Integral

Makalah matematika
“Integral
”

Di Susun Oleh:
BAGUS GELIS PRATAMA PUTRA
XII IPA 4 / 07

SMAN 3 SIDOARJO
DR.
JL. DR. WAHIDIN NO. 130
SIDOARJO
www.sman3sda.sch.id

KATA PENGANTAR

Puji syukur atas kehadirat Tuhan YME yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya,
sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah Matematika tentang integral ini.

Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluas ilmu matematika khusunya
tentang integral, yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai macam sumber.
Makalah ini disusun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diri
penyusun maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutama
pertolongan dari Tuhan YME akhirnya makalah ini dapat terselesaikan.

Tak lupa kami ucapkan terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada Bapak Wahyudi
selaku Guru Matematika SMAN 3 Sidoarjo yang telah meluangkan waktu baik diwaktu jam
pelajaran maupun diluar jam pelajaran untuk membimbing kami dalam menyelesaikan tugas ini.

Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada para
pembaca. Makalah yang penulis buat ini masih sangat jauh dari kategori sempurna. Penulis
menerima berbagai saran dan kritikan yang membangun demi kesempurnaan makalah ini.

Sidoarjo,November 2010

Penulis

2

INTEGRAL | Matematika

DAFTAR ISI

INTEGRAL
KATA PENGANTAR ................................................................................................................... 2
DAFTAR ISI ............................................................................................................................... 3
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................................. 4
A. LATAR BELAKANG ......................................................................................................... 4
B. TUJUAN .......................................................................................................................... 4
BAB II MATERI POKOK ............................................................................................................ 5
A. PENGERTIAN INTEGRAL ............................................................................................... 5
B. INTEGRAL TAK TENTU .................................................................................................. 6
1. Penyelesaian cara biasa .............................................................................................. 7
2. Penyelesaian cara subtitusi .......................................................................................... 8
3. Integral Parsial ............................................................................................................. 8
C. Integral Tertentu ........................................................................................................... 9
D. Integral Luas Daerah .................................................................................................. 11
1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x ............................................................... 11
2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x............................................................ 12
3. Menentukan Luas Daerah Yang Di Batasi Kurva Y=F(X) Dan Sumbu X..................... 14
4. Luas Daerah yang Terletak Diantara 2 Kurva ............................................................. 15
E. Menentuka Volume Benda Putar ................................................................................... 17
1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi sumbu X ...................... 17
2. Menentukan Volume Benda Putar yang diputar Mengelilingi Sumbu y ....................... 18
3. Volume Benda Putar antara Dua Kurva...................................................................... 20
BAB III PARADE LATIHAN SOAL ............................................................................................ 22
A. Parade Soal ................................................................................................................... 22
B. Kunci jawaban ............................................................................................................... 27
BAB IV PENUTUP.................................................................................................................... 28
A. Rangkuman ................................................................................................................... 28
B. Rekomendasi................................................................................................................. 31

3


BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal, dimana matematika
ini memiliki peran penting di semua bidang ilmu pengetahuan. Melalui perkembangan
penalaran dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran
dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika
secara praktis mendaji salah satu kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis.

Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang,
termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi,
dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan
pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan
temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-
disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan
juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu
sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi
latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.

Salah satu cabang dari Ilmu Matematika yang patut di pelajari adalah Integral. Integral
adalah lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentu
dan integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integral
tertentu memiliki batasan-batasan ,integral tak tentu tidak memiliki batasan –batasan.

Penguasaan mata pelajaran Matematika khususnya mengenai integral bagi peserta didik
juga berfungsi membentuk kompetensi program keahlian. Dengan mengajarkan Matematika
khususnya dalam hal integral diharapkan peserta didik dapat menerapkannya dalam kehidupan
sehari-hari dan mengembangkan diri di bidang keahlian dan pendidikan pada tingkat yang lebih
tinggi.

B. TUJUAN

Adapun beberapa tujuan dari dibuatnya makalah Matetatika Bab Integral ini pada peserta
didik adalah sebagi berikut :

1. Agar Peserta didik dapat memahami konsep intrgral tak trentu dan integral tentu.
2. Agar peserta didik dapat menghitung Integral tak tentu dan integral tentu dari fingsi
aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana.
3. Agar peserta didik dapat menggunakan Integral untuk menghitung luas daerah di bawah
kurva dan volume benda putar.
4. Membantu peserta didik dalam memahami dan menguasai materi Integral.
4
5. Sebagai sumber informasi tentang integral bagi para pembacanya,


BAB II MATERI POKOK

Mind Map

Integral

Pengertian Cara
integral aplikasi volume

parsial subtitusi biasa
panjang luas
busur

A. PENGERTIAN INTEGRAL

Integral dapat di artikan sebagai kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan
.
menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir
bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang
integral adalah ‘ ∫’.
Agar lebih dapat di mengerti perhatikan pernyataan berikut :
F1(x) = x2 + 5x – 6 maka F1’(x) = 2x + 5
F2(x) = x2 + 5x + 12 maka F2’(x) = 2x + 5
F3(x) = x2 + 5x + maka F3’(x) = 2x + 5
Pada fungsi-fungsi yang berbeda konstanta di peroleh bentuk turunan / derivatif yang
fungsi
sama.
Operasi dari F(x) menjadi F’(x) merupakan operasi turunan. Sedangkan untuk operasi
merupakan
sebaliknya dari F’(x) menjadi F(x) disebuit dengan INTEGRAL (anti turunan)

Turunan Turunan
Y Y’ Y”
Integral Integral
5


B. INTEGRAL TAK TENTU

Integral tak tentu atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi
yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel),
atau batas atas dan batas bawah sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak
tentu ini disebut integral tak tentu.

Adapun beberapa aturan yang dapat digunakan dalam penyelesaian integral :

• ‫ ݔ = ݔ݀ ׬‬൅ ܿ
• ‫׬‬൫݂ (‫ )ݔ‬േ ݃(‫)ݔ‬൯ ݀‫ ݔ݀)ݔ(݂ ׬ = ݔ‬൅ ‫ݔ݀)ݔ(݃ ׬‬
ଵ
• ‫ ݔ ׬‬௡ ݀‫= ݔ‬ ‫ݔ‬௡ ൅ ܿ
௡ାଵ
௞௫ ೙శభ
• ‫ ݔ݇ ׬‬௡ ݀‫= ݔ‬ ൅ ܿ
௡ାଵ

Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

Untuk merancang aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri, perlu diingat
kembali turunan fungsi-fungsi trigonometri sebagaimana diperlihatkan dalam tabel berikut

No F(x) F’(x) = f(x)
1 Sin x Cos x
2 Cos x -Sin x
3 Tan x Sec2x

4 Cot x -Cosec2x

5 Sec x Tan x.Secx
6 Cosec x -Cot x.Cosec x
Dengan menggunakan aturan integral tak tentu yang mempunyai sifat bahwa:

F’(x) = f(x) dan turunan fungsi-fungsi trigonometri dalam table di atas, maka integral tak tentu
dari fungsi-fungsi trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut :

‫ ׬‬cos ‫ = ݔ݀ ݔ‬sin ‫ ݔ‬൅ ܿ
‫ ׬‬sin ‫ = ݔ݀ ݔ‬െ cos ‫ ݔ‬൅ ܿ
‫ ׬‬sec ଶ ‫ = ݔ݀ ݔ‬tan ‫ ݔ‬൅ ܿ
‫ ׬‬csc ଶ ‫ = ݔ݀ ݔ‬െ cot ‫+ݔ‬c
‫ ׬‬tan ‫ ݔ‬csc ‫ = ݔ݀ ݔ‬െ csc ‫ ݔ‬൅ ܿ 6


Sedangkan aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri dalam variabel sudut
ax+b dapat dirumuskan sebagai berikut :

ଵ
‫ ׬‬cos(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ݀‫= ݔ‬ ௔
sin(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ
ଵ
‫ ׬‬sin(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ)݀‫ = ݔ‬െ ௔ cos(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ
ଵ
‫ ׬‬sec ଶ (ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ)݀‫= ݔ‬ ௔
tan(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ
ଵ
‫ ׬‬cosec ଶ (ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ݀‫ = ݔ‬െ ௔ cot(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ
ଵ
‫ ׬‬tan(ܽ‫ ݔ‬൅ ‫ ) ܤ‬sec(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ)݀‫ = ݔ‬௔ sec(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ
ଵ
‫ ׬‬cot(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) csc(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ)݀‫ = ݔ‬െ ௔ csc(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ

Dalam penyelesaiannya integral tak tentu memiliki 3 cara penyelesaian :

1. Penyelesaian cara biasa

Secara umum:
ௗ௬
jika ‫= ′ ݕ‬ ௗ௫
atau dy= y’ dx maka ‫࢟ ׬ = ࢟ = ࢟ࢊ ׬‬Ԣ ࢊ࢞

Jadi dapat disimpulkan : 1
න ‫ ݔ‬௡ ݀‫= ݔ‬ ‫ݔ‬௡ ൅ ܿ
݊൅1
Dengan x ≠ -1

Untuk mencari integral dari fungsi trigonometri perlu diingat kembali tentang turunan fungsi
trigonometri, maka :
ଵ
=‫ ׬‬sin ܽ‫ = ݔ‬െ ௔ cos ܽ‫ ݔ‬൅ ‫ܥ‬

ଵ
=‫ ׬‬cos ܽ‫= ݔ‬ ௔
sin ܽ‫ݔ‬ ൅‫ܥ‬

Contoh soal :

1 5
= ‫ 3ݔ‬൅ ܿ = 5 ‫ ݔ‬ඥ2 ൅ ܿ
మ మ 3
ଵ
1. ‫ ݔ ׬ = ݔ݀ 2√ ׬‬య ݀‫= ݔ‬ ‫ ݔ‬యାଵ
య
మ
ାଵ 1 3
య 5
2. ‫ ݔ3(ݔ 2 ׬‬െ 1) = ‫ ݔ6(׬‬ଶ െ 2‫ ݔ2 = ݔ݀)ݔ‬ଷ െ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ܿ
7


2. Penyelesaian cara subtitusi

Integral subtitusi pada prinsipnya sama dengan integral pemisalan. Prinsip integral Subtitusi
ada 2 yaitu salah satu bagian dimisalkan dengan u ,sisanya yang lain (termasuk dx) harus
diubah dalam du.

Bentuk umumnya: ‫ ܨ ׬‬ሾ݃(‫)ݔ‬ሿ. ݃Ԣ(‫ݔ݀ )ݔ‬

Misal ‫ )ݔ(݃ = ݑ‬dan ݀‫݃ = ݑ‬ᇱ (‫ ݔ݀)ݔ‬didapat න ‫ݑ݀)ݑ(ܨ‬

Contoh:

1. ‫ ݔ( ݔ4 ׬‬ଶ ൅ 9)ହ ݀‫ڮ = ݔ‬

Misal : ‫ ݔ = ݑ‬ଶ ൅ 9 dan ݀‫ݔ݀ ݔ2 = ݑ‬

ଵ ଺ ଵ
Di dapat : ‫ ݔ( 2 ׬‬ଶ ൅ 9)ହ 2‫)ݑ(2 ׬ = ݔ݀ ݔ‬ଶ ݀‫= ݑ‬ ଷ
‫ݑ‬ ൅ ܿ = ଷ (‫ ݔ‬ଶ ൅ 6)଺

2. ‫ ׬‬sinଷ ‫ ݔ‬cos ‫ڮ = ݔ݀ ݔ‬

Misal : ‫ = ݑ‬sin ‫ ݔ‬dan ݀‫ = ݑ‬cos ‫ݔ݀ ݔ‬

ଵ ସ ଵ
Di dapat : ‫ ׬‬sinଷ ‫ ݔ‬cos ‫ݑ ׬ = ݔ݀ ݔ‬ଷ ݀‫= ݑ‬ ସ
‫ݑ‬ ൅ܿ = ସ
(sinସ ) ൅ܿ

3. Integral Parsial

Integral parsial atau pengintegralan sebagian berdasar pada turunan suatu fungsi hasil
kali. Disebut Integral Parsial, karena sebagian bentuk dilakukan operasi turunan sebagian
operasi Integral.

Bentuk rumus : න ‫ ݒ ݑ = ݒ݀ ݑ‬െ න ‫ݑ݀ ݒ‬

Bagian u dikerjakan operasi turunan dan bagian dy dikerjakan operasi integral, dengan bentuk
‫ ࢛ࢊ ࢜ ׬‬lebih sederhana dari bentuk ‫.࢛ࢊ ࢛ ׬‬

8


Contoh :

1. ‫ ݔ3 ׬‬cos 2‫ڮ = ݔ݀ ݔ‬
u = 3x dan du = 3 dx
ଵ
= ‫ ݒݑ‬െ ‫ݑ݀ ݒ ׬‬ dv = cos 2x dan v = ଶ sin
2x
ଵ ଵ ଷ ଷ
= (3‫ ) ݔ‬ቀଶ sin 2‫ݔ‬ቁ െ ‫ ׬‬ቀଶ sin 2‫ݔ‬ቁ (3 ݀‫= ) ݔ‬ ଶ
‫ ݔ‬sin 2‫ ݔ‬െ ଶ
‫ ׬‬sin 2‫ݔ݀ ݔ‬

ଷ ଷ
= ଶ ‫ ݔ‬sin 2‫ ݔ‬൅ ସ
cos 2‫ݔ‬

2. ∫(3x + 1)cos 2x dx = ...

Diferensial Integral
3x + 1 Cos 2x
ଵ
3 sin 2x
ଶ
ଵ
0 െ Cos 2x
ସ

1
∫(3x + 1)cos 2x dx = /2(3x +1)sin 2x - (-3/4 cos 2x) + C
1
= /2(3x +1)sin 2x + 3/4 cos 2x) + C

C. Integral Tertentu

Pengertian atau konsep integral tentu pertama kali dikenalkan oleh Newton dan Leibniz.
Namun pengertian secara lebih modern dikenalkan oleh Riemann.

Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi integral. Pada
beberapa aplikasi integral dikenal istilah batas bawah dan batas atas sebuah integral, batas
inilah yang kemudian menjadi ciri khas sebuah integral dinamakan sebagai integral tertentu.
Sebab berbeda dengan integral tak tentu yang tidak memiliki batas, maka pada integral tertentu
ada sebuah nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak adanya lagi nilai C (konstanta
) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai tertentu.

Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu dapat dirumuskan
sebagai berikut :

b
b
Jika f kontinu pada [a,b], maka ∫ f ( x)dx = [ F ( x)] a = F (b) − F (a) dengan
a
F antiturunan
9
sebarang dari f, yakni suatu fungsi sedemikian sehingga F’=f.


Suatu fungsi f yang kontinu terdefinisi untuk Interval [a,b] kita bagi menjadi n bagian yang
sama dengan lebar.

Jika di dalam subinterval ke-I [xi-1, xi] dan ada, maka limit itu dapat dinyatakan dengan
b n

∫ f ( x)dx = lim ∑ f (ε i )∆x
a n→∞ i =1
yang didefinisikan sebagai integral tertentu f dari a sampai b

SIFAT :
b b b

∫ ( f ( x) ± g ( x))dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
a a a
b b

∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
a a
b

∫ f ( x)dx = 0
a
b b

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
a a
b c b

∫
a
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx, a < c < b
a c

Jika f(x) ≥ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b, maka ≥ 0

Jika f(x) ≤ 0 dalam interval a ≤ x ≤ 0, maka ≤ 0

Contoh :

ଷ ଵ ଵ ଵ
1. ‫ 5 ׬‬െ ‫ = ݔ݀ ݔ‬ሾ5‫ ݔ‬െ ‫ ݔ‬ଶ ሿ ଷ = 15 െ 4 = 10
଴ ଴
ଶ ଶ ଶ

ଶ
2. ‫ ݔ4( ׬‬െ 3)݀‫= ݔ‬
ଵ

= ሾ2x2 – 3x)2

= { 2 (2)2 – 3(2)} – { 2(1)2 – 3(1)}
10
= {8-6} – {2-3}

= 2൅1 = 3


D. Integral Luas Daerah

Misalkan L menyatakan himpunan semua bilangan L yang dapat diperoleh
sebagai jumlah luas daerah persegi-panjang kecil sebagaimana dalam Gambar 12.2.
Maka ‘luas daerah’ di bawah kurva y = f (x) mestilah lebih besar daripada setiap
anggota L. Tampaknya masuk akal untuk mendefinisikan ‘luas daerah’ di bawah
kurva y = f (x) sebagai bilangan terkecil yang lebih besar daripada setiap anggota L,
yakni sup L.

1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x

Misalkan R adalah daerah yang di batasi oleh kurva y=f(x) , garis x=a, dan raris x=b ,
dengan F(x) ≥ 0 pada [a,b] maka luas daerah R adalah sebagai berikut.

11


Contoh :

1. Hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva y = x , sumbu X , garis x = 1 dan garis x = 2!

Jawab :

jadi, luasny adalah satuan luas

2. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi kurva y=x+4, sumbu x, dan sumbu y
Jawab:

= -{8-16}
= 8 SL

2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x

Misalnya S adalah daerah yg dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, garis x = a , dan
garis x = b, dengan F(x) ≤ 0 pada [a,b] maka luas daerah S seperti yg telah di bahas
pada subbab sebelumnya adalah sebagai berikut

12


Contoh :

1. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh garis , sumbu x, garis x=4, dan

sumbu y.
Jawab:

Daerah diatas adalah daerah S, luas daerah S adalah

(2-8)

2. Hitunglah luas daerah di bawah sumbu X yang dibatasi oleh kurva y=4-2x, sumbu X dan
garis x=4.
Jawab:

13


3. Menentukan Luas Daerah Yang Di Batasi Kurva Y=F(X) Dan Sumbu X

Misalkan T adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, garis x=a, dan
garis x=c, dengan f(x)>= 0 pada [a,b] dan f(x)<=0 pada [b,c], maka luas daerah T adalah
sebagai berikut:

Contoh :

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x)= - sin x, 0≤x≤2 dan sumbu x.
Jawab:

luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x)= - sin x,
0≤x≤2 dan sumbu x adalah :

=
=
=
=
=4

14


2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=4x-x2, sumbu X, garis x=0, dan garis
x=6!
Jawab:
L1 =

L2 =
Jadi, luas total adalah:

4. Luas Daerah yang Terletak Diantara 2 Kurva

Luas Daerah U pada gambar diatas adalah

L(U) = Luas ABEF – Luas ABCD

ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x), x=a, x=b, dan y=0 sehingga

Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = g(x), x=a, x=b, dan y=0
sehingga

Dengan demikian, luas daerah U adalah :

15


Contoh:
1. Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
Jawab:
Sebelum mencari luasnya, kita tentukan terlebih dahuli
titik poting kedua kurva tersebut, sehingga diperoleh batas
atas dan batas bawhnya:

Sehingga batas-batasbnya adalah , maka luasnya adalah:

=

2. Tentukan Luas daerah yang diarsir !
Jawab: Cari titik potong persamaan y = 3x dan y= x 2 - 2x
Sebelum mencari luasnya, kita tentukan terlebih dahuli titik
poting kedua kurva tersebut, sehingga diperoleh batas atas
dan batas bawhnya:
3x = x 2 - 2x
x 2 - 5x = 0
x(x - 5) = 0
didapat titik potong di x = 5 dan x = 0, sehingga luasnya adalah

16


E. Menentukan Volume Benda Putar
Secara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secara matematis, ditulis :

V=A.h

Dengan demikian volumrnya dapat dinyatakan sebagai berikut:

A(x) adalah luas alas benda putar, oleh karena alas benda putar ini berupa lingkaran, maka
jari-jari yang dimaksud merupakan sebuah fungsi dalam misalnya f(x).
Dengan demikian volume benda putar dapat dinyatakan sebagai :

1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi sumbu X

Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y =
f(x), sumbu x, garis x=a, dan garis x=b, dengan a<b, maka
volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah
R mengelilingi sumbu X adalah :

Contoh:

1. Tentukan volum benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva

Jawab:
17


e

2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y=x2 dan y= x2 dan
y=x+6. Diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360°

Jawab :

2. Menentukan Volume Benda Putar yang diputar Mengelilingi Sumbu y

Kita tidak hanya dapat menentukan volume benda putar dengan sebuah bidang
yang mengelilingi sumbu X saja, namun dapat pula menentukan volume benda putar
sebuah bidang yang diputar mengelilingi sumbu Y. Untuk Itu perhatikan daerah yang
dibatasi kurva x=f(y), sumbu y, garis x=a, dan garis x=b yang diputar dengan sumbu Y
sebesar 360o. Dengan cara yang sama dengan penentuan volume benda putar yang
diputar mengelilngi sumbu X , maka volume benda putaryang diperoleh adalah :

18


Contoh:
1. Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva y , sumbu y,

garis x=2, dan y=-1 diputar 360o terhadap sumbu x!

Jawab :

2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva ,

sumbu Y, garis y=0, dan y=2 diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360o.

Jawab :

V=

=

=

=

Jadi, volumenya adalah 4 satuan volume.

19


3. Volume Benda Putar antara Dua Kurva

Misalkan f dan g merupakan fungsi yang kontinu dan nonnegativ sedemikian sehingga
untuk [a,b]. L adalah daerah yang di batasi dan garis
x=a serta x=b . Maka, bila daerah tersebut di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360o ,
maka volume benda yang ter jadi dapat dinyatakan dengan bentuk berikut.

Contoh :
1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva dan
di putar mengelilingi sumbu X satu putaran penuh.
Jawab:
Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut.

Sehingga batas-batas daerahnya adalah dan dengan dem,ikian volume
yang dimaksud adalah:
V=

=

=
20
=

Jadi , volumenya adalah satuan volume


2. Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu

x, garis x=0, dan garis x=4 diputar 360o terhadap sumbu y

Jawab: Cari Titik Potong

dan garis x=4

Substitusi x=4 ke persamaan sehingga diperoleh

Jadi, batas pengintegralannya adalah y=-1 sampai y=0.

Ubah persamaan menjadi persamaan dalam variabel y sehingga

Jadi, volumenya adalah satuan volume.

21


BAB III PARADE LATIHAN SOAL

A. Parade Soal
ଶ
1. Nilai dari ‫ ݔ3( ׬‬ଶ െ 3‫ ݔ‬൅ 7) ݀‫ ݔ‬adalah...
଴
a. 12
b. 16
c. 10
d. 6
e. 4
2. Jika ݂(‫ ݔ(׬ = )ݔ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬൅ 5) ݀‫ ݔ‬dan ݂(0) = 5 maka ݂(‫...= )ݔ‬
ଵ ଷ
a. ଷ
‫ݔ‬ െ ‫ ݔ‬ଶ ൅ 5‫ ݔ‬൅ 5
ଵ ଷ
b. ଷ
‫ݔ‬ െ 2‫ ݔ‬ଶ ൅ 5‫ ݔ‬൅ 5
ଶ ଷ
c. ଷ
‫ݔ‬ െ 2‫ ݔ‬ଶ ൅ 5‫ ݔ‬൅ 5
ଶ ଷ
d. ଷ
‫ݔ‬ െ ‫ ݔ‬ଶ ൅ 5‫ ݔ‬൅ 5
ସ ଷ
e. ଷ
‫ݔ‬ െ ‫ ݔ‬ଶ ൅ 5‫ ݔ‬൅ 5
௕
3. Jika ܾ ൐ 0 dan ‫ ݔ2( ׬‬െ 3)݀‫ , 21 = ݔ‬maka nilai b adalah...
ଵ
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
௣
4. Jika ‫ 1( ׬‬൅ ‫ ݌ = ݔ݀)ݔ‬maka nilai ‫ ݌‬adalah...
ଵ
a. √3
b. √2
c. √5
d. 1
ଵ
e. ଶ
ഏ
5. Nilai dari ‫׬‬మ (2 sin ‫ ݔ‬൅ cos ‫ ݔ݀ )ݔ‬adalah…
ഏ
ర
ଵ
a. െ1 െ ଶ √2
ଵ
b. 1 ൅ ଶ √2
ଵ
c. െ2 ൅ ଶ √2
ଵ
d. 2 ൅ ଶ √2
ଵ
e. 2 െ ଶ √2
6. Luas bidang yang dibatasi oleh grafik ‫ ݔ6 = ݕ‬ଶ െ ‫ ݔ‬dan sumbu x adalah…
ଵ
a. ଷ଺
‫ݏܽݑ݈ ݊ܽݑݐܽݏ‬
ଵ
b. ଻ଶ
ଵ 22
c. ‫ݏܽݑ݈ ݊ܽݑݐܽݏ‬
ଵ଴଼
ଵ
d. ଶଵ଺
ଵ
e. ସଷଶ

7. Daerah yang bi batasi oleh kurva yan diputar mengalilingi
sumbu- sejauh 360o. Volume benda yang terjadi adalah...
a.
b.
c.
d.
e.
8. Lua daerah yang terbatas dibawah ini adalah...

a.
b.
c.
d. 2
e. 1
9. Panjang busur kurva dari sampai adalah...
a.
b.
c.
d. 16
e.

10. Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu kurva , dan kurva
adalah...
a. 3
b. 36
c. 54 23
d. 60
e. 72


ഏ
11. Hasil dari ‫׬‬మ (cos ‫ ݔ‬Sinଶ‫ ݔ݀ )ݔ‬adalah...
଴
ଵ
a.
ଷ
ଶ
b.
ଷ
ସ
c.
ଷ
ଵ
d. െ
ଷ
ଶ
e. െ
ଷ
12. Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh kurva ‫ ݔ = ݕ‬ଶ െ 2‫ ݔ‬െ 3 , garis
5‫ ݔ‬െ 3‫ ݕ‬െ 5 = 0, dan sumbu ‫ ݔ‬adalah..
ଵ
a. 6 ‫ݏܽݑ݈ ݊ܽݑݐܽݏ‬
଺
ଵ
b. 5 ଺ ‫݊ܽݑݐܽݏ‬ ݈‫ݏܽݑ‬
ଶ
c. 4 ଷ ‫݊ܽݑݐܽݏ‬ ݈‫ݏܽݑ‬
ଶ
d. 3 ‫݊ܽݑݐܽݏ‬ ݈‫ݏܽݑ‬
ଷ
ହ
e. 2 ଺ ‫݊ܽݑݐܽݏ‬ ݈‫ݏܽݑ‬
1
13. Hasil ∫ 2 x. cos 2 xdx = ....
a. 4x sin ½ x + 8 cos ½ x + C
b. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C
c. 4x sin ½ x + 4 cos ½ x + C
d. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C
e. 4x sin ½ x + 2 cos ½ x + C
∫
14. Nilai x. sin( x 2 + 1) dx = ....
a. cos ( x2 + 1 ) + C
b. cos ( x2 + 1 ) + C
c. –½ cos ( x2 + 1 ) + C
d. ½ cos ( x2 + 1 ) + C
e. 2cos ( x2 + 1 ) + C

15. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva ‫ ݔ = ݕ‬ଶ െ 1 dan
sumbu ܺ dari ‫ = ݔ‬െ1 sampai ‫ 1 = ݔ‬dipurar mengelilingi sumbu ܺ sejauh 360o adalah..
ସ
a. ߨ ‫݉ݑ݈݋ݒ ݊ܽݑݐܽݏ‬
ଵହ
଼
b. ଵହ
ߨ ‫݉ݑ݈݋ݒ ݊ܽݑݐܽݏ‬
ଵ଺
c. ଵହ
ଶସ
d. ߨ ‫݉ݑ݈݋ݒ ݊ܽݑݐܽݏ‬
ଵହ
ଷଶ
e. ଵହ

24


16. Nilai dari adalah...
a.
b.
c.
d.
e.
17. Daerah yang dibatasi oleh kurva dan garis diputar
mengelilingi sumbu sejauh 360 . Volume benda putar yang terjadi adalah..
a.
b.
c.
d.
e.

18. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.

a. 2/3
b. 3
c. 5 1
3
d. 2
6
3
e. 9

25


19. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.

a. 4
1
2
b. 1
5
6
c. 5
5
6
d. 1
13
6
e. 30
1
6
20. Luas daerah arsiran pada gambar di bawah ini adalah …satuan luas.

a. 5
b. 7 2
3
c. 8
d. 9 1
3
e. 1
10
3

26


B. Kunci jawaban
1. B
2. A
3. D
4. A
5. B
6. D
7. C
8. D
9. B
10. B
11. C
12. B
13. A
14. C
15. C
16. B
17. D
18. D
19. C
20. D

27

Nb : Kunci jawaban yang tersedia tidak memiliki nilai kebenaran absolut. Untuk itu, mohon koreksinya jika ada jawaban yang
salah.


BAB IV PENUTUP

A. Rangkuman

I. Integral tak tentu
Beberapa aturan dalam penyelesaian integral:
• ‫ ݔ = ݔ݀ ׬‬൅ ܿ
• ‫׬‬൫݂ (‫ )ݔ‬േ ݃(‫)ݔ‬൯ ݀‫ ݔ݀)ݔ(݂ ׬ = ݔ‬൅ ‫ݔ݀)ݔ(݃ ׬‬
ଵ
• ‫ ݔ ׬‬௡ ݀‫= ݔ‬ ‫ݔ‬௡ ൅ ܿ
௡ାଵ
௞௫ ೙శభ
• ‫ ݔ݇ ׬‬௡ ݀‫= ݔ‬ ൅ ܿ
௡ାଵ

Integral trigonometri
Fungsi-fungsi integral trigonometri:

‫ ׬‬cos ‫ = ݔ݀ ݔ‬sin ‫ ݔ‬൅ ܿ
‫ ׬‬sin ‫ = ݔ݀ ݔ‬െ cos ‫ ݔ‬൅ ܿ
‫ ׬‬sec ଶ ‫ = ݔ݀ ݔ‬tan ‫ ݔ‬൅ ܿ
‫ ׬‬csc ଶ ‫ = ݔ݀ ݔ‬െ cot ‫+ݔ‬c
‫ ׬‬tan ‫ ݔ‬csc ‫ = ݔ݀ ݔ‬െ csc ‫ ݔ‬൅ ܿ

ଵ
‫ ׬‬cos(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ݀‫= ݔ‬ ௔
sin(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ
ଵ
‫ ׬‬sin(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ)݀‫ = ݔ‬െ ௔ cos(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ
ଵ
‫ ׬‬sec ଶ (ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ)݀‫= ݔ‬ ௔
tan(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ
ଵ
‫ ׬‬cosec ଶ (ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ݀‫ = ݔ‬െ ௔ cot(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ
ଵ
‫ ׬‬tan(ܽ‫ ݔ‬൅ ‫ )ܤ‬sec(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ)݀‫ = ݔ‬௔ sec(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ
ଵ
‫ ׬‬cot(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) csc(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ)݀‫ = ݔ‬െ ௔ csc(ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ) ൅ ܿ

Penyelesaian cara biasa

1
න ‫ ݔ‬௡ ݀‫= ݔ‬ ‫ݔ‬௡ ൅ ܿ
݊൅1
28


Penyelesaian cara subtitusi

Misal ‫ )ݔ(݃ = ݑ‬dan ݀‫݃ = ݑ‬ᇱ (‫ ݔ݀)ݔ‬didapat :

න ‫ݑ݀)ݑ(ܨ‬

Integral Parsial

න ‫ ݒ ݑ = ݒ݀ ݑ‬െ න ‫ݑ݀ ݒ‬

Bagian u dikerjakan operasi turunan dan bagian dy dikerjakan operasi integral,
dengan bentuk ‫ ࢛ࢊ ࢜ ׬‬lebih sederhana dari bentuk ‫.࢛ࢊ ࢛ ׬‬

II. Integral Tertentu

1. Bentuk umum integral tertentu

௕

න ݂(‫ )ܾ(ܨ = ݔ݀)ݔ‬െ ‫)ܽ(ܨ‬
௔

Rumus-rumus integral tertentu:

௕ ௕

න ݇ ݂(‫ ݇ = ݔ݀)ݔ‬න ݂(‫ݔ݀)ݔ‬
௔ ௔

௕

න (݂(‫ )ݔ‬൅ ݃(‫ݔ݀))ݔ‬
௔

௕

න (݂(‫ )ݔ‬െ ݃(‫ݔ݀))ݔ‬
௔

௕

න (݂(‫0 = ݔ݀)ݔ‬
௔

௕ ௕

න ݂(‫ = ݔ݀)ݔ‬െ න ݂(‫ݔ݀)ݔ‬
௔ ௔ 29

௖ ௕ ௖

න ݂(‫ = ݔ݀)ݔ‬න ݂(‫ ݔ݀)ݔ‬൅ න ݂(‫ݔ݀)ݔ‬
௔ ௔ ௕

௔ ଶ
‫ ݔ݀)ݔ(݂ ׬ 2 = ݔ݀)ݔ(݂ ݇ ׬‬di mana f fungsi genap
ି௔ ଴

௔
‫ 0 = ݔ݀)ݔ(݂ ݇ ׬‬di mana f fungsi ganjil
ି௔

2. Rumus Luas Daerah (L) yang terletak

a. Di atas sumbu x

௕

‫ = )ܴ(ܮ‬න ݂(‫ݔ݀)ݔ‬
௔

b. Di bawah sumbu x

௕
‫ = )ܵ(ܮ‬െ ‫ݔ݀)ݔ(݂ ׬‬
௔

c. Di atas dan di bawah sumbu x

௕ ௖
‫ ݔ݀)ݔ(݂ ׬ = )ܵ(ܮ‬െ ‫ݔ݀)ݔ(݂ ׬‬
௔ ௕

d. Di antara 2 kurva

௕

‫ = )ܷ(ܮ‬න(݂(‫ )ݔ‬െ ݃(‫ݔ݀))ݔ‬
௔

3. Volume Benda Putar (V) yang Diputar Mengelilingi

a. Sumbu x

௕

ܸ = ߨ න(݂(‫))ݔ‬ଶ ݀‫ݔ‬
௔

b. Sumbu y

௕
ଶ
ܸ = ߨ න൫݂(‫)ݕ‬൯ ݀‫ݕ‬
௔

c. Sumbu x dan dibatasi kurva f(x) dan g(x)
௕
ଶ
ܸ (ܶ) = ߨ න൫݂(‫)ݔ‬൯ ݀‫ ݔ‬െ (݃(‫))ݔ‬ଶ ݀‫ݔ‬
௔

d. Sumbu y dan dibatasi kurva f(y) dan g(y)

௕ 30
ଶ
ܸ (ܷ) = ߨ න൫݂(‫)ݕ‬൯ ݀‫ ݕ‬െ (݃(‫))ݕ‬ଶ ݀‫ݕ‬
௔


B. Rekomendasi

Beberapa saran saya kepada pihak guru,siswa,sekolah terhadap pembelajaran
matematika pada umumnya dan integral pada khususnya :

Hendaknya dalam proses belajar mengajar matematika integral, lebih sering di
beri tugas. Dan hendaknya tugas yang di berikan tidak terlalu menyulitkan bagi
peserta didik. Sehingga para peserta didik bisa menyelesaikan tugas dengan
baik dan termotivasi untuk mempelajari Matematika Integral ini.
Hendaknya dalam proses belajar mengajar pihak guru memberikan
pembelajaran yang merata bagi seluruh siswa di kelas. Dan hendaknya pihak
guru tidak hanya memperhatikan bagian sudut kelas tertentu, sehingga bagian
sudut kelas yang lainnya sering terbengkalai sehingga dalam proses
pembelajaran bagian sudut kelas tersebut tidak bisa mengikuti dengan baik.
Hendaknya dalam proses evaluasi pembelajaran tidak memberikan jenis-jenis
soal yang terlalu rumit/susah dan terkesan sangat berbeda dengan soal-soal
latihan yang sederhana dan diberikan selama proses pembelajaran. Sehingga
soal-soal evaluasi yang di berikan selama ini sulit untuk di selesaikan oleh
peserta didik.

31


32

Terkadang bukannya kita tidak mampu melakukan sesuatu, tapi kita hanya terlalu enggan untuk mencoba


Integral

More Related Content

What's hot

Similar to Integral

More from Anggita Dwi Lestari Lestari

Recently uploaded

Integral