Buku ini membahas tentang bilangan Bell dan cara menentukannya. Bilangan Bell merupakan barisan bilangan yang menyatakan banyaknya partisi dari sebuah himpunan dengan n anggota. Bilangan Bell dapat ditentukan menggunakan rumus rekursif Bell atau dengan menggunakan segitiga Bell."

1. KONSEP MUDAH MENENTUKAN NILAI TRIGONOMETRI SUDUT
BERELASI
MATERI
SUDUT
Genap Fungsi Genap
Ganjil Fungsi Berubah
Sin cos
Cos sin
Tan costan
Sec cosec
Cosec sec
TIP PRAKTIS MENGINGAT RUMUS
Sin ( 1800– α ) = Sin α0
1. ( 1800 – α ) Kuadran II sinus positif
2. Sudut 180 dengan nol diabaikan berarti 18 ( genap ) fungsi tetap.
Fungsi sinus tetap,tidak berubah.
Cos ( 2700 – α ) – Sin α0
( 2700 – α ) 2700 Kuadrat ke II cosinus negatif sudutnya dengan nol diabaikan berarti
ganjil. Fungsi berubah.( cosinus berubah menjadi sinus )
Tan ( 900 – α ) = cot an α0
( 900 – α ) kuadran Inilai tan gen positif, sudutnya dengan nol diabaikan berarti ganjil
fungsi berubah tan gen berubah menjadi cot angen

2. MEMPERMUDAH MENENTUKAN NILAI SUDUT SEBAGAI BERIKUT
1. Sin 1350 = cos 1 3 50
= cos 450
=
Pertama kita lihat kuadrannya 1350 kuadran ke II, sin us positif.
Kemudian kita lihat sudutnya 1350 angka ratusannya 1 (ganjil ) fungsi berubah,
sehingga sin us berubah menjadi cosinus.
Selanjutnya 1 + 3 = 4 ( angka puluhan ), angka 5 tetap sebagai satuan.
tan 2100 = tan 2 1 00 = tan pertama lihat 1200 kuadran III, 300 = tangen positif
kemudian kita lihat sudut 1200 angka ratusannya 2 ( genap ) fungsi tetap, shingga fungsi
tetap.
Selanjutnya 2 + 1 = 3 ( angka puluhan ), angka 0 tetap sebagai satuan.
Contoh soal:
Tentukan nilai sudut :
1. Sin 1500
Penyelesaian
Cara I Cara II
Sin 1500 = ( 1800 – 300 ) sin 1500 = cos 1 5 00
= sin 300 = cos 600
= =
2. Cosec 3000
Penyelesaian
Cara I Cara II

3. Cosec 3000 = cosec ( 3600 – 600 ) Cos ec 3000 = sec 3 0
00
= - cosec 600 = sec 300
=- =-
DAFTAR PUSTAKA
Kurniawan.2003.Fokus matematika untuk SMP dan MTs. Jakarta: Erlangga
www.agutidie.com/Trigonometri.html.

4. Disusun oleh :
Nama : Fitriyani
Nim : 06101408008
Dosen Pembimbing :

6. BUKU LEMMA-LEMMA ARCHIMEDES’ BOOK OF LEMMAS
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
Dalam Kehidupan sehari-hari banyak sekali kita jumpaui masalah yang berkaitan dengan
bilangan. Barisan bilangan adalah urutan bilangan yang mengikuti pola-pola tertentu atau tersusun
oleh bilangan yang untuk menentukannya menggunakan cara tertentu. Dengan kata lain setiap
barisan bilangan memiliki ciri khas. Beberapa contoh:
1. Barisan bilangan genap yaitu: 2, 4, 6, 8,…memiliki pola yaitu terdiri dari bilangan genap
dengan bilangan pertama dua dan bilangan berikutnya bertambah 2 dari bilangan
sebelumnya
2. Barisan bilangan prima yaitu: 2, 3, 5,…
3. Barisan bilangan geometri dengan rasio 2 seperti:1, 2, 4, 8, 16,… atau yang merupakan
kelipatan 2.
Dan masih banyak lagi barisan bilangan lainnya.
Salah satu contoh barisan bilangan lainnya adalah bilangan bell. Barisan bilangan ini
istimewa karena barisan bilangan bell adalah bilangan tersusun dari bilangan yang menyatakan
banyaknya partisi dari sebuah himpunan dengan n anggota. Barisan bell ini adalah penerapan dari
kombinasi dan partisi dalam matematika.
Pada makalah ini akan disajikan tentang bilangan bell dan cara menentukan bilangan bell.
Pada makalah ini juga akan ditampilkan bell triangle atau aitken's array atau peirce triangle.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk menentukan angka- angka pada Bilangan Bell
serta cara menentukannya.

7. II. MATERI PENDUKUNG
1. Himpunan
Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda (objek) yang telah terdefinisi dengan jelas.
2. Himpunan kosong
Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yang disebut sebagai himpunan kosong,
dan dinotasikan sebagai atau {}.
3. Himpunan Bagian
Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan A dan dinotasikan B
A atau A B, jika setiap elemen B merupakan elemen A. Contoh: Misalkan S = {a, b, c}, maka S
memiliki 8 macam himpunan bagian yakni {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.
4. Partisi
Himpunan S, dengan sub-himpunan Ai (i {1, 2, …, n})
Himpunan {A1, A2, A3, …., An } disebut partisi dari S dan harus memenuhi 3 kriteria berikut:
1. Ai {}
2. Ai Aj = { }
3. A1 A2 A3 …. An = S
5. Notasi Sigma
Notasi sigma atau digunakan untuk menyatakan operasi penjumlahan bilangan berurutan.
n n
ai a1 a2 an dan k k k ... k nk
i 1 i 1
6. Kombinasi.
Banyaknya kombinasi (susunan) k unsur dari n unsur adalah:
n n!
C n, k n Ck ,k n
k k! n k !
6. Faktorial
Hasil kali dari bilangan positif dari 1 sampai n dilambangkan dengan n! (dibaca: n faktorial).
n! 1 x 2 x 3 x...x(n 2) x (n 1) x n
0! = 1
1! = 1
7. Bilangan Stirling

8. Bilangan Stirling S(n,k) adalah banyaknya cara mempartisi sebuah himpunan dari n elemen ke
dalam k himpunan bagian tidak kosong.
Contoh:
Untuk n= 3, misalnya {a,b,c}
- ada 0 cara untuk mempartisinya ke dalam k=0 himpunan bagian tidak kosong.
- Ada 1 cara untuk mempartisinya ke dalam k=1 himpunan bagian tidak kosong. Yaitu {{a, b,
c}}
- Ada 3 cara untuk mempartisinya ke dalam k = 2 himpunan bagian tidak kosong . yaitu:
{{a},{b,c}}, {{b},{a,c}}, {{c},{a,b}}.
- Ada 1 cara untuk mempartisinya ke dalam k = 3 himpunan bagian tidak kosong. Yaitu:
{{a},{b},{c}}.
Catatan: Untuk n= 0 elemen , k =0 himpunan bagian tidak kosong maka ada 1 cara
mempartisinya.
II. MATERI POKOK
Bilangan Bell diambil dari nama Eric Temple Bell. Barisan Bell adalah pola bilangan
{1,1,2,5,15,52,203,877,4140,21147,…}. Bilangan Bell dapat didefinisikan juga sebagai banyaknya
partisi dari sebuah himpunan dengan n anggota. Di mulai dari B0 B1 1.
Secara umum Bn adalah banyaknya partisi dari sebuah himpunan dengan ukuran n. Sebuah
partisi dari sebuah himpunan tidak kosong. Sebagai contoh, B3 5 karena 3 elemen himpunan {a,
b, c} dapat di pecah dalam 5 cara tertentu, yaitu:
{ {a}, {b}, {c} }
{ {a}, {b, c} }
{ {b}, {a, c} }
{ {c}, {a, b} }
{ {a, b, c} }

9. B0 adalah 1 karena ada tepat satu partisi dari himpunan kosong. Setiap anggota dari
himpunan kosong adalah sebuah himpunan tidak kosong (secara hampa benar), dan kesatuaannya
adalah himpunan kosong. Jadi, himpunan kosong adalah satu-satunya partisi dengan dirinya sendiri.
Catatan:
{ {}, {a,c}, {b} } adalah bukan partisi (karena berisi himpunan kosong).
{ {a, b}, {b, c} } adalah bukan partisi (dari beberapa himpunan) karena elemen b terisi ke dalam
lebih dari 1 himpunan bagian yang berbeda.
{ {a}, {b} } adalah bukan partisi dari {a, b, c} karena tidak ada dalam himpunan itu yang berisi
elemen c;{{a},{b}} adalah partisi dari {a, b}.
Bilangan Bell juga bisa diperlihatkan sebagai banyaknya cara tertentu yang mungkin dari
meletakkan n bola berbeda ke dalam satu atau lebih kotak berbeda. Sebagai contoh, misalkan n=3.
Kita mempunyai 3 kotak dan 3 bola, misal kita lambangkan a,b, dan c. Jika kotak-kotak tidak bisa
dibedakan satu sama lain, maka ada 5 jalan meletakkan bola ke dalam kotak:
1. masing-masing bola dimasukkan kedalam kotak yang berbeda ketiganya
2. semua bola dimasukkan ke dalam 1 kotak yang sama
3. a dimasukkan ke dalam 1 kotak, b dan c bersama-sama ke dalam 1 kotak lain
4. b dimasukkan ke dalam 1 kotak, a dan c bersama-sama ke dalam 1 kotak lain
5. c dimasukkan ke dalam 1 kotak, a dan b bersama-sama ke dalam 1 kotak lain
Bilangan Bell memenuhi rekursif formula berikut.
n n
Bn 1 Bk
k 0 k
Contoh :
B0 1 ( karena ada tepat satu partisi dari himpunan kosong.). bilangan-bilangan bell selanjutnya
dapat dicari.
Untuk B1, maka n 0.

10. 0 0
B0 1 B0
k 0 0
0!
B1 B0
0!0!
B1 1 x1
B1 1
Untuk B2 , maka n 1
1 1
B1 1 Bk
k 0 k
1 1
B2 B0 B1
0 1
1! 1!
B2 B0 B1
(1 0)!0! (1 1)! !
1
1! 1!
B2 1 1
1!0! 0!1!
1 1
B2 1 1
1 x1 1 x1
B2 1 1
B2 2
Untuk B3 , maka n 2
2 2
B2 1 Bk
k 0 k
2 2 2
B3 B0 B1 B2
0 1 2
2! 2! 2!
B3 B0 B1 B2
(2 0)!0! (2 1)! ! 1 2 2 !2!
2! 2! 2!
B3 1 1 2
2!0! 1!1! 0!2!
2 x1 2 x1 2 x1
B3 1 1 2
2 x1 x1 1 x1 1 x 2 x1
B3 1 2 2
B3 5

11. Dan seterusnya.
Setiap Bilangan Bell adalah sebuah penjumlahan dari Bilangan Stirling dari jenis kedua
n
Bn S n, k
k 1
Barisan bilangna stirling. k = kolom, n = baris.
k= 1 2 3 4 5 6 7 8
n=1 1
2 1 1
3 1 3 1
4 1 7 6 1
5 1 15 25 10 1
6 1 31 90 65 15 1
7 1 63 301 350 140 21 1
8 1 127 966 1701 1050 266 28 1
Contoh: S(3,1). Lihat baris 3 kolom 1. hasilnya 1.
S(3,2). Lihat baris 3 kolom 2. hasilnya 3.
S(3,3). Lihat baris 3 kolom 3. Hasilnya 1.
Jumlah dari S(3,1) + S(3,2) + S(3,3) = 5, yang adalah merupakan bilngan bell yaitu B3 5.
Atau lebih mudahnya dapat dilihat pada tabel berikut ini.
N Himpunan bilangan stirling Bilangan bell

12. 1 1 1
2 1 1 2
3 1 3 1 5
4 1 7 6 1 15
5 1 15 25 10 1 52
6 1 31 90 65 15 1 203
★ Segitiga Bell
Bilangan Bell dapat ditentukan dengan menggunakan Segitiga Bell atau juaga disebut
Aitken’s array atau Segitiga Peirce.
1. Mulai dengan angka 1. Letakkan angka satu di baris pertama sendirian
2. Mulai sebuah baris baru dengan elemen pertamanya di bagian kanan yaitu angka di baris
sebelumnya di bagian kiri
3. angka selanjutnya adalah hasil penjumlahan angka sebelumnya dengan 1 angka di atas
angkanya
4. begitu seterusnya

13. Daftar Pustaka
Bell Number. http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number. Diakses tanggal 4 april 2008
Stirling Number.
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=stirlingNumbersSecondKind.
Diakses pada tanggal 4 april 2008.
Bell Number. http://mathforum.org/. Di akses pada tanggal 4 april 2008.
Bell’s Triangle. http://planetmath.org/encyclopedia/Bell’sTriangle. Di akses pada tanggal 7 Juni 2008.
Combinatorics. http://en.wikipedia.org/wiki/Combinatorics. Diakses pada tanggal 4 april 2008
Bell Numbers. http://www.pballew.net/Bellno. Diakses pada tanggal 5 juni 2008.
Partition of Set. http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(set_theory). Diakses pada tanggal 7 Juni
2008.