Dokumen tersebut membahas tentang penentuan posisi titik P berdasarkan kelima titik referensi dengan mengukur jaraknya, kemudian menggunakan metode least square untuk mendapatkan koordinat titik P. Dokumen juga membahas tentang penambahan persamaan normal dan memperlakukan konstrain dalam perhitungan survei.

1. Survei Deformasi Strukturr
1
Contoh Soal:
Penentuan Posisi dengan Jarak
Contoh soal ini disusun berdasarkan Mikhail, hal. 275:
X
Y
E
A
B
D
C
P
Berdasarkan gambar diatas tentukanlah posisi titik P berdasarkan kelima titik
referenesi (titik kontrol) yang lainnya, jika diukur jarak dari kelima titik itu ke
titik P antara lain:
Titik Kontrol X (m) Y (m) Jarak Ukuran (m)
A 698.41 1005.07 4122.109
B 580.14 2207.37 3444.530
C 5482.77 8503.22 4897.717
D 6191.16 7160.26 4129.233
E 6095.81 4920.30 2739.177
Jika diketahui apriori varians 2
0 = 0.002 m2
. Dan ketelitian pengukuran
adalah 222
)0040.0()0020.0( S ; dimana S adalah jarak ukuran dalam
km. Hitunglah koordinat titik P dengan hitung kuadrat terkecil.
Solusi:
Tentukan terlebih dahulu koordinat pendekatan titik P (Xp
0
, Yp
0
). Lihat
Mikhail halaman 277. Didapat nilai titik P pendekatan adalah:
mYmX PP 07.4021dan44.3508 00

Tentukan persamaan pengukuran:
   22
pjpjpj YYXXD 

2. Survei Deformasi Struktur
2
Karena persamaanny adalah non-linier dan antara parameter dengan dapat
dipisahkan maka digunakan model indirect: v = A + w.
Untuk sebuah pengukuran berlaku :









 














0
00
0
00
,
)()(
00 pj
pj
pjYXp
pj
p
pj
D
YY
D
XX
Y
D
X
D
A
pj
pp
 pjpj DDw  0
sehingga model indirect dalam notasi matrik dapat disusun sebagai:






























































001.0
113.0
002.0
049.0
090.0
32828.094458.0
76021.064967.0
91515.040311.0
52655.085014.0
73165.068168.0
5
4
3
2
1
p
p
Y
X
v
v
v
v
v
matrik ketelitian pengukuran adalah:

















0124.00000
00277.0000
000388.000
0000193.00
00000276.0
lC
Dan matrik bobotnya adalah:
















 
1613.00000
00722.0000
000515.000
0001036.00
00000725.0
12
0 lCP
Sehingga diperoleh koordinat titik P yang baru:
m






016.0
008.0
dan
mYYY
mXXX
ppp
ppp
09.4021
45.3508
0
0


karena disini nilai  sangat kecil maka tidak perlu iterasi. Tetapi jika nilai 
masih besar (biasanya  > 0.001 m) harus di-iterasi, caranya yaitu dengan
memasukkan nilai koordinat yang baru tersebut sebagai koordinat pendekatan
lagi, dan seluruh proses perhitungan dimulai dari awal lagi.
Menentukan matrik kovarians dari parameter:

3. Survei Deformasi Struktur
3
mQC xx 








0404.00260.0
0260.00236.02
0
Global Test:
22
0 00055.0
25
00165.0
ˆ m
un
PvvT





Untuk tingkat kepercayaan 5%: maka  = 0.05, /2 = 0.025 dan 1-/2 =
0.975. Dari tabel diketahui bahwa:
2
2
0
2
3,975.02
2
0
2
3,025.0
00623.0
r
dan00014.0 mm
r




ternyata 0.00014 < 0.00055 < 0.00623 sehingga hipotesa bahwa 2
0 =
0.0020m2
diterima. Atau dengan kata lain pada level kepercayaan 5%, 2
0ˆ
masih konsisten dengan 2
0 .
Mengevaluasi ellip kesalahan titik P. (lihat halaman 224)
ELLIP KESALAHAN
Untuk menentukan sumbu panjang ellip 'x , sumbu pendek ellip 'y , dan
arah dan besar rotasi sumbu ellip  terhadap sumbu sistem koordinat XY,
dipakai rumusan berikut:
  2
1
2
2222
2
'
42 











 xy
yxyx
x

4. Survei Deformasi Struktur
4
  2
1
2
2222
2
'
42 











 xy
yxyx
x
22
2
2tan
yx
xy



dimana 2
x , 2
y adalah varian yang didapat dari matrik kovarian, sedangkan
2
xy adalah kovarian yang juga didapat dari matrik kovarian.
Sehingga untuk kasus titik p diatas:
Dari matrik kovarian Cx dapat diketahui bahwa 2
x = 0.0236m2, 2
y =
0.0404m2, sedangkan xy = -0.0260m2
. Sehingga dapat dihitung:
mm xx 244.0ellippanjangsumbusehingga0593.0 22

mm yy 069.0ellippendeksumbusehingga0047.0 22

dan nilai  = 1260
.
Untuk dapat memplot ellip kesalahan tersebut pada selang kepercayaan
tertentu, besarnya faktor skala (pengali) c dapat dilihat pada tabel berikut:
Faktor skala
c
Selang Kepercayaan
P [U <= c]
1.000 0.394
1.177 0.500
1.414 0.632
2.000 0.865
2.146 0.900
2.447 0.950
3.000 0.989
3.035 0.990
3.500 0.998
Sebagai contoh, jika ellip kesalahan tersebut diplot untuk selang kepercayaan
95%, maka nilai faktor skala c = 2.447. Sehingga sumbu panjang ellip adalah
(2.447)x(0.244) = 0.597m. Sedangkan untuk sumbu pendek ellip adalah
(2.447)x(0.069) = 0.169m. Sedangkan orientasi sumbu ellip tetap 1260
.
Gambar berikut adalah plotting ellip kesalahan untuk selang kepercayaan 95%
(Mikhail, hal 281).

5. Survei Deformasi Struktur
5

6. Survei Deformasi Struktur
6
KONSTRAIN DAN PERSAMAAN NORMAL
Materi:
1. Penambahan persamaan normal (Addition of Normal Equations)
2. Memperlakukan konstrain (Treatment of Constraints)
PENAMBAHAN PERSAMAAN NORMAL
Ingatlah lagi bentuk linier dari model implisit (kombinasi):
1,,0 0
1
 
lCPwBvA
yang akan menghasilkan solusi untuk persamaan normalnya adalah:
wBBCAABBCA T
l
TT
l
T 111
)())(( 

Sekarang jika persamaan linier dari model kombinasi tersebut kita partisi
menjadi 2 set pengukuran yang tidak berkorelasi, dengan parameter yang
sama:









































2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
0
0
0
,0
0
0
2
1
P
P
C
C
P
w
w
v
v
B
B
A
A
l
l
Substitusikan vektor-vektor yang terpartisi tersebut kedalam persamaan
normalnya, maka:
1.




















































*
2
*
1
1
2
1
22
1
1
1
11
1
2
1
1
2
1
1
2
111
0
0
)(0
0)(
0
0
0
0
0
0
)(
P
P
BPB
BPB
B
B
P
P
B
B
BBP
T
T
T
T
T
2.














































2
1
*
2
*
1
21
1
2
1
*
2
*
1
21
0
0
)(
0
0
)(
w
w
P
P
AA
A
A
P
P
AA TTTT
 
})(
)({)()(
2
1
2
1
222
1
1
1
1
111
1
2
1
2
1
2221
1
1
1
111
wBPBA
wBPBAABPBAABPBA
T
TTTTTT




dan
1
2
1
2
1
2221
1
1
1
111
2
0 })()({ 
 ABPBAABPBAC TTTT
x
Disini kita tidak perlu melakukan perhitungan untuk keseluruhan matrik,
cukup hanya menjumlahkan komponen pengukuran lama ke yang baru.

7. Survei Deformasi Struktur
7
Dengan kata lain, kontribusi yang tidak berkorelasi (independen) ke persamaan
normalnya dapat hanya dijumlahkan saja.
Sehingga persamaan normal dapat disusun sebagai:
   
niwBPBAABPBA i
T
i
T
ii
T
ii
T
iii
T
i ,...,1)())(( 111
Untuk model indirect (parameter):
  niwPAAPA ii
T
iii
T
i ,....,1,)(
Selama pengukuran tidak berkorelasi kita dapat:
- Mengakumulasikan persamaan normal dengan menambahkan sebuah
observasi pada epoch tertentu (sehingga mungkin untuk melihat pengaruh
dari setiap pengukuran ekstra).
- Dapat menghapus pengukuran yang buruk dengan memberikan harga
negatif untuk bobotnya, dan
- Sebagai cara yang mudah untuk menerapkan konstrain dan juga untuk
sequential estimation/adjustment.
Contoh soal:
Tentukan nilai parameter persamaan linier berikut ini dengan cara hitung
perataan biasa dan dengan penambahan persamaan normal:
0.1244
0.137
9.14
1.832
21
21
21
21




xx
xx
xx
xx
dengan matrik bobot















1000
0300
0020
0004
P
persamaan tersebut akan diselesaikan dengan model indirect v = A x + w.
















































0.12
0.1
9.1
1.8
44
37
14
32
2
1
4
3
2
1
x
x
v
v
v
v
wAxv
solusi hitung kuadrat terkecil dengan model indirect:
0)(  wPAxPAA TT

8. Survei Deformasi Struktur
8


































2.17306
0.82637
0
4.150
107
8131
31211
2
1
2
1
x
x
x
x
solusi dengan penambahan persamaan normal:
  niwPAxAPA ii
T
iii
T
i ,....,1,)(
Matrik Ai Matrik Pi Matrik wi Ai
T
PiAi Ai
T
Piwi
A1 = (2, 3) 4 -8.1






3624
2416








2.97
8.64
A2 = (4, -1) 2 -1.9








28
832






8.3
2.15
A3 = (-7, 3) 3 -1.0








2763
63147






 0.9
0.21
A4 = (4, 4) 1 -12.0






1616
1616








0.48
0.48
Total:








8131
31211








4.150
107
Solusi untuk parameter adalah:







2.17306
0.82637
x
Contoh aplikasi lain adalah misalnya:
- Didalam perhitungan bundle adjustment pada photogrammetry
- Didalam Network adjustment baik dengan GPS, Total Station ataupun
kombinasi kedua-duanya.
MEMPERLAKUKAN KONSTRAIN
Pada kasus penambahan persamaan normal, pengukuran dapat berupa apapun
(baik secara riil ataupun secara simulasi) yang memiliki bobot tertentu.
Misalnya, kondisi konstrain dapat diperlakukan sebagai pengukuran (weighted
observation). Kaji kembali persamaan konstrai dengan bobot tertentu:
0 hwH , bobot = Ph
Persamaan normal (untuk kasus model indirect/parameter)

9. Survei Deformasi Struktur
9
0)()(  hh
TT
h
TT
wPHPwAHPHPAA
Persamaan ini sering diistilahkan dengan konstrain dengan penambahan
persamaan normal. Dan
12
0 )( 
 HPHPAAC h
TT
x
Tingkatan/kondisi dimana suatu kondisi konstrain akan diterapkan sangat
tergantung dari besarnya nilai Ph, yang pada suatu nilai maksimum tertentu
harus dikenakan kondisi konstrain absolut. Singkatnya, jika Ph cenderung
membesar (menuju tak hingga) maka teknik penambahan persamaan normal
akan tidak berguna.
Untuk mengatasi hal ini, gunakan lagi bentuk persamaan normal yang ditulis
dalam bentuk hyper-matrix:






















 


h
T
h
TT
h w
PwA
PH
HPAA
k
1
1
Mengeliminasi kh dari bentuk hyper-matrix diatas akan menghasilkan
penambahan persamaan normal. Untuk konstrain absolut, 1
hP = 0 (untuk
bobot yang tak terhingga)





















 

h
TTT
h w
PwA
H
HPAA
k
1
0
Dalam model Implisit:





















  
h
T
ii
TTT
iii
T
h w
wBBiPA
H
HBPBA
k
)(
0
)( 111
Persamaan konstrain dengan menggunakan hyper-metrix ini sering disebut
sebagai “bordered normal equation” atau “Helmert bordering”.
Matrik kovarian dari parameter untuk kasus model indirect adalah:
1
2
0
0










H
HATPA
C
T
Catatan:
Hanya ada satu nilai kh untuk setiap satu persamaan konstrain.
Setiap satu persamaan konstrain akan menambah satu degree of freedom
(karena menambah satu ekstra pengukuran).
Konstrain dengan Helmert bordering lebih sesuai untuk sistem persamaan
yang lebih kecil/sedikit.

10. Survei Deformasi Struktur
10
Secara umum lebih prakyis untuk memberikan konstrain melalui pemberian
nilai bobot yang cukup besar (tapi jangan terlalu besar). Sebuah bobot adalah
sama dengan satu per lima dari angka signifikan dari nilai standard error.
Misalnya, suatu konstrain harus dikenakan sampai ke angka mm terdekat, jika
dipilih satu sigma misalnya 0.2mm.
Ada beberapa teknik alternatif untuk menerapkan konstrain.
Contoh Soal:
Hitung kuadrat terkecil model indirect dengan konstrain:
Diketahui suatu pengukuran jaringan sipat datar sebagai berikut:
A
D
C
Bh1
h5
h6
h2h4
h3
4km
4km
3km
5km
5km
3km
HA = 100.0m
Diketahui pula data pengukuran:
Pengukuran (m) Ketelitian
00.201 h 42
0
2
1

h
04.302 h 32
0
2
2

h
00.103 h 42
0
2
3

h
86.394 h 32
0
2
4

h
92.435 h 52
0
2
5

h
74.196 h 52
0
2
6

h
Diasumsikan nilai apriori varian 04.02
0  .Dan nilai pendekatan untuk tinggi
titik B, C, D adalah mHB 00.1200
 , mHC 00.1500
 , mHD 00.1400
 .
Ditanyakan:

11. Survei Deformasi Struktur
11
1. Hitung tinggi titik B, C, dan D dengan model indirect.
Jika pada jaringan tersebut diterapkan konstrain yaitu HD - HC = -120.20m,
maka:
2. Hitung tinggi titik B, C, dan D dengan model indirect dan konstrain
Helmert Bordering.
3. Hitung tinggi titik B, C, dan D dengan model indirect, dan konstrain
penjumlahan persamaan normal.
Solusi:
Persamaan matrik model indirect:



















































































26.0
08.0
14.0
0
04.0
0
101
010
100
110
011
001
6
5
4
3
2
1
D
C
B
H
H
H
v
v
v
v
v
v


































2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
2
0
12
0
/10
/1
/1
/1
/1
0/1
h
h
h
h
h
h
lCP
Persamaan normal:
0
0.0987
0.0027
0.0387-
0.7830.250-0.200-
0.250-0.7830.333-
0.200-0.333-0.783



































D
C
B
H
H
H
Solusi:
A posteriori varian:
0.0025714
3
0.0077143
ˆ 2
0 


un
PvvT
-0.1464
-0.0550
-0.0114



D
C
B
H
H
H

12. Survei Deformasi Struktur
12
Solusi dengan konstrain Helmert Bordering.
Persamaan pengukuran konstrain:
   
h
D
C
B
DDCC
wH
H
H
H
HHHH
20.1000.15000.140110
020.10

















Persamaan normal yang baru:
0
20.0
0.0987
0.0027
0.0387-
011-0
10.7830.250-0.200-
10.250-0.7830.333-
00.200-0.333-0.783
















































h
D
C
B
k
H
H
H
Solusi:
































0.0552
0.1937-
0.0063
0.0026
h
D
C
B
k
H
H
H
mHH
H
H
H
CD
D
C
B
20.10
8063.139
0063.150
0025.120




A posteriori varian:
Solusi konstrain dengan penambahan persamaan normal
Perlakukan kondisi konstrain sebagai sebuah pengamatan ekstra:
   
h
D
C
B
DDCC
wH
H
H
H
HHHH
20.1000.15000.140110
020.10

















disini kita tidak memiliki bobot pengukuran untuk konstrain, harus
dilihat/deibandingkan dengan standard error-nya, misalnya dengan apriori
varian atau ketelitian yang dapat mencapai: 04.0 . Agar dapat teliti harus
diasumsikan nilai bobot yang teliti sampai mm, misalnya 0001.0 . Sehingga
nilai bobotnya:
0.0034258
4
0.0137032
ˆ 2
0 


un
PvvT

13. Survei Deformasi Struktur
13
8
22
10
)0001.0(
11


hP
Berdasarkan rumusan konstrain:
  020.010
1
1
0
11010
1
1
0
0
88























 kh
T
h
T
wPHHPH
0
102.0
102.0
0
10100
10100
00
8
8
88
88

























Penjumlahan persamaan normal:
0
102.0
102.0
0
0.0987
0.0027
0.0387-
10100
10100
00
0.7830.250-0.200-
0.250-0.7830.333-
0.200-0.333-0.783
8
8
88
88















































































D
C
B
H
H
H
Akhirnya solusi yang didapat:

























0.1937-
0.0063
0.0026
D
C
B
H
H
H
Solusi yang diperoleh dari teknik konstrain dengan penjumlahan persamaan
normal ini relatif sama dengan solusi konstrain dengan teknik helmert
bordering.