1. BAB 1. PERPANGKATAN DAN BENTUK
AKAR
A. PANGKAT BULAT POSITIF
a. Pengertian Pangkat Bulat Positif
Pengertian berganda dengan faktor-faktor yang sama. Operasinya disebut perpangkatan,
notasinya disebut notasi eksponen. Bilangan 75 merupakan bilangan berpangkat, dengan
7 merupakan bilangan pokok dan 5 merupakan pangkat.
Jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka an (dibaca "a pangkat n")
adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi, pangkat
bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuk
dengan: a = bilangan pokok (basis);
n = pangkat atau eksponen;
an = bilangan berpangkat.

2. b. Sifat-sifat bilangan dengan Pangkat Bulat Positif
Jika m,n ∈ R dan a,b ∈ R, maka berlaku sifat-sifat berikut :
 Sifat Perkalian am.an = am+n
 Sifat Pembagian
am
an= am-n
 Sifat Pemangkatan (am)n = am.n
 Sifat Perkalian dan pemangkatan (a.b)m = am.bm
 Sifat Pembagian dan pemangkatan (a
b
)
m
=
am
bm , dengan b≠0

3. B. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL
a. Pengertian Pangkat Bulat Negatif
Untuk memahami dan mengerti apa definisi pangkat bulat negative, perhatikan contoh
dibawah ini :
a. Perhatikan bahwa a4 : a6 = a4-6 = a-2 atau
a4
a6= a×a×a×a
a×a×a×a×a×a
= 1
a×a
= 1
a2.
Jadi, a-2= 1
a2.
Dari contoh diatas, dapat didefinisikan bilangan berpangkat bulat negative sebagai
berikut :
Contoh Soal :

4. b. Pengertian Pangkat Nol
Jika m,n bilangan bulat positif dan m=n, maka am-n = a0. Untuk menentukan nilai dari
bilangan pangkat nol, perhatikan uraian berikut :
Sehingga dapat kita definisikan sebagai berikut :

5. C. BILANGAN RASIONAL, IRASIONAL, DAN BENTUK AKAR
a. Bilangan Rasional
Bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan decimal, baik berupa
bilangan decimal berulang atau bilangan decimal tidak berulang. Sebagai contoh :
3 = 3,0000… → bilangan bulat atau berulang 0
1
= 0,25 → tidak berulang tapi terbatas
4
1
6
= 0,1666… → berulang 6
3
11
= 0,2727 → berulang 27
Penulisan bilangan desimal berulang dapat disingkat dengan membubuhkan tanda
garis diatas angka yang berulang tersebut. Sebagai contoh 0,2727 = ̅0̅̅,2̅̅7̅.
Dapat disimpulakan bahwa bilangan rasional meliputi bilangan bulat dan bilangan
pecahan.
b. Bilangan Irasional
Bilangan irasional dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan desimal tak berulang tak
terbatas. Perhatikan bilangan berikut ini!
√2 = 1,414213…
−√5 = -2,236067…
휋 = 3,1415…
푒 = 2,1782…

6. Bilangan-bilangan diatas merupakan bilangan irasional karena bila dinyatakan dalam
bilangan desimal, bentuknya bilangan desimal tak berulang tak terbatas. Dengan kata
lain, bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
푎
푏
dengan a,b
bilangan bulat dan b≠0. Dan tidak selamanya bilangan berakar termasuk bilangan
irasional, yang dinyatakan sebagai bilangan irasional adalah hasil akar yang tidak
bilangan bulat.
c. Bentuk Akar
Bentuk akar adalah akar bilangan rasional yag hasilnya merupakan bilangan irasional.
Jika a dan b bilangan real serta n bilangan bulat positif, maka :
an = ↔ √푏 푛 = a
Dari definisi diatas, apabila 푛 bilangan genap, maka berlaku :
an = ↔ √푏 푛 = a, dengan a,b ≥ 0.
√푏 푛 disebut akar (radikal)
푏 disebut radikan (bilangan pokok yang ditarik akarnya)
푛 disebut indeks (pangkat akar)
d. Menyederhanakan Bentuk Akar
Bentuk-bentuk akar dapat disederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat akar berikut
ini :
Jika a dan b bilangan real,serta n bilangan bulat positif, maka :
1. √푎ⁿ 푛 = ( √푎ⁿ 푛
) = a
2. √푎 푛 . √푏 푛 = √푎푏 푛
3. √푎ᵐ ᵐⁿ = √푎 푛
e. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar
1. Penjumlahan dan pengurangan
Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk
akar pada bilangan-bilangan yang dijumlahkan atau dikurangkan itu sama.dengan
demikian, jika a, c ∈ R dan b ≥ 0, berlaku :
 풂√풃 + 풄√풅 = (풂 + 풃)√풃

7.  풂√풃 − 풄√풅 = (풂 − 풃)√풃
Conto Soal :
1. Hitung dan sederhanakan bentuk akar berikut ini:
a. √2 + 3√2 + 5√2
b. 8√3 + 6 √2 + 12√3 − 4√2
Pembahasan
a. √2 + 3√2 + 5√2 = (1 + 3 + 5)√2=
= 9√2
b. 8√3 + 6 √2 + 12√3 − 4√2 = 8√3 + 12√3 + 6√2 − 4√2
= (8 + 12)√3 + (4 − 2)√2
= 20√3 + 2√2
2. Perkalian Bentuk Akar
Bentuk-bentuk akar yang pangkat akarnya (indeksnya) sama, dapat langsung
dikalikan dengan menggunakan rumus berikut :
a푛√푥 . b 푛√푦 = ab 푛√푥푦
Jika didalam tanda akar terdapat bentuk akar, maka cara menyederhanakannya
dapat berupa rumus berikut :
 √(푎 + 푏) + 2√푎√푏 = √푎 + √푏
 √(푎 + 푏) − 2√푎√푏 = √푎 - √푏, a > b
Contoh Soal :
Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.
a. √3 × √2
b. 2√19 × 10√5
Penyelesaian:
a. √3 × √2 = √(3 × 2)
= √6
b. 2√19 × 10√5 = (2 × 10)√(19 × 5)
= 20√95
3. Pembagian Bentuk Akar
Bentuk-bentuk akar yang indeksnya sama dapat dibagi secara langsung dengan
menggunakan rumus berikut :

8. 푎 √ 푛 푥
푏푛√푦 =
푎
푏
Contoh soal :
푥
푦
푛
√
Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.
a.
√6
√2
6√10
3√5
Penyelesaian:
b.
a.
√6
√2
= √(6
2
) = √3
b.
6√10
3√5
= (6
3
) √(10
5
) = 2√2
4. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar
Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar artinya mengubah penyebut pecahan
yang berbentuk akar menjadi bilangan rasional.
Cara merasionalkan setiap penyebut berlainan. Akan tetapi, prinsip dasarnya sama,
yaitu mengalikan penyebut-penyebut tersebut dengan pasangan bentuk akar
sekawannya sehingga diperoleh penyebut bilangan rasional.
Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
a. Merasionalkan Bentuk
풂
√풃
Cara merasionalkan bentuk
풂
√풃
adalah dengan mengalikan pembilang dan
penyebut pecahan tersebut dengan bentuk sekawan dari penyebutnya, yaitu:

9. Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara merasionalkan bentuk
풂
√풃
,
silahkan simak contoh soal 1 di bawah ini.
Contoh Soal 1
Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut, kemudian sederhanakanlah
a.
6
√2
21
b.
√3
Penyelesaian:
a.
6
√2
= ( 6
√2
) . √2
√2
6√2
=
√2.√2
=
6√2
2
= 3√2
b.
21
√3
= (21
√3
) . √3
√3
21 √3
=
√3.√3
=
21√3
3
= 7√3
b. Merasionalkan Bentuk
풂
(풃±√풄)
Cara merasionalkan bentuk
풂
(풃±√풄)
adalah dengan mengalikan pembilang dan
penyebut pecahan tersebut dengan bentuk sekawan dari penyebut b±√c. Bentuk
sekawan dari b + √c adalah b – √c , sedangkan bentuk sekawan dari b – √c adalah
√퐚
b + c. Berikut penjelasanya masing-masing. Untuk merasionalkan bentuk
(퐛±√퐜)
,
yakni:

10. Untuk merasionalkan bentuk
퐚
(퐛±√퐜)
yakni:
Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara merasionalkan bentuk
퐚
(퐛±√퐜)
, silahkan simak contoh soal 2 di bawah ini.
Contoh Soal 2
Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut, kemudian sederhanakanlah
4
a.
2+√2
b.
4
4+√3
Penyelesaian:
a.
4
2+√2
4
2+√2
= {(
2−√2
2−√2
)} . {(
)}
= {( 4(2−√2)
(2+√2)(2−√2)
)}

11. (8−4√2)
=
(4−2)
(8−4√2)
=
2
= 4 – 2√2
b.
4
2+√5
4
2+√5
= {(
2−√5
2−√5
)} . {(
)}
= {( 4(2−√5)
(2+√5)(2−√5)
)}
(8−4√5)
=
(4−5)
=
(8−4√5)
(−1)
= 4√5-8
c. Merasionalkan Bentuk
퐚
(√퐛±√퐜)
Cara merasionalkan bentuk
퐚
(√퐛±√퐜)
adalah dengan mengalikan pembilang dan
penyebut pecahan tersebut dengan bentuk sekawan dari penyebut √퐛 ± √퐜.
Bentuk sekawan dari √퐛 + √퐜 adalah √퐛 − √퐜, sedangkan bentuk sekawan dari
√퐛 − √퐜 adalah √퐛 + √퐜. Berikut penjelasanya masing-masing. Untuk
퐚
merasionalkan bentuk
(√퐛±√퐜)
yakni:

12. Untuk merasionalkan bentuk
퐚
(√퐛±√퐜)
, yakni:
Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara merasionalkan bentuk
a
, silahkan simak contoh soal 3 di bawah ini.
(√b±√c)
Contoh Soal 3
Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut, kemudian sederhanakanlah
2
a.
(√3+√2)
b.
3
(√6−√5)
Penyelesaian:
2
a.
(√3+√2)
= { 2
√3+√2
}. {√3−√2
√3−√2
}
= { 2(√3−√2)
(√3+√2)(√3−√2)
}
= (2√3−2√3
3−2
)
= 2(√6 − √5)
b.
3
(√6−√5)
= { 3
(√6−√5)
}. {√6+ √5
√6+ √5
}
= { 3(√6+√5)
(√6−√5)(√6+√5)
}
= (3√6+√5
6−5
)
= 3(√6 + √5)
5. Pangkat Pecahan
Bilangan pangkat pecahan dapat dinotasikan sebagai berikut :

13. contoh :
1.
2. dibaca : akar pangkat 5 dari 7
3. √4 3 = 3√22
=2
2
3
untuk sifat-sifatnya operasinya sama dengan bentuk pangkat biasa dapat dilihat
kembali di materi Bilangan Pangkat tinggal kita operasikan bentuk pangkatnya dalam
operasi bentuk pecahan.
Seperti :
1.
sehingga :
2.
sehingga :
contoh :
1. sederhanakan !
jawab :
2. nyatakan dalam bentuk pangkat !
jawab :

14. 3. nyatakan dalam bentuk akar !
jawab :
6. Persamaan Pangkat
Persamaan pangkat atau disebut juga persamaan eksponen adalah persamaan yang
pangkatnya memuat variable (peubah). Suatu persamaan pangkat akan dapat
diselesaikan apabila persamaan pangkat tersebut memiliki bilangan pokok yang
sama, dan dapat menggunakan Sifat berikut :
Jika ɑ bilangan real tak nol, maka berlaku :
1. 푎푓 (푥) = 푎푝 jika dan hanya jika f(x) = p
2. 푎푓 (푥) = 푎푔 (푥) jika dan hanya jika f(x) = g(x)