Dokumen tersebut membahas tentang kontinuitas fungsi, termasuk definisi kontinuitas fungsi, syarat-syarat agar suatu fungsi kontinu pada suatu titik, dan contoh-contoh soal untuk menguji kontinuitas fungsi. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan bahwa suatu fungsi dikatakan kontinu pada suatu titik jika memenuhi tiga syarat yaitu nilai fungsi di titik tersebut terdefinisi, limit fungsi saat mendekati titik

1. Kalkulus I
6 KONTINUITAS FUNGSI
6.1 KONTINUITAS FUNGSI
• Kadang-kadang nilai lim f ( x ) sama dengan f (c) , kadang pula tidak sama.
x→c
• Pada kenyataannya, meskipun f (c) tidak terdefinisikan, akan tetapi lim f ( x ) mungkin
x→c
ada.
• Apabila lim f ( x ) = f (c) maka dikatakan fungsi f kontinu di c.
x→c
• Ada tiga syarat agar fungsi f(x) kontinu di c, yaitu:
1. f(c) ada atau terdefinisikan
2. lim f ( x ) ada
x→c
3. lim f (x ) = f (c )
x→c
y = f (x )
° • °
• °
•
a x1 x2 x3 x4 b
Gambar 6.1 Grafik untuk menjelaskan kontinuitas fungsi f(x)
• Pada gambar di atas, f kontinu di x1 dan di setiap titik di dalam (a, b) kecuali di titik-titik
x2, x3, dan x4. Fungsi f diskontinu di x2 karena lim f ( x ) tidak ada, diskontinu di x3 karena
x→x 2
nilai lim f ( x ) tidak sama dengan nilai fungsi di x3 (meskipun keduanya ada), dan
x→ x 3
diskontinu di x4 karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.
Contoh 6.1
Fungsi Heavyside H yang didefinisikan sebagai berikut.
⎧ 0 jika x < 0
H (x ) = ⎨
⎩1 jika x ≥ 0
Apakah fungsi ini kontinyu di x = 0?
Penyelesaian:
Syarat agar fungsi H(x) kontinu di x = 0, yaitu:
Lukmanulhakim Almamalik VI- 1

2. Kalkulus I
1. Jika x=0 maka H(0) = 1, nilai fungsi ada atau terdefinisikan
2. lim H (x ) = 0, dan lim+ H (x ) = 1,
x →0 − x →0
limit fungsi H(x) tidak ada karena limit kiri ≠ limit kanan.
Ketiga syarat tidak terpenuhi, maka fungsi H(x) diskontinu di x = 0.
Contoh 6.2
Fungsi g didefinisikan dengan
⎧ x2 − 4
⎪ jika x ≠ 2
⎪ x−2
g (x ) = ⎨
⎪
⎪ 1
⎩ jika x = 2
Apakah fungsi tersebut kontinyu di x = 2?
Penyelesaian:
Fungsi kontinyu jika memenuhi 3 syarat berikut.
1. Jika x=2 , maka g (2) = 1 nilai fungsi ada
x2 −4
2. lim g(x ) = lim = lim (x + 2 ) = 4 nilai limitnya ada yaitu 4
x →2 x→2 x−2 x→2
3. Nilai lim g (x ) ≠ g(2)
x→2
Karena ketiga syarat tidak terpenuhi maka fungsi g(x) tidak kontinyu di x = 2
Contoh 6.3
x2 − 4
Selidiki kontinuitas fungsi f (x) = di x = 2
x−2
Penyelesaian:
x2 − 4
Diselidiki apakah tiga syarat fungsi kontinu dipenuhi f (x) =
x−2
0
1. f(2) = suatu harga tak tentu. Jadi f(2) tidak ada
0
Karena syarat 1 tidak dipenuhi maka f(x) diskontinu di x = 2
Contoh 6.4
x2 − 1
Selidiki kontinuitas fungsi f (x) = di x = 1
x2 + 1
Penyelesaian:
12 - 1 1 - 1 0
1. f (1) = = = = 0 , ada
12 + 1 1 + 1 2
x2 - 1 1-1 0
2. lim f(x) = lim = = = 0 , ada
x →1 x + 1 1+1 2
2
x →1
Lukmanulhakim Almamalik VI- 2

3. Kalkulus I
3. lim f(x) = f ( 1 ) = 0
x →1
Jadi f(x) kontinu di x = 1
Contoh 6.5
Diberikan f ( x ) = 1− x
2
. Selidikilah kekontinuan fungsi f.
Penyelesaian:
Jelas f tidak kontinu pada (− ∞ , − 1) dan pada (1 ,∞ ) sebab f tidak terdefinisi pada interval
tersebut.
Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh:
lim f (x ) = lim
x →a x→a
1− x 2 =
x→a
( )
lim 1 − x 2 = 1 − a 2 = f (a )
Jadi, f kontinu pada (−1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan:
lim f ( x ) = 0 = f (− 1) dan lim f ( x ) = 0 = f (1)
x → −1 + x → 1−
sehingga f kontinu dari kanan di x = −1 dan kontinu dari kiri di x = 1.
Jadi, f kontinu pada [− 1,1] .
Latihan 6.1
Untuk soal 1 – 8, tentukan titik-titik di mana fungsi berikut diskontinu.
3 x+2
1. h(x) = x + 3. f(x) =
2
2. f(x) = 3 x −1
x x3 −1
2s t2 − 4
4. f(s) = 2 5. h(t) =
s −3 t−2
⎧ 3x 2 − 1, x > 3 ⎧ x, x<0
⎪ ⎪
6. g(x) = ⎨ 5 , 1< x ≤ 3 7. f(x) = ⎨ 2x, 0 ≤ x ≤1 3
⎪ 3x + 2 , x ≤1 ⎪3x 2 , x >1 3
⎩ ⎩
1
8. Selidiki kontinuitas f(x) = pada [−1, 5]
1− x
⎧ 2x , 0 ≤ x≤ 3
9.Jika f(x) = ⎨ 2 maka tunjukkan bahwa f kontinu pada [0,7] .
⎩15 − x , 3< x ≤ 7
Lukmanulhakim Almamalik VI- 3