integral tentu dan tak tentu

1. INTEGRAL
Kuliah 8-9
1

2. PENGERTIAN
1. Integral tak tentu (indefinite integral)
2. Integral tentu/terbatas (definite integral)
 Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial
yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan
proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan
atau denvatif dari fungsinya diketahui.
 Integral tertentu/terbatas merupakan suatu
konsep yang berhubungan dengan proses
pencarian luas suatu area/daerah yang batas-batasnya
atau limit dari area tsb sudah tertentu
2

3. INTEGRAL TIDAK TENTU
 Proses menemukan suatu fungsi yang turunannya
diketahui disebut integrasi dan fungsi yang
diperlukan disebut integral.
 Jika f(x) adalah suatu integral dengan penekanan
terhadap x. f(x)+C adalah integral tak tentu dimana
C adalah sembarang konstanta. Jika f(x) adalah
integral dari f(x) dengan penekanan terhadap x.
3

4. KAIDAH……………(1)
x dx n n 
   1
x C
n

1
1
1.∫x2 dx =
1
x3 + C
3
2. ∫xdx =
1
x2 + C
2
3. ∫dx = ∫x0dx = x + C
(karena ∫dx = ∫1dx = ∫x0dx =
1
x1 + C)
1
4. ∫ 3 x dx = ∫x3/2dx =
5 / 2 x
5/ 2
x+ C
2
= 5
5
x + C
4

5. KAIDAH……………(2)
1
 dx  
x
ln x C
3
 dx  
x
1. 3 ln x C
 dx
n
2. 3 ln(n 1) C
1
3
  

x
e
dy
  
dy
dx x
y x
e
dx x
y x
1
ln
1
ln
log
1
log
   
5

6. KAIDAH……………(3)
∫ex dx = ex + C
∫eu dx = eu + C ; u = b(x)
1. ∫ex+2dx = ∫e2xd(x+2) = ex+2 + C
2. ∫ex+2dx = ∫e2x
1
2
d(2x) = 2
1
1
∫e2x d(2x)= 2
e2x + C
6

7. KAIDAH……………(4)
∫[f(x)  g(x)]dx = ∫f(x)dx  ∫g(x)dx
= f(x)  g(x) + C
1. ∫ (x4+3x2)dx = ∫ x4dx + ∫ 3x2dx
1
= x  x  C 5 3
5
2. ∫ (ex+
1
)dx = ∫ ex dx + ∫
x
1
dx
x
= ex + lnx + C
7

8. KAIDAH……………(5)
∫n b(x)dx = n ∫b(x)dx;n  0
∫3x2dx = 3∫x2dx = 3.
1

2 1
1
x2+1 +C = 3. 3
x3 + C = x3 + C
du
 nb(x)  b ( u ) du  f ( u )
 C
dx
6x(3x 10)dx 2  
6x(3x 10)dx (18x 60x)dx 2 3     
60
18
= x  x  C 4 2
2
4
=4,5x5 – 30 x2 + C
8

9. du
6x
dxx x ) 103( 6 2  
du
3 10 6 atau dx 2     x 
dx
U x
x x dx xU
 6 (3  10)   6 . .
 
1
 
6
1
2
1
  
(3 10)
2
1
   
(9 60 100)
2
 4,5  30  50

  
C C
du
U C
Udu
x
x C
x x C
x x C
x x C
 
1
4 2
1
4 2
1
4 2
1
2 2
2
2
dimana : 50
4,5 30
9

10. du

2 2
du
du

1
1
 

 
1
 
1
1
   
1
U 2
U
U C
du
du
2
1
 
x x C
U
x x
du

3
x x
x
dx

du
6
3
x x x x x
du
x
x x
dx
U x x
x
ln
2
1
  





       


ln( 6 )
2
2
2 6
2
6
1
2( 3)
6
2( 3)
misal : 6 2 6 2( 3) atau dx
2
2
2
2
10

11. RUMUS-RUMUS ……….(1)
2 1
x xdx du
 

2 1 4
     
1
u c x c
du
dx
du

misal
u c
x dx
x u
du
u
xdx
x
x
u
1
1
     
 


ln ln 2 1
ln
2
4
4
4
2 1
4
2 1
2
2
11

12. RUMUS-RUMUS ……….(2)
a du c a a
   
1
dx du
du
a dx
 2  3   2
 
u u u
1
1
a dx a du a du

  
1
c c
dx
u x
x
a
 
u
a
x
u
u a
u x
u
1
   





2 ln(2 3)
2 ln
2
2
2
2 3
ln
2 3
.
; 0 ; 1
12

13. RUMUS-RUMUS ……….(3)
 
u u a c
du
   


: ln 4
misal dx
x x  c
x
u a
   


ln
2
4
2 2
2
2 2
RUMUS-RUMUS ……….(4)
 
   
dx
2 2
    
2 3 2 1 4
 x x  c
du
misal
u u a c
dx
 
x
dx
x x
x x
u a
     



 

ln ( 1) ( 1) 4
:
ln
2
( 1) 2
2 2
2 2
2 2
13

14. RUMUS-RUMUS ……….(5)
 u 2  a 2 du  1 u u 2  a 2  1
a 2 ln
u  u 2  a 2
 c 2
2
 
x  2 x  5 dx  x  2 x  1 
4
dx
 
x dx
  
( 1) 2
2 1

x x x x c
 (  1) (  1)  4   2 ln (  1)  (  1)  2

( 1) ( 1) 4 2ln( 1) ( 1) 4
:
2 2
1
1
2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
x x x x
        
misal
14

15. RUMUS-RUMUS ……….(6)
c
du

2 2
misal
c
x
3 3
x
u 
a
1
 
x
dx
dx
x
u a
u a a

1
2
  

 


 
3 3
2.3
9 9 3 (3 )
ln
:
ln
2 2 2
15

16. RUMUS-RUMUS ……….(7)

1
 

2
1
2
  
c
c
du

2 2
misal
c
a u
x
x
x
x
dx
x
dx
x
a u
a u a

2
1
 


 


 
2
4
2
2.2
4 2
ln
ln
:
ln
2 2 2
16

17. INTEGRAL TERTENTU
 Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi
yang nilai – nilai variabel bebasnya memiliki batas –
batas tertentu.
Integral tertentu digunakan untuk :
1. Menghitung luas area/daerah yang terletak
diantara kurva y = f (x) dan sumbu horizontal x
dalam suatu rentangan wilayah yang dibatasi oleh
x = a dan x = b.
2. Menghitung luas suatu area yang terletak diantara
dua kurva
17

18. f ( x ) dx f ( x ) f ( b ) f ( a )
b
a
b
  a  
b
x
a
0 x 0 x 1 x i x n
Z f x x
 lim ( )

1 4 0
 
 
b
a
i i
n
i x
f ( x )
dx
b
b
     
a
Y1 x = f (x)
a
a b
b
a
g(x) f (x) dx g(x)dx f (x) dx
Y2 = g (x)
18

19. KAIDAH-KAIDAH
b
a
f x dx F x F b F a
( )  ( )  ( ) 
( )
 1

5 1
5 1
2
3125 32 618,6
:   (5) 
(2)
1
5
5
5
5
5
5
5
2
4
  

b

a
Contoh x dx x
f x dx
( ) 0
5
5 1
2 1
2
1
: (2) (2) 0
5
5
5
5
2
2
4    


a

a
Contoh x dx x
19
1
2

20. Contoh x dx x dx
 1

 
 
 
 
  
2 5
  
32 3125
1
1
1
 
(32) (3125)
618,6
( ) ( )
 
:
5
1
5
5
5 2
5
2
5
5
5
2
5
4
5
2
4

 
 
x
f x dx f x dx
b
a
a
b
k f ( x ) dx 
k f ( x )
dx
 
Contoh : 5 x dx 
5
x dx
 
 
3125 32 3093
5 5 5
2
5 5
2
5
1
x x
   
5 5 2
5
5
2
4
5
2
4
  
b
a
b
a
 
b
f ( x )  g ( x ) dx  f ( x ) dx 
g ( x )
dx
  
a
 
Contoh : x 5 x dx x dx 5
x dx
 
5 1
2
1
 
 5 1
5   5
4 5

   
   
(5) (2) (5) (2)
5
   
3125 32 625 16
1
1
 
618,6 761,25
1379,85
5
4
5
4
4
4
5
5
5
2
4
4
5
5
5
2
3
5
2
4
5
2
4 3

  
  
x x
b
a
b
a
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x )
dx
3 1
2
1
 
  
Contoh x dx x dx x x
  1
 
618,6
   
243 32 3125 243
:
5
1
5
5
3
5
5
5
5
5
3
4
3
2
4

  
 
b
a
b
c
c
a
20
3 4
5
6

21. PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU
(I) LUAS DAERAH DIATAS SUMBU X
21
A
y=b(x)
a b
Y
x
b
A L b(x)dx
 
a
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2+1, sumbu y,
sumbu x dan garis x=2
Y
X
A
-1 1 2
L  ( x 
1)
dx A
1
 
3
  
(2) 2 0
3
2
4
3
1
3
2
0
3
2
0
2



x x

22. (II) LUAS DAERAH DI BAWAH SUMBU X
22
X
a b
La
Y
b
A L b(x)dx
 
a
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2+4x, sumbu y, sumbu x, dan
garis x=2 dan garis x=3.
X
1 3
La
Y
2
L   ( x 
4 x )
dx
x x dx
 
1
2 3
x x
A
 
   
   
2
6
3
22
1
1
3
1

L satuanluas
A
3
]
3
[18 9 2
1
(1) ]
3
(3) 2(1)
3
[2(3)
3
2
(4 )
2 3 2 3
3
1
2
3
1
2




23. 23
(III) LUAS DAERAH DI ATAS DAN DIBAWAH SUMBU X
A
a b c
B
Y
Y=f(x)
b
A B L L b(x)dx b(x)dx
    
a
c
b
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh y=b(x), yaitu y=x3-4x dengan sumbu x
A
-2 0 2
B
Y
Y=x3-4x
-1
x x
 
x x
(  4) 
0
(  2)(  2) 
0
3 3
L  L   ( x  4 x ) dx   ( x 
4 x )
dx
4 2
   
1
1
(
     
 
-4- 8 - 4 8
-8
0 4 2
2
1
2
0
(2) 2(2) 0}
4
1
(-2) 2(-2) } {
4
{0
x 2x )
4
x 2x ) (
4
4 0
4 2 4 2
0
2
2
0
2
3



x x x
A B

24. 24
(vi) Luas daerah dintara kurva
A
a b
d
c
Y=g(x)
Y=b(x)
Y
X
b
A L [b(x) g(x)]dx
  
a
Tentukan luas daerah (area) antara y=x2 dan y=x ?
Y
(0,0)
(1,1)
x
y=x
y=x2
2 2
x x x x
   
x(x-1) 
0
x 0 dan x 1
0 0
0
1 2
  
 
x y
2
L x x dx A
  
( )
1
    
1
2
1
2
2
satuanluas
1
x x
1
1
6
2
)
6
3
6
1
) 0 (
3
(
(1) 0
3
(1)
3
1 2 3
0
2 3
1
0
     

25. VOLUME BENDA PUTAR
25
y
x
b
x
b
  2 
V y dx
a
Jika daerah antara grafik
y  x
sumbu x, garis x = 0 dan x = 4 diputar sekeliling sumbu x. Hitunglah volume
benda putar tersebut !
 
b
b
2 2
V y dx f x dx
 
a
 
 
( )
   
a
V   x dx 

x
V 8

Satuan isi
2
1
4
0
2
4
0
2



26. APLIKASI INTEGRAL DALAM STATISTIKA DAN SAINS
Banyak dipakai dalam statistika:
- Rata-rata,
- Varians untuk variabel yang sifatnya continue,
- Sebaran peluang (distribusi) peluang.
26

E(x)    x f (x)dx


 
2 2 2 2 2
x f x dx atau x f x dx
      

 
x x

2 2
E ( x ) 
x f ( x ) dx ,
Sehingga nilai


2 2 2
( )
( ) ( )
  





E x
x
dimana f (x) = fungsi kepadan / fungsi densitas
Rata-rata:
Ragam:
b
f (x) P( a x b ) f (x) dx
    
a

27. CONTOH:
27
1. Variabel acak x memiliki fungsi densitas peluang sebagai berikut :
f x x untuk x
( ) 0 ,
( )  2 , 0  
1
f x 
untuk x yang lainnya
a. Tentukan peluang pada interval
3
4
1
dan
2
b. Tentukan peluang pada interval
1
2
1
 dan
2
3
a P x x dx x
4
1
2
  

   

 
1
2 9

b P   x   f x dx  x dx 
x
  1
 2  1
 2 1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
( ) ( )
5
16
4
16
9
16
4
16
2
2 1
4
3
2
3 4
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
3
2
1
.
. ( ) 2
  
  


 
 
 
Jawab

28. 28
untuk x
0, 0

( ) 2

x untuk x
( 2) , 1 2
3
8
0, 
2


  

untuk x
2. Diketahui fungsi densitas : f x
Tentukan nilai rata – rata dan varians nya !
3
E ( x )    x f ( x ) dx  x , ( x 
2)
dx
 
x x x dx
  
( 4 4)

x x x dx
  
( 4 4 )

 x x x

 
   
    2
  
   
(2) (2) 2(2) 0
    
1
3 4
4
3
4 4
4 4
3
8
32
1
1
36 
32
3
3
3
3
3
3
3
8
32
3
3
8
3
8
3 2
3
4
8
2
0
2
2
3
4
8
2
2
0
3
8
2
0
2
8
2
2
0
8
2
0
4 8 12
  
2 2
E ( x ) 
x f ( x )
dx

x x x dx
  
( 4 4)

x x x dx
  
( 4 4)
3

 1

 
 
 
 
  
1
   
32
5 4 4
5 4 4
  
96  240 
160
2
16
3
3
3
3
3
3

2 2 2
x E x
  ( )


(2) (2) (2) 0
 
2
      
0,15
16
2
3
20
5
20
8
20
32
1
4
2 2
5
1
2
5
5
3
8
3
8
3
5
8
3
3
5
8
2
0
3
3
5
8
2
2
0
2
8
2
8
2
0
2
2
0

 
x
x x x


29. Sering kita bermain dengan masalah jumlah dan waktu.
Waktu: t, Jumlah : A
Hubungan antara A dengan t biasanya dinyatakan dalam deferensial
( turunan ) dan integral seperti :
29
Contoh 1:
Dalam suatu kondisi tertentu laju pertumbuhan populasi sapi perah di suatu
daerah tertentu sebanding dengan jumlah sapi perah yang ada. Jika ada
1000 ekor sapi pada saat ini, untuk menjadi 2000 ekor perlu waktu 4 tahun.
Dalam berapa tahun sapi perah tersebut menjadi 5000 ekor ?
k dt
dA
  
A
kA
k dt A kt c
   
 
ln
kt c kt c
dA
dt

A  e 
e .
e
kt c
dA
A
A  c ' e ,dim ana c '

e
Untuk t = 0 A = 1000
1000 = c ek (0) 1000 = c e0
c = 1000
Untuk t = 4, A = 2000
2000 = 1000 ek.4 2000 = 1000 e4k
e4k = 2 4k = ln 2
k = ln 2/4 = 0,1733
A = 5000 5000 = 1000 e0,1733 t
E0,1733 t = 5 0,1733 t = ln 5
= 9,29

30. Contoh 2:
Jika fungsi permintaan adalah y = 32 – 4x – x2 dan x0 = 3. Tentukan
surplus konsumen (SK) !
30
y
x
11 (3,11)
0 3 4
y = 32 - 4x - x2
32
Harga : y Permintaan x
x0 = 3 y0 = 32 – 4(3) – (3)2
= 32 – 12 – 9 = 32 – 21
= 11
y
x
11 (3,11)
0 3 4
y = 32 - 4x - x2
32
SK x x dx x y
  (32  4  )

 2 1

   
32 2 3(11)
2 1
    
32(3) 2(3) (3) 0 33
   
96 18 9 33
36
3
3
3
0
3
3
0 0
3
0
2

x x x