2. Pengertian limit secara intuisi
Perhatikan fungsi
f ( x)
x2 1
x 1
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk
0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1
Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1,
seperti pada tabel berikut
0.9 0.99 0.999 0.9999
1
1.0001 1.001 1.01
1.1
f(x) 1.9 1.99 1.999 1.9999
?
2.0001 2.001 2.01
2.1
x
2

3. Dari tabel dan grafik disamping
terlihat bahwa f(x) mendekati 2
jika x mendekati 1
f(x)
2
º
Secara matematis dapat dituliskan
Sebagai berikut
f(x)
x
1
x
x2 1
lim
2
x 1 x 1
x 2 1 untuk x mendekati
Dibaca “ limit dari
x 1
1 adalah 2
Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa
lim f ( x) L
x c
berarti bahwa bilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L
3

4. S
ifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini
sangat diperlukan dalam hitung limit.
1. lim A A , A c R
2. lim x c
,
x
c
x
c
J
ika lim f ( x) dan lim g( x) keduanya ada dan k
x c
pernyataan-pernyataan berikut:
1
lim f ( x) g( x)
lim f ( x)
x c
2
lim kf ( x)
x c
3
x c
x c
x c
lim f ( x)g( x)
f ( x)
lim
x c g( x)
lim g( x)
k lim f ( x)
x c
4
R maka berlaku
x c
lim f ( x). lim g( x)
x c
x c
lim f ( x)
x
c
lim g( x)
x
, asalkan lim g( x)
x c
0
c
4

5. Untuk menyelesaikan soal limit dapat dilakukan dengan beberapa
cara.
1. S
ubstitusi langsung
2. Dengan menyederhanakan (Pemfaktoran, Perasionalan akar)
3. Dengan prinsip limit sepihak (kiri dan kanan)
Contoh
Hitunglah nilai limit berikut ini!(S
ubtitusi Langsung)
a. lim (3x 5)
c. lim 7x 2x 1
x 2
b.
lim (2x2
x
2
x 1
7x 6)
d.
2x 3
1 5x 2
lim
x
5

6. J
awab
a.
lim (3x 5)
x 2
b.
lim (2x2
x
2
3(2) 5 6 5 1
7x 6)
2(2)2
7(2) 6 8 14 6
c.
lim 7x 2x 1 7(1 2(1 1 7 1 7
)
)
d.
2x 3
lim
x
1 5x 2
0
x 1
2( 1 3
)
5( 1 2
)
2 3
5 2
1
3
6

7. Contoh
Hitunglah nilai limit berikut ini!(Pemfaktoran)
a.
x2 4
lim
x 2 x 2
b.
x2 3x 2
lim
x 2
x2 4
J
awab
a.
x2 4 22 4 4 4 0
lim
(tidak terdefinisi) . Untuk
x 2 x 2
2 2
2 2 0
menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut.
( x 2) ( x 2)
x2 4
lim
lim
lim( x 2) 2 2 4
x 2 x 2
x 2
x 2
x 2
7

8. b.
x2 3x 2 22 3(2) 2 4 6 2 0
lim
(tidak terdefinisi) . Untuk
2
2
x 2
4 4
0
x 4
2 4
menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut.
( x 2) ( x 1
)
x2 3x 2
lim
lim
2
x 2
x 2 ( x 2) ( x 2)
x 4
x 1
x 2x 2
2 1 1
2 2 4
lim
8

9. Hitunglah nilai limit berikut ini!(Perasionalan
Akar
2
x2 3
x 2 2
a. lim
b. xlim1
2
x 2
Solusi:
a. lim
x 2
1 x
x 2
x 2 2
x 2
2 2 2
2 2
4 2
2 2
0
(tidak terdefinisi)
0
9

10. lim
x
2
x 2 2
x 2
lim
x
2
x 2 2
x 2
x 2
x 2 2
x 2 2
2
22
lim
lim
x
2
x 2
2
2
x
2
x 2
lim
x
x 2
x 2
1
2 2 2
x 2
x 2
lim
2
1
4 2
( x 2) 4
x 2
1
2 2
x 2
2
1
x 2 2
1
4
10

11. b.
lim
x
1
2
x2 3
1 x2
lim
x
x2 3
1 x2
2
1
lim
x
2
2
2
x
1
lim
x
1
x
1 x2 2
( 12
)
0
0
3
3
x2
4
lim
3
x
1
1 x2 2
3
x
1
4
2 2
1
3
x2
3
1
lim
1
2
4
1 1
3
x2
x2
2
3
2
2
x2
1
2
x2
1 x2
1 x2
3
1 ( 12
)
x2 3 2
1 x2
2
2
1
lim
( 12
)
2
2
x2
3
1
4
11

12. x
c
lim f ( x)
x c
c
x
lim f ( x)
x c
lim f ( x) L
x c
Jika
Jika x menuju c dari arah kiri
(dari arahbilangan yang lebih kecil dari c)
limit disebut limit kiri,
lim f ( x)
x c
Jika x menuju c dari arah kanan
(dari arah bilangan yang lebih besar dari c)
limit disebut limit kanan,
lim f ( x) L dan lim f ( x) L
x c
x c
lim f ( x) Maka lim f ( x) tidak ada
x c
x c
12

13. x 2
Diketahui fungsi berikut: f ( x)
;x
x2
; 1 x 2 . Tentukanlah:
x 3 ; x 2
lim f ( x)
a.
x
1
b.
lim f ( x)
x 2
1
J
awab
a. Perhatikan untuk x menuju -1 dari kiri aturan fungsi yang digunakan
adalah x 2 sedangkan untuk x menuju -1 dari kanan aturan fungsi
yang digunakan adalah x2 . Oleh karena itu, untuk mencari lim f ( x)
x
1
digunakan limit sepihak (limit kiri dan limit kanan)
lim f ( x) lim ( x 2)
1 2 1
x
1
x
lim x2
lim f ( x)
x
1
x
lim f ( x)
x
1
1
( 12 1
)
1
lim f ( x) 1
x
1
lim f ( x) 1
x
1
13

14. b. Perhatikan untuk x menuju 2 dari kiri aturan fungsi yang
digunakan adalah x2 sedangkan untuk x menuju 2 dari kanan
aturan fungsi yang digunakan adalah x 3 . Oleh karena itu,
untuk mencari lim f ( x) digunakan limit sepihak
x 2
(limit kiri dan limit kanan)
lim f ( x)
x
2
lim f ( x)
x 2
lim f ( x)
x 2
2
lim x
2
2
x 2
4
x 2
lim ( x 3)
f ( x)
2 3 1
;x
1
x2
; 1 x 2
x 3 ; x 2
x 2
lim f ( x)
x 2
lim f ( x) tidak ada
x
1
14

15. Diketahui:
x2 , x 0
x, 0 x 1
f ( x)
2 x2 , x 1
lim f ( x)
a. Hitung
x 0
b. Hitung)
lim f ( x)
Jika ada
x 1
c. Hitung
lim f ( x)
x 2
Jawab
a. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri
dan limit kanan di x=1
lim f (x) lim x2 0
x 0
x 0
lim f (x) lim x 0
x 0
lim f ( x) 0
x 0
x 0
15

16. b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit
kiri dan limit kanan di x=1
lim f (x) lim x 1
x 1
x 1
lim f (x) lim2 x2 3
x 1
lim f ( x)
lim
x 1
Karena
x 1
maka
lim f ( x) Tidak ada
x 1
x 1
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka
tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2
lim f (x) lim2 x
x 2
x 2
2
6

17. 2
lim
a. x 5( x
lim ( x2
b. x 2
20)
3x 1
)
x 2
c. lim
x 0 x 3
x2 5x 6
d. lim
x 2
x 2
x2 7x 12
e. lim
x
4
2x 8
f.
g.
h.
i.
lim
x
x2
2
2x 8
x2 4
x 1
lim
x 1 x 1
lim
x 1
x2 3 2
x2 1
x2
lim
x
2
3
4
x2
5
17

18. x2 ; x 1
1. Diketahui: f (x)
1
x 1
, tentukan apakah lim f (x)
x
1
(jika ada)!
x2 ;
x
2. Diketahui: f (x)
1 x2
x 0
0 x 1 , tentukan apakah
x 1
lim f (x) dan lim f (x) (jika ada)!
x
0
x
1
x 2;
x2 ;
3. Diketahui: f (x)
1 x2 ;
x
1 x 1 , tentukan apakah
x 1
lim f (x) dan lim f (x) (jika ada)!
x
1
x
1
1

19. 4. Diketahui: f (x)
3x 2, x 1
5, 1 x 3 , tentukan apakah lim f (x) dan
3x
x
2
1
1, x 3
lim f (x) (jika ada)!
x
3
3x 2, x 1
5. Diketahui: f (x)
5
x2
,1 x 3 , tentukan apakah lim f (x)
x 1
1, x 3
dan lim f (x) (jika ada)!
x
3

20. Soal Latihan Pilihan Ganda
Bab : Limit - 1
x2 2 x 1
1. Nilai dari lim
= ….
x 1
x 1
a. -1
b. 0
x2 4x 5
2. Nilai dari lim
= ….
x 1
x 1
a. -1
b. 0
2 x 2 3x 4
3. Nilai dari lim
= ….
x 2
x 2
a. -1
b. 0
c. 5
d. 2
e. 6
c. 1
d. 2
e. 3
c. 1
d. 2
e. 6

21. x 2 3x 4
4. Nilai dari lim
= ….
x
1
x2 1
1
a.
2
5
b.
2
1
c.
2
3 x 7
5. Nilai dari lim 2
= ….
x 2 x
x 6
1
a.
30
1
b.
11
1
c.
11
x2 9
....
6. Nilai dari lim
x 4
x
a. 3/4
c. 3/2
b. 5/4
d. 0
d.
5
2
e. 0
1
30
1
e.
20
d.
e. 1/2

22. 4 x2
7. Nilai lim
x 2
3
x
2
....
5
a. 1
b. 4
c. 6
d. 8
8. Nilai dari lim
x 1
1
4
1
6
a.
b.
c.
1
4
2
x2 3
2 x2
e. 9
....
d.
e. 0
1
6

23. x
9. Nilai lim f ( x) dari fungsi f (x)
x
1
, x
1
x 1
x ,-1 x 1
1 x, x 1
c. -1
d. 2
x
, x 1
x 1
10. Nilai lim f ( x) dari fungsi f (x)
x ,-1 x 1
adalah ....
a. 1
b. 0
x
1
1 x,
a.
b.
c.
d.
e.
1
0
-1
2
Tidak ada
x 1
e. Tidak ada
adalah....