Modul Fungsi

1. Kata fungsi dalam
matematika sebagaimana
diperkenalkan oleh Leibniz
(1646-1716) yang
gambarnya terlihat di atas
digunakan untuk
menyatakan suatu
hubungan atau kaitan
yang khas antara dua
himpunan.
RELASI DAN FUNGSI
Tahukah kamu apa itu relasi dan fungsi?
Konsep “fungsi” terdapat hampir dalam
setiap cabang matematika sehingga
merupakan suatu yang sangat penting
artinya dan banyak sekali kegunaannya.
Akan tetapi pengertian dalam matematika
agak berbeda dengan pengertian dalam
kehidupan sehari-hari. Dalam pengertian
sehari-hari, “fungsi” adalah guna atau
manfaat.

2. FUNGSI
1
PETA KONSEP

3. FUNGSI
2
Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus
dimana setiap anggota A dipasangkan dengan tepat pada anggota B. jadi pada fungsi
yang perlu diperhatikan adalah:
a. Setiap anggota A harus dipasangkan
b. Setiap anggota A hanya dapatdipasangkan tepatsatu kali
Contoh
Dari ke empatdiagram panah tersebut:
1 Yang merupakan fungsi adalah gambar a dan d
2 Yang bukan fungsi adalah gambar b dan c
Fungsi satu-satu (korespondensi satu-satu) dua himpunan A dan B disebut fungsi
(korespondensi) satu-satu jika semua anggota A dan B dapat dipasangkan
sedemikian rupa sehingga setiap 1 anggota A berpasangan dengan satu anggota
B dan setiap satu anggota B berpasangan dengan satu anggota A . fungsi satu-
satu terjadi jika banyaknya anggota himpunan A dan B sama.
Contoh:
A = {Indonesia, Jepang, Perancis,Filipina}
B = {Jakarta, Paris, Manila, Tokya}
2.1 PENGERTIAN FUNGSI

4. FUNGSI
3
Relasi yang menghubungkan himpunan A dan B adalah “ Ibu Kota”. Banyaknya
anggota himpunan B = n (B) = 4. jadi n(A) = n(B) . sehingga bentuk diagram
panah dan diagram cartesiusnya sebagi berikut:
1. Diagram panah
2. Diagram Cartesius
3. Himpunan pasangan berurutan :
{(Indonesia, Jakarta)(Jepang, Tokyo)(Perancis, Paris)(Filipina, Manila)}
Notasi Fungsi
Suatu fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B , jika
BydanAx  , maka ditulis” ,": yxf  dibaca f memetakan x ke y
dan fungsi f bayangan x dinyatakan dengan f(x) =y . variabel x merupakan nilai
rangenya. Jadi misalnya fungsi ,: baxxf  maka rumus fungsinya
baxxf )(
Contoh 1:
Fungsi }5,4,3,2,1{,22:  xxxf tentukan bayangannya (range)

5. FUNGSI
4
Jawab:
Rumus fungsi 22:  xxf
22:  xxf
untuk 42)1(2)1(1  fx
62)2(2)2(2  fx
82)3(2)3(3  fx
102)4(2)4(4  fx
122)5(2)5(5  fx
Jadi untuk domain {1,2,3,4,5} maka rangenya ={4,6,8,10,12}
Contoh 2 :
Fungsi 1: 2
 xxf dengan domain {0,1,2,3,}
Tentukan daerah hasilnya!
Jawab
Domain :{0,1,2,3}
01)1()1(
11)0()0(
1)(
2
2
2



f
f
xxf
31)2()2( 2
f
81)3()3( 2
f
Jadi bayangannya atau rangenya ={-1,0,3,8}
Contoh 3 :
Diketahui .1:  xxf tentukan domainnya jika bayangannya atau rangenya
{2,0,-1}
Jawab
1:  xxf
1 xfx
 Jika 122)(  xxf

6. FUNGSI
5
1
1
1
1
21






x
x
x
 Jika 100)(  xxf
1
1
1
1




x
x
 Jika 111)(  xxf
2
1
2
2
11
11






x
x
x
x
Jadi domain atau daerah asalnya ={1,-1,-2}
Contoh 4
Diketahui fungsi yang rumusnya baxxf )(
Jika 4)1(,1)2(  ff carilah a dan b
Jawab:
baxxf )(
)2.........4
4)1(4)1(
)1........12
1)2(1)2(




ba
baf
ba
baf
dari 1 dan 2 12  ba
a + b = 4
- 3a = - 3
a = 1
41  baa
3
14
41



b
b
b
jadi a =1 dan b = 3

7. FUNGSI
6
1. Nyatakan nama relasi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B
2. Diketahui A={0,2,4,6,8} B={0,1,2,3,4,5} relasi yang menghubungkan himpunan
A ke himpunan B adalah “A dua kali B”.
a. Buat diagram panah, diagram Carterius, dan himpunan pasangan
berurutan.
b. Tentukan domain , kodomain dan rangenya.
3. Suatu relasi dinyatakan dalam suatu pasangan berurutan {(-2,0), (-1,1), (0,2),
(1,3), (2,4)}
a. Tentukan domainnya dan rangenya
b. Apa relasi yang menghubungkan kedua himpunan tersebut ?.
4. Tentukan mana yang fungsi dan mana yang bukan fungsi dari diagram panah
berikut?
A
•1
•4
•9
1•
2•
3•
4•
0
•16
A
B B
•1
•2
•3
1•
4•
9•
16
•0
•4
6(a) (b)
A B
•a
•b
•c
1•
2•
3•
4•
0 c
•a
•b
•c
1•
2•
3•
4•
0
A
B
d
A B
•a
•b
•c
1•
2•
3•
4•
0
•d
6a
•a
•b
•c
1•
2•
3•
4•
0
•d
6•e
6
•a
•b
•c
1•
2•
3•
4•
0
•d
6
A
B
b
•a
•b
•c
1•
2•
3•
4•
0
•d
6
5•
0
Latihan
1

8. FUNGSI
7
5. Tentukan gambar grafik Cartesius berikutyang merupakan fungsi.
6. Tentukan himpunan yang merupakan suatu fungsi dari himpunan pasangan
berurutan berikut:
K= {(1,2),(2,3),(4,5),(5,9)}
L = {(2,1),(4,1),(5,1),(3,2),(7,2)}
M = {(2,3),(4,5,)(4,7),(5,8)}
7. Tentukan mana yang merupakan fungsi satu-satu dari diagram- diagram
panah berikut:
A B
•a
•b
•c
1•
2•
3•
4•
0
•d
6e
•a
•b
•c
1•
2•
3•
•d
6•e
6
A
B
a.
A
B
b.
A
B
c.
A B
•a
•b
•c
1•
2•
3•
4•
0
•d
6
a A B
•a
•b
•c
1•
2•
3•
4•
0
•d
6
b
A B
•a
•b
•c
1•
2•
3•
4•
0
•d
6
c A B
•a
•b
•c
1•
2•
3•
4•
0
•d
6
d

9. FUNGSI
8
8. 23:  xxf tentukan daerah hasilnya jika domainnya adalah {0,1,2,3} dan
diagram cartesiusnya.
Diberikan skalar real  dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan gf  , selisih gf  ,
hasil kali skalar f , hasil kali gf . , dan hasil bagi gf masing-masing didefinisikan
sebagai berikut:
 )()())(( xgxfxgf 
 )()())(( xgxfxgf 
 )())(( xfxf  
 )().())(.( xgxfxgf 
 0)(asalkan,
)(
)(
))((  xg
xg
xf
x
g
f
Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali
untuk gf ,  0)(:  xgDDxD gfgf .
Contoh :
Jika f dan g masing-masing:
1)(  xxf
5
1
)(


x
xg
maka tentukan: gf  , gf  , gf . , dan gf beserta domainnya.
Penyelesaian:
2.2 OPERASI PADA FUNGSI

10. FUNGSI
9
 
 
 
 
5
1
)(
5
1
.1)(.
5
1
1)(
5
1
1)(









x
x
xgf
x
xxgf
x
xxgf
x
xxgf
Karena }5{dan),1[  Rgf DD , maka gf  , gf  , gf . , dan gf
masing-masing mempunyai domain: ),1[  .
Perhatikan contoh berikut:
Ada 3 himpunan yaitu, A = {2, 3, 4, 5}, B = {5, 7, 9, 11} dan C = {27, 51, 66, 83}.
f: A B ditentukan dengan rumus 12)(  xxf dengan CBg : ditentukan oleh
rumus 2)( 2
 xxg . Ditunjukkan oleh diagram panah sbb:
Jika h fungsi dari A ke C sehinnga:
peta dari 2 adalah 27
peta dari 3 adalah 51
peta dari 4 adalah 66
peta dari 5 adalah 83
2.3 FUNGSI KOMPOSISI

11. FUNGSI
10
dan diagaram panahnya menjadi,
fungsi dari h dari A ke C disebutfungsi komposisi dari g dan fditulis fgh  atau
).)(()( xfgxh 
Secara umum:
o dibaca komposisi atau “bundaran”
Definisi:
Misalkan fungsi
BAf : ditentukan dengan rumus )(xfy 
CBg : ditentukan dengan rumus )(xgy 
Fungsi komposisi g dan f ditentukan dengan autan:
))(())(()( xfgxfgxh  

12. FUNGSI
11
Perhatikan bahwa dalam fungsi komposisi ))(())(( xfgxfg  ditentukan dengan
pengerjaan )(xf terlebih dahulu kemudian dilanjutkan dengan pengerjaan oleh
).(xg Perhatikan contoh berikut.
Contoh:
1. Diketahui f(x) = x2 + 1 dan g(x) = 2x – 3. Tentukan:
a. (f o g)(x)
b. (g o f)(x)
Jawab:
a. (f o g)(x) = f (g(x))
= f(2x – 3)
= (2x – 3)2 + 1
= 4x2 – 12x + 9 + 1
= 4x2 – 12x + 10
b. (g o f)(x) = g (f(x))
= g(x2 + 1)
= 2(x2 + 1) – 3
= 2x2 - 1
Ternyata, ).)(())(( xfgxgf   Jadi pada komposisi fungsi tidak berlaku sifat
komutatif.
2. Diketahui RRf : dan RRg : ditentukan oleh f(x) = x + 3 dan (f o g)(x) =
x2 + 6x + 7, maka tentukan g(x) !
Jawab :
f(x) = x + 3
(f o g)(x) = x2 + 6x + 7
f(g(x)) = x2 + 6x + 7
g(x) + 3 = x2 + 6x + 7
g(x) = x2 + 6x + 4
3. Diketahui RRf : dan RRg : ditentukan oleh f(x) = 2x + 4 dan (g o f)(x) =
4x2 + 12x + 6, maka tentukan g(x) .
Jawab : (g o f)(x) = 4x2 + 12x + 6
g(f(x)) = 4x2 + 12x + 6
g(2x + 4) = 4x2 + 12x + 6
Misal: 2x + 4 = p, maka
2
4

p
x

13. FUNGSI
12
g(p) =
2
4
2
4 




 p
+ 12 




 
2
4p
) + 6
g(p) = p2 – 8p + 16 + 6p – 24 + 6
g(p) = p2 – 2p – 2
Maka: g (x) = x2 – 2x – 2
Cara lain:
6124)42())(())(( 2
 xxxgxfgxfg 
2)42(2)42( 2
 xx
Jadi, 22)( 2
 xxxg
Suku banyak (Polinom) adalah suatu bentuk aljabar yang memiliki bentuk umum :
Keterangan:
 n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak. Derajat suku
banyak dalam x adalah pangkat tertinggi dari x dalam suku banyak itu.
 an disebut koefisien dari xn , an-1 disebut koefisien dari xn-1 , ... , dan a1 disebut
koefisien dari x.
 suku yang tidak memuat peubah x yaitu a0 disebut suku tetap / konstan.
Peubah suku banyak dapat ditulis dengan peubah selain x , seperti a , b , c ,d , e,, ... ,
x , y , atau z.
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x+ a0
dengan a0 , a1 , ... . an-1 , an bilangan real dan an ≠ 0
2.4 FUNGSI POLINOM DAN FUNGSI RASIONAL

14. FUNGSI
13
Contoh:
1. 5x3 – 2x2 + 10x + 4
Suku banyak dengan peubah x , berderajat3.
Koefisien dari x3 adalah 5, koefisien dari x2 adalah -2, koefisien dari x adalah
10, suku tetapnya 4.
2. 2y4 + 4y3 – 3y2 + y – 2.
Suku banyak dengan peubah y , berderajat 4
Koefisien dari y4 adalah 2 Koefisien dari y adalah 1
Koefisien dari y3 adalah 4 Suku tetapnya -2
Koefisien dari y2 adalah -3
1. Tentukan peubah, derajat, dan suku tetap dari suku banyak berikut!
a. x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3 f. 1 – p + 10p2 – 3p4 + 6p7
b. a3 – a g. (2x+7)2
c. k2 + 3 h. (3x+1)(6-x2)
d. d. – 4 + 3m2 – 4m3 + 5m4 – m5 i. (x+3)(3x-1)(2x -1)
e. 2w6 – 3w5 + w4 – 5w + 6 j. (5x+2)3.
2. Tentukanlah koefisiennya :
a. x2 dalam (x+6)(7-2x). d. x dalam (x-2)(x2-x -4)
b. x dalam (x+2)2.(3x-5) e. x3 dalam (x2-x)(x2+2x-6)
c. x3 dalam (3x2- 1)(x2+3x-7). f. x2 dalam (7-x2)(x3+x2-x+3)
3. Diketahui F(x) dan G(x) adalah suku banyak dalam x masing-masing berderajatm
dan n. Jika m= 4 dan n= 7, tentukanlah derajatdari suku banyak berikut:
a. F(x) + G(x) c. F(x).G(X) e. (F(x))2.G(x)
b. F(x) – G(x) d. (F(x))2 f. ( F(x) + G(x))3.
Latihan
2

15. FUNGSI
14
Nilai Suku Banyak
Suku banyak dalam x dapat dinyatakan sebagai fungsi f(x) seperti berikut ini :
Nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f(k).
Nilai dari f(k) dapat dicari dengan dua cara, yaitu:
a. Cara subtitusi.
b. Cara Skematik / Horner / sintetik.
a. Cara subtitusi.
Contoh:
Diketahui f(x) = x4 – 2x3 + 5x2 – 4x – 1. Tentukan nilai f(x) untuk x = –1,
x = 2 , x = 3.
Jawab:
Nilai suku banyak f(x) = x4 – 2x3 + 5x2 – 4x – 1. untuk:
x = –1 adalah f(–1) = (–1)4 – 2(–1)3 + 5(–1)2 – 4(–1) – 1 = 11
x = 2 adalah f(2) = (1)4 – 2(1)3 + 5(1)2 – 4(1) – 1 = 1–2+5–4–1 = –1
x= 3 adalah f(3) = (3)4 – 2(3)3 + 5(3)2 – 4(3) – 1 = 81–54+45–12–1 = 59
b. Cara Skematik
Misal terdapat suku banyak f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
Untuk x = k , diperoleh f(k) = ak4 + bk3 + ck2 + dk + e
<=> f(k) = [ak3 + bk2 + ck + d]k + e
<=> f(k) = [{ak2 + bk + c}k + d]k + e
<=> f(k) = [{(ak + b)k +c}k + d]k + e
Dari persamaan yang terakhir, nilai suku banyak untuk x = k dapat ditentukan
secara bertahap sesuai langkah berikut:
Langkah 1 : kalikan a dengan k, hasilnya ditambah b.
Langkah 2 : kalikan hasil dari langkah 1 dengan k, kemudian tambahkan
f(x) = anxn
+ an-1xn-1
+ an-2xn-2
+ ... + a2x2
+ a1x + a0

16. FUNGSI
15
hasilnya dengan c.
Langkah 3 : kalikan hasil dari langkah 2 dengan k, kemudian tambahkan
hasilnya dengan d.
Langkah 4 : kalikan hasil dari langkah 3 dengan k, kemudian tambahkan
hasilnya dengan e.
Hasil terakhir dari langkah-langkah tersebut adalah :
f(x) = ak4 + bk3 + ck2 + dk + e.
Nilai suku banyak yang diperoleh dengan cara seperti di atas disebutcara Skematik. Untuk
lebih jelasnya perhatikan bagan berikut:
Tanda “ “ artinya dikalikan dengan k.
Tanda panah ini hanya untuk memudahkan penjelasan saja. Apabila sudah mahir
menggunakan cara ini, maka tidak perlu lagi menuliskan tanda panah.
Contoh:
1. Hitunglah nilai suku banyak 5x3 + 4x2 – x – 3. untuk x = 2
Jawab:
Jadi nilai dari 5x3 + 4x2 – x – 3. untuk x = 2 adalah 51
2. Hitunglah nilai suku banyak x5 – 2x2 + 3x – 5. untuk x = –1
Jawab:

17. FUNGSI
16
x5 – 2x2 + 3x – 5 diubah dulu menjadi x5 + 0x4 + 0x3 – 2x2 + 3x – 5
Jadi nilai dari x5 – 2x2 + 3x – 5. untuk x = –1 adalah –11.
1. Dengan cara skematik tentukan nilai suku banyak berikutkemudian cocokkan hasilnya
menggunakan cara substitusi :
a. f(1) jika f(x) = 3x4 – x3 – 2x2 – 10x + 6
b. f(2) jika f(x) = 5x3 +2x2 – 3x + 5
c. f(-2) jika f(x) = 4x3 +x2 +6x + 1
d. f(-5) jika f(x) = x4 +4x2 +3x + 8
e. f(3) jika f(x) = x4 +2x - 7
f. f(4) jika f(x) = x3 - 1
2. Hitunglah nilai setiap suku banyak berikut untuk setiap nilai x yang diketahui :
a. f(x) = x3 – x2 – x + 4 untuk x= -1
b. f(x) = 2x3 +x2 – 4x + 6 untuk x= 2
c. f(x) = 5x3 +2x2 +x – 2 untuk x= -4
d. f(x) = 2x4 +3x2 - x – 3 untuk x= 0, 5
e. f(x) = 3x4 +2x2 – x untuk x= 0,1
f. f(x) = 3x3 – 4x+ 3 untuk x= - 0,3
3. Diketahui suku banyak f(x) = 2x3 – 3x2 + kx – 6.
Hitunglah nilai k , jika f(3) = 39.
Latihan
3

18. FUNGSI
17
OPERASI PADA SUKU BANYAK
1. Penjumlahan dan Pengurangan
Agar dua suku banyak atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan suku-suku
tersebutharus sejenis atau senama, artinya peubahnya sama dan pangkat peubahnya
sama. Misalkan:
5x6 dengan 3x6 , 4
p
2
1
dengan 4
p7
Contoh:
Tentukan hasil penjumlahan atau pengurangan suku banyak berikut:
1. (3x4 + 3x3 ─ 10x2 ─ 2x + 3) + ( 2x3 + 6x2 ─ 4x + 7)
2. (4y3 + 2y2 ─ 5y + 4) + (2y2 + 4y ─ 5)
3. (t3 ─ 2t + 3) ─ (t2 + 4t)
Jawab:
1. (3x4 + 3x3 ─ 10x2 ─ 2x + 3) + ( 2x3 + 6x2 ─ 4x + 7)
= 3x4 + (3x3 + 2x3) + (─10x2 + 6x2) + (─2x ─ 4x) + (3 + 7)
= 3x4 + 5x3 ─ 4x2 ─ 6x + 10
2. (4y3 + 2y2 ─ 5y + 4) + (2y2 + 4y ─ 5)
= 4y3 + ( 2y2 + 2y2) + ( ─ 5y + 4y ) + (4─ 5)
= 4y3 + 4y2 ─ y ─ 1
3. (t3 ─ 2t + 3) ─ (t2 + 4t)
= t3 ─ 2t + 3 ─ t2 ─ 4t
= t3 ─ t2 + (─ 2t─ 4t) + 3
= t3 ─ t2 ─ 6t + 3
2. Perkalian
Untuk mengalikan dua suku banyak atau lebih dapat digunakan sifat distributif
perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan.
Contoh:
Hitunglah:
1. (x + 4) (x2 + 2x ─ 2)
2. (t3 + t2 ─ t) (2t2 + 3)

19. FUNGSI
18
Jawab:
1. (x + 4) (x2 + 2x ─ 2) = x(x2 + 2x ─ 2) + 4(x2 + 2x ─ 2)
= x3 + 2x2 ─ 2x + 4x2 + 8x ─ 8
= x3 + 6x2 + 6x ─ 8
2. (t3 + t2 ─ t) (2t2 + 3) = t3(2t2 + 3) + t2(2t2 + 3) ─ t(2t2 + 3)
= 2t5 + 3t3 + 2t4 +3t2 ─ 2t3 ─ 3t
= 2t5 + 2t4 + t3 +3t2 ─ 3t
Kesamaan Suku Banyak
Misalkan diketahui suku banyak f(x) dan g(x) dengan derajat n :
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b1x + b0
f(x) = g(x) jika dan hanya jika dipenuhi :
an = bn , an-1 = bn-1 , an-2 = bn-2 , ... , a1 = b1 , a0 = b0
Contoh:
Diketahui fungsi f(x)= x2 + 4x ─ 1 dan g(x)= (x + 1) (x + 3) ─ 2k
Hitunglah nilai konstanta k , jika f(x) = g(x)
Jawab :
f(x) = g(x)
<=> x2 + 4x ─ 1 ≡ (x + 1) (x + 3) ─ 2k
<=> x2 + 4x ─ 1 ≡ x2 + 4x + (3 ─ 2k)
Berdasarkan sifat kesamaan suku banyak , diperoleh:
─1 = 3 ─ 2k <=> 2k = 3 + 1 <=> 2k = 4 <=> k = 2
Jadi nilai k pada kesamaan di atas adalah 2.

20. FUNGSI
19
1. Diketahui suku banyak f(x) = x3 ─ x2 + 1 dan g(x) = x2 ─ 4.
Tentukan hasil operasi dan derajatdari:
a. f(x) + g(x)
b. f(x) ─ g(x)
c. f(x) • g(x)
d. ( f(x) + g(x) ) ─ 2f(x)
e. ( f(x) + g(x) ) • ( f(x) ─ g(x) )
2. Ulangi soal nomor 1 untuk suku banyak f(x) = x4 ─ 2x2 + 6 dan g(x) = x3 ─ 4x + 1.
3. Hitunglah nilai konstanta k , jika diketahui:
a. (x + 1) (x + 3) ─ 2k ≡ x2 + 4x ─ 1.
b. (x2 + 2) (x2 + 2x ─ 1) + k ≡ x4 + 2x3 + x2 + 4x ─ 3.
c. x3 ─ 5x2 + x + 6 ≡ (x2 + 1) (x ─ 5) + 3k
4. Hitunglah nilai konstanta a dan b , jika diketahui :
a.
2
x9
43x
x3
b
x3
a






b.
6xx
x6
2x
b
3x
a
2





PEMBAGIAN SUKU BANYAK
1. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi dan Sisa Pembagi
Perhatikan pembagian berikutini!
Latihan
4

21. FUNGSI
20
Dari pembagian tersebut terlihat bahwa 225 dibagi 4 hasilnya adalah 56 dan sisa
pembagian 1.
Hal ini dapat ditulis:
225 = (4 x 56) + 1
Hubungan seperti ini berlaku juga pada suku banyak.
Contoh:
1.
Dari pembagian bersusun tersebutterlihat bahwa (4x3 + 6x2 ─ 2x + 5) : (x + 1) hasil
baginya adalah 4x2 + 2x ─ 4 dan sisa pembagian adalah 9.
Hal ini dapat ditulis:
4x3 + 6x2 ─ 2x + 5 = (x + 1) (4x2 + 2x ─ 4) + 9
2.
Suku banyak yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

22. FUNGSI
21
Dari pembagian bersusun tersebutterlihat bahwa:
hasil baginya adalah 2x2 + x + 7
sisa pembagian adalah 24
Hal ini dapat ditulis:
2x3 ─ 5x2 + 4x + 3 = (x ─ 3) (2x2 + x + 7 ) + 24
Dari beberapa contoh di atas , misal f(x) merupakan suku banyak yang dibagi , P(x)
merupakan pembagi , H(x) merupakan hasil bagi dan S merupakan sisa, maka
hubungan tersebut dapat ditulis:
3. Menentukan Derajat Suku Banyak Hasil Bagi dan Sisa Pembagi
Sebelumnya perhatikan contoh pembagian bersusun berikut:
Contoh :
1. (3x2 ─ 5x + 1) : (x-2)
3x + 1 Derajat yang dibagi = 2
x ─ 2 3x2 ─ 5x + 1 Derajat pembagi =
1
3x2 ─ 6x ─ Derajat hasil bagi = 1
x + 1 Derajat sisa pembagian = 0
x ─ 2 ─
3
2. (6x3 ─ x2 + 4x ─ 5) : (2x+1)
3x2 ─ 2x + 3 Derajat yang dibagi = 3
2x +1 6x3 ─ x2 + 4x ─ 5 Derajat pembagi = 1
6x3 + 3x2 ─ Derajat hasil bagi =
2
─ 4x2 + 4x Derajat sisa pembagian = 0
f(x) = P(x) . H(x) + S

23. FUNGSI
22
─ 4x2 ─ 2x ─
6x ─ 5
6x + 3 ─
─ 8
3. (3x3 + 4x2 ─ 5x + 6) : (x2 +2x + 5)
3x ─ 2
x2 +2x + 5 3x3 + 4x2 ─ 5x + 6 Derajat yang dibagi = 3
3x3 + 6x2 + 15x ─ Derajat pembagi = 2
─ 2x2 ─ 20x + 6 Derajat hasil bagi = 1
─ 2x2 ─ 4x ─ 10 ─ Derajat sisa pembagian = 1
─ 16x + 16
4. (x4 – 2x3 + 3x2 – 6x) : (x2 – 2x)
x2+3
x2 – 2x x4 – 2x3 + 3x2 – 6x
x4 – 2x3 –
3x2 – 6x
3x2 – 6x. –
0
Derajat yang dibagi = 4 Derajat hasil bagi = 2
Derajat pembagi = 2 Derajat sisa pembagian = 0
Khusus bentuk seperti nomor 4 pembagi dikenal dengan istilah faktor yang akan
dibahas lebih lanjut dalam materi berikutnya.
Dari beberapa contoh tersebut maka dapat dikatakan secara umum :
Jika suku banyak berderajat n dibagi oleh pembagi berderajat m , berlaku:
1. derajat hasil bagi = derajat suku banyak – derajat pembagi.
= n – m

24. FUNGSI
23
2. derajat sisa setinggi-tingginya sama dengan m – 1 yaitu :
a. untuk pembagi yang merupakan faktor, derajat sisa adalah 0.
b. untuk pembagai yang bukan merupakan faktor, derajat sisa adalah m-1.
Contoh :
Misalkan diketahui suku banyak yang dibagi berderajat6.
 Jika pembagi berderajat 1 , hasil bagi berderajat 5 , sisanya berderajat 0.
 Jika pembagi berderajat 2 , hasil bagi berderajat 4 , sisanya berderajat 1.
 Jika pembagi berderajat 3 , hasil bagi berderajat 3 , sisanya berderajat 2.
 dan seterusnya.
1. Dengan cara pembagian bersusun, tentukan hasil bagi dan sisa pembagian
berikut!
a. (x2 + 5x – 4) : (x + 1)
b. (2x2 – 3x + 5) : ( x – 3)
c. (x3 – 2x2 + 4x + 6) : (x + 4)
d. (3x3 – 7x2 +6x + 6) : (x –5)
e. (x4 + x3 + x2 + x+ 3) : (x +1)
f. (x3 + 8x – 12) : (2x –1)
g. (3x2 + 6x + 1) : (3x – 2)
h. (2x4 – 6x3 + 5x2 + x + 7) : ( 2x +1)
2. Tentukan derajat hasil bagi dan derajat sisa pembagian dari pembagian suku
banyak berikut!
a. (x5 + 3x4 + 5x3 – 6x2 – x + 7) : (x2 + 2x –1)
b. (x2 – 8x6 + 5x2 + 6x – 4) : (x3 + 6x2 – 5x + 1)
c. (x8 + 9x6 + 3x5 – 6x3 + 2x2 – 10) : (x3 -5x2 + 4x – 2)
3. Tentukan sisa pada pembagian (2x2 – 6x + 8) : ( x – 3) kemudian bandingkan
sisanya dengan f(3) bila f(x)= 2x2 – 6x + 8.
4. Tentukan sisa pada pembagian (2x4 + x2 + 6x -2) : ( x +2) kemudian bandingkan
sisanya dengan f(–2) bila f(x)= 2x4 + x2 + 6x -2.
Latihan
5

25. FUNGSI
24
Menentukan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian
a. Pembagian dengan (x – k)
Selain dengan pembagian bersusun, untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
dapat juga dilakukan dengan merode skematik atau metode Horner, seperti yang telah
dipelajari di depan. Cara ini lebih mudah dan cepat.
Untuk mengetahui cara Horner bekerja, perhatikan contoh berikut.
Contoh :
Dengan cara bersusun, tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari:
(2x4 – 7x3 + 5x2 + 3x – 6) : (x – 2)
Jawab: 2x3 – 3x2 – x + 1 hasil bagi
x – 2 2x4 – 7x3 + 5x2 + 3x – 6
2x4 – 4x3 –
– 3x3 + 5x2
– 3x3 + 6x2 –
– x2 + 3x
– x2 + 2x –
x – 6
x – 2 –
– 4 sisa
Untuk selanjutnya agar lebih singkatdalam penulisan, kita tuliskan koefisien-koefisiennya
saja.
2 –3 –1 1 hasil bagi
1 –2 2 –7 5 3 –6 yang dibagi
2 –4 –
–3 5
–3 6 –
pembagi

26. FUNGSI
25
–1 3 hasil antara
–1 2 –
1 –6
1 –2 –
–4 sisa
Perhatikan bahwa koefisien-koefisien yang ditulis miring merupakan duplikatdari koefisien-
koefisien suku hasil bagi atau suku yang dibagi. Untuk lebih singkatlagi, kita hilangkan
koefisien-koefisien yang merupakan duplikattersebutdan diperoleh :
2 –3 –1 1 hasil bagi
1 –2 2 –7 5 3 –6 yang dibagi
–4 6 2 –2 – hasil antara
–4
Operasi pengurangan dapatdiubah dengan operasi penjumlahan, dengan mengalikan
koefisien hasil antara dengan –1. Selanjutnya koefisien hasil bagi dipindah ke baris paling
bawah dan diubah lambang pembagiannya.
2 2 –7 5 3 –6 yang dibagi
4 –6 –2 2
2 –3 –1 1 –4
koefisien hasil bagi sisa
Tanda “ “ artinya jumlahkan . Tanda “ “artinya kalikan dengan k
( dalam contoh diatas k= 2).
Cara ini sama dengan cara Horner yang telah dipelajari didepan.
Jadi Hasil Bagi = 2x3- 3x2- x + 1 dan sisa = - 4.

27. FUNGSI
26
Contoh:
Dengan cara Horner tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak
berikut!
1. (2x3 – 4x2 + 5x – 6) : (x – 3)
2. (x4 + 3x3 + 4x2 – x + 1) : (x + 1)
3. (4x3 – 2x + 1) : (x + 2)
Jawab:
1. 3 2 –4 5 –6
6 6 33 +
2 2 11 27
Jadi hasil baginya = 2x2 + 2x + 11
Sisa pembagian= 27
2. –1 1 3 4 –1 1
–1 –2 –2 3+
1 2 2 –3 4
Jadi hasil baginya = x3 + 2x2 + 2x –3
Sisa pembagian= 4
3. – 2 4 0 –2 1
–8 16 -28 +
4 -8 14 -27
Jadi hasil baginya = 4x2 -8x +14
Sisa pembagian= - 27
b. Pembagian dengan (ax + b)
Misal k adalah bilangan rasional dengan
a
b
k

 , sehingga bentuk (x – k)
dapat dinyatakan menjadi:
)()((
a
b
x
a
b
xkx 

28. FUNGSI
27
Jika f(x) dibagi )
a
b
x(  , hasil baginya H(x) dan sisanya S maka:
SxH
a
b
xxf  )().()(
<=> S)x(H).bax(
a
1
)x(f 
<=> S
a
)x(H
).bax()x(f 






Persamaan terakhir menunjukkan bahwa suku banyak f(x) dibagi (ax + b)
memberikan hasil bagi 





a
)x(H
dan sisa S.
Koefisien dari H(x) dan sisa S ditentukan dengan cara pembagian Horner, dengan
mengganti
a
b
k

 .
Contoh:
1. (2x3 + 21x2 – 6x – 5) : ( 2x + 1)
2. (3x3 – 16x2 +11x – 2) : (3x – 1)
Jawab:
1. Bentuk ( 2x + 1) dapat ditulis sebagai 






2
1
x2
2
1

2 21 -6 -5
-1 -10 8 +
2 20 -16 3
Jadi hasil baginya = 8x10x
2
16x20x2 2
2


Sisa pembagiannya = 3

29. FUNGSI
28
2. Bentuk (3x – 1) dapat ditulis sebagai 






3
1
x3
3
1
3 -16 11 -2
1 -5 2 +
3 -15 6 0
Jadi hasil baginya = 2x5x
3
6x15x3 2
2


Sisa pembagiannya = 0
c. Pembagian Suku Banyak Dengan ax2 + bx + c , a ≠ 0
1). Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat yang dapat Difaktorkan.
Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk
kuadrat yang dapat difaktorkan dapat menggunakan teorema berikut :
Teorema :
Jika suku banyak f(x) dibagi oleh P1 hasil baginya H1(x) dan sisanya S1, dan H1(x)
dibagi P2 hasil baginya H2(x) dan sisanya S2, maka f(x) dibagi P1.P2 hasil baginya
H2(x) dan sisanya P1.S2 + S1 .
Bukti :
f(x) dibagi P1 hasil baginya H1(x) dan sisanya S1 berarti :
f(x)= P1.H1(x) + S1 ..........................(1)
H1(x) dibagi P2 hasil baginya H2(x) dan sisanya S2 berarti :
H1(x)= P2.H2(x) + S2 ..........................(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :
f(x)= P1.H1(x) + S1
= P1.( P2.H2(x) + S2) + S1
= P1.P2. H2(x) + P1S2 + S1
Jadi, f(x) dibagi P1.P2 hasil baginya H2(x) dan sisanya P1.S2 + S1 (Terbukti).

30. FUNGSI
29
Contoh :
Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian 3x3 – 6x2 + x – 4) dengan x2– x– 2.
Jawab :
x2– x– 2 = (x–2).(x+1) ==> Misal P1= x-2 dan P2= x+1
2 3 –6 1 –4
6 0 2 +
–1 3 0 1 –2 = S1
-3 3
3 -3 4 = S2
Hasil Bagi = H2(x) = 3x – 3 dan Sisa = P1.S2 + S1 = (x-2). 4 + (-2) = 4x- 10.
2). Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat yang dapat Difaktorkan.
Pembagian suku banyak dengan ax2 + bx + c , a ≠ 0 yang tidak dapat difaktorkan
dapat dilakukan dengan pembagian bersusun seperti yang telah dipelajari
sebelumnya.
Contoh:
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut!
1. (x3 – 2x2 + 8x + 2) : (x2 + x + 1)
2. (2x4 – 3x3 + 5x2 – 2x + 4) : (x2 – x +1)
Jawab:
1. x – 3
x2 + x + 2 x3 – 2x2 + 8x + 2
x3 + x2 + 2x -
– 3x 2 + 6x + 2
– 3x 2 – 3x – 6 -
9x + 8

31. FUNGSI
30
Jadi hasil baginya = x – 3 dan Sisa pembagiannya = 9x + 8
2. 2x2 – x + 2
x2 – x +1 2x4 – 3x3 + 5x2 – 2x + 4
2x4 – 2x3 + 2x2 -
– x3 + 3x2 – 2x + 4
– x3 + x2  x -
2x2 – x + 4
2x2 – 2x +2 -
x + 6
Jadi hasil baginya = 2x2 – x + 82 dan Sisa pembagiannya= x+6
1. Dengan cara pembagian Horner, tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut!
a. (x2 – 6x + 7) : (x – 2)
b. (2x3 – x2 + 3x +12) : (x - 4)
c. (3x3 -4x2 + 16) : (x + 2)
d. (3x5 + x4 – 4x2 + 7) : (x - 2)
e. (x5 -5x4 +15x2 ) : (x +3)
f. (6x3 – x2 + 2x +2) : (x + 1/3 )
g. (x4 + 2x3 – 4x2 + 7x – 4) : (2x + 1)
h. (5x3 + 8x – 12) : (2x – 1)
i. (3x2 + 6x + 1) : (3x – 2)
j. (2x4 – 6x3 + 5x2 + x + 7) : (2x + 1)
2. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut!
a. (x3 + x2 – 8x + 3) : (x2 – x – 2)
b. (x4 + x3 – 2x2 + x + 5) : (x2 + x – 6)
c. (2x5 + x4 – 2x2 + x + 1) : (x2 + x + 6)
d. (3x4 + 8x2 + 6x + 10) : (x2 – 3x +2)
e. (6x4 + 3x3 + 3x2 - x + 5) : (x2 – x + 2)
Latihan
6

32. FUNGSI
31
f. (2x4 -7x3 + 10x2 - 4x - 2) : (x2 – x – 3)
g. (5x4 + 2x2 - 3x +1) : (x2 + x 1)
h. (6x4 + 4x +1) : (2x2 + x +1)
3. Diketahui f(x) = x4 – 4x3 + 7x2 + Ax + B. Jika f(x) dibagi x2 – 2x – 3 bersisa 8x + 10.
Tentukan A+B !
Diberikan fungsi YXf : . Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X.
Pada umumnya, invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi. Sebagai contoh,
perhatikan Gambar 2.5.1 di bawah ini.
Apabila YXf : merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan
bahwa invers f juga merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi
1
f . Perhatikan Gambar 2.5.2 berikut.
Jadi:
)()(1
xfyyfx  
dengan ffff
DRRD   11 dan
x ● ● y
X Y
Gambar 2.5.2
A B
f
2.5 FUNGSI INVERS

33. FUNGSI
32
Menentukan Rumus Fungsi Invers
Perhatikan fungsi f : A  B dan f -1 : B  A di atas.
f : x  y atau y= f(x) dan f-1 : y  x atau x= f -1(y) sehingga y= f(x)  x= f-1(y).
Dengan demikian untuk menentukan rumus dari f -1(x) dapat dilakukan dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
o Langkah 1. Misalkan y = f(x).
o Langkah 2. Nyatakan x sebagai fungsi y.
o Langkah 3. Ganti x dengan f-1(y).
o Langkah 4. gantilah y pada f -1(y) dengan x untuk mendapatkan f -1(x).
Contoh 2.5.1 Tentukan 1
f jika diketahui
23
1
1)(



x
x
xf .
Penyelesaian:
23
1
1
23
1
1)(






x
x
y
x
x
xfy
)(
32
32
3232
12233
1)23)(1(
1
yf
y
y
x
yxyx
xyxyx
xxy








Jadi,
x
x
xf
32
32
)(1



Contoh 2.5.2 Tentukan inversnya jika diketahui:















0jika
1
1
0jika1
0jika
)(
x
x
x
xx
xf
Penyelesaian: (i). Untuk 0x , 0)(  xxfy . Sehingga:
0)(1
 
yyfyx

34. FUNGSI
33
(ii). Untuk 0x , 1)0( f . Sehingga, diperoleh: )1(0 1
 
f .
(iii).Untuk 0x ,
1
10
1
1
1
)( 






x
xfy
atau:
1)(
1
1
1 1




 
yyf
y
y
y
x
Selanjutnya, dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:














1jika
1
1jika0
0jika
)(1
x
x
x
x
xx
xf
1. Diketahui fungsi f : R  R. Carilah rumus invers fungsi f(x) berikut:
a. f(x) = 2x – 1 c. f(x) = 3 – 2x e. f(x) = 5x +7
b. f(x) = 4x + 3 d. f(x) = 12 – x f. f(x) = x + 8
2. Diketahui fungsi f : A B. Carilah rumus rumus fungsi invers dari f atau f –1(x),
Jika :
a.
7x
3x5
)x(f


 d.
9x2
1x3
)x(f



b.
1x2
4x5
)x(f


 e.
4x7
3x2
)x(f



c.
7x3
x41
)x(f


 f.
5x2
3
)x(f


Latihan
7

35. FUNGSI
34
3. Diketahui fungsi f : R  R. Carilah rumus rumus fungsi invers dari f atau f –1(x),
Jika :
a. f(x) = 2x2 – 3; x≥0 d. f(x) = 2 – 3x2 ; x≥0 g. f(x) = 3 x + 2
b. f(x) = 2(x - 1)2 + 3 ; x≥1 e. f(x) = 3 – 5(x + 2)2; x≥-2 h. f(x) = 6 x - 7
c. f(x) = 4(x –7)2 ; x≥7 f. f(x) = 4 + 3x3 i. f(x) = 5 x - 2