oleh neneng
Nurwaningsih
(06081281520066)
Nurwaningsih30@gmail.com
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
INDRALAYA
2017
semoga bermanfaat
oleh neneng
Nurwaningsih
(06081281520066)
Nurwaningsih30@gmail.com
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
INDRALAYA
2017
semoga bermanfaat
Jawaban latihan soal bagian 2.3 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
This PPT was created to complete School Experience Program in doing teaching practice at SMA YASPORBI also for Micro Teaching Course Teaching Report in Faculty of Education Mathematics Department Universitas Siswa Bangsa International.
PPT ini dibuat saat ingin mengajar di SMA YASPORBI saat program praktik lapangan yang berisi materi Trigonometri Kelas X kurikulum 2013
Soal Dan Pembahasan AKM Numerasi SMP Kelas 8 2021kacangtom
Soal Dan Pembahasan Asesmen Kompetensi Minimum (AKM) Numerasi Tingkat SMP/MTs Kelas 8 2021
Pembahasan :
https://nomadic-math.blogspot.com/2021/09/contoh-soal-dan-pembahasan-akm-numerasi.html
Sumber soal : Buku Erlangga Fokus AKM SMP
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Jawaban latihan soal bagian 2.3 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
This PPT was created to complete School Experience Program in doing teaching practice at SMA YASPORBI also for Micro Teaching Course Teaching Report in Faculty of Education Mathematics Department Universitas Siswa Bangsa International.
PPT ini dibuat saat ingin mengajar di SMA YASPORBI saat program praktik lapangan yang berisi materi Trigonometri Kelas X kurikulum 2013
Soal Dan Pembahasan AKM Numerasi SMP Kelas 8 2021kacangtom
Soal Dan Pembahasan Asesmen Kompetensi Minimum (AKM) Numerasi Tingkat SMP/MTs Kelas 8 2021
Pembahasan :
https://nomadic-math.blogspot.com/2021/09/contoh-soal-dan-pembahasan-akm-numerasi.html
Sumber soal : Buku Erlangga Fokus AKM SMP
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
ANALISIS KESALAHAN SISWA SMP DALAM MENYELESAIKAN SOAL BERBASIS PISA BERDASARK...aseprosadi29
Makalah ini adalah makalah yang membahas mengenai kesalahan siswa dalam mengerjakan soal berbasis PISA ditinjau dari gender. Adapun untuk menganalisis kesalahan tersebut dipakai Newman Error Analyze (NEA).
Materi Trigonometri E-learning SMK N 2 PurbalinggaLuqman Aziz
Perbandingan Trigonometri pada segitiga siku-siku, Perbandingan Trigonometri dari sudut-sudut istimewa (0o, 30o, 45o, 60o, 90o), Perbandingan trigonometri sudut-sudut berelasi di kwadran I, II, III, dan IV, Koordinat Kutub & Koordinat Kartesius
Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan trigonometri, penentuan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, pengertian konsep koordinat cartesius dan kutub, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub, aturan sinus dan cosinus, penggunaan aturan sinus dan aturan cosinus, rumus luas segitiga, penentuan luas segitiga. Di samping itu anda juga mempelajari identitas trigonometri, dan bentuk-bentuk persamaan trigonometri.
1. BAHAN AJAR TRIGONOMETRI
Pengertian Trigonometri
Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang dapat didefinisikan pada koordinat
Cartesis atau pada segitiga siku-siku. Jika didefinisikan pada segitiga siku-siku, maka
Perhatikan gambar ;
Sin α =b Cot α=a
c b
Cos α=a Sec α=c
c a
Tan α=b Cosec α=
a
c
Contoh : b
1. Diketahui segitiga ABC dengan sisi AB = 3 cm dan BC = 4 cm.
Tentukana:
a. Panjang AC !
b. Nilai perbandingan:
Sin α , Cos α , Tan α , Cot α , Sec α , dan Cosec α !
Jawab:
a. AC = AB 2 + BC 2
= 32 + 4 2
= 9 +16
= 25
=5
b. Sin α=4 Cot α=3
5 4
Cos α =3 Sec α =5
5 3
Tan α=4 Cosec α =5
3 4
2. 2. Jika Cos α= 2
dan 0o < α < 90o, tentukan nilai sin α dan tan α !
2
Jawab:
Cos α= 2
, maka
2
BC = AC 2 − AB 2
= 22 − ( 2 )
2
= 4 −2
= 2
Jadi, Sin α = BC = 2 1
= 2
AC 2 2
Tan α = BC = 2
=1
AB 2
B. NILAI TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT – SUDUT ISTIMEWA
Nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa ( 0o, 30o, 45o, 60o, dan 90o ) adalah
sebagai berikut :
α Sin α cos α tan α cot α sec α cosec α
0o 0 1 0 ~ 0 ~
1 1 1 2
30o 3 3 3 3 2
2 2 3 3
1 1
45o 2 2 1 1 2 2
2 2
1 1 1 2
60o 3 3 3 2 3
2 2 3 3
90o 1 0 ~ 0 ~ 0
C. RUMUS SUDUT-SUDUT YANG BERELASI DALAM TRIGONOMETRI
Tanda – tanda fungsi:
3. Kuadran
Fungsi
| || ||| lV
Sin + + - -
Cos + - - +
tan + - + -
Rumus trigonometri sudut berelasi:
• Kuadran | Kuadran |||
sin ( 90o - α o) = cos α o sin ( 180o + α o) = -sin α o
cos ( 90o - α o) = sin α o cos ( 180o + α o) = -cos α o
tan ( 90o - α o) = cot α o tan ( 180o + α o) = tan α o
cot ( 90o - α o) = tan α o cot ( 180o + α o) = cot α o
sec ( 90o - α o) = cosec α o
sec ( 180o + α o) = -sec α o
cosec ( 90o - α o) = sec α o
cosec ( 180o + α o) = -cosec α o
• Kuadran || Kuadran lV
sin ( 180o - α o) = sin α o sin ( 360o - α o) = -sin α o
cos ( 180o - α o) = -cos α o cos ( 360o - α o) = cos α o
tan ( 180o - α o) = -tan α o tan ( 360o - α o) = -tan α o
cot ( 180o - α o) = -cot α o cot ( 360o - α o) = -cot α o
sec ( 180o - α o) = -sec α o sec ( 360o - α o) = sec α o
cosec ( 180o - α o) = cosec α o
cosec ( 360o - α o) = -cosec α o
Contoh:
1
a. sin 150o = sin (180o - 30o) = sin 30o =
2
1
b. cos 225o = cos (180o + 45o) = - cos 445o = - 2
2
1
c. tan 150o = tan (180o - 30o) = - tan 30o = - 3
3
4. 1
d. cos 300o = sin (360o - 60o) = sin 60o =
2
D. RUMUS – RUMUS IDENTITAS TRIGONOMETRI
sin α
tan α = sin2 α + cos2 α = 1
cos α
cos α
cot α = tan2 α + 1 = sec2 α
sin α
1
sec α = cot α + 1 = cosec2 α
cos α
1
cosec α =
sin α
Contoh :
1
Sederhanakanlah: !
tan α ⋅ cot α
Jawab:
1 1
1 cos α sin α
= sin α . cos α = . =1
tan α ⋅ cot α sin α cos α
cos α sin α
E..KOORDINAT KUTUB DAN KOORDINAT CARTESIUS
1. Koordinat Cartesius p ( x, y )
• r= x2 + y2
x
• cos α = → x = r. cos α
r
y
• sin α = → y = r. cos x
r
y
• tan α =
x
2. Koordinat Kutub p (r, α)
Contoh:
1. Nyatakan koordinat cartesius ( -2, 2 ) menjadi koordinat kutub!
Jawab:
5. Koordinat kutub p ( r, α)
Mencari r = x2 + y2
= ( 2) 2 +( − 2 )
2
= 4 +4
= 8 =2 2
y
• Mencari α : tan α =
x
2
tan α =
−2
tan α = 1
α = 135 0
Jadi, koordinat kutubnya p ( 2 2 ,135 0 )
2. Tentukan koordinat cartesius jika koordinat kutub p (4, 45o)!
Jawab:
Koordinat cartesius p(x,y)
Mencari x: Mencari y:
x = r. cos α y = r. sin x
= 4. cos 45o = 4. sin 45o
1 1
= 4. 2 = 4. 2
2 2
= 2 2 = 2 2
Jadi, koordinat cartesiusnya p ( 2 2 , 2 2 )
F. ATURAN SINUS
Pada segitiga ABC berlaku :
a b c
= sin β = sin γ
sin α
6. Contoh:
Pada ∆ABC diketahui AB = 4, BC = 6, dan ∠ C = 45O, tentukan besar ∠ A !
Jawab:
BC AB
=
sin A sin C
6 4
=
sin A sin 45 0
6 4
=
sin A 1
2
2
4 sin A= 3 2
3
Sin A= 2
4
A= 68,720
G. ATURAN COSINUS
a2 = b2 + c2 – 2 bc. cos α
Pada segitiga ABC berlaku:
b2 = a2 + c2 – 2 bc. cos β
c2 = a2 + b2 – 2 bc. cos γ
b2 + c2 − a2
cos A =
2bc
a 2 + c2 − b2
cos B =
2ac
a2 + b2 − c2
cos C =
2ab
Contoh:
Diketahui ∆ ABC dengan a = 4, b = 5, dan c = 6. Tentukan besar sudut - sudut ∆
ABC!
Jawab:
b 2 + c 2 − a 2 5 2 + 6 2 − 4 2 25 + 36 − 16 45
Cos A = = = =
2bc 2( 5)( 6 ) 60 60
7. Cos A = 0,75
A = 41,40
∠ A = 41,40
Cos B = 0,5625
B = 55,770
∠ B = 55,770
∠ C = 1800 – ( ∠ A + ∠ B )
= 1800 – ( 41,40 + 55,770 )
= 82,830
a 2 + c 2 − b 2 4 2 + 6 2 − 5 2 16 + 36 − 25 27
Cos B = = = =
2ac 2( 4 )( 6 ) 48 48
H. LUAS SEGITIGA
Luas ∆ ABC
1
= bc. sin α
2
1
= ab. sin γ
2
1
= ac. sin β
2
Contoh:
Tentukan luas segitiga, jika sisi AB = 6 cm, AC = 4 cm dan ∠ A = 450!
Jawab:
1 1 1
Luas segitiga = . AB. AC. sin 45 o = .6.4. = 6 cm2
2 2 2
8. I. TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT RANGKAP
Rumus:
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2 α = cos2 α - sin2 α
cos 2 α = 1 - 2 sin2 α
cos 2 α = 2 cos2 α - 1
2 tan α
tan 2 α=
1 − tan 2 α
Contoh:
1. Bila sin α − cos α = p, tentukan nilai dari sin 2 α !
Jawab:
sin α − cos α = p ( dikuadratkan )
(sin α − cos α ) 2 = p2
sin 2 α − 2 sin α . cos α + cos 2 α = p2
Ingat!
Sin 2 α + cos 2 α = 1 dan 2 sin α. cos α = sin 2α,
maka; 1- sin 2 α = p2
- sin 2 α = 1 + p2
Jadi, sin 2 α =1 − p2
5
2. Pada ∆ ABC diketahui tan α = , tentukan nilai dari sin 2 α !
12
Jawab:
AC = AB 2 + BC 2 = 144 + 25 = 169 = 13
5 12
Maka, sin α = , cos α =
13 13
5 12 120
Sin 2 α = 2 sin α. cos α = 2. . =
13 13 169
9. 120
Jadi, sin 2 α =
169
J. RUMUS PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN
1. Rumus – rumus Penjumlahan
1
sin α + sin β = 2 sin ( α + β ) cos 1 ( α − β )
2 2
1 1
sin α − sin β = 2 cos (α + β ) sin (α − β )
2 2
1 1
cos α + cos β = 2 cos ( α + β ) cos ( α − β )
2 2
1 1
cos α − cos β = −2 sin ( α + β ) sin (α − β )
2 2
2. Rumus – rumus Perkalian
2 sin α. cos β = sin (α + β ) + sin (α − β )
2 cos α. sin β = sin (α + β ) − sin (α − β )
2 cos α. cos β = cos(α + β ) + cos(α − β )
− 2 sin α. cos β = cos(α + β ) − cos(α − β )
Contoh:
1 1
a. cos 5x – cos 3x = -2 sin (5x + 3x) sin (5x – 3x) = -2 sin 4x sin x
2 2
1 1
2 sin (120 0 + 60 o ) cos (120 0 − 60 0 )
sin 120 + sin 60
0 0
2 2
b. =
cos120 + cos 60
0 0
1 1
− 2 sin (120 0 + 60 0 ) sin (120 0 − 60 0 )
2 2
1
2.1. 3
2 sin 90 0 cos 30 0 2 3
= = =− =− 3
− 2 sin 90 sin 30
0 0
1 1
( −2).1.
2
10. K. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Rumus:
• Untuk sinus, jika:
Sin x = sin α, maka x 1 = α + k. 360o
X2 = ( 180o - α ) + k. 360o
Keterangan: k = bilangan bulat = 0, 1, 2, …
• Untuk Cosinus, jika:
Cos x = cos α, maka x = ± α + k. 360o
• Untuk Tangen, jika:
Tan x = tan α, maka x = α + k. 180o
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
1
a. sin 2x = ; 0o ≤ x ≤ 360o
2
Jawab:
⇒ sin 2x = sin 30o
maka: 2x = 30o + k.360o
x = 15o + k. 180o
Untuk k = 0 → x = 15o + 0. 180o = 15o
k = 1→ x = 15o + 1. 180o = 195o
atau
2x = ( 180o – 30o) + k. 360o
2x = 150o + k. 360o
x = 75 o + k. 360o
Untuk k = 0 → x = 75o + 0. 180o = 75o
k = 1→ x = 75o + 1. 180o = 225o
11. Jadi, himpunan penyelesaian sin 2x =
1
2
{
adalah 15 0 ,75 0 ,195 0 , 225 0 }
1
b. cos 2x = 3;0 0 ≤ x ≤ 360 0
2
Jawab:
⇒ cos 2x = cos 30o
maka: 2x = 30o + k.360o
x = 15o + k. 180o
Untuk k = 0 → x = 15o + 0. 180o = 15o
k = 1→ x = 15o + 1. 180o = 195o
atau
2x = - 30o + k.360o
x = - 15o + k. 180o
Untuk k = 0 → x = -15o + 0. 180o = -15o
k = 1→ x = -15o + 1. 180o = 165o
Jadi, himpunan penyelesaian cos 2x =
1
2
{
3 adalah 15 0 ,165 0 ,195 0 }
c. tan 2x = 3;0 0 ≤ x ≤ 360 0
Jawab:
⇒ tan 2x = tan 60o
maka: 2x = 60o + k.360o
x = 30o + k. 180o
Untuk k = 0 → x = 30o + 0. 180o = 30o
k = 1→ x = 30o + 1. 180o = 210o
Jadi, himpunan penyelesaian tan 2x = 3 {
adalah 30 0 , 210 0 }
d. sin ( x – 30o ) + sin ( x + 60o) = 1 ; 0o ≤ x ≤ 360 0
Ingat!
12. 1 1
Gunakan rumus sin A + sin B = 2 sin ( A + B ) cos ( A + B ),
2 2
Sehingga:
sin ( x – 30o) + sin ( x + 60o ) = 1
1 1
2 sin (( x − 30 0 + x + 60 0 )) cos (( x − 30 0 ) − ( x + 60 0 )) = 1
2 2
1 1
2 sin ( x − 30 0 + x + 60 0 ) cos ( x − 30 0 − x − 60 0 ) = 1
2 2
1 1
2 sin ( 2 x + 30 0 ) cos ( −90 0 ) = 1
2 2
2 sin ( x +15 0 ) cos(−45 0 ) = 1
1
2 sin ( x + 15 0 )( 2) =1
2
1
( x + 15 0 ) =
2 sin 1
2
2
1 2
( x + 15 0 ) = .
2 sin 1 2
2
2
( dirasionalkan)
2 sin ( x + 15o ) = 2
2
sin ( x + 15o ) =
2
1
sin ( x + 15o ) = 2
2
sin ( x + 15o ) = sin 45o
x + 15o = 45o + k. 360o
x = 30o + k. 360o
Untuk k = 0 → x = 30o + 0. 360o = 30o
atau
x + 15o = ( 180o – 45o) + k. 360o
x + 15o = 135o + k. 360o
x = 120o + k. 360o
Untuk k = 0 → x = 120o + 0. 360o = 120o