Integral dapat digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu koordinat. Luas dihitung dengan membagi interval menjadi bagian-bagian kecil dan menjumlahkan luasnya. Secara matematis, luas didefinisikan sebagai batas dari jumlah luas partisi ketika jumlah partisi mendekati tak hingga.

1. INTEGRAL TAK TENTU

2. INTEGRAL TAK TENTU
 Pengertian Hitung Integral
 Hitung Integral adalah kebalikan dari hitung
deferensial
 Misal : y = F(x) = x2
dy dF ( x ) 3x2
= = = f(x)
dx dx
dF ( x )
= f ( x)
dx
dF(x)= f(x) dx
Ntuk menyatakan f(x) kembali, digunakan integral dengan lambang "∫"
Sehingga dF(x)=f(x)dx F(x)=
∫ f ( x )dx
Hal.: 2 Integral Adaptif

3. INTRGRAL TAK TENTU
Misal : f(x) = 4x3 maka kemungkinan untuk F(x) adalah
X4 karena turunannya 4x3 = F’(x)
X4 + 1 karena turunannya 4x3 = F(‘x)
X4 + 5 karena turunannya 4x3 = F’(x)
X4 + 50 karena turunannya 4x3 = F’(x)
X4 + c karena turunannya 4x3 = F’(x)
Jadi anti turunan dari 4x3 adalah x4 di tambah bilangan c ( c = Konstanta)
∫ 4 x dx = x +c
3 2
Dengan lambang integral di tulis :
Secara um8um di tulis :
∫ f ( x )dx = F ( x ) + c
Hal.: 3 Integral Adaptif

4. INTEGRAL TAK TENTU
Rumus – rumus Pengintegralan
x x +1
∫ x dx = n + 1 + c, n ≠ 1
n
a.
b. ∫ ax n dx =a ∫ x n dx , n ≠ 1
1
c. ∫ x −1dx =∫ dx = lx + c
x
d. ∫ adx =ax + c
e.
∫ [ f ( x ) ± g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx
Hal.: 4 Integral Adaptif

5. Integral Tak Tentu
Contoh:
1. Tentukan dari
∫ xdx 2. Integralkanlah (5x – 1)2
Penyelesaian Penyelesaian
x n +1
∫ xdx = n +1 + c ∫ (6 x 2 − 1)2 dx = ∫ (36 x 2 − 12 x + x + 1)dx
x2 36 3 12 2
= +c = x − x + x +c
2 3 2
1
= x+c = 12x3 – 6x2 + x + c
2
Hal.: 5 Integral Adaptif

6. Integral Tak Tentu
3. Tentukan ∫ ( 2ox 4 + 4 x + 10 − 5x −1 ) dx
Penyelesaian
20 3 4 2
∫ (2ox + 4 x + 10 − 5x )dx = 5 x + 2 x + 10 x − 5 ln x + c
4 −1
= 4x3 + 2x2 + 10x – 5lnx + c
1
4. Tentukan ∫( X
+ X ) dx
Penyelesaian
1 1
−
∫ (x
1
∫( + X ) dx 2
+ x ) dx
2
X =
1 3
2
2x + x 2 + c
2
= 3
2
= 2 x + x x +c
3
Hal.: 6 Integral Adaptif

7. INTEGRAL TERTENTU
Bentuk umum intergral tertentu
∫ f ( x)dx = [ F ( x)]
b
b
= f (b) − f ( x )
a
a
a disebut batas bawah
b disebut batas bawah
F(x) : fungsi hasil integral dari f(x)
F(b) : Nilai fungsi F(x) untuk x = b
F(a) : Nilai fungsi F(x) untuk x = a
Hal.: 7 Integral Adaptif

8. INTEGRAL TERTENTU
 Sifat-sifat intergral tertentu
b a
1. ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
a b
c b c
2. ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx; a∠ b∠ c
a a b
a
3. ∫ f ( x ) dx =0
a
b b
4. ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx; k ( Konsanta)
a a
Hal.: 8 Integral Adaptif

9. INTEGRAL TERTENTU
Contoh : 2 1
1.Tentukan nilai dari ∫ x 3dx ∫
2. Tentukan nilai dari ( 2 x + 3x 2 ) dx
0
1
Penyelesaian Penyelesaian
[ ]
1
2
31
∫ (2 x + 3x )dx
2
= x +x
2
1 4  2
∫ x 3dx = 2 x 
 
0
= (12 + 13 ) − 3( 02 + 03 )
1 0
1
1 4 1 4
=  .2  −  1 
4  4 
= ( 1 + 1) − 0
1
= 4- 4 = 2
3
= 3
4
Hal.: 9 Integral Adaptif

10. LUAS DAEARAH DAN ISI BENDA PUTAR

11. Penggunaan Integral
y = x2
9
Hal.: 11 Integral Adaptif

12. Penggunaan Integral
Kompetensi Dasar
Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah
dan volume benda putar.
Indikator Hasil Belajar
Setelah pembelajaran siswa diharapkan dapat :
1. menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh
beberapa kurva.
2. menentukan luas daerah dengan menggunakan
limit jumlah.
3. merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan
menghitungnya.
4. merumuskan integral tentu untuk volume benda
putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu
koordinat dan menghitungnya.
Hal.: 12 Integral Adaptif

13. Runtuhnya Jembatan Tacoma,
Washington
Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli 1940. Empat
bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan
68 km/jam.
Back Next
Hal.: 13 Integral Adaptif

14. Penggunaan Integral
Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan
kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan
menggunakan integral.
Back Next
Hal.: 14 Integral Adaptif

15. Penggunaan Integral
Bola lampu di samping dapat
dipandang sebagai benda putar jika
kurva di atasnya diputar menurut
garis horisontal. Pada pokok
bahasan ini akan dipelajari juga
penggunaan integral untuk
menghitung volume benda putar.
Hal.: 15 Integral Adaptif

16. Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
Y
Menentukan luas daerah dengan
limit jumlah dapat diilustrasikan
oleh gambar di samping. Langkah
y = sin x
utama yang dilakukan adalah X
memartisi, mengaproksimasi,
menjumlahkan, dan menghitung
limitnya.
Home Back Next
Hal.: 16 Integral Adaptif

17. Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
y
Langkah menghitung luas daerah y = f(x)
dengan limit jumlah adalah:
1. Bagilah interval menjadi selang
yang sama panjang.
Li f (x i )
2. Partisilah daerah tersebut.
x
3. Masing-masing partisi buatlah 0 xi a
∆x
persegi panjang.
4. Perhatikan persegi panjang
pada interval [xi-1 , xi].
Home Back Next
Hal.: 17 Integral Adaptif

18. Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
Langkah menghitung luas y
y = f(x)
daerah ( lanjutan ) :
5. Tentukan luas persegi
panjang ke-i (Li)
6. Jumlahkah luas semua Li f (x i )
persegi panjang x
0 xi a
7. Hitung nilai limit jumlahnya
∆x
Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) ∆x
Jumlah luas persegi panjang :L ≈ Σ f(xi) ∆x
Limit jumlah : L = lim Σ f(xi) ∆x (n→ ∞)
Home Back Next
Hal.: 18 Integral Adaptif

19. Luas Sebagai Limit Jumlah
Luas Daerah
Contoh 1.
Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x = 3 dengan
menggunakan cara limit jumlah.
Jawab f (x) = x 2
y
1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah
selang yang sama panjang; yaitu 3/n.
2. Partisi daerah tersebut menurut persegi
panjang luar.
3. Tentukan ukuran persegi panjang pada
interval [xi , xi+1] dan hitunglah luasnya.
x i +12
x0 = 0
x1 = 3/n Li
x2 = (3/n) × 2 = 6/n
( )
Jadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n x
2 3(i +1) xi
Li = x i +12 3
×n = n
3
×n 0 x1 x2 x3 xi+1 3
3/n
27
L i = 3 ( i + 1) 2
n
Home Back Next
Hal.: 19 Integral Adaptif

20. Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah
4. Jumlahkan luas semua partisi
n −1 27 n n ( n +1)( 2 n +1)
L≈ ∑ 3
(i + 1) 2 2
∑k =
i =0 n 6 f (x) = x 2
k=1
y
27
(
L ≈ 3 12 + 2 2 + ... + n 2
n
)
27 1
L≈ × n(n + 1 2n + 1
)( )
n3 6
9 1 1
L≈ (1 + n )(2 + n )
2 x i +12
5. Tentukan limitnya Li
9 1 1
L = lim (1 + n )(2 + n )
n →∞ 2
x
0 x1 x2 x3 xi xi+1 3
9
L= (1 + 0)(2 + 0) = 9 3/n
2
Jadi luas daerah = 9 satuan
Home Back Next
Hal.: 20 Integral Adaptif

21. Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah
Perhatikan gambar di bawah ini!
Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi n
y
bagian (lebar tidak harus sama) dengan
lebar selang ke-i adalah ∆xi = xi – xi-1.
Pada selang [xi-1, xi] diambil titik sampel
xk maka jumlah Riemann dituliskan
sebagai :
x n
0 a b ∑f ( x k ) Δx k
xi-1 xk xi k=1
∆ xi
b n
Selanjutnya didefinisikan bahwa: ∫ f ( x) dx = lim ∑f ( x k ) Δx k
a n→ k =
∞ 1
b
Bentuk ∫ f ( x) dx disebut dengan integral tertentu (Integral Riemann)
a
Home Back Next
Hal.: 21 Integral Adaptif

22. Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah
Teorema Dasar Kalkulus
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan
misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka
misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka
b
berlaku :
berlaku : ∫ f ( x) dx = F(b) − F(a)
a
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai [ F(x) ] a
b
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai
Contoh 2.
2
2
(
Hitunglah nilai dari ∫ 6 x −4 x dx )
−1
( )
Jawab
[ ]
2 2
2
∫ 6 x − 4 x dx = 2 x 3 − 2 x 2 − 1
−1
= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]
Home = 16 – 8 + 2 - 2 = 8 Back Next
Hal.: 22 Integral Adaptif

23. Menghitung Luas dengan Integral
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai
luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].
Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral
y y
f (x)
f (x)
Tentukan limitnya
n→∞
b
n
∑ f ( xi )∆ i
x ∫ f ( x) dx
i=1 a
x x
0 a ∆x b 0 a b
b n
L = ∫ f ( x) dx = lim ∑ ( x i ) ∆ i
f x
Home a n→ i =
∞ 1 Back Next
Hal.: 23 Integral Adaptif

24. Menghitung Luas dengan Integral
Kegiatan pokok dalam menghitung luas
∆xi y = f (x)
y
daerah dengan integral tentu adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah partisi Li f ( xi )
Li ≈ f(xi) ∆xi
4. Jumlahkan luas partisi
x
0 xi a
L ≈ ∑ f(xi) ∆xi
5. Ambil limitnya L = lim ∑ f(xi) ∆xi
a
L = ∫ f ( x) dx
6. Nyatakan dalam integral 0
Home Back Next
Hal.: 24 Integral Adaptif

25. Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 3.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3
Jawab
Langkah penyelesaian : f ( x) = x 2
1. Gambarlah daerahnya y
∆xi
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya Li ≈ xi2 ∆xi
4. Jumlahkan luasnya L ≈ ∑ xi2 ∆xi
5. Ambil limit jumlah luasnya xi 2
L = lim ∑ xi2 ∆xi Li
6. Nyatakan dalam integral dan
3
hitung nilainya L = ∫ x 2 dx x
0 0 xi 3
3
L=  x3  = 33
−0 = 9
Home
 3 0
  3
Back Next
Hal.: 25 Integral Adaptif

26. Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 4.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x,
dan garis x = 5
Jawab y ∆xi
Langkah penyelesaian:
4 xi − xi 2
1. Gambar dan Partisi daerahnya
Li
∆xj
2. Aproksimasi : Li ≈ (4xi - xi2)∆xi dan
4 xj 5 x
Aj ≈ -(4xj - xj )∆xj
2 0 xi
4. Jumlahkan : L ≈ ∑(4xi - xi2)∆xi dan Aj
0 − (4 x − x 2 )
A ≈ ∑ -(4xj - xj2)∆xj
5. Ambil limitnya L = lim ∑ (4xi - xi2)∆xi
dan A = lim ∑ -(4xj - xj2)∆xj f ( x) = 4 x − x 2
4 5
6. L = ∫(4 x − x 2 ) dx
Nyatakan dalam integral ∫ − 4 x − x 2 ) dx
A = (
Home 0 4 Back Next
Hal.: 26 Integral Adaptif

27. Menghitung Luas dengan Integral
4
L = ∫ (4 x − x 2 ) dx
0
[
L = 2x 2 − 3 x 3
1
]
4
0
y ∆xi
L = 2(4)2 − 3 (4)3 − 0 = 32 − 64
1
3
4 xi − xi 2
Li
5 ∆xj
2
A = ∫ − 4 x − x ) dx
(
4 4 xj 5 x
0
[ ]
5 xi
A = − 2x 2 + 3 x 3
1
4 Aj
A = −2(5)2 + 3 (5)3 − − 2(4)2 + 3 (4)3
1 1
( ) 0 − (4 x − x 2 )
A = −50 + 125 + 32 − 64
3 3
61
A = 3
−18 f ( x) = 4 x − x 2
Luas daerah = 32 − 64 +
3
61
3
− 18
Luas daerah = 13
Home Back Next
Hal.: 27 Integral Adaptif

28. Menghitung Luas dengan Integral
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA
Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang
[a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi,
jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas
daerah antara dua kurva tersebut.
Langkah penyelesaian: y
y = f (x)
∆x
1. Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li ≈ [ f(x) – g(x) ] ∆x
Li f (x) − g(x)
4. Jumlahkan : L ≈ ∑ [ f(x) – g(x) ] ∆x x
0 a b
5. Ambil limitnya :
L = lim ∑ [ f(x) – g(x) ] ∆x x
y = g(x)
6. Nyatakan dalam integral tertentu
b
L= ∫ [ f(x) − g(x)] dx
Home a Back Next
Hal.: 28 Integral Adaptif

29. Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah
Contoh 5.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x
Jawab
Langkah penyelesaian:
y
1. Gambar daerahnya y = 2−x
5
2. Tentukan titik potong kedua kurva
x2 = 2 – x → x2 + x – 2 = 0 → (x + 2)(x – 1) = 0 ∆x
4
diperoleh x = -2 dan x = 1
3. Partisi daerahnya 3
y = x2
4. Aproksimasi luasnya (2 − x) − x 2
Li 2
Li ≈ (2 - x - x2)∆x
4. Jumlahkan luasnya 1
L ≈ ∑ (2 - x - x2)∆x
x
5. Tentukan limit jumlah luasnya 0
-3 -2 -1 1 2
L = lim ∑ (2 - x - x2)∆x x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
1
L = ∫ (2 − x − x 2 ) dx
−2
Home Back Next
Hal.: 29 Integral Adaptif

30. Menghitung Luas dengan Integral
1
L = ∫(2 −x − x 2 ) dx
−2
1
L = 2 x − x − x3 
3 y
y = 2−x

 2 −2
 5
∆x
L =  2(1 − 12
 )
2 3
− 13  −  2(−2) − ( −2)2 − (−2)3 
 
4
   2 3 
 3
y = x2
1
( 1
) (
L = 2 − 2 − 3 − −4 −2 + 8
3
) (2 − x) − x 2
Li 2
1
L = 2 − 2 − 3 +4 +2 − 8
1 1
3 x
-3 -2 -1 0 1 2
1 1 x
L =5 −2 =4 2
Home Back Next
Hal.: 30 Integral Adaptif

31. Menghitung Luas dengan Integral
Untuk kasus tertentu pemartisian y = g(x)
y
y = f (x)
secara vertikal menyebabkan ada ∆x
dua bentuk integral. Akibatnya Li
∆x f(x) − g(x)
diperlukan waktu lebih lama untuk
Ai x
menghitungnya. 0 a b
2 f ( x)
a b
Luas daerah = ∫ 2 f ( x)dx+ ∫ ( f (x) − g(x)) dx
0 a
Home Back Next
Hal.: 31 Integral Adaptif

32. Menghitung Luas dengan Integral
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh
satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga
penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.
y = g( x) ⇔ x = g(y )
y
y = f ( x) ⇔ x = f (y )
d
g(y ) − f (y )
Li ∆y
x
0
c
d
Luas daerah = ∫ ( g(y ) − f (y )) dy
Home c Back Next
Hal.: 32 Integral Adaptif

33. Menghitung Luas dengan Integral
Contoh 6.
Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x
Jawab
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
y
2. Tentukan titik potong kedua kurva
y2 = 6 – y → y2 + y – 6 = 0 → (y + 3)(y – 2) = 0
6
diperoleh y = - 3 dan y = 2
3. Partisi daerahnya (6 − y) − y 2
4. Aproksimasi luasnya x = y2
Li ≈ (6 - y - y2)∆y 2
4. Jumlahkan luasnya ∆y
Li
L ≈ ∑ (6 - y - y2)∆y y
6 x
5. Tentukan limitnya
0
L = lim ∑ (6 - y - y2)∆y x =6−y
6. Nyatakan dalam integral tertentu
∫(6 −y )
2
Luas daerah = −y 2 dy
0
Home Back Next
Hal.: 33 Integral Adaptif

34. Menghitung Luas dengan Integral
∫(6 −y )
2
Luas daerah = −y 2 dy
0
y
2
y3 
 
 y y
Luas daerah = 6 − −
 2 3  6

 
0
(6 − y) − y 2
23  0
 
2
Luas daerah =  (2) − −
6 − x = y2
 2 3 
  2
Li ∆y

12 1 8
−−  y
Luas daerah = 
 3 x
6
0
x =6−y
25
Luas daerah =
3
Home Back Next
Hal.: 34 Integral Adaptif

35. Volume Benda Putar
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu sejauh
360º, maka akan terbentuk suatu
benda putar. Kegiatan pokok dalam
menghitung volume benda putar
dengan integral adalah: partisi,
aproksimasi, penjumlahan,
pengambilan limit, dan menyatakan
dalam integral tentu. Gb. 4
Home Back Next
Hal.: 35 Integral Adaptif

36. Volume Benda Putar
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah
bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi
tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda
putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
y
y y
4
3
2
0 x
x
1
x
- - 0 1 2
2 1
Home Back Next
Hal.: 36 Integral Adaptif

37. Volume Benda Putar Metode Cakram
Metode cakram yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan volume
mentimun dengan memotong-motongnya
sehingga tiap potongan berbentuk cakram.
Home Back Next
Hal.: 37 Integral Adaptif

38. Volume Benda Putar Metode Cakram
y
Bentuk cakram di samping dapat ∆x
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari
f (x)
r = f(x), tinggi h = ∆x. Sehingga
volumenya dapat diaproksimasi sebagai x a
x
∆V ≈ πr2h atau ∆V ≈ π f(x)2∆x.
y
Dengan cara jumlahkan, ambil
h=∆x
limitnya, dan nyatakan dalam integral
diperoleh:
r = f (x)
V ≈ ∑ π f(x) ∆x
2
0 x
V = lim ∑ π f(x)2 ∆x
a
v =π ∫[ f ( x)]2 dx
0 x
Home Back Next
Hal.: 38 Integral Adaptif

39. Volume Benda Putar Metode Cakram
Contoh 7.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1,
sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Jawab
y
y
Langkah penyelesaian: y = x2 + 1
1. Gambarlah daerahnya ∆x h=∆x
2. Buat sebuah partisi
1 x2 + 1 r = x2 + 1
3. Tentukan ukuran dan
x x
bentuk partisi x 2
4. Aproksimasi volume partisi
x
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
Home Back Next
Hal.: 39 Integral Adaptif

40. Volume Benda Putar Metode Cakram
∆V ≈ πr2h y
∆V ≈ π(x2 + 1)2 ∆x
h=∆x
V ≈ ∑ π(x2 + 1)2 ∆x
r = x2 + 1
V = lim ∑ π(x2 + 1)2 ∆x x
2
V = ∫π x 2 +1 2 dx
( )
0 x
2
V = ∫ π (x 4 + 2 x 2 + 1 dx
)
0
[5
V =π 1 x 5 + 2 x 3 + x
3
2
]0
V = π( 32 + 16 + 2 − 0) = 1311 π
5 3 15
Home Back Next
Hal.: 40 Integral Adaptif

41. Volume Benda Putar Metode Cakram
Contoh 8.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2,
sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Jawab y
y = x2
Langkah penyelesaian:
2
1. Gambarlah daerahnya y
∆y
2. Buatlah sebuah partisi y
3. Tentukan ukuran dan bentuk x
y
partisi
4. Aproksimasi volume partisi yang
r= y
diputar, jumlahkan, ambil
h=∆y
limitnya, dan nyatakan dalam y
x
bentuk integral.
Home Back Next
Hal.: 41 Integral Adaptif

42. Volume Benda Putar Metode Cakram
∆V ≈ πr2h y
∆V ≈ π(√y)2 ∆y
2
V ≈ ∑ πy ∆y
r= y
V = lim ∑ πy ∆y h=∆y
2
V = ∫π dy
y y
0
2 x
V =π∫ydy
0
V =π [ 1
2 y2 ] 2
0
V = π ( 2 × 4 − 0)
1
V = 2π
Home Back Next
Hal.: 42 Integral Adaptif

43. Volume Benda Putar Metode Cincin
Metode cincin yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti
menentukan volume bawang bombay
dengan memotong-motongnya yang
potongannya berbentuk cincin.
Home Back Next
Hal.: 43 Integral Adaptif

44. Volume Benda Putar Metode Cincin
Menghitung volume benda putar
dengan menggunakan metode
cincin dilakukan dengan
memanfaatkan rumus volume
cincin seperti gambar di samping,
yaitu V= π(R2 – r2)h Gb. 5
R
r
h
Home Back Next
Hal.: 44 Integral Adaptif

45. Volume Benda Putar Metode Cincin
Contoh 9.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Jawab
y
Langkah penyelesaian: y
y = x2
1. Gambarlah daerahnya y = 2x
2. Buat sebuah partisi 4
∆x
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi 2x
x
4. Aproksimasi volume partisi x2
x
yang diputar, jumlahkan, x
2
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
Home Back Next
Hal.: 45 Integral Adaptif

46. Volume Benda Putar Metode Cincin
y y = x2
∆V ≈ π(R2 – r2) h y = 2x
4
∆x
∆V ≈ π [ (2x)2 – (x2)2 ] ∆x
∆V ≈ π (4x2 – x4) ∆x R=2x
r=x2
V ≈ ∑ π (4x2 – x4) ∆x 2
x
x
V = lim ∑ π (4x2 – x4) ∆x y
2 2 4
V = π ∫ (4 x − x ) dx
0
V =π
3
[
4 x3 − 1 x5 2
5 0
]
V = π( 32 − 32 ) x
3 5
V = π( 160 −96 )
15
V = 64 π
Home 15 Back Next
Hal.: 46 Integral Adaptif

47. Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung yang digunakan
untuk menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti menentukan
volume roti pada gambar disamping.
Home Back Next
Hal.: 47 Integral Adaptif

48. Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung
∆r
r
h
h
V = 2πrhΔr
2πr
Δr
Home Back Next
Hal.: 48 Integral Adaptif

49. Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung
Contoh 10.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Jawab
Langkah penyelesaian: y
y = x2
1. Gambarlah daerahnya
4
2. Buatlah sebuah partisi
3 ∆x
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
2
4. Aproksimasi volume partisi yang
1 x2
diputar, jumlahkan, ambil limitnya, x
0 1 2
dan nyatakan dalam bentuk integral. x
Home Back Next
Hal.: 49 Integral Adaptif

50. Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung
y y
2
y=x
4 4
3 ∆x 3 ∆x
r=x
2 2
1 x2 1 h = x2
x x
0 1 2 1 2 0 1 2
x
2
∆V ≈ 2πrh∆x V = 2π ∫ x 3 dx
0
[ ]
2
∆V ≈ 2π(x)(x2)∆x 1 4
V = 2π 4 x
0
V ≈ ∑ 2πx ∆x 3
V = 8π
V = lim ∑ 2πx3∆x
Home Back Next
Hal.: 50 Integral Adaptif

51. Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung
Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan
sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut
membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode
cincin adalah sebagai berikut.
∆V ≈ π(R2 – r2)∆y
y y
y=x 2 ∆V ≈ π(4 - x2)∆y
4 4
V ≈ ∑ π(4 – y)∆y
3
V = lim ∑ π(4 – y)∆y
3
4
V = π ∫ ( 4 − y ) dx
R=2
2 2
r=x 0
[ ]
∆y 4
1 1 2
1 V =π 4y −2 y
x 0
x
0
x
1 2 -2 -1 0 1 2 V = (16 − 8)π
V = 8π
Home Back Next
Hal.: 51 Integral Adaptif

52. Penggunaan Integral Latihan
Latihan (6 soal)
Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali
Home Back Next
Hal.: 52 Integral Adaptif

53. Penggunaan Integral Latihan
Soal 1.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
integral sebagai .... Y
y = x2
2 2
A ∫x
2
dx D ∫ (4 − x 2 ) dx
0 0 4
4 4
B ∫ y dy E ∫ (4 − x 2 ) dx
0 0
4 2
∫x dx X
C 0 2
0
Home Back Next
Hal.: 53 Integral Adaptif

54. Penggunaan Integral Latihan
Soal 1.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
integral sebagai .... Y
y = x2
2 2
A ∫x
2
dx D ∫ (4 − x 2 ) dx
0 0 4
4 4
B ∫ y dy E ∫ (4 − x 2 ) dx
0 0
4 2
∫x dx X
C 0 2
0
Jawaban Anda Benar
∆ L ≈ (4 – x2) ∆x
L ≈ ∑ (4 – x2) ∆x
L = lim ∑ (4 – x2) ∆x
2
Home
L = ∫ (4 − x 2 ) dx ( Jawaban D ) Back Next
0
Hal.: 54 Integral Adaptif

55. Penggunaan Integral Latihan
Soal 1.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
integral sebagai .... Y
y = x2
2 2 ∆x
A ∫x
2
dx D ∫ (4 − x ) dx
2
0 0 4
4 4 4 - x2
∫ y dy − x ) dx
2
B E ∫ (4
0 0
4 2
∫x dx X
C 0 2
0 x
Jawaban Anda Salah
∆ L ≈ (4 – x2) ∆x
L ≈ ∑ (4 – x2) ∆x
L = lim ∑ (4 – x2) ∆x
2
Home
L = ∫ (4 − x 2 ) dx ( Jawaban D ) Back Next
0
Hal.: 55 Integral Adaptif

56. Penggunaan Integral Latihan
Soal 2.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Y
A 4,5 satuan luas D 9 1/3 satuan luas
y = 4 − x2
B 6 satuan luas E 10 2/3 satuan luas
C 7,5 satuan luas
X
0
Home Back Next
Hal.: 56 Integral Adaptif

57. Penggunaan Integral Latihan
Soal 2.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Y
A 4,5 satuan luas D 9 1/3 satuan luas
y = 4 − x2
B 6 satuan luas E 10 2/3 satuan luas
C 7,5 satuan luas
X
0
Jawaban Anda Benar
L = [4 x − ]
2
∆ L ≈ (4 – x2) ∆x 1
3 x 3
−2
L ≈ ∑ (4 – x2) ∆x L = (8 − 8 ) − (−8 + 8 )
3 3
L = lim ∑ (4 – x2) ∆x 32
L = =10 2
3
( Jawaban E )
2 3
Home L = ∫ (4 − x 2 ) dx Back Next
−2
Hal.: 57 Integral Adaptif

58. Penggunaan Integral Latihan
Soal 2.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Y
A 4,5 satuan luas D 9 1/3 satuan luas
∆x
y = 4 − x2
B 6 satuan luas E 10 2/3 satuan luas
C 7,5 satuan luas
X
-2 0 2
x
Jawaban Anda Salah
L = [4 x − ]
2
∆ L ≈ (4 – x2) ∆x 1
3 x 3
−2
L ≈ ∑ (4 – x2) ∆x L = (8 − 8 ) − (−8 + 8 )
3 3
L = lim ∑ (4 – x2) ∆x 32
L = =10 2
3
( Jawaban E )
2 3
Home L = ∫ (4 − x 2 ) dx Back Next
−2
Hal.: 58 Integral Adaptif

59. Penggunaan Integral Latihan
Soal 3.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Y
A 5 satuan luas D 9 1/3 satuan luas y = 2x
B 7 2/3 satuan luas E 10 1/3 satuan luas
C 8 satuan luas
X
0
y = 8 − x2
Home Back Next
Hal.: 59 Integral Adaptif

60. Penggunaan Integral Latihan
Soal 3.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Y
A 5 satuan luas D 9 1/3 satuan luas y = 2x
B 7 2/3 satuan luas E 10 1/3 satuan luas
C 8 satuan luas
X
0 2
y = 8 − x2
Jawaban Anda Benar
∆ L ≈ (8 – x2 -2x) ∆x L = 16 − 8 − 4
3
2
L = ∫ (8 − x 2 − 2 x) dx 28
0 L = =9 3
1 ( Jawaban D )
3
[ ]
2
Home L = 8x − 3 x 3 − x 2
1
0
Back Next
Hal.: 60 Integral Adaptif

61. Penggunaan Integral Latihan
Soal 3.
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
Y
A 5 satuan luas D 9 1/3 satuan luas y = 2x
B 7 2/3 satuan luas E 10 1/3 satuan luas
C 8 satuan luas
X
0 2
y = 8 − x2
Jawaban Anda Salah
∆ L ≈ (8 – x2 -2x) ∆x L = 16 − 8 − 4
3
2
L = ∫ (8 − x 2 − 2 x) dx 28
0 L = =9 3
1 ( Jawaban D )
3
[ ]
2
Home L = 8x − 3 x 3 − x 2
1
0
Back Next
Hal.: 61 Integral Adaptif

62. Penggunaan Integral Latihan
Soal 4.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y22 dan garis x + y = 2 adalah ….
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y dan garis x + y = 2 adalah ….
A 2,5 satuan luas D 10 2/3 satuan luas
B 4,5 satuan luas E 20 5/6 satuan luas
C 6 satuan luas
Home Back Next
Hal.: 62 Integral Adaptif

63. Penggunaan Integral Latihan
Soal 4.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y22 dan garis x + y = 2 adalah ….
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y dan garis x + y = 2 adalah ….
Y
A 2,5 satuan luas D 10 2/3 satuan luas
1
B 4,5 satuan luas E 20 5/6 satuan luas
X
0
C 6 satuan luas -2 x = y2
x = 2− y
Jawaban Anda Benar
∆ L ≈ [(2 – y ) – y2 ] ∆y L = (2 − 2 − 3 ) − (−4 − 2 + 8 )
1 1
3
1
L = ∫ (2 − y − x 2 ) dy 9
−2
L = = 4,5 ( Jawaban B )
2
[ ]
1
Home L = 2y − 2 y 2 − 3 y 3
1 1
−2
Back Next
Hal.: 63 Integral Adaptif

64. Penggunaan Integral Latihan
Soal 4.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y22 dan garis x + y = 2 adalah ….
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y dan garis x + y = 2 adalah ….
Y
A 2,5 satuan luas D 10 2/3 satuan luas
1
B 4,5 satuan luas E 20 5/6 satuan luas X
0
C 6 satuan luas -2 x = y2
x = 2− y
Jawaban Anda Salah
∆ L ≈ [(2 – y ) – y2 ] ∆y L = (2 − 2 − 3 ) − (−4 − 2 + 8 )
1 1
3
1
L = ∫ (2 − y − x 2 ) dy 9
−2
L = = 4,5 ( Jawaban B )
2
[ ]
1
Home L = 2y − 2 y 2 − 3 y 3
1 1
−2
Back Next
Hal.: 64 Integral Adaptif

65. Penggunaan Integral Latihan
Soal 5.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... Y
4 4
A v = π ∫ x dx D v = 2π ∫ x x dx
0 0
2 y= X
4 2
B v = π ∫ x 2 dx E v = 2π ∫ (16 − y ) dy
0 0
0 X
4
2
C v = π ∫ y dy
0
Home Back Next
Hal.: 65 Integral Adaptif

66. Penggunaan Integral Latihan
Soal 5.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... Y
4 4
A v = π ∫ x dx D v = 2π ∫ x x dx
0 0
2 y= X
4 2
B v = π ∫ x 2 dx E v = 2π ∫ (16 − y ) dy
0 0
0 X
4
2
C v = π ∫ y dy
0
Jawaban Anda Benar
∆ V ≈ 2πx√x ∆x
4
V = 2π ∫ x x dx ( Jawaban D )
0
Home Back Next
Hal.: 66 Integral Adaptif

67. Penggunaan Integral Latihan
Soal 5.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
sebesar 360°. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
4 4 Y
A v = π ∫ x dx D v = 2π ∫ x x dx
0 0
2 y= X
4 2
B v = π ∫ x dx
2
E v = 2π ∫ (16 − y ) dy
0 0 x
0 x X
2 4
C v = π ∫ y dy
0
Jawaban Anda Salah
∆ V ≈ 2πx√x ∆x
4
V = 2π ∫ x x dx ( Jawaban D )
0
Home Back Next
Hal.: 67 Integral Adaptif

68. Penggunaan Integral Latihan
Soal 6.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Y
A 4π satuan volum D 12π satuan volum
2 y= X
B 6π satuan volum E 15π satuan volum
0 X
C 4
8π satuan volum
Home Back Next
Hal.: 68 Integral Adaptif

69. Penggunaan Integral Latihan
Soal 6.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Y
A 4π satuan volum D 12π satuan volum
2 y= X
B 6π satuan volum E 15π satuan volum
0 X
C 4
8π satuan volum
Jawaban Anda Benar
∆ V ≈ π(√x)2 ∆x
4
V = π ∫ x dx
0
[ ]
4
V =π 1
2 x2 0
Home
V = 8π ( Jawaban C ) Back Next
Hal.: 69 Integral Adaptif

70. Penggunaan Integral Latihan
Soal 6.
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
sebesar 360°. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Y
A 4π satuan volum D 12π satuan volum
2 y= X
B 6π satuan volum E 15π satuan volum x
0 x X
4
C 8π satuan volum
Jawaban Anda Salah
∆ V ≈ π(√x)2 ∆x
4
V = π ∫ x dx
0
[ ]
4
V =π 1
2 x2 0
V = 8π ( Jawaban C )
Home Back Next
Hal.: 70 Integral Adaptif

71. Media Presentasi Pembelajaran
Penggunaan Integral
Selesai
Terima Kasih
Hal.: 71 Integral Adaptif