Materi pembelajaran Trigonometri

1. TRIGONOMETRI
A. PENGUKURAN SUDUT
1.
Satuan Derajat
1 putaran = ……o (derajat)
1
putaran = …… o (derajat)
4
1
putaran = ……o (derajat)
2
1
putaran = ……o (derajat)
360
o
1 = 60’ ( menit)
1’ = 60” (detik)
2.
Satuan Radian
B
Definisi:
1 rad adalah besar sudut yang dihasilkan oleh
perputaran sebesar jari-jari lingkaran.
r
O
r
r
A
AOB = 1 radian
1 putaran penuh =
1
2
1
3
1
kelilinglingkaran
.......
radian =
radian = …… radian
busurAB
.......
putaran = …….radian
putaran = ……..radian
putaran = …….radian
4
3.
Hubungan Satuan Derajat dan Radian
1 putaran penuh = …… o = ….. rad
1
1o =
putaran = ……. rad
360
1 rad =
.....o
(derajat)
.....

2. B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU
1.
Sinus, Kosinus dan Tangen pada Segitiga Siku-Siku
kosinus  = cos  =
a
A
AC b
 ( kossami)
AB c
BC a
 ( tandesa )
AC b
C
b
a) tan  =
BC a
 ( sindemi )
AB c
tangen  = tan  =
c
= sin  =
sinus 
B
sin 
c) sekan  = sec  =
cos 
b) kosekan  = cosec  =
1
sin 
1
cos 
1
d) kotangen  = cot  =
tan 
LATIHAN 1
1. Tentukanlah nilai ketiga perbandingan trigonometri (sinus, kosinus, dan
tangen) dari sudut  pada tiap gambar berikut:
a)

b)
5
1
1
3

2
2
c)
5
d)
17
15

12


3. 2.
3.
Jika  adalah sudut lancip dan tan  = p, tentukan perbandingan
trigonometri yang lain (sinus, kosinus, kosekan, sekan dan kotangen)!
4.
2.
Tentukanlah nilai perbadingan trigonometri yang lain jika diketahui:
3
17
a. sin A =
d. cosec D =
15
5
7
1
b. cos B =
e. sec E = 2
8
24
1
5
c. tan C =
f. cot F = 2
5
Seorang anak bermain layang-layang dengan panjang benang 76 m. Sudut
elevasi layang-layang yang terbentuk adalah 60o. Jika tinggi anak tersebut
adalah 1,5 m. Tentukan tinggi layang-layang terhadap tanah!
Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa
Coba lengkapilah tabel berikut!
0o
sin
0
30o
1
37o
0,6
2
45o
1
2
53o
0,8
2
60o
1
3
90o
1
2
cos
…
…
…
…
…
…
…
tan
…
…
…
…
…
…
…

4. LATIHAN 2
Hitunglah:
a. tan 30o + cot 60o


b. sin . cos
3
3


c. sin2 + cos2
3
3
d. sin 30o cos 60o + cos 30o sin 60o
e.
cos30 o  sin60 o
tan60 o  cot30 o
C. PEMBAGIAN SUDUT DAN SUDUT BERELASI DALAM TRIGONOMETRI
1.
Pembagian Sudut dalam Trigonometri
y
Kuadran II
90o <  < 180o

< < 
2
Kuadran III
180o <  < 270o

3
< <
2
2
2.
Kuadran I
0o <  < 90o

0o <  <
2
x
Kuadran IV
270o <  < 360o
3
<  < 2
2
Sudut-Sudut Berelasi
Jika diberikan nilai  adalah sudut lancip, maka
Y
(x,y)

x
...
...
...
cos  =
...
...
tan  =
...
sin  =
y
X

5. Kuadran I
sin ( 90o -  )
cos ( 90o -  )
tan ( 90o -  )
= cos 
= sin 
= cot 
Kuadran II
sin ( 90o +  )
cos ( 90o +  )
tan ( 90o +  )
= cos 
= - sin 
= - cot 
Kuadran II
sin (180o -  )
cos (180o -  )
tan (180o -  )
= sin 
= - cos 
= - tan 
Kuadran III
sin (180o +  )
cos (180o +  )
tan (180o +  )
= - sin 
= - cos 
= tan 
Kuadran III
sin ( 270o -  )
cos ( 270o -  )
tan ( 270o -  )
= - cos 
= - sin 
= cot 
Kuadran IV
sin ( 270o +  ) = - cos 
cos ( 270o +  ) = sin 
tan ( 270o +  ) = - cot 
Kuadran IV
sin ( 360o -  )
cos ( 360o -  )
tan ( 360o -  )
sin (  + k . 360o )
cos (  + k . 360o )
tan (  + k . 360o )
= - sin 
= cos 
= - tan 
= sin 
= cos 
= tan 
Jika kita memiliki sudut (   ), maka perbandingan trigonometri adalah:
Y
(x,y)
y


x
-y
(x,-y)
X
Lengkapilah perbandingan
berikut berdasarkan gambar
di samping!
...
sin (-  ) =
=…
...
...
cos (-  )=
=…
...
...
tan (-  )=
=…
...

6. LATIHAN C
1.
Tentukanlah nilai dari:
a. sin 120o
b. tan 150o
c. cos (-1350)
d. sec 300o
e. sin 240o – cos 330o
2.
Tentukanlah perbandingan trigonometri yang lain jika diketahui:
a. tan x = 2, dengan x adalah sudut tumpul
1
b. cos A = , dengan A adalah sudut di kuadran I
2
12
c. cot A =  , dengan 90o < A < 270o
5
3
d. cosec C =  2 , dengan   C  2
2
3
Jika sin y =  dan tan y > 0, tentukan perbandingan trigonometri yang lain!
5
3.
4.
5.
5

dan 0o < x < , tentukan nilai sin (180o–x) + 3.cos (90o+x)!
5
2
Sederhanakanlah bentuk berikut:
Jika cos x =

cos90
 + sec180  x
 x  cos ec90  x 
sin 360 0  x
6.
0
0
0
Dalam segitiga ABC buktikan bahwa:
a. sin (B+C) = sin A
1
1
b. sin (B+C) = cos A
2
2
D. KOORDINAT KUTUB
1.
Y
y
P(x,y)=P(r,  )
r
Koordinat kutub
Jika sebuah titik diketahui P (x,y) maka:
r=

x
X
x2  y2
y o
, 0    360 o
x
maka koordinat kutubnya adalah P (r,  )
tan  =

7. 2.
Koordinat kartesius
Jika diketahui panjang r dan  , maka:
y
sin  =
 x = r. sin 
r
x
cos  =
 y = r. cos 
r
Jadi Koordinat kartesiusnya P (x,y)
LATIHAN D
1. Nyatakan setiap koordinat cartesius berikut ini dalam koordinat kutub.

a. (4, 45o)
c. (2, )
3
3
b. (3, 270o)
d. (3,
4
2. Nyatakan setiap koordinat kutub berikut ini dalam koordinat kartesius.
3)
a.
(1,
b.
(4 3 , 4)
c.
(-5, -6)
d.
(15, -12)
E. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Teorema E:
Untuk setiap sudut  tertentu berlaku:
sin 
1. tan  =
cos 
2. sin 2   cos 2   1
3. tan 2   1  sec 2 
4.
1 + cot 2  = cos ec 2 
LATIHAN E
Buktikan identitas berikut:
a. tan x. cos x = sin x
b. tan y + cot y = sec y . cosec y
1
c.
= cos 2 x
1  tan 2 x
d.
e.
1  sin 2 y
= cot 2 y
1  cos y
sin p ( 1+ cot2 x) = cosec x
2

8. F. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
Tugas Kelompok!
Buatlah grafik trigonometri dengan y = sin  , y = cos  , dan y = tan  dalam satu
grafik dimana 0o    720 o ! Dalam kertas karton berukuran 30 x 50 cm!
G. PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA
1. Penyelesaian Persamaan Trigonometri sin x = sin  , cos x = cos  , tan x = tan 
Teorema G.1
Sudut dalam derajat:
1. sin x = sin  maka x =  + k.360o atau x = (180o -  ) + k. 360o
2. cos x = cos  maka x =   + k . 360o
3. tan x = tan  maka x =  + k . 180o
2.
Penyelesaian Persamaan Trigonometri sin x = a , cos x = a , tan x = a
Cara: Ubahlah a   ke dalam bentuk sin, cos, tan. Kemudian diselesaikan
dengan Teorema G.1
LATIHAN G
1.
2.
3.
Tentukan akar persamaan dan penyelesaian umum dari setiap persamaan berikut:
a. sin xo = sin 50o, 0  x  360
b. cos xo = cos 75o, 0  x  360
c. sin 2xo = - sin 100o, 0  x  360
2
d. cos 2xo = cos
, 0  x  180
3
1

e. tan x = - tan , 0  x  2
6
2
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:
a. sin ( x – 30)o = sin 15o, 0  x  360
b. cos (3x – 60)o = cos (-300)o, 0  x  
c. cos 2xo = sin 2xo, 0  x  180
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut:
1
2
a. sin xo =
2
b.
c.
tan ( x – 40)o =  3 , 0  x  2
1
sec x 2 =  2 , 0  x  2
2

9. H. ATURAN SINUS UNTUK SEGITIGA
C
Teorema H
a
a
b
c


=2R
sin A sin B sin C
Dengan a = BC; b = AC; c = AB, dan
R := jari-jari lingkaran
Pada setiap  ABC berlaku
b
R
R
A
O
R
c
B
LATIHAN H
1. Tentukanlah panjang sisi-sisi segitiga ABC jika diketahui
a.  A = 110o,  C = 20o, b = 6 !
b. a = 12, b = 5,  B = 24o
c. a + b + c = 100,  A = 42o,  B = 106o
2. Diketahui sudut-sudut  ABC adalah ,, dan . Jika sin 2   sin 2   sin 2  ,
buktikan bahwa  = 90o !
I.
ATURAN KOSINUS UNTUK SEGITIGA
C
Teorema I
Pada setiap  ABC berlaku
1. a 2  b 2  c 2  2bc cos A
2. b 2  a 2  c 2  2ac cos B
3.
c 2  a 2  b 2  2ab cos C
b
a
A
B
c
LATIHAN I
1. Diketahui  ABC, dengan  A = 120o, a = 14 cm, dan c = 10 cm. Hitunglah
unsur-unsur yang lain!
2. Carilah sudut terbesar dan sudut terkecil dari  ABC , jika diketahui a = 20 cm, b
= 25 cm, dan c = 30 cm !
3. Sisi –sisi segitiga ABC berbanding sebagai 6 : 5 : 4. Tentukan kosinus sudut yang
terbesar dari segitiga tersebut!

10. J.
LUAS SEGITIGA
1.
Luas segitiga dengan besar sudut dan dua sisi yang mengapit sudut itu diketahui
Teorema J.1:
1
1. L = bc sin A
2
1
2. L = ac sin B
2
1
3. L = ab sin C
2
2.
C
b
a
A
B
c
Luas Segitiga dengan Besar Dua Sudut dan Satu Sisi yang Terletak di antara
Kedua Sudut Diketahui
Teorema J.2
Pada setiap  ABC berlaku:
1.
a 2 sin B . sin C
L=
2 sin A
2.
L=
C
c 2 sin A. sin B
3. L =
2 sin C
b 2 sin A. sin C
2 sin B
b
a
A
B
c
3.
Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui
Rumus Heron
Pada setiap  ABC berlaku:
S( S  a )( S  b )( S  c )
Dengan L = Luas  ABC , BC = a, AC = b, dan AB = c
1
S = a  b  c  adalah setengah keliling  ABC.
2
L=

11. DAFTAR PUSTAKA
Sartono Wirodikromo. 2000. MATEMATIKA 2000 SMU Kelas 1 Caturwulan 1.
Jakarta:Erlangga.
Kartini,Suprapto, Endang S, Untung S, Subandi, Nur Akhsin. 2004. Matematika SMA
Kelas X. Klaten : Intan Pariwara.
Husein Tamponas. 2007. Seribu Pena Matematika jilid 1 untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta:
Erlangga.
Johanes, Kastolan, Sulasim. 2005. Kompetensi Matematika Kelas 1 SMA Semester Kedua.
Jakarta : Yudhistira.
Krismanto. 2008. Pembelajaran Trigonometri SMA. Yogyakarta: Pusat Pengembangan dan
Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika.