэглэж, (а;1) цэг болон координатын эхийг
дайрсан шулуун татаж тойрогтой огтлолцох
цэгүүдийг тэмдэглэж, утгыг олж бичнэ.
 Шийдийг дүрсэлж хариуг бичнэ
 Жишээ 1: ctg x ≥ -
 Жишээ 2: ctg x <
,x k k Z 
1y 
3
3
3

49. y
x
a
ctg t≥a шийд:
,n arcctg a t n n Z      
,m t arcctg a m m Z    
ctg t≤a шийд:

50. Дүгнэлт :Шийдийг тохируул.
1. tgx=1
2. ctgx>1
3. ctgx=-1
4. tgx ≤-1
5. sinx=0
. ,
. ,
4
. ,
2 4
. ,
4
3
. ,
4
a x n n
b x m m
c l x l l
d n x n n
e x k k



 
 

 


 
  
      
   
  





Хариу: 1.b 2.d 3.e 4.c 5.a

51. 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
1 2 3 4 5
3.96
3.89
3.61 3.68
4.14
3.81
4.06
3.89 3.83 3.92
3.41
3.86
3.49 3.59 3.62
Бодлогын дугаар
Дадлагуудын дундаж үзүүлэлт
10-3 анги
10-6 анги
10-8 анги