1. Bab 7 membahas limit fungsi, termasuk definisi limit fungsi aljabar dan trigonometri, serta cara menentukan nilai limit fungsi dengan substitusi, pemfaktoran, dan mengalikan faktor sekawan. 2. Contoh soal ditunjukkan untuk menjelaskan konsep limit fungsi di batas akhir dan tak hingga. 3. Limit fungsi trigonometri dapat ditentukan secara intuitif dengan memperhatikan hubungan antara sudut dan panjang yang sesuai.

1. Bab 7
Limit Fungsi
18 November 2014

2. Peta Konsep
Terdiri atas
membahas
Sifat-Sifat Limit
Limit Fungsi
Fungsi Aljabar Limit Konsep
Turunan
Trigonometri
x → a x → Substitusi Penyederhanaan Dengan Rumus
Perkalian
Sekawan
Substitusi, asalkanhasil
tidak 0
0
Pemfaktoran
Memerhatikan
Koefisien Pangkat
Tertinggi (untuk
Bentuk Pecahan)
Dengan Rumus

18 November 2014

3. Prasyarat
x 2
x
1. Sederhanakan bentuk  9 
8
.
x x
x x
  
x x
1 2 1
  
2. Rasionalkan penyebut bentuk .
3. Diketahui fungsi f(x) = x2 – 4 dan
a. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = –1; –0,5;
–0,05; – 0,001; – 0,0001.
b. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = 5; 1; 0,5;
0,05; 0,001; 0,0001.
c. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil a, menuju
nilai berapakah f(x) dan g(x)?
d. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil b, menuju
nilai berapakah f(x) dan g(x)?
18 November 2014
5 4
2
 
1 2 1
gx
2x 1; x  0
0 ;  x x

4. A. Definisi Limit Fungsi Aljabar
.Misalkan f(x) = 10x, dengan x bilangan bilangan real. Untuk
x → 2, artinya nilai x ≠ 2, tetapi dapat diambil nilai-nilai di
sekitar 2. Misalnya, 1,91; 1,95; 1,99; 2,01; 2,05; dan 2,09.
Adapun nilainya dapat ditampilkan pada tabel berikut.
x 1,91 1,95 1,99 2,01 2,05 2,09
f(x) 19,1 19,5 19,9 20,1 20,5 20,9
Dari tabel di atas tampak bahwa untuk x → 2, nilai 10x →20.
18 November 2014

5. Secara intuitif, limit fungsi dapat diartikan sebagai berikut.
Misalkan f suatu fungsi dalam variabel x dan L adalah
bilangan real.
lim
diartikan untuk x mendekati a (ingat: x ≠ a), nilai f(x)
mendekati L.
18 November 2014
f x L
x a



6. f x L lim
Jika dan
maka
f x 
L
f x L
 
x a
  lim
x a



  lim
 
f x
x a
lim
 
x a
lim
 
f x
x a
x → a- maksudnya x mendekati dari kiri (limit kiri)
x → a+ maksudnya x mendekati dari kanan (limit kanan)
18 November 2014

7. Contoh:
Apakah limit fungsi berikut mempunyai nilai?
lim2 3

2
x
x
Jawab:

Misalkan x → 2- (nilai-nilai x < 2)
x 1,90 1,95 1,96 1,991 1,995 1,999
f(x) 6,80 6,90 6,92 6,98 6,99 6,998
Tampak bahwa untuk x → 2-, nilai f(x) makin mendekati 7.
Artinya,
18 November 2014

8. Misalkan x → 2+ (nilai-nilai x > 2)
x 2,10 2,09 2,05 2,01 2,001
f(x) 7,20 7,18 7,10 7,02 7,002
Tampak bahwa untuk x → 2+, nilai f(x) = 2x + 3 → 7.
Jadi,
lim 2 3 7
Tampak bahwa untuk x → 2+, nilai f(x) makin mendekati 7.
Artinya,
2
 
 
x
x
lim 2 3 7
2
 
 
x
x
18 November 2014

9. Karena lim  2  3
  maka

2
 x
x
lim 2 3 7
2
 
 
x
x
lim 2 3 7
2
 

x
x
18 November 2014

10. B. Menentukan Nilai Limit Fungsi
Aljabar
 
2

1 
x
Perhatikan fungsi . Fungsi ini tidak mempunyai
1

x
f x
nilai di x = 1 (mengapa?).
Apakah fungsi ini juga tidak memiliki limit di x mendekati 1?
 
2

1 
x
f x  
Misalkan dan g(x) = x + 1. Fungsi
1

x
2

1 
1

x
x
f x
tidak terdefinisi di x = 1. Dengan demikian, kita tidak
memperhatikan nilai x = 1. Sekarang, bandingkan nilai limit
fungsi g(x) = x + 1 pada x = 1.
18 November 2014

11. Keduanya dapat kalian perhatikan pada grafik-grafik berikut.
18 November 2014

12. 1. Menentukan Nilai Limit Fungsi untuk x → a
Dapat ditentukan dengan substitusi, pemfaktoran, dan
mengalikan faktor sekawannya.
a. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Substitusi
Misalkan fungsi f terdefinisi di setiap nilai x bilangan
real, nilai limit fungsinya sama dengan nilai fungsinya.
Sebagai contoh karena fungsi f(x) = 2x – 7 terdefinisi
untuk setiap nilai x maka nilai limit lim2 7
dapat
ditentukan dengan substitusi.
18 November 2014
2


x
x
lim2 7 2(2) 7 3
2
    

x
x

13. 1. Jika dan maka
lim ,
lim   0

2. Jika dan maka
3. Jika dan l i m    0 maka

g x
x c
g x
x c
f x
 
 
 
f x
lim
 g x
1 c
lim g  x  a
 0
x 
c
 
 
 
f x
lim
 g x
1 c
lim f  x
 0
x 
c
lim g  x  a
 0
x 
c
gx a a R
x c
 

 
 
lim 
0
1
 c
g x
18 November 2014
Penting untuk diingat!

14. b. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Pemfaktoran
Misalkan fungsi
 
   
   
g x
x a g x
 

lim
Untuk mempermudah perhitungan dengan cara pemfaktor-an,
kalian ingat kembali bentuk faktorisasi aljabar berikut.
1) x2 – y2 = (x – y)(x + y)
2) x2 – 2xy + y2 = (x – y)2
3) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
4) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
5) x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
 
 
 
ha
g a
h x
x a h x
f x
x a



18 November 2014

15. Contoh:
Tentukan nilai .
Jawab:
.
 x  4  x

4

 4
lim
16
x
x
  x
4
lim
4
2



4 
x x
 x

 
lim 4
4

x
  
4 4 8
18 November 2014

16. c. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Mengalikan
Faktor Sekawan
1) (x – a) faktor sekawan dari (x + a) dan sebaliknya.
2) faktor sekawan dari dan sebaliknya.
3) faktor sekawan dari dan sebaliknya.
4) faktor sekawan dari dan
sebaliknya.
5) sekawan dan dan sebaliknya.
Ingat: (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3.
18 November 2014
3 2 3 3 2 x  xy  y

17. Contoh:
Tentukan nilai
Jawab:
x x
 
2 1
1
lim
 x
1 
x
x x
 
2 1
1
lim
 x
1 
x x
 
2 1
x x
 
2 1
1
lim


x
x 1  2 
1

 x x
x
 
x x
 
2 1
 1 2 1
lim
1   

 x x x
x
 x
1

 
 1 2 1
lim
1   

 x x x
x
1
2 1
lim

1  

x x x
18 November 2014

18. 2. Menentukan Limit Fungsi di Titik Tak Berhingga
(Pengayaan)
Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari bentuk limit
yang apabila dikerjakan dengan substitusi, diperoleh ,
yaitu .
f  x

gx
lim
x


Misalkan pangkat tertinggi dari variabel adalah f(x) dan g(x)
adalah m maka variabel berpangkat tertinggi adalah xm. Nilai
limitnya dapat ditentukan sebagai berikut.
 
 
 
 









f x
 
f x
 
1
m
m
x x
x
x
g x
g x
1
lim lim
18 November 2014

19. Contoh:
Tentukan nilai-nilai limit fungsi
Jawab:
18 November 2014

20. Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai limit berikut.
Untuk f(x) = axm + bxm-1 + … + a0 dan g(x) = pxn + qxn-1 + … +
b0, berlaku
untuk m = n
untuk m > n dan a > 0
untuk m > n dan a < 0
untuk m < n
18 November 2014

21. Contoh:
x x
 
2 1
2
lim 2
Tentukan nilai
x
 x

1
Jawab:
f(x) = x2 – 2x + 1 dan g(x) = x2 + 1
Koefisien tertinggi f(x) dan g(x) sama, yaitu 1.
1
1
 
1
x x
 
2 1
1
2
lim 2

 x
Selain bentuk limit tak berhingga di atas, masih ada
2 2 lim
bentuk limit lain, yaitu .
x
ax bx c ax px r
x
    

b p
a

lim ax 2  bx  c  ax 2  px  r


x 2
18 November 2014

22. Contoh:
Tentukan .
Jawab:
Dari bentuk terakhir diperoleh a = 1, b = -4, dan p = -5.
Dengan menggunakan rumus, diperoleh
18 November 2014

23. C. Limit Fungsi Trigonometri
1. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri secara Intuitif
Perhatikan gambar! Jika sudut x
makin lama makin kecil
(mendekati 0), panjang a juga
makin mengecil (mendekati 0)
sehingga nilai limit sin x, untuk x
mendekati 0 adalah 0. (Ingat, nilai
sin x adalah panjang sisi di depan
sudut x dibagi dengan sisi
miringnya). Jadi, diperoleh
lim cos  cos

18 November 2014
x c
limsin  sin
x 
c
x c
x c
dan

24. 2. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan
Substitusi
Contoh:
Tentukan nilai .
Jawab:
18 November 2014
 x x
lim cos sin
x 
c
    
lim cosx sin x cos sin
x

  
1 0
 
1

25. 3. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan
Cara Menguraikan atau Menyederhanakan
Contoh:
x
2
cos
lim
Tentukan nilai .
Jawab
x
 x 1 
sin
2

Bentuk ini jika kalian substitusikan secara langsung,
0
diperoleh .
0
Oleh karena itu, bentuk ini harus disederhanakan terlebih
dahulu.
18 November 2014

26. x
x
x
x
1 sin
lim
cos

x 1 sin
x 1 sin
lim
2
2
2
2


 



 1  sin x  1 
sin
x

x
lim
x 1 sin
2




 x
x
 
lim 1 sin

2

2
1 sin

 
 2
18 November 2014

27. 4. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan
Rumus
Rumus limit fungsi trigonometri adalah sebagai berikut.
1
sin
0

x
lim
1
sin
lim
0



x
x
x
x
x
1
tan

0
x
lim
1
tan
lim
0



x
x
x
x
x
18 November 2014

28. Selain keempat rumus di atas, rumus-rumus berikut juga
berlaku untuk limit fungsi trigonometri.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
18 November 2014

29. Contoh:
Tentukan nilai dari .
Jawab:
18 November 2014

30. D. Sifat-Sifat Limit dan Penggunaannya
Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang
mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta.
c c
1.lim
x a


f x
lim ( )
x a

lim ( )
18 November 2014
f x
( )
( )
6.lim
g x
g x
x a
x a




31. E. Limit Fungsi yang Mengarah ke
Konsep Turunan
Misalkan titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) digambarkan pada gambar di
atas berpotongan dengan fungsi f(x) di titik P dan Q. Jika gradien
garis g adalah m, nilai m adalah
y y

2 1
x x
2 1
m


18 November 2014

32. Sekarang perhatikan Gambar (b).
Jika titik P sebagai titik tetap dan titik potong Q bergerak
mendekati P maka (Δx = x2 – x1 → 0 dibaca: delta x
mendekati nol).
Artinya, garis g berubah menjadi garis singgung kurva
y = f(x) di titik P sehingga nilai m menjadi
   
f x x f x
  
x
m
x 

 
1 1
0
lim
18 November 2014

33. Bentuk limit semacam ini akan dikembangkan ke arah
konsep turunan (diferensial). Secara umum, gradien
(kemiringan suatu garis) menyinggung kurva f(x) dapat
ditentukan dengan limit berikut.
   
f x x f x
  
x
m
lim
x 

 0
Δx biasanya juga dituliskan dengan h.
Materi ini akan dipelajari di Bab 8.
18 November 2014