Pertumbuhan adalah proses pertambahan jumlah dan atau ukuran sel dan tidak dapat kembali kebentuk semula (irreversible), dapat diukur (dinyatakan dengan angka, grafik dsb).
Perkembangan adalah proses menuju ke tingkat kedewasaan / pematangan tidak dapat diukur tetapi hanya dapat di amati.
UNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik DosenAdrianAgoes9
sosialisasi untuk dosen dalam mengisi dan memadankan sister akunnya, sehingga bisa memutakhirkan data di dalam sister tersebut. ini adalah untuk kepentingan jabatan akademik dan jabatan fungsional dosen. penting untuk karir dan jabatan dosen juga untuk kepentingan akademik perguruan tinggi terkait.
3. X
Apabila terdapat fungsi F x yang
dapat didefinisikan pada integral.
sedemikian hingga dF x
F' x f x
dx Sifat-Sifat Umum Integral Tertentu
maka anti turunan dari F x adalah Rumus-Rumus Pengintegralan Tak Tentu
Pengintegralan Fungsi Trigonometri Tentu
Fungsi Trigonometri dg Peubah Sudut(ax+b
F x C dengan konstanta sembarang. Sifat Fungsi Trigonometri
Integral Substitusi
Contoh soal
Integral Parsial
3
Tentukan integral dari fungsi f x 4x Luas Daerah Dibawah Kurva
Luas daerah yg dibatasi kurva y=f(x),
Sumbu x, garis x=a dan x=b
Jawab Luas Daerah Antar 2 Kurva
Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu x
4
Jika fungsi f x x diturunkan , maka F ' x f x 4 xV3olume Benda Putar Mengelilingi Sumbu y
Volume Benda Putar Suatu
Daerah Antara 2 Kurva
MENU
4. Sifat-Sifat Umum Integral Tertentu
b b b
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
a a a
b b b
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
a a a
c b b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
a c a
untuk a<c<b
CONTOH
5. Contoh:
Hitunglah nilai dari integal-integral tentu
berikut ini
3 3
1 2 1 2 1 2 9
x dx x (3) (0)
0
2 0 2 2 2
3 3
1 2
( x 2)dx x 2x
2
2 2
1 2 1
(3) 2(3) ( 2) 2 2(2)
2 2
9 4 1
6 4
2 2 2
6. Rumus-Rumus Pengintegralan Tak Tentu
dx x c adx ax c
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
n 1
x dx xn 1
c, dengan n bilangan rasional dan
n 1 n 1
a n
ax n dx x 1
c, dengan n bilangan rasional dan
n 1 n 1
7. Pengintegralan Fungsi Trigonometri Tentu
cos xdx sin x c
sin xdx cos x c
sec2 xdx tan x c
tan x. sec xdx sec x c
cot x. cosecxdx cosecx c
cosec 2 xdx cot x c
8. Fungsi Trigonometri dengan Peubah Sudut
(ax+b)
1
cos(ax b)dx sin(ax b) c
a
1
sin x(ax b)dx cos(ax b c)
a
2 1
sec (ax b)dx tan(ax b) c
a
9. Seperti pada integral fungsi aljabar, pada
fungsi integral trigonometri juga berlaku
sifat:
k f ( x) dx k f ( x) dx
[ f ( x) g ( x)] dx f ( x)dx g ( x)dx
CONTOH
10. Contoh:
1
cos 2 x dx sin 2 x c
2
2 2
x sin x dx x dx sin x dx
1 3
x cos x c
3
2 2
2 sec x dx 2 sec dx
2 tan x c
11. Integral Substitusi
du
1. Diubah ke dalam bentuk f u
dx
dx
2. Yang memuat bentuk a2 x2 , a2 x2 , x2 a2
bentuk a2 x 2 dx disubstitusikan dengan x=a sin Ѳ
bentuk a2 x 2 dx disubstitusikan dengan x= a tan Ѳ
bentuk x 2 a 2 dx disubstitusikan dengan x= a sec Ѳ
CONTOH
12. 1. Tentukn integral dari
Jawab
Misal u = 2x+5
Maka atau
Subtitusi u = 2x+5 dan , maka dapat diubah menjadi
=
=
=
13. 2. Carilah hasil integral dari
Jawab:
Sehingga
Misalkan x = 2 sin t
x = 0 → 2 sin t = 0 → t = 0 = =2
x = 2 → 2 sin t = 2 → t =
x = 2 sin t → dx = 2 cos t 2
dt =2
= = 2
= =2
= 2 =
= 2 cos t
14. Integral Parsial
Integral Parsial digunakan apabila soal Integral tidak dapat
diselesaikan dengan Integral Substitusi.
Jika y = u . v , maka:
dy = v du + u dv Jadi,Rumus Integral Parsial
u dv = dy – v du
CONTOH
15. Tentukan hasil dari sinx dx
Jawab:
sin x dx
misal: u = x → du = dx
dv = sin x dx → v = -cos x
dv = u . v - du
sin x dx = x (-cos x) - dx
= -x cos x + dx
= -x cos x + sin x + c
16. Penggunaan Integral Tentu
A. LUAS DERAH
b
L f ( x) dx
a
1. Luas daerah dibawah kurva
Menghitung luas daerah dibawah kurva
Rumus teorema dasar integral
b b
f ( x)dx f ( x) f (b) f (a)
a a
b
Notasi kurung siku) a
f (x
Bentuk f(b)-f(a) dapat ditulis dengan notasi khusus
CONTOH
17. 2. Luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x),
sumbu x dan garis-garis x=a dan x=b
dapat ditentukan oleh integral tertentu .
b b
f ( x)dx f ( x) f (b) f (a)
a a
-a dan b masing-masing disebut
batas bawah dan batas atas
pengintegralan
-interval (a,b) disebut wilayah
pengintegralan
CONTOH
18. 3. Luas daerah antara 2 kurva
b
L1 f ( x) dx
a
b
L2 g ( x) dx
a
Sehingga luas daerah yang dibatsi oleh kurva
y=f(x), kurva y=g(x) garis x=a dan garis x=b
ditentukan dengan rumus:
b
f ( x) g ( x) dx
a
CONTOH
19. B. Volum benda putar
1. Volum benda putar mengelilingi sumbu x
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x),
sumbu x dan garis-garis x=a dan x=b diputar
sejauh 360 mengelilingi sumbu x, maka volum
atau isi benda putar yang terjadi dapat
ditentukan.
Dengan rumus:b b 2
2
y dx f ( x) dx
a a
CONTOH
20. 2. Volum benda putar mengililingi sumbu y
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x=g(y),
sumbu y dan garis-garis y=c dan y=d diputar
sejauh 360 mengelilingi sumbu y, maka
volum atau isi benda putar yang terjadi
dapat ditentukan.
Dengan rumus: 2
d d
2
x dy g ( y ) dy
c c
CONTOH
21. 3. Volum benda putar suatu daerah
antara 2 kurva
1. Diputar mengelilingi sumbu x
Rumus yang dipakai adalah
b b
2 2 2 2
f ( x) g ( x) dx ( y1 y2 )dx
a a
22. 2. Diputar mengelilingi sumbu y
Rumus yang digunakan adalah
d d
2 2 2 2
f ( y) g ( y) dy ( x1 x2 )dy
c c
CONTOH
23. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y x 2 6 x dan sumbu x!
Jawab:
Batas belum diketahui, dicari dengan:
y x 2 6 x, y 0
x2 6x 0
x ( x 6) 0 6 0
x 0 x 6 L x 2 6 x dx atau L x 2 6 x dx
0 6
6
L x 2 6 x dx
0
3 6
x 6 2 63 6 2
x .6 0 36satuan luas
3 2 0
3 2
24. Carilah luas daerah antara y 2x x2 dengan sumbu x!
Jawab:
Batas belum diketahui, maka dicari dengan:
y 2 x x 2 dan y 0
0 2x x2
0 x(2 x)
x 0 x 2
2 2
1 3
L 2 x x 2 dx x2 x
0
3 0
2 1 3 2 1 3 1
2 .2 0 .0 1 satuan luas
3 3 3
25. Carilah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x2 x dan y 5 x x 2 !
Jawab: y y
Batas:
x2 x 5x x 2
2x2 6x 0
x 0 x 3
Untuk menggambar:
3 3
>> y x2 x
L 5x x2 x2 x dx 6x 2 x 2 dx
0 x2 x 0 0
0 x( x 1) 3 3
6 2 2 3 2 3
x 0 x 1 x x 3x 2 x
2 3 0 3 0
>> y 5x x 2
2 3 2 3
0 5x x 2 3.32 .3 3.0 2 .0
3 3
0 x(5 x)
9 0 9 satuan luas
x 0 x 5
26. Tentukan isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y 2x x2
Dan sumbu x, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°!
Jawab:
b 2
2 2 2
V y dx 2x x dx
a 0
2 2
2 3 4 4 3 4 4 1 5
4x 4x x dx x x x
0
3 4 5 0
4 3 4 4 1 5 4 3 4 4 1 5
2 2 2 0 0 0
3 4 5 3 4 5
16 16
0 satuan volume
15 15
27. Daerah yang dibatasi ole y=3x, y=1, y=2, dan sumbu y, diputar mengelilingi sumbu y.
Tentukan volume benda yang terjadi!
Jawab: y 3x
y
x
3
2
V x 2 dy
1
2 2 2 2
y y2
dy dy y 2 dy
1
3 1
9 9 1
2 3
1 3 1 3 1 3 8 1
. y .2 .1
9 3 1 9 3 3 9 3 3
7
satuan volume
27
28. Hitunglah volume benda yang terjadi jika daerah dua kurva y x2 , y x 2
diputar mengelilingi sumbu x!
Jawab:
2
2
V x 2 x 2 2 dx
1
2
x 2 4 x 4 x 4 dx
1
2
1 3 1
x 2 x 2 4 x x5
3 5 1
1 3 32 1 1
2 2.4 4.2 2 4
3 5 3 5
2
14 satuan volume
5