Trigonometri saja (tidak ada soal latihannya). (Catatan: Buka dengan aplikasi Libre Office)

1. Trigonometri
Oleh: Kelompok 7
1. Anggit Metha M.Y.S. (01)
2. Fadhel Akhmad Hizham (05)
X Akselerasi

2. Daftar Isi
1. Pengertian Trigonometri
2. Perbandingan Trigonometri
3. Identitas Trigonometri
4. Persamaan Trigonometri
5. Grafik Fungsi Trigonometri
6. Aturan Sinus
7. Aturan Cosinus
8. Luas Segitiga

3. 1. Pengertian Trigonometri

4. ● Trigonometri terdiri atas 2 kata bahasa Yunani, yaitu
“trigonos” dan “metros”. “Trigonos” berarti segitiga
dan “metros” berarti ukuran.
● Dengan demikian, trigonometri berarti menentukan
ukuran-ukuran segitiga yakni menentukan panjang
sisi, besar sudut, garis tinggi, garis bagi, garis berat,
luas, dan perbandingan sisi.
● Konsep trigonometri dipakai dalam menyelesaikan
masalah matematika maupun dalam kehidupan
sehari-hari, seperti dalam menentukan tinggi gedung
atau menara, lebar sungai dan arah sebuah pesawat.

5. 2. Perbandingan Trigonometri
a. Perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku.
b. Perbandingan trigonometri dalam semua kuadran.
c. Perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus.
d. Perbandingan trigonometri sudut berelasi.

6. a. Perbandingan Trigonometri dalam
Segitiga Siku-siku

7. B a de
sin A = =
c a c mi
b sa
cos A = =
A b C c mi
a de
tan A = =
b sa

8. B 1 b
cot A = =
c a tan A a
1 c
sec A = =
A b C cos A b
1 c
csc A = =
sin A a

9. Kedudukan Trigonometri
● Kebalikan:
sin dengan csc
cos dengan sec
tan dengan cot
● Berpenyiku:
sin dengan cos
tan dengan cot
sec dengan csc

10. b. Perbandingan Trigonometri dalam
Semua Kuadran

11. ● Perbandingan trigonometri di semua kuadran biasa
disebut dengan trigonometri dalam koordinat
Cartesius, yakni perluasan dari perbandingan
trigonometri dalam segitiga siku-siku.
● Perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku
hanya menggunakan sudut lancip, tetapi
perbandingan trigonometri dalam koordinat
Cartesius berlaku untuk sembarang sudut.

12. Kuadran I
Y
P(x,y)
r y
O ϴ X
x

13. Kuadran II
Y
P(x,y)
r
ϴ X
O

14. Kuadran III
Y
ϴ
O X
r
P(x,y)

15. Kuadran IV
Y
ϴ
O X
r
P(x,y)

16. Tanda-tanda Perbandingan
Trigonometri
Kuadran II Kuadran I
sin ϴ = y (+) : r (+) = + sin ϴ = y (+) : r (+) = +
cos ϴ = x (-) : r (+) = - cos ϴ = x (+) : r (+) = +
tan ϴ = x (-) : y (+) = - tan ϴ = x (+) : y (+) = +
Kuadran III Kuadran IV
sin ϴ = y (-) : r (+) = - sin ϴ = y (-) : r (+) = -
cos ϴ = x (-) : r (+) = - cos ϴ = x (+) : r (+) = +
tan ϴ = x (-) : y (-) = + tan ϴ = x (+) : y (-) = -

17. c. Perbandingan Trigonometri Sudut-
sudut Khusus

18. Nilai-nilai perbandingan trigonometri
sudut khusus
ϴ 0º 30º (1/6 η) 45º (1/4 η) 60º (1/3 η) 90º (1/2 η)
sin ϴ 0 ½ ½ √2 ½ √3 1
cos ϴ 1 ½ √3 ½ √2 ½ 0
tak
tan ϴ 0 ⅓ √3 1 √3
terdefinisi
tak
cot ϴ terdefinisi
√3 1 ⅓ √3 0
tak
sec ϴ 1 ⅔ √3 √2 2
terdefinisi
tak
csc ϴ terdefinisi
2 √2 ⅔ √3 1

19. d. Perbandingan Trigonometri Sudut
Berelasi

20. Kuadran II Kuadran I
(180° – α) dan α (90° – α) dan α
(90° + α) dan α (360° + α) dan α
Kuadran III Kuadran IV
(270° – α) dan α (360° – α) dan α
(180° + α) dan α (270° + α) dan α
(–α) dan α

21. Rumus Perbandingan Trigonometri
(Kuadran I)
1.Sudut (90° – α) dan α
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
tan (90° – α) = cot α
cot (90° – α) = tan α
sec (90° – α) = csc α
csc (90° – α) = sec α

22. 2.Sudut (360° + α) dan α
sin (360° + α) = sin α
cos (360° + α) = cos α
tan (360° + α) = tan α
cot (360° + α) = cot α
sec (360° + α) = sec α
csc (360° + α) = csc α

23. Rumus Perbandingan Trigonometri
(Kuadran II)
1.Sudut (180° – α) dan α
sin (180° – α) = sin α
cos (180° – α) = - cos α
tan (180° – α) = - tan α
cot (180° – α) = - cot α
sec (180° – α) = - sec α
csc (180° – α) = csc α

24. 2.Sudut (90° + α) dan α
sin (90° + α) = cos α
cos (90° + α) = - sin α
tan (90° + α) = - cot α
cot (90° + α) = - tan α
sec (90° + α) = - csc α
csc (90° + α) = sec α

25. Rumus Perbandingan Trigonometri
(Kuadran III)
1.Sudut (270° – α) dan α
sin (270° – α) = - cos α
cos (270° – α) = - sin α
tan (270° – α) = cot α
cot (270° – α) = tan α
sec (270° – α) = - csc α
csc (270° – α) = - sec α

26. 2.Sudut (180° + α) dan α
sin (180° + α) = - sin α
cos (180° + α) = - cos α
tan (180° + α) = tan α
cot (180° + α) = cot α
sec (180° + α) = - sec α
csc (180° + α) = - csc α

27. Rumus Perbandingan Trigonometri
(Kuadran IV)
1.Sudut (360° – α) dan α
sin (360° – α) = - sin α
cos (360° – α) = cos α
tan (360° – α) = - tan α
cot (360° – α) = - cot α
sec (360° – α) = sec α
csc (360° – α) = - csc α

28. 2.Sudut (270° + α) dan α
sin (270° + α) = - cos α
cos (270° + α) = sin α
tan (270° + α) = - cot α
cot (270° + α) = - tan α
sec (270° + α) = csc α
csc (270° + α) = - sec α

29. 3.Sudut (–α) dan α → sudut negatif
sin (–α) = - sin α
cos (–α) = cos α
tan (–α) = - tan α
cot (–α) = - cot α
sec (–α) = sec α
csc (–α) = - csc α

30. ● Kesimpulan 1 (menentukan kedudukan
trigonometri):
Untuk sudut (90° ± α) = kebalikan
Untuk sudut (180° ± α) = tetap
Untuk sudut (270° ± α) = kebalikan
Untuk sudut (360° ± α) = tetap
● Kesimpulan 2 (menentukan positif atau negatif):
Ditentukan dengan letak sudut berada pada kuadran
I (semua positif), II (sin positif), III (tan positif), dan
IV (cos positif).

31. Untuk Sudut > 360°
● Gunakan K . 90° + α
1.K genap untuk kedudukan trigonometri tetap dan K
ganjil untuk kedudukan trigonometri berlawanan.
2.Menentukan sisa dari K : 4
3.Sisa dari K : 4 adalah penentu letak sudut pada
kuadran akhir.
4. α (untuk 0° ≤ α ≤ 90°)

32. Contoh Soal 1
1.sin 135° = sin (180 – 45)°
= sin 45°
= ½ √2
atau = sin (90 + 45)°
= cos 45°
= ½ √2

33. 2.csc 330° = csc (360 – 30)°
= - csc 30°
=-2
atau = csc (270 + 60)°
= - sec 60°
=-2

34. 3.tan 1500° = tan (16 . 90 + 60)° → 16 : 4 = sisa 0
= tan 60°
= √3
4.csc 34530°= csc (383 . 90 + 60)° → 383 : 4 = sisa 3
= - sec 60°
=-2

35. 5.cos (-1530)° = cos 1530°
= cos (17 . 90 + 0)°
= sin 0° = 0
6.csc (-14610)°= - csc 14610°
= - csc (162 . 90 + 30)°
= - (- cosec 30)°
= cosec 30° = 2

36. 3. Identitas Trigonometri

37. ● Hubungan perbandingan trigonometri dapat dibagi
menjadi 3 kelompok, yaitu:
A)Identitas kebalikan
B)Identitas perbandingan
C)Identitas Pythagoras

38. A. Identitas Kebalikan
1 b
cot α = =
tan α a
1 c
sec α = =
cos α b
1 c
csc α = =
sin α a

39. B. Identitas Perbandingan
sin α
tan α =
cos α
cos α
cot α =
sin α

40. C. Identitas Pythagoras
2 2
1.sin α + cos α = 1 2.tan2α + 1 = sec2α
2 2
sin α = 1 – cos α 1 = sec2α – tan2α
2 2
cos α = 1 – sin α tan2α = 1 – sec2α
2 2
3.cot α + 1 = csc α
1 = csc2α – cot2α
cot2α = 1 – csc2α

41. Contoh Soal 2
2 2
1.Buktikan bahwa 14 sin α + 22 = 36 – 14 cos α
14 sin2α + 22 = 14 (1 – cos2α) + 22
2
= 14 – 14 cos α + 22
2
= 36 - 14 cos α (terbukti)

42. 2.Buktikan bahwa 17 sin2α + 8 cos2α = 9 sin2α + 8
17 sin2α + 8 cos2α = 17 sin2α + 8 (1 – sin2α)
= 17 sin2α + 8 - 8 sin2α
2
= 9 sin α + 8 (terbukti)

43. 3.Buktikan bahwa cos4α - sin4α + 1 = 2 cos2α
cos4α + sin4α + 1 = (cos4α + sin4α) + 1
= {(cos2α - sin2α) (cos2α + sin2α)} + 1
2 2
= (cos α – sin α) . 1 + 1
= cos2α – sin2α + cos2α + sin2α
= 2 cos2α (terbukti)

44. 4. Persamaan Trigonometri
A)Persamaan Trigonometri Sederhana
B)Penyelesaian Umum

45. A. Persamaan Trigonometri Sederhana

46. ● Persamaan trigonometri sederhana adalah
persamaan yang nilai sin x, cos x, atau tan x sudah
diketahui. Unuk mendapatkan semua sudut yang
memenuhi persamaan trigonometri sederhana, maka
kita harus mengingat nilai perbandingan
trigonometri sudut-sudut khusus dan pasangan
sudut-sudut di berbagai kuadran. Misalnya α sudut
di kuadran I, maka pasangan sudut di kuadran
lainnya adalah:
II = 180º – α III = 180º + α IV = 360º – α

47. b. Penyelesaina Umum

48. ● Berikut rumus umum penyelesaian persamaan
trigonometri:
sin x = sin α, maka x1 = α + k.360º
atau x2 = (180º – α) + k.360º
cos x = cos α,maka x1 = α + k.360º
atau x2 = (– α) + k.360º
tan x = tan α, maka x = a + k.180º (k = 0, ±1, ±2, ...)

49. Contoh Soal 3
1.Tentukan nilai x dari sin x = ½ (0° ≤ x ≤ 360°)
sin x = ½ → sin x = sin 30°
Karena sin x bernilai positif, maka x berada pada
posisi di kuadran I atau II
Maka, nilai x yang memenuhi adalah 30° atau 180°-
30° = 150°
x = {30°, 150°} atau {1/6 η, 5/12 η}

50. 2.Tentukan nilai x dari tan x = - √3 (0° ≤ x ≤ 360°)
tan x = - √3 → tan x = - tan 60°
Karena tan x bernilai negatif, maka x berada pada
posisi di kuadran II atau IV
Maka, nilai x yang memenuhi adalah 180°- 60° =
120° atau 360°- 60° = 300°
x = {120°, 300°} atau {2/3 η, 5/3 η}

51. 3.Tentukan nilai x dari sin 3x = ½ √3 (0° ≤ x ≤ 360°)
sin 3x = ½ √3 → sin 3x = sin 60°
3x1 = 60° + k.360° → x1 = 20° + k.120°
Nilai x1 yang memenuhi adalah 20°, 140°, 260°
3x2 = (180 - 60)° + k.360° → x2 = 40° + k.120°
Nilai x2 yang memenuhi adalah 40°, 160°, 280°
x = {20°, 40°, 140°, 160°, 260°, 280°}
atau {1/9 η, 2/9 η, 7/9 η, 8/9 η, 13/9 η, 14/9 η}

52. 4.Tentukan nilai x dari cos 5x = -½ √2 (0° ≤ x ≤ 180°)
cos 5x = -½ √2 → cos 5x = cos 135°
5x1 = 135° + k.360° → x1 = 27° + k.72°
Nilai x1 yang memenuhi adalah 27°, 99°, 171°
5x2 = -135° + k.360° → x2 = -27° + k.120°
Nilai x2 yang memenuhi adalah 45°, 117°
x = {27°, 45°, 99°, 117°, 171°}
atau {3/20 η, 1/4 η, 11/20 η, 13/20 η, 19/20 η}

53. 5. Grafik Fungsi Trgonometri

54. ● Untuk persamaan grafik fungsi trigonometri:
y = a sin bx
y = sumbu y
a = posisi titik puncak (titik maksimum / minimum)
b = jumlah gelombang sepanjang 360°
x = sumbu x

55. ● Untuk persamaan grafik fungsi trigonometri:
y = a sin b (x ± c)°
y = sumbu y
a = posisi titik puncak (titik maksimum / minimum)
b = jumlah gelombang sepanjang 360°
c = pergeseran (apabila - maka bergeser ke kanan
sebanyak c°, dan apabila + maka bergeser ke kiri
sebanyak c°)
x = sumbu x

56. Langkah-langkah Menggambar Grafik
1.Menentukan titik potong sumbu x, maka y = 0
2.Menentukan titik potong sumbu y, maka x = 0
3.Menentukan titik maksimum untuk menentukan titik
puncak atas pada grafik.
4.Menentukan titik minimum untuk menentukan titik
puncak bawah pada grafik.
5.Menggambar grafik.

57. Contoh soal 4
1.Gambarlah grafik untuk persamaan y = sin 3x, untuk
0°≤ x ≤ 360°.
2.Gambarlah grafik untuk persamaan y = 2 cos (x –
30)°, untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

58. 1.y = sin 3x (0°≤ x ≤ 360°)
Langkah 1:
Menentukan tipot sumbu x → y = 0
y = sin 3x → 0 = sin 3x → sin 3x = sin 0°
3x1 = 0° + k.360° → x1 = 0° + k.120°
Nilai x1 yang memenuhi adalah 0°, 120°, 240°, 360°
3x2 = (180 - 0)° + k.360° → x2 = 60° + k.120°
Nilai x2 yang memenuhi adalah 60°, 180°, 300°
Tipot sumbu x = {(0°,0) ; (60°,0) ; (120°,0) ;
(180°,0) ; (240°,0) ; (300°,0) ; (360°,0)}

59. Langkah 2:
Menentukan titik potong sumbu y → x = 0
y = sin 3x
y = sin 0
y=0
Tipot sumbu y = {0°,0}

60. Langkah 3:
Menentukan titik maksimum
untuk y = sin 3x adalah 1
y = sin 3x → 1 = sin 3x → sin 3x = sin 90°
3x = 90° + k.360° → x = 30° + k.120°
Nilai x yang memenuhi adalah 30°, 150°, 270°
Titik maksimum = {(30°,1) ; (150°,1) ; (270°,1)}

61. Langkah 4:
Menentukan titik minimum
untuk y = sin 3x adalah -1
y = sin 3x → -1 = sin 3x → sin 3x = sin 270°
3x = 270° + k.360° → x = 90° + k.120°
Nilai x yang memenuhi adalah 90°, 210°, 330°
Titik maksimum = {(90°,-1) ; (210°,-1) ; (330°,-1)}

62. Langkah 5: Gambar grafiknya
y
1
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 x
-1

63. 2.y = 2 cos (x - 30)° (0°≤ x ≤ 360°)
Langkah 1:
Menentukan tipot sumbu x → y = 0
y = 2 cos (x - 30)° → 0 = 2 cos (x - 30)° → cos (x -
30)° = 0 → cos (x - 30)° = cos 90°
x1 – 30° = 90° + k.360° → x1 = 120° + k.360°
Nilai x1 yang memenuhi adalah 120°
x2 – 30° = - 90° + k.360° → x2 = - 60° + k.120°
Nilai x2 yang memenuhi adalah 300°
Tipot sumbu x = {(120°,0) ; (300°,0)}

64. Langkah 2:
Menentukan titik potong sumbu y → x = 0
y = 2 cos (x– 30)°
y = 2 cos (– 30)°
y = 2 cos 30° = 2 . ½ √3 = √3
Tipot sumbu y = {0°,√3}

65. Langkah 3:
Menentukan titik maksimum
untuk y = 2 cos (x– 30)° adalah 1
y = 2 cos (x– 30)° → y = 2 . 1 = 2 → 2 = 2 cos (x–
30)° → cos (x– 30)° = 1 → cos (x– 30)° = cos 0°
x - 30° = 0° + k.360° → x = 30° + k.360°
Nilai x yang memenuhi adalah 30°
Titik maksimum = {(30°,1)}

66. Langkah 4:
Menentukan titik maksimum
untuk y = 2 cos (x– 30)° adalah -1
y = 2 cos (x– 30)° → y = 2 . -1 = 2 → -2 = 2 cos (x–
30)° → cos (x– 30)° = -1 → cos (x– 30)° = cos 180°
x - 30° = 180° + k.360° → x = 210° + k.360°
Nilai x yang memenuhi adalah 210°
Titik maksimum = {(210°,1)}

67. Langkah 5: Gambar grafiknya
y
2
√3
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 x
-2

68. 6. Aturan Sinus

69. C
b a
A c B
Pada sembarang segitiga ABC, berlaku rumus aturan
sinus, yakni:
a b c
= =
sin A sin B sin C

70. 7. Aturan Cosinus

71. C
b a
A c B
Pada sembarang segitiga ABC, berlaku rumus aturan
sinus, yakni:
2 2 2
a = b + c – 2bc cos A
2 2 2
b = a + c – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

72. 8. Luas Segitiga

73. Rumus 1: Jika diketahui 2 sisi dan 1 sudut
C
b a
A c B
Luas = 1/2 . a . b . sin C
= 1/2 . a . c . sin B
= 1/2 . b . c . sin A

74. Rumus 2: Jika diketahui 3 sisi (masih dengan
gambar segitiga yang sama seperti slide
sebelumnya)
Luas = √s . (s – a) . (s – b) . (s – c)
s = 1/2 . keliling segitiga
= 1/2 . (a + b + c)

75. Rumus 3: Jika diketahui 1 sisi dan 2 sudut (masih dengan
gambar segitiga yang sama seperti slide sebelumnya)
a2 . sin B . sin C
Luas =
2 . sin A
b2 . sin A . sin C
=
2 . sin B
c2 . sin A . sin B
=
2 . sin C

76. Sekian dan terima kasih
Sampai jumpa lagi
di lain kesempatan