Dokumen tersebut membahas tentang bentuk pangkat, akar, bilangan rasional dan irrasional, serta sifat-sifat dan operasi aljabar pada bentuk tersebut. Dijelaskan pula tentang pangkat rasional dan persamaan pangkat sederhana.

1. Bentuk Pangkat Dan Akar
Rangkuman
Bentuk pangkat
Secara umum dapat ditulis,
푎푛 = 푎⏟ × 푎 × 푎 × 푎 × … .× 푎
푛 푓푎푘푡표푟
Dengan 푎푛 disebut bilangan berpangkat dengan pangkat bilangan bulat, 푎 disebut bilangan
pokok atau basis dengan 푎 ∈ ℝ dan 푛 disebut bilangan pangkat atau eksponen.
Contoh:
34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
Pangkat bulat negatif
Jika 푎 ∈ ℝ, 푎 ≠ 0 dan 푛 bilangan bulat positif, maka:
푎−푛 =
1
푎푛
Contoh:
7−2 =
1
72
Pangkat nol
Jika 푎 ∈ ℝ dan 푎 ≠ 0 maka 푎0 = 1
Contoh:
150 = 1
Sifat-sifat bilangan berpangkat bilangan bulat
Untuk 푎, 푏 ∈ ℝ dan 푚, 푛, 푝 ∈ ℤ berlaku:
1. 푎푚 × 푎푛 = 푎푚+푛
2. 푎푚 : 푎푛 = 푎푚−푛
3. (푎푚)푛 = 푎푚푛
4. (푎 × 푏)푛 = 푎푛 × 푏푛
5. (푎
푏
)
푛
= 푎푛
푏푛 dan (푎푚
푏푚)
푝
= 푎푚푝
푏푛푝 , 푏 ≠ 0
Bilangan Rasional

2. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 푝
푞
, dengan 푝, 푞 ∈
ℤ, 푞 ≠ 0. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan 푄.
Bilangan rasional dapat dituliskan sebagai bilangan pecahan desimal berulang.
Contoh:
1
9
= 0,111111111 ….
Bilangan Irrasional
Bilangann irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 푝
푞
, dengan
푝, 푞 ∈ ℤ, 푞 ≠ 0 .
Bilangan bentuk akar merupakan bilangan irrasional.
Contoh:
√5 = 2,236067977 …
√5 adalah bilangan irrasional karena tidak dapat dituliskan dalam bentuk desimal
berulangatau dalam bentuk
푝
푞
, dengan 푝, 푞 ∈ ℤ, 푞 ≠ 0.
Bentuk Akar
Bentuk akar √푝 푞 dengan 푝 adalah bilangan real positif, dapat disederhanakan menggunakan
sifat perkalian akar.
Sifat perkalian akar
Untuk 푎, 푏 bilangan real positif berlaku: √푎 × 푏 푛 = √푎 푛 × √푏 푛
Operasi aljabar pada bentuk akar
Untuk 푎, 푏 ∈ ℝ dan 푐, 푑 bilangan rasional non negatif berlaku :
1. 푎√푐 + 푏 √푐 = (푎 + 푏)√푐
2. 푎√푐 − 푏 √푐 = (푎 − 푏)√푐
3. √푐 × √푑 = √푐 × 푑
4. √푐
√푑
푐
푑
= √
, 푑 ≠ 0
Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar
Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar artinya menjadikan penyebut pecahan bentuk
akar menjadi bilangan rasional.
Untuk 푎, 푏 bilangan rasional non negatif, maka:
1. √푎 sekawannya adalah – √푎

3. 2. √푎 + √푏 sekawannya adalah √푎 − √푏
3. 푎 + √푏 sekawannya adalah 푎 − √푏
Perkalian bentuk akar dengan sekawannya menghasilkan bilangan rasional. Merasionalkan
penyebut pecahan bentuk akar dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan
sekawan dari penyebutnya.
1. Merasionalkan penyebut berbentuk
푎
√푏
.
푎
√푏
=
푎
√푏
×
√푏
√푏
=
푎√푏
푏
2. Merasionalkan penyebut berbentuk
푐
푎+√푏
atau
푐
푎 −√푏
.
i.
푐
푎+√푏
= 푐
푎 +√푏
× 푎−√푏
푎−√푏
=
푐(푎 −√푏)
푎2− 푏
ii.
푐
푎−√푏
= 푐
푎 −√푏
× 푎+√푏
푎+√푏
=
푐(푎 +√푏)
푎2− 푏
.
3. Merasionalkan penyebut berbentuk
푐
√푎 +√푏
atau
푐
√푎 −√푏
.
i.
푐
√푎 +√푏
= 푐
√푎 +√푏
× √푎−√푏
√푎−√푏
=
푐(√푎− √푏)
푎− 푏
ii.
푐
√푎 −√푏
= 푐
√푎 −√푏
× √푎+√푏
√푎+√푏
=
푐(√푎+ √푏)
푎− 푏
Pangkat Rasional
Bilangan berbentuk √풂 풏
Misalkan 푎, 푏 ∈ ℝ dan 푛 bilangan bulat positif. Jika 푏푛 = 푎, maka 푏 dinamakan akar
pangkat 푛 dari 푎 dan dinyatakan dengan √푎 푛 = 푏
Sifat-sifat bilangan dengan pangkat rasional
Untuk 푎, 푏 ∈ ℝ dan 푎 ≠ 0, 푏 ≠ 0, 푚, 푛 ∈ ℝ berlaku:
1. 푎푚 × 푎푛 = 푎푚+푛
2. 푎푚 : 푎푛 = 푎푚−푛
3. (푎푚)푛 = 푎푚푛
4. (푎 × 푏)푛 = 푎푛 × 푏푛
5. (푎
푏
)
푛
= 푎푛
푏푛 dan (푎푚
푏푚)
푝
= 푎푚푝
푏푛푝 , 푏 ≠ 0
6. 푎−
푚
푛 = 1
푎
푚
푛
= 1
푛√푎푚
Persamaan Pangkat Sederhana
Untuk 푎 ∈ ℝ dan 푎 ≠ 0 berlaku 푎푓 (푥) = 푎푝 jika dan hanya jika 푓(푥) = 푝
Contoh :
82푥−1 = √42푥 +3

4. (23)2푥−1 = (22)
2푥+3
2
26푥−3 = 22푥+3
6푥 − 3 = 2푥 + 3
4푥 = 6
푥 =
3
2
Sumber : Buku Seri Pendalaman materi Matematika SMA dan MA Siap Tuntas menghadapi
Ujian Nasional