Άλγβερα Β΄Λυκείου-Ευάγγελος Τόλης

1. Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Ευάγγελος Τόλης
www.askisopolis.gr

2. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
1.1.ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ………………………….…………….. 3
1.2.ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ…………………………………. . 9
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ……………………………………... 11
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
2.1 .ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ…………………… 13
2.2.ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ…………………. 18
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ……………………………………… 21
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
3.1.ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ…............................................ 24
3.2.ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ…………..…. 26
3.3.ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 10
ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ……………………..….. 29
3.4.ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ……………………………… 33
3.5.ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ…………………………. 38
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓ. ΣΥΝΑΡΤ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ… 44
3.6.ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ  ……………………..……47
3.7.ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2α……………………………. 52
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ………..………….55
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
4.1.Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ…………………..………….. 57
4.2.ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ………………….…………………. 61
4.3.ΠΟΛΥΩΝΙΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ…………..….. 67
4.4. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ……… 72
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ…………….……… 77
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ
5.1.ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ…………….………………………… 79
5.2.ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ…………………………..……………………… 90
5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ…………….…..……………… .95
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ… 105
ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ………………………….……………………… 109
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ…………………………………………… 118
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ…………………………………………………… 130

3. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2x2
[3]
1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος 2x2
Γραφική επίλυση
Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν:
- οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση  0 0x ,y ,που είναι οι
συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών.
- οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε το σύστημα είναι αδύνατο, αφού δεν υπάρχει κοινό
σημείο του οποίου οι συντεταγμένες να είναι λύση του συστήματος.
- οι ευθείες ταυτίζονται, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, αφού υπάρχουν άπειρα κοινά
σημεία στις δύο ευθείες.
Μέθοδος αντικατάστασης
Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς τον έναν άγνωστο, για παράδειγμα ως προς y. Αντικαθιστούμε
το y στην άλλη εξίσωση και έτσι προκύπτει εξίσωση μόνο με έναν άγνωστο, το χ. Από την
τελευταία εξίσωση βρίσκουμε το χ και την τιμή του την αντικαθιστούμε στη πρώτη εξίσωση απ’
όπου υπολογίζουμε το y.
Μέθοδος αντίθετων συντελεστών
Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς,
ώστε οι συντελεστές του ενός αγνώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουν
να είναι αντίθετοι. Στη συνέχεια προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε, οπότε
προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο, την οποία και επιλύουμε.
Τέλος αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μια από τις αρχικές εξισώσεις και
βρίσκουμε την τιμή του άλλου αγνώστου.
Λύση – Διερεύνηση Γραμμικού Συστήματος 2x2
Έστω το γραμμικό σύστημα
x y
x y
   

     
.
Βρίσκουμε την παράσταση D
 
     
  
που ονομάζεται ορίζουσα του
συστήματος.

4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2x2
[4]
Βρίσκουμε τις ορίζουσες D
 
      
  
και yD
 
     
  
.
- Αν D 0 , το σύστημα έχει μοναδική λύση  x, y , όπου xD
x
D
 και yD
y
D

- Αν D 0 , το σύστημα θα είναι αδύνατο ή θα έχει άπειρες λύσεις.
Γραμμικό σύστημα 3χ3
Όταν έχουμε τρεις γραμμικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους x,y,z
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
x y z
x y z
x y z
     

     
     
και
θέλουμε να βρούμε τις κοινές τους λύσεις τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό
σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα 3x3.
Η πιο συνηθισμένη μέθοδος επίλυσης ενός τέτοιου συστήματος είναι η μέθοδος
αντικατάστασης.
Λύνουμε τη μία από τις τρεις εξισώσεις ως προς τον έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στις
δύο άλλες εξισώσεις. Έτσι οι δύο τελευταίες εξισώσεις μετατρέπονται σε γραμμικό σύστημα
2x2, το οποίο το λύνουμε με έναν από τους προηγούμενους τρόπους. Αφού προσδιορίσουμε
τους δύο αγνώστους αντικαθιστούμε τις τιμές τους στην πρώτη εξίσωση απ’ όπου υπολογίζουμε
την τιμή και του τρίτου αγνώστου.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α΄ ΟΜΑΔΑ
1. Να λυθούν τα συστήματα:
i.
x y 1
x y 21
  

  
ii.
3x 5 2(y 1) 8
2(x 1) 3(1 2y) 9
   

   
iii.
x y
1
2 3
3x 2(y 3)

 

  
2. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β, αν γνωρίζετε ότι τα ζεύγη (1,1) και
(- 1, 5) είναι λύσεις της εξίσωσης x y 9 0    .
3. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:
i.
x y 1 3x 4y 1 4x 2y
4 2 3
5(x 1) 6(y 1) 3
    
 

     
ii.
x 3 2y 6
1
5 3
5x 1 y 4
5
3 2
 
  

   


5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2x2
[5]
4. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:
i.
x 3 y 1 0
x y 3 0
  
  
ii.
x 2y 2
2x 3y 3
  

 
iii.
2x 3y 6
x 3 y 0
 

  
5. Nα λύσετε την ανίσωση:
2x 1
1 05x 1 1 x
3
3 x2
2 3

  
 

6. Αν ισχύει
2
3 x
11 1
3 x
  
 

με 0  και x 0 να αποδείξετε ότι 3 3 3
3      .
7. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:
i.
2x 3y 5
5 2x 3 3y 1
  

 
ii.
   
 
5 1 x 4y 4 5 1
x 5 1 y 6 2 5
    

   

iii.
3x 9y 3 3
x 3 3y 3
  

 
8. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:
i.
2 x 3 y 2
x 2 y 8
  

 
ii.
x y 3
x 3 y 7
  

 
9. Να βρεθεί το σύστημα των εξισώσεων που έχουν γραφικές παραστάσεις τις ευθείες ε1,ε2 του
διπλανού σχήματος. Μετά να βρεθεί το κοινό σημείο των ε1,ε2.
10. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ, να βρείτε τα κοινά σημεία των ευθειών:
i.      1 2: x 2y 2 : 2 1 x 1 y 2 1               
ii.    1 2: 2 x 4y 8 3 :2x 4 y 8            
11. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής 2
y     , της οποίας η γραφική παράσταση
διέρχεται από τα σημεία      A 1,8 , B 1,2 2,5   .
12. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:
45
0
y
x
ý
x´
2
ε1
ε2
0
-1
-1

6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2x2
[6]
i.
x y 1
2x y 6
x y 2 5
   

  
     
ii.
x y 1
x 2y 8
3x y 2 3
    

   
    
iii.
2x y 1
4x y 5
x y 2 5
   

    
    
13. Να βρεθεί κλάσμα τέτοια ώστε αν στους δύο όρους του προσθέσουμε το 2 προκύπτει ο
αριθμός 2 ενώ αν από τους όρους του αφαιρέσουμε 3 προκύπτει ο αριθμός 3.
14. Σ’ ένα γκαράζ υπάρχουν συνολικά 50 οχήματα, αυτοκίνητα και ποδήλατα. Αν όλα τα
οχήματα έχουν 164 ρόδες, πόσα αυτοκίνητα και πόσα ποδήλατα υπάρχουν στο γκαράζ;
15. Να βρείτε τρείς αριθμούς που έχουν άθροισμα 45, ο δεύτερος είναι ο μέσος όρος των δύο
άλλων και ο τρίτος είναι κατά 14 μεγαλύτερος από τον πρώτο.
Β΄ ΟΜΑΔΑ
16. Αν το σύστημα
 
 
1 x y 2
3x 1 y 4 2
   

     
έχει άπειρες λύσεις, να αποδείξετε ότι το σύστημα
 
 
x 2 1 y 3
2x 1 3 y
    

    
είναι αδύνατο.
17. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β για τους οποίους τα συστήματα
 
1
6 x y 2
:
x y 0
    
 
  
και 2
x 3y 1
:
x y 2
 
 
   
είναι συγχρόνως αδύνατα.
18. Για ποιες τιμές των ,  τα συστήματα:
x 2y
8x y 1
   

    
και
 2x y 5
3x 9y 2
    

  
είναι συγχρόνως αδύνατα;
19. Δίνεται το σύστημα:
2x 3y 11
x 5y 7
  

  
, .
i. Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει λύση για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό λ.
ii. Να βρείτε τη μοναδική λύση .
iii.Για ποια τιμή του λ η λύση (x, y) που βρήκατε στο (β) επαληθεύει τη σχέση:
59
x y
13
 
20. Δίνονται τα συστήματα: 1
x 2y 1
:
3x 7y 2
  
 
 
και 2
x 2y 1
:
4x 9y 2
   
 
    
για ποιες τιμές των μ
και κ τα συστήματα είναι ισοδύναμα;

7. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2x2
[7]
21. Για ποια τιμή του λ, το σύστημα
x 2y 4
x 3y 5
  

  
έχει λύση η οποία επαληθεύει την
εξίσωση x 5y 17  ;
22. Για ποιες τιμές των κ, λ το σύστημα 2 2
x y 3
x y
   

   
έχει άπειρες λύσεις μία από τις οποίες
είναι η  (x,y) 2, 1 ;
23. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει:
x y
x y
D D D
D D 3D
 

 
. Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, να βρεθεί η λύση αυτή.
24. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει:
2 2
x y x yD D 2D D  και D 0 . Αν x y 6  , να βρεθούν τα x, y.
25. Σε ένα γραμμικό σύστημα 2x2 με αγνώστους χ,y, για τις ορίζουσες του x yD, D , D
ισχύει η σχέση: 2 2
x x y y2D 2D D D 0   . Να βρείτε τη λύση του συστήματος, αν γνωρίζετε
ότι είναι μοναδική.
26. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει:
2 2 2
x y xD D D 4D 2D 5    
i. Να αποδείξετε ότι:    
2 2 2
x yD 2 D 1 D 0.    
ii. Να βρείτε τη λύση του συστήματος.
27. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:
i.
x y 6
y 4
x 18
 

   
 
ii.
1 1 3
x y 4
1 1
0
y
1 1 1
x 2

 


 


  

28. Για ποιες τιμές των x και y η εξίσωση x-2y+1+λ(x-y)=0 αληθεύει για οποιονδήποτε
πραγματικό αριθμό λ;
29. Δίνονται οι ευθείες ε1 και ε2 με εξισώσεις x-y=-1 και λx-y=-1 αντίστοιχα, λ R .
α) Να βρείτε τις σχετικές τους θέσεις για τις διάφορες τιμές του λ R .
β) Να βρείτε το λ για το οποίο τέμνονται κάθετα.
γ) Για το λ που βρήκατε στο (β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου
που σχηματίζεται από τις ευθείες και τον άξονα x΄x.

8. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2x2
[8]
30. Δίνεται το σύστημα:
x 2y 5
3x y 5
2x y
 

 
   
ι) Να οριστεί η τιμή της παραμέτρου α ώστε οι ευθείες που παριστάνουν οι πιο πάνω
εξισώσεις να περνούν από το ίδιο σημείο.
ιι) Αν α  0 δείξτε ότι οι παραπάνω ευθείες σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο.
31. Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα
ήταν ίσος με το
1
8
του χρόνου της ζωής του. Αν όμως πέθαινε 9 χρόνια αργότερα και
εξακολουθούσε να βασιλεύει, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος με το
1
2
του
χρόνου της ζωής του. Να βρεθεί πόσα χρόνια έζησε ο Μέγας Αλέξανδρος και πόσα
βασίλεψε.
32. Κάποιος μοιράζει με διαθήκη ένα ποσό σε τρεις ανιψιούς του Α, Β, Γ άνισα, ανάλογα προς
τους αριθμούς 7, 6 και 5. Στη συνέχεια, με μια δεύτερη διαθήκη, αλλάζει τα μερίδια και
διανέμει το ποσό ανάλογα προς τους αριθμούς 6, 5 και 4.
α) Ποιος από τους κληρονόμους κερδίζει με τη νέα μοιρασιά; Ποιος χάνει;
β) Ένας από τους κληρονόμους κερδίζει με τη δεύτερη μοιρασιά 6.000€ περισσότερο απ’ ότι
κερδίζει με την πρώτη. Πόση ήταν η κληρονομιά και πόσο κάθε μερίδιο με τη δεύτερη
μοιρασιά;
33. Να βρεθεί τριψήφιος φυσικός αριθμός αν:
α) το άθροισμα των ψηφίων του είναι 24.
β) ο αριθμός ελαττώνεται κατά 9 στην περίπτωση που αλλάξει η θέση των δύο τελευταίων
ψηφίων του
γ) ο αριθμός ελαττώνεται κατά 90 στην περίπτωση που αλλάξει η θέση των δύο πρώτων
ψηφίων του.

9. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ
[9]
1.2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Ο πιο συνηθισμένος τρόπος επίλυσης ενός μη γραμμικού 2x2 συστήματος , είναι η μέθοδος
αντικατάστασης. Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς τον άγνωστο που έχει πρώτο βαθμό και
αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση.
Α΄ ΟΜΑΔΑ
1. Να λύσετε το σύστημα:
2
x xy 10
2x y 7
  

 
.
2. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:
i.
2 2
2x y 3x y 11
5x y 2
    

 
ii.
2
y xy 10
5x y 17
  

 
iii.
2
x xy 3
3x 2y 7
  

 
3. Να βρεθούν τα κοινά σημεία του κύκλου x2
+y2
=13 και της παραβολής y= 23
x .
4

4. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά.
i.
2
2x y 0
6x y 4
  

 
ii.
2 2
x y 4
x y 0
  

 
iii.
2 2
x y 2
xy 1
  


5. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά.
i.
2
2 y 0
2x y 4
   

  
ii.
2 2
x y 25
x y 1
  

  
iii.
2 2
x y 17
xy 4
  


iv.
2 2
x y 34
x y 8
  

 
6. Για ποιες τιμές του λ R η ευθεία y=λx+3 εφάπτεται του κύκλου x2
+y2
=4;
7. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η ευθεία y 4x τέμνει την
παραβολή 2
y x .
Β΄ ΟΜΑΔΑ
8. Δίνεται η ευθεία με εξίσωση y=λx-2 και η παραβολή 21
y x
2
 . Να προσδιορίσετε το λ R ,
ώστε η ευθεία να έχει με την παραβολή:
ι) ένα κοινό σημείο ιι) δύο κοινά σημεία. ιιι) κανένα κοινό σημείο.

10. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ
[10]
9. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:
i.
2 2
2 2
x y x y 42
x y x y 18
    

   
ii.
 
x y xy 5
x y xy 6
  

 
10. Να λύσετε τα συστήματα :
i. 2
x y w 2
2xy w 4
  

 
ii.
x y xy 7
xy(x y) 6
   

 
11. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:
i.
2
2
x xy 3
y xy 2
  

  
ii.
 
2 2
x y 6 x y
x y 24
   

 
12. Ομοίως τα συστήματα:
i.
x(2x y) x 0
x y 2
  

  
ii.
   2
x y y 4 16 y
3x 4y 11
    

 
13. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:
i.
3 3
x y 35
x y 5
  

 
ii.
x y 6
x y xy 11
 

  
iii.
2 2
2 2
x xy y 75
x xy y 25
   

  
14. Να λύσετε το σύστημα:
x y xy 4
y z yz 7
z x zx 9
  

  
   

11. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
[11]
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
1. Δίνεται το σύστημα
5y 4x 1
,
2x 3y 2
   

  
Α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση  0 0x ,y για κάθε τιμή του λ.
Β) Να βρείτε τις τιμές των 0 0x , y .
Γ) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του λ, για τις οποίες η λύση  0 0x ,y του συστήματος
ικανοποιεί τη σχέση 0 0x y 3  .
2. Δίνεται το σύστημα
 k 1 x 2y k 1
kx ky 1
   

 
,όπου k πραγματικός αριθμός
Α) Να βρεθεί το k ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση.
Β) Να βρεθεί η μοναδική λύση  0 0x ,y για τις παραπάνω τιμές του k.
Γ) Να βρεθούν οι τιμές του k για τις οποίες η λύση  0 0x ,y του συστήματος ικανοποιεί τη
σχέση 0 0x y 3  .
3. Α) Να λυθεί το σύστημα: 2
x y 1
x y
  

   
, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου  .
Β) Αν  0 0x ,y η μοναδική λύση του προηγούμενου συστήματος, να βρεθούν οι τιμές της
παραμέτρου  ώστε 0 0y 0 x  .
4. Δίνεται το σύστημα
   2
x y 2
( 1)x 1 y 2 1
  

       
,όπου μ 
 .
i. Να αποδείξετε ότι για κάθε μ το σύστημα έχει μοναδική λύση .
ii. Να βρείτε τη μοναδική λύση 0 0(x ,y ) .
iii. Να προσδιορίσετε το μ , ώστε η παράσταση 2 2
0 0x y   να γίνει ελάχιστη.
5. Δίνεται το σύστημα
   
 
1 x 1 y 2
x 1 y 2
     

    
και η εξίσωση  2
x 1 x 1 0     .
Α) Να βρείτε τη τιμή του λ για την οποία το σύστημα είναι αδύνατο.
Β) Να αποδείξετε ότι αν το σύστημα είναι αδύνατο, τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα την οποία
και να βρείτε.
Γ) Να βρείτε την μοναδική λύση του συστήματος  0 0x ,y και να αποδείξετε ότι 0 0x 2y  .

12. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
[12]
6. Δίνεται το σύστημα
 
 
1 x y 2
,
x 1 y 1
     

      
το οποίο έχει ορίζουσα D.Επίσης η
εξίσωση    2
D 5 4 D 1 0,        έχει μία διπλή ρίζα
i. Να βρείτε την ορίζουσα D και τη διπλή ρίζα της εξίσωσης
ii. Nα λύσετε το σύστημα
7. Δίνεται η συνάρτηση   2
f x x x     με , ,   για την οποία ισχύουν:
f(1)=0,f(-1)=10 και f(2)=1.
α)τις τιμές των α,β,γ
β)να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες
γ)να λύσετε την ανίσωση    f x f x 1 7  
8. Δίνετται η εξίσωση :  2
x x 0      η οποία έχει ρίζες 1 2x ,x για τις οποίες
ισχύουν οι σχέσεις : 1 2 1 2x x 3,x x 2     και 2 2
1 2x x 3     
Να βρείτε τους αριθμούς α,β και γ.
9. Δίνεται το σύστημα :
2x y 7
7x 2y 11
  

  
α) Να βρείτε τη λύση  0 0x ,y του συστήματος
β)Η γραφική παράσταση της συνάρτησης   2
f x x x    έχει κορυφή το σημείο  0 0x ,y
i)να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii)να λύσετε την ανίσωση  f x 0
iii)να λύσετε το σύστημα
 y f x
x y 6


  
10. Δίνεται το σύστημα
 
 
1 x 8y 4
x 3 y 3 1
    

      
το οποίο έχει μοναδική λύση 0 0x ,y για
την οποία ισχύει 0 0x y 1 
α)Να βρείτε τον αριθμό λ.
β)Δίνεται η συνάρτηση   2
f x x 2 x 6    
i. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
ii.Να λύσετε το σύστημα :
 
 
y f x
2y f x 1 10x


  

13. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ
[13]
2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Μεθοδολογία ασκήσεων
Μονοτονία συνάρτησης
 Γνωρίζοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
Προβάλουμε τα τμήματα της καμπύλης που κατέρχονται (φθίνει) από αριστερά προς τα
δεξιά, στον άξονα χ΄χ και βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως
φθίνουσα.
Αντίστοιχα προβάλουμε τα τμήματα της καμπύλης τα οποία ανέρχονται (αυξάνει) στον
άξονα χ΄χ και βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
 Γνωρίζοντας το τύπο της συνάρτησης
Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f.
Θεωρούμε 1 2x ,x  με 1 2x x , όπου   . Στη συνέχεια προσπαθούμε με κατάλληλες
πράξεις να σχηματίσουμε τα  1f x και  2f x .
Αν    1 2f x f x , τότε f στο Δ, ενώ αν    1 2f x f x , τότε f στο Δ.
Ακρότατα συνάρτησης
 Γνωρίζοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
Βρίσκουμε (αν υπάρχει) το κατώτερο σημείο   0 0x ,f x της fC . Τότε η f παρουσιάζει
ελάχιστο στο 0x το  0f x .
Αντίστοιχα βρίσκουμε (αν υπάρχει) το ανώτερο σημείο   1 1x ,f x της fC .
Τότε η f παρουσιάζει μέγιστο στο 1x το  1f x .
 Γνωρίζοντας το τύπο της συνάρτησης
Αρχικά προσπαθούμε να μετατρέψουμε (αν χρειάζεται) το τύπο της συνάρτησης στη μορφή
   
2k
0f x x x   . Τότε:
- Αν 0  , έχουμε
         
2k 2k 2k
0 0 0 0x x 0 x x 0 x x f x f x              ,
οπότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0x το  0f x .

14. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ
[14]
- Αν 0  , έχουμε
         
2k 2k 2k
0 0 0 0x x 0 x x 0 x x f x f x              ,
οπότε η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0x το  0f x .
Άρτια - Περιττή συνάρτηση
 Γνωρίζοντας το τύπο της συνάρτησης
Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f. Παρατηρούμε αν αυτό είναι
συμμετρικό γύρω από το 0, γιατί τότε για κάθε x και x  .
Στη συνέχεια βρίσκουμε το  f x , αντικαθιστώντας στην f όπου x το – x.
Αν    f x f x  ,τότε η f είναι άρτια ενώ αν    f x f x   , τότε η f είναι
περιττή. Αν όμως δεν μπορούμε να καταλήξουμε στα προηγούμενα, τότε
θεωρούμε δύο αντίθετες τιμές για το χ που ανήκουν στο Α και αποδεικνύουμε
ότι    f x f x  και    f x f x   , οπότε η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε
περιττή.
 Γνωρίζοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
Διπλώνουμε το σχήμα κατά μήκος του άξονα y΄y. Αν τα τμήματα της καμπύλης
συμπέσουν τότε η συνάρτηση είναι άρτια.
Περιστρέφουμε το σχήμα κατά 180 , αν το νέο σχήμα που θα προκύψει είναι
ίδιο με το αρχικό τότε η συνάρτηση είναι περιττή.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α΄ ΟΜΑΔΑ
1. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις:
i.  f x x 4   ii.  f x 6x 38  iii.  f x 3 x  iv.  f x 3 2 x 1  

15. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ
[15]
2. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις σε καθένα από τα
διαστήματα του πεδίου ορισμού τους:
i.  
3
f x
x
 ii.   2
1
f x
x
 iii.  
2
x x
f x
x 1



iv.  
x
f x
x
 v.  
1
f x x
x
  vi.   1821 1453
f x x 3x 2014  
3. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων:
i.   2
f x 3x 2  ii.    
2
f x 4 x 1 3   iii.    
22014 2
f x x x x 1   
4. Να αποδείξετε ότι:
i. Η συνάρτηση   2
f x x 6x 4   παρουσιάζει ελάχιστο το  f 3 5  .
ii. Η συνάρτηση   2
4x
g x
x 4


παρουσιάζει μέγιστο για x 2
5. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές:
i.   4 2
f x x 3x 2   ii.   5 3
g x x 2x 4x   iii.  
2
x
h x
x 1


iv.  
3x
t x
x 5


v.   4 3
x x 5x x 4     vi.   2
x 9 x  
6. Να εξετάσετε ποιες από τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων έχουν
άξονα συμμετρίας τον y΄y και ποιες κέντρο συμμετρίας το  O 0,0 :
i.   2
f x 25 x  ii.   2
2x
f x
x 1


iii.   2
f x x x
7. Δίνεται η συνάρτηση  
2
x 9 , x 0
f x
2x 8 , x 0
  
 
  
.
i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα
 ,0 και  0, .
ii. Να βρείτε τις τιμές  f 4 και  f 1 .
iii. Να εξετάσετε αν η f είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της.
Β΄ ΟΜΑΔΑ
8. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο . Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
i.    f 3x 2 f x 4   ii.    f x 1 f 3  iii.    f x 2 f 2x 3 0   

16. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ
[16]
9. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο με  f x 0 για κάθε x . Να αποδείξετε
ότι η συνάρτηση  
 
1
g x
f x
 είναι γνησίως φθίνουσα στο .
10. Αν η συνάρτηση  f x 3x 1  έχει πεδίο ορισμού το διάστημα  2,5 , να βρείτε τα
ακρότατα της.
11. Να βρείτε, αν υπάρχει το ελάχιστο ή το μέγιστο των συναρτήσεων:
i.   2
f x x 2x 10   ii.   2014
3
g x
x 3


iii.  h x x 1 4  
12. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις:
i.   2
f x 4 x  ii.  f x x 2 
13. Δίνεται η συνάρτηση 3
f(x) 4x x 5   , x .
i. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.
ii. Να λύσετε την ανίσωση  f x 3 0  .
14. Δίνεται η συνάρτηση 3
f(x) 8 x  , x .
i. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.
ii. Να λύσετε την ανίσωση   f f x 8 8  .
15. Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση  f x είναι περιττή στο , τότε η συνάρτηση
   2
g x f x είναι άρτια.
16. Αν συνάρτηση f είναι περιττή στο , να λύσετε την εξίσωση:
   2014 2014
f x 1 x 2 f 1 x    
17. i. Για κάθε α > 0, να δείξετε ότι α +
1
α
 2.
ii.Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f (x) = x +
1
x
με x > 0.
18. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R και είναι άρτια. Στο [α, β] με 0<α<β είναι γνησίως
αύξουσα. Να εξεταστεί η μονοτονία της στο [-β, -α].
19. Μια συνάρτηση f είναι περιττή στο διάστημα [-12, 12]. Η μελέτη στο διάστημα
[0, 12] έδωσε τον διπλανό πίνακα.
x
f(x)
0 1 4 12
3
2
0
5

17. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ
[17]
Να συμπληρώσετε τον πίνακα
για ολόκληρο το διάστημα [-12, 12].
20. Τα παρακάτω σημεία ανήκουν στην γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης. Να
συμπληρώσετε τους αριθμούς που λείπουν:
(-1, 2) (
1 1
,
2 2
) (…, 2) (…, 4) (3, …) (-3, 18) ( 2 , 4)
1
,...
2
 
 
 
21. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα με πεδίο ορισμού το R 0<α<β να διατάξετε από
την μικρότερη προς την μεγαλύτερη τις τιμές:
f
2
  
 
 
, f(α), f(β), f(0), f(α-β), f
2
3
   
 
 
22. Δίνεται η συνάρτηση  f x 1 x 2  
i. Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία.
ii. Να δείξετε ότι
1
f 2014 1
2014
 
  
 
iii. Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 2.
23. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο R . Αν
1 2
f f
3 5
   
   
   
και η Cf
διέρχεται από το σημείο Α(1, 4) να λύσετε την ανίσωση  f 3x 1 4 
24. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο R να λύσετε τις εξισώσεις.
i.    2
f x f 4x 4 
ii.    f 2x 5 f 3 

18. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ
[18]
2. 2 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ
Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης    g x f x c  , c 0 προκύπτει από κατακόρυφη
μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f κατά c μονάδες προς τα πάνω και η γραφική
παράσταση της συνάρτησης    h x f x c  , c 0 προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της
γραφικής παράστασης της f κατά c μονάδες προς τα κάτω.
Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
   g x f x c  , c 0 , προκύπτει από
οριζόντια μετατόπιση της γραφικής
παράστασης της συνάρτησης f κατά c
μονάδες προς τα αριστερά.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
   h x f x c  , c 0 , προκύπτει από
οριζόντια μετατόπιση της γραφικής
παράστασης της συνάρτησης f κατά c
μονάδες προς τα δεξιά.
Σημείωση: Για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης    1 2g x f x c c   ,
χρησιμοποιούμε τόσο την οριζόντια όσο και την κατακόρυφη
μετατόπιση.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση
  2
f x 4 x  . Στο ίδιο σύστημα αξόνων να
παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των
συναρτήσεων:
i.   2
1g x 2 x  ,   2
2g x x  και   2
3g x 1 x  
ii.        
2 2
1 2h x 4 x 2 h x 4 x 2      
iii.        
2 2
1 2x x 2 x 2 x 2        
y
x΄
y΄
xO
 y f x
 y f x c 
c
c
c
c c
y
x΄
y΄
xO
 y f x  y f x c 
c
c c
c
c
c
y΄
x΄ x
O
y

19. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ
[19]
2. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση
 f x x . Στο ίδιο σύστημα αξόνων να
παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των
συναρτήσεων:
i.  1g x x 3  ,  2g x x 1 
ii.    1 2h x x 2 h x x 4    
iii.    1 2x x 2 1 x x 4 3        
3. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση
 f x x  . Στο ίδιο σύστημα αξόνων να
παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των
συναρτήσεων    g x 3 x ,h x x 2     
 x 3 x 2    .
4. Δίνεται η συνάρτηση   2
f x 3x 2x 1   . Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης
f της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις
της γραφικής παράστασης της f:
i. κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά και κατά 3 μονάδα προς τα πάνω.
ii. κατά 1 μονάδα προς τα δεξιά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω.
iii. κατά 2 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 2 μονάδες προς τα πάνω.
iv. κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω.
x΄
y΄
x
O
y
y΄
x΄ x
O
y

20. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
[20]
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική
παράσταση μιας συνάρτησης f.
i. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της.
ii. Να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων:
A f( 6) f( 5)   
f( 3) f( 2)
B
f( 1) f( 2)
  

  
f(3) f(4) f(5) f(6)     .
2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
2
3
x x , x 0
f(x)
x 4, x 0
  
 
 
, είναι γνησίως
αύξουσα στο .
3. Δίνεται η συνάρτηση  
x 3 ,x 1
f x
x ,x 1
  
 
  
.
i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
ii. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.
iii.Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα ακρότατα της f.
4. Δίνεται η συνάρτηση  
2x 1 ,x 0
f x
2x 1 ,x 0
  
 
 
.
i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
ii. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.
iii.Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα ακρότατα της f.
5. Δίνεται η συνάρτηση 3
f(x) x 5x 1   , x .
i. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.
ii. Να λύσετε την ανίσωση   f f x 7 .
6. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο και συνάρτηση g γνησίως φθίνουσα
στο .
i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h(x) = 27f 3
(x) – 8g3
(x) είναι γνησίως αύξουσα
στο .
ii. Αν ισχύει
 
 
f 0 2
g 0 3
 , να λύσετε την ανίσωση 27f 3
(x) > 8g3
(x) .
7. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x2015
+x2013
+1.
i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο
x
y
0
3 4
5 6-1-2
-3-4
-5-6
fC
y΄
x΄

21. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
[21]
ii. Να λύσετε την ανίσωση : x2015
+x2013
-2>0
iii. Να λύσετε την ανίσωση : f(f(x))<3
8. Η γραφική παράσταση Cf μιας
συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο
σχήμα.
i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της.
iii. Να λύσετε τις εξισώσεις:
a) f (x) = 0,
b) f (x) = 2,
c) f (x) = - 2
iv. Να λύσετε τις ανισώσεις: a) f (x) > 0,
b) f (x) < 0,
c) f (x)  2,
d) f (x) < - 2
v. Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια.
vi. Να εξετάσετε αν η f είναι περιττή.
y
0
21
–1–3
–2
1 3
x
9. Δίνεται η συνάρτηση  f x 16 x 3x 9 x 1      .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε το σημείο τομής της f με τον άξονα y΄y
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία
δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f
ε) Να λύσετε την ανίσωση: 16 x 3x 9 x 1    
10. Δίνεται η συνάρτηση   3
f x x x   , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το
σημείο Μ(-1,4)
α) Να αποδείξετε ότι λ=-3
β) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία
δ) Αν    , να συγκρίνετε τους αριθμούς  2 2
f   και  f 2
ε) Να λύσετε την ανίσωση :      
33 2 2
3x 1 x 5 3 x 3x 4     

22. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ
[22]
3.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύουν:
Γ ημ Β =
A
B


συν Β =
AB
B
εφ Β =
A
AB

Α Β
Τριγωνομετρικοί αριθμοί χαρακτηριστικών γωνιών:
ημίτονο

2
1
2
3
 3
2

3
3
4
 2
2

4
5
6
 1
2

6
π 0 συνημίτονο
-1 
3
2

2
2

1
2
0 1
2
2
2
3
2
2π
7
6


1
2


6
5
4


2
2


4
4
3


3
2


3
3
2
 -1

23. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ
[23]
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α΄ΟΜΑΔΑ
1. Να εκφραστεί (i) Η γωνία 0
30 σε rad. (ii) H γωνία
5
3

rad σε μοίρες
2. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών
0 0 91 61
1485 , 2790 , , .
3 6
 
3. Αν
9 14
x
2 3
 
  να αποδείξετε ότι: ημx-συνx > εφx+σφx .
4. Αν
5
x 3
2

   να αποδείξετε ότι: ημx-εφx>συνx+σφx.
5. Αν
3
x
2

   να αποδείξετε ότι: συνx+1+3εφx+4σφx>0.
6. Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή των παραστάσεων:
α) y = 2 + 3 συνx β) y = 5 + ημ2
x γ) y =
1
2 - x
7. Να δειχθεί ότι:
ημ405 - ημ750
συν1125 + συν1860
= 3 - 2 2 .
Β΄ΟΜΑΔΑ
8. Αν 3 x 4 .    Να δείξετε ότι
x x x x
2 3
2 2 2 2
      
9. Αν ισχύει
3
x
2

   να δείξετε ότι:
2
x. x 2 x. x x x 0       
10. Αν
3
x 2
2

   δείξτε ότι 2
x x 2 x x x x 0       
11. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή των παραστάσεων:
Α= 2
1 2 x  Β= 2
3 x 2 1   
12. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή των παραστάσεων:
Α=1-3συν2
x Β=3ημω-2συν2
x-1
13. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει γωνία ω ώστε : 2
2 3,       .
14. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει γωνία ω ώστε : 2
4 4 3,       .
15. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει x τέτοιος ώστε
i) 2
x 12 7 x    ii) 2
x 1 x 5    
16. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει x τέτοιος ώστε
i) 2
x 6 5 x    ii) 2
x 1 x 11    

24. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
[24]
3.2. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
2 2
x x 1  
x
x
x

 

x
x
x

 

x x 1  
2
2
1
x
1 x
 
 
2
2
2
x
x
1 x

 
 
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α΄ ΟΜΑΔΑ
1. Αν
4
x
5
   και
3
x ,
2

   Να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της
γωνίας x rad.
2. Αν x 2   και x .
2

   Να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της
γωνίας x rad.
3. Aν ένα σημείο Μ ενός τριγωνομετρικού κύκλου που έχει διαγράψει τόξο ω
βρίσκεται στο 20
τεταρτημόριο και έχει τεταγμένη y =
5
13
.Να υπολογίσετε την
τιμή της παράστασης:
13 12 2012
5 13 25
 
 
 
4. Απλοποιήστε τις κλασματικές παραστάσεις:
i)
4 2
4 2
συν x - συν x
ημ x - ημ x
ii)
2 2
2 2
x - y
συν x - συν y

5. Να αποδειχθεί ότι:
 
2
2 2
2 2
1 1
i) x x
x x
ii) x. x x. x x x
x 1 x 2
iii)
1 x x x
    
 
        
  
 
   
iv)
4 4 2
1
1
      
  


25. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
[25]
v)
x 1 x 1
1 1 2
x x
     
     
   
6. Αν x 4 x   και
3
x ,2
2
 
  
 
, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς
αριθμούς της γωνίας x.
7. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες υπάρχει γωνία χ
για την οποία ισχύει ότι:
i.
1
x
2
 
 

και
3 2
x
4
 
 
 
.
ii. x 1    και x 2  
iii.
1
x
2
 
 
 
και
1
x
2
 
 
 
iv.
1
x
2
 
 
 
και 2
2
x
3
 
 
 
8. Αν
1
2
 
 
 
και 2
2
3
 
 
 
.Να προσδιορίσετε το κ .
Β΄ΟΜΑΔΑ
9. Αν 6ημ2
x + ημx - 1 = 0 και π < x <
3π
2
, να βρεθεί το συνx.
10. Αν
9
x 5
2

   και 2
16 9   , να βρείτε την τιμή της παράστασης
1 
 
 
11. Αν 4 x 3 x 5    και 0 x
2

  , να υπολογιστεί η x .
12. Να εξετάσετε αν οι ρίζες της εξίσωσης 4x2
+2 3 1 x 3  =0 μπορούν να
είναι το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας θ.
13. Αν x x   , να υπολογίσετε με τη βοήθεια του 2  τις
παραστάσεις:
i. x x  ii. x x   iii. 2 2
x x  iν. 3 3
x x 
14. Να αποδειχθεί ότι:
i.
2 2 4
4
2 2 4
ημ α -συν α +συν α
= εφ α
συν α -ημ α + ημ α
ii. 2
2
1-2ημθ 1-3ημθ
- = 3εφ θ
συν θ 1-ημθ

26. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
[26]
15. Αν ρ1,ρ2 είναι ρίζες της εξίσωσης
     2 2
1 x 1 x 1 0, 1          
τότε να δείξετε ότι ρ1+ρ2+ρ1ρ2=1.
16. Αν 0    και
1
1
 
 

,
1
1

 
 
Να αποδείξετε ότι :
2    
17. Να βρείτε το  ,ώστε η παράσταση
 6 6 4 4
x x x x      
Να είναι ανεξάρτητη του x και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή της
παράστασης Κ.
18. Να αποδείξετε ότι : 2 2
x y 2 x y 2      για κάθε x,y
19. Να αποδείξετε ότι :
1
2
 
20. Να αποδειχτεί ότι 5 x 2 x 5      .
21. Να δείξετε ότι:
i. 3 x + 2 x   5 ii. 2 x - 10 x   12

27. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο
ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ
[27]
3.3. ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο
ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ
Μεθοδολογία
Η αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο γίνεται και με εμπειρικούς τρόπους, ένας από
τους οποίους είναι και ο παρακάτω:
1. Για τυχαίο ακέραιο κ ισχύει ότι:
 ημ(κπ  θ) = ημθ  συν(κπ  θ) = συνθ
 εφ(κπ  θ) = εφθ  σφ(κπ  θ) = σφθ
Δηλαδή:
i. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί τόξων της μορφής x = κπ  θ δεν
αλλάζουν (τα ημίτονα παραμένουν ημίτονα κ.λπ.).
ii. Το πρόσημο στο β΄ μέλος εξαρτάται:
 από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται ο αριθμός x (χωρίς να
βλάπτεται η γενικότητα μπορούμε να θεωρούμε ότι  π
2
θ 0, ).
 από το πρόσημο του συγκεκριμένου τριγωνομετρικού αριθμού x
στο τεταρτημόριο αυτό.
2. Για τυχαίο περιττό ακέραιο κ ισχύει ότι:

κπ
ημ θ συνθ
2
 
   
 

κπ
συν θ ημθ
2
 
   
 

κπ
εφ θ σφθ
2
 
   
 

κπ
σφ θ εφθ
2
 
   
 
Δηλαδή:
i. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί τόξων της μορφής κπ
2
x θ  , όπου ο κ
είναι (υποχρεωτικά) περιττός ακέραιος αλλάζουν από ημίτονα σε συνημίτονα,
από συνημίτονα σε ημίτονα, από εφαπτομένη σε συνεφαπτομένη και από
συνεφαπτομένη σε εφαπτομένη.
ii. Το πρόσημο στο β΄ μέλος εξαρτάται:
 Από το τεταρτημόριο, στο οποίο βρίσκεται ο αριθμός x.
 Από το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού του α΄ μέλους στο
συγκεκριμένο τεταρτημόριο.

28. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο
ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ
[28]
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α΄ ΟΜΑΔΑ
1. Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών:
i. 19500
ii. -12150
iii.
38
3

 iν.
55
4


2. Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:
i. ημΑ = ημ (Β + Γ) ii. ημ2
Β + συν2
(Α + Γ) = 1
3. Να δείξετε ότι:
5π 7π 4π
ημ . συν . εφ
24 6 3 = -
4π 5π 7π 4
2ημ . εφ . σφ
3 4 6
.
4. Να απλοποιηθεί η κλασματική παράσταση:
π
( x) ( - x)
2
( x) ( x)
   
    
.
5. Να αποδείξετε ότι:
- ημ (270 + θ) ημ (180 + θ) - 1
=
1 + συν (90 + θ) συν (180 - θ)
.
6. Να αποδείξετε ότι:
 
3
( ) 0.
2 2
    
              
   
7. Να εκφράσετε συναρτήσει του ημx και του συνx τις παραστάσεις:
Α = συν (x - π) + συν (x -
π
2
) + ημ (x - π) + ημ (x -
π
2
)
8. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις:
(3 x). x . (7 x)
2
7
(9 x). x . x
2 2
 
      
  
    
         
   
( )
2 2
( )
2
    
         
    
 
     
 
9. Να δείξετε ότι:
( x). ( x). (9 x)
i. 1
17 13
x . (x 2 ). x
2 2
     

    
         
   

29. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο
ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ
[29]
(2 ). ( ). ( ). . (2 )
2
ii.
3 3
. ( ). .
2 2 2
 
           
   
       
               
     
0 0 0
0 0 0
(180 ). (90 ). (180 )
iii. 1
(90 ). (90 ). (90 )
5
. ( 2 ). (3 )
2
iv. 1
3
. (5 ). ( )
2 2
        

        
 
           
   
  
          
 
10. Να αποδείξετε ότι:
9 11 9 11
2 2 2 2
1
17 19 13 15
2 2 2 2
          
                  
        
          
              
       
11. Να αποδείξετε ότι:
   
 
13 27
9 23
2 2
9
11
2
    
            
     
 
      
 
12. Αν για τις οξείες γωνίες Β και Γ τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ότι
11
4
  και
5
4
  , να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
Β΄ ΟΜΑΔΑ
13. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δειχθεί ότι:
i. συν2
Α=
 2
1
1 
ii. συν  
3 3
0
2 2
   
           
iii. ημ2
2
2
2
2
1
2
   
    
   
   
 
14. Δίνονται οι παραστάσεις Α= 1 91 2 92    και
Β= 2
x ( x). ( x) 2 x . ( x)
2 2
    
             
   
.
Να δείξετε ότι 2  .

30. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο
ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ
[30]
15. Αν 2
x 2 x 0    και 0 x
2

  , να βρεθεί η τιμή της παράστασης:
Α=
2011 33
x 2 x
2 2
3 (27 x) ( 3 x)
    
       
   
    
16. Αν συν
23 23 1
2 2 2
    
        
   
να υπολογιστεί η παράσταση
Α=εφ2
x+σφ2
x.
17. i. Να αποδείξετε ότι: συν (x + 45°) = ημ (45° - x)
ii. Να βρεθεί η αριθμητική τιμή του αθροίσματος:
συν2
(x + 45°) + συν2
(x - 45°) + ημ2
(45° - y) + ημ2
(y + 45°).
18. Δίνεται
1
4 4 2
    
         
   
.Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:
i. Α= 2 2
4 4
    
        
   
ii. Β=
4 4
    
       
   
19. Δίνεται
5
2
12 12
    
         
   
.Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:
Ι) Α= 2 25
12 12
    
        
   
ΙΙ) Β= 3 35
12 12
    
        
   
20. Να αποδείξετε ότι:
i. 0 0 0 0 0
0 1 2 ... 179 180 0      
ii. 0 0 0 0
0 1 2 ... 359 0     
21. Αν 0
2

   ,να δείξετε ότι:
 
3 5
2 1
2 2
      
            
    

31. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
[31]
3.4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Τύποι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων:
ημ x = ημ θ  x = 2kπ + θ ή x = 2kπ + π - θ
συν x = συνθ  x = 2kπ + θ ή x = 2kπ - θ
εφ x = εφ θ  x = kπ + θ
σφ x = σφ θ  x = kπ + θ πάντα με κΖ
Ειδικές περιπτώσεις:
ημ x = 1  x = 2kπ +
2

ημ x = -1  x = 2kπ -
2

συν x = 1  x = 2kπ συν x = -1  x = 2kπ + π
ημ x = 0  x = kπ συν x = 0  x = kπ +
2

εφx=0  x=kπ σφx=0  x = kπ +
2

πάντα με κΖ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α΄ ΟΜΑΔΑ
1. Να λυθούν οι εξισώσεις:
ι) 2 συνx-1=0 ιι) 3 εφx-1=0 ιιι) 3 σφx-3=0
ιv) εφ2x 3 v) εφx = 0
2. Να λύσετε τις εξισώσεις:
ι)
3
ημ2x
2
  ιι)
2
συν2x
2
 
ιιι)
π
εφ x 3
6
 
   
 
ιv) σφ2x = -1
3. Ομοίως οι εξισώσεις:
ι) 3 (1+ημx)(2+συνx)=0 ιι) (3εφx+ 3 )(1-συν2
x)=0
ιιι) (1-2ημ2
x)(1+2συν2
x)=0 ιν) (1+συνx)
1
1 0
x
 
  
 
4. Να λυθούν οι εξισώσεις:

32. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
[32]
       2
i) x 1 . 2 x 2 0 ii) x 1 . x 0 iii) 2 x 1 . x 0            
5. Να λυθούν οι εξισώσεις:
1
i) x ii) 3x 3 iii) x x 0
4 2 3 3
       
                
     
6. Ομοίως οι εξισώσεις:
ι) ημ
3x 2x
0
2 3
   ιι) συν2x+συν
x
0
2
 ιιι) εφx=- εφ2x
7. Να λυθούν οι εξισώσεις:
i) 3x (x ) ii) 2x x
3 6
  
        
 
8. Να λύσετε τις εξισώσεις:
ι)
π
ημ2x συν x
3
 
  
 
ιι)
π π
συν x ημ x 0
3 6
   
      
   
ιιι)
π
εφ2x σφ x
4
 
  
 
ιv)
π π
ημ 2x συν x 0
4 2
   
      
   
9. Να λυθούν οι εξισώσεις:
 
2 2
2 2 2
i) 2 x 5 x 3 0 ii) 2 x 1 5 x
iii)2 x 3 1 x iv) 3 x x 5 x 0
        
         
10. Να λυθεί στο  0, η εξίσωση 2 2x 1
5
 
   
 
.
11. Να λυθούν οι εξισώσεις:
ι) 2ημ 2x 1
3
 
  
 
στο (π, 2π) ιι) 1-σφ2x=0 στο ,0
2
 
 
 
ιιι) εφx+ εφ2x=0 στο ,
4 4
  
 
 
.
12. Δίνεται η εξίσωση 4ημ(x – π)  ημ(2π – x) = ημ2
(x + π) + συν2
(x – π).
α)Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση 4ημ2
x = 1.
β) Να λυθεί η δοσμένη εξίσωση.
Β΄ ΟΜΑΔΑ
13. Να λυθούν οι εξισώσεις:
i) 2 x x 2 x 2 x 2 0        ii) 3 2
x 2 x x    

33. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
[33]
14. Να λυθεί η εξίσωση 5x 10x 1   .
15. Να λυθεί στο  0,2 η εξίσωση 1 x x   .
16. Να λυθεί στο  ,2  η εξίσωση  x x 3 2     .
17. Να λυθεί η εξίσωση:   2 2 2
4 x x x x 3 x 0      
18. Να λυθεί η εξίσωση: 3 2
x 2 x x     .
19. Να λυθεί η εξίσωση ημ4
x = 1 – συν4
x.
20. Να λυθεί η εξίσωση: 2 2
7 x 3 4 x x 2 x        
21. Να λυθεί η εξίσωση: 2012 2014
2x x 0  
22. Να λυθεί η εξίσωση: 2 4
x 2 x 2   
23. Να λύσετε τις εξισώσεις:
i. 2
ημx 1 4 ημx 1
ημx 1 1 ημx συν x ημx
 
 
  
ii.
2 2
2 2 4
ημ x 3 5 ημ x 15
ημ x 2 ημ x 2 ημ x 4
 
 
  
24. Να λυθεί η εξίσωση  3
2
1
2x
x 3 x 4

      .
25. Να λυθεί η εξίσωση:
  4
2
x 1 x 1
3 2x
  
 
26. Να λυθεί η εξίσωση
2 2
2 x x 2   .
27. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:
i. x 1
2
 
   
 
ii.  x 1  
28. Δίνεται η εξίσωση: 2 2 3
ημ x λ συνx λ , λ
4
   
Αν μια λύση της εξίσωσης είναι ο αριθμός 2π
3
x  , τότε:
i. να βρείτε την τιμή του λ.
ii. να βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης.
29. Δίνεται η συνάρτηση  
1 1
f x x 1 x 1
x x
  
       
   
.
i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

34. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
[34]
ii. Να λύσετε την εξίσωση  f x 2 στο διάστημα  0, .
30. Έστω η συνάρτηση :  
x 1
f x
x
 


i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.
iii. Να λύσετε την εξίσωση :  f x x  .
31. Δίνεται η συνάρτηση   2
f x 3 x ( 3 1) x 1      , x 0,
2
 
 
 
.
i. Να λύσετε την εξίσωση  f x 0 .
ii. Αν  η μεγαλύτερη ρίζα της προηγούμενης εξίσωσης, να αποδείξετε ότι:
   
   
9
2
2
1
17
1821
2
 
        
    
 
       
 
32. Δίνεται η συνάρτηση  
x x
f x
1 x
 


.
i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
ii. Να αποδείξετε ότι  
1
f x 1
x
 

.
iii. Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια.
iv. Να αποδείξετε ότι
 4k 1
f x f x
2 2
   
    
   
v. Να λύσετε την εξίσωση f x 3
2
 
  
 
.
33. Δίνεται η συνάρτηση   3 2
f x 2 2x 2x 4 2x 2      .
i. Να αποδείξετε ότι
3
f x f x
2 2
    
     
   
.
ii. Να λύσετε την εξίσωση  f x 0 .
iii. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης    3
g x 2 2x 2 2x f x    
καθώς και τις αντίστοιχες τιμές του x.
34. Δίνεται η συνάρτηση  
1 2 x x
f x
x x
  

  
.
i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
ii. Να αποδείξετε ότι  f x x x   .
iii. Να λύσετε την εξίσωση    f x f x 1 0   .

35. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
[35]
35. Δίνονται οι συναρτήσεις  
2
2
16 x
f x
1 x


 
και   2
g x x 1   .
i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού τους.
ii. Να λύσετε την εξίσωση    f x 3g x .
iii. Να αποδείξετε ότι   2
f x 16 x  και   2
1
g x
x


.
iv. Να λύσετε την εξίσωση 2 2
16 x x 3 0    .
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
36. Να λυθούν οι ανισώσεις:
ι) ημx
3
2
 ιι) ημ3x
1
2
  ιιι) συν2x
2
2
 
ιν) συν3x
3
2
 ν) συν
1
x
3 2
 
  
 
νι) εφx<1
νιι) σφ2x 1  νιιι) εφ 3x 3
4
 
  
 

36. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
[36]
3.5. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Μεθοδολογία
 Συναρτήσεις της μορφής ημαx ή συναx έχουν περίοδο 2π/α ενώ οι
συναρτήσεις της μορφής εφαx ή σφαx έχουν περίοδο π/α.
 Συναρτήσεις της μορφής αημx ή ασυνx έχουν ακρότατα -α και α.
 Συναρτήσεις της μορφής -ημx, -συνx, -εφx, -σφx είναι συμμετρικές των
αρχικών ως προς τον οριζόντιο άξονα.
 Συναρτήσεις της μορφής α+ημx, α+συνx, α+εφx, α+σφx είναι μετατοπισμένες
στον κάθετο άξονα κατά α.
 Συναρτήσεις της μορφής ημ(αx+β), συν(αx+β), εφ(αx+β), σφ(αx+β) είναι
μετατοπισμένες στον οριζόντιο άξονα κατά -β/α.
 Μία τριγωνομετρική συνάρτηση μπορεί να υπάγεται σε περισσότερες από μία
από τις παραπάνω περιπτώσεις π.χ. -3ημ(2x-
4

)+5
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α΄ ΟΜΑΔΑ
1. Να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο των συναρτήσεων:
α) f(x) = 4ημx β) f(x) = 2συν2x-5
γ) f(x) = -3ημ3x+4 δ) f(x) = -5συν3x
2. Να βρείτε την περίοδο των συναρτήσεων:
α) f(x) = 3ημ2x β) f(x) = 2συν3x
γ)
x
f(x) 5
2
 ημ δ)
x
f(x) 2
3
  συν
3. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις:
α. f(x) = ημ x β. f(x) = 3ημ x γ. f(x) = ημ 2x δ. f(x) = 4ημ 2x
4. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις:
α. f(x) = συν x β. f(x) = -4συν x γ. f(x) =
1
2
συν 2x
5. Να βρεθεί η περίοδος των συναρτήσεων.
α. 5 2 f(x) x β. 6
3
  
x
f(x) γ. 8 8 f(x) x δ. 4
2
 
x
f(x)
6. Να βρείτε το πεδίο τιμών της συνάρτησης f(x) = 4-3ημ 5x
7. Δίνονται οι συναρτήσεις:
α.
3
2
2
 
  
 
f(x) x β. 5 3  g(x) ( x) γ. 2
2
 
    
x
h(x)
Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή καθώς και η περίοδος για κάθε μια
από τις παραπάνω συναρτήσεις.

37. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
[37]
8. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις :
α. f(x) = 1+συνx β. f(x) = 2συν3x -5 γ. f(x) = 4-3ημ
x
2
9. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις :
α. f(x)=εφx β. f(x)=εφ2x γ. f(x)=σφx δ. f(x)=σφ
x
2
10. Δίνεται η συνάρτηση:
π
f(x) = συν - x -ημ(π + x)
2
 
 
 
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x) και να απλοποιηθεί ο τύπος της.
β) Να βρεθούν η περίοδος και τα ακρότατα της f(x), δηλαδή η μέγιστη και η
ελάχιστη τιμή.
γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της f(x).
Β΄ ΟΜΑΔΑ
11. Δείξτε ότι οι συναρτήσεις:
ι)   4 4 2 2
f x x x 2 x x     
ιι) g(x)=
2
2
2
2 x
2( x 1)
1 x

  
 
είναι σταθερές.
12. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων.
α. f(x) = ημ (x-

4
) β. f(x)= 2 2x
3
 
  
 
γ. f(x)=2συν 4x  
13. Θεωρούμε τη συνάρτηση   f(x) ( x) 0, , ,   η οποία έχει μέγιστη τιμή το
5 και περίοδο
3

  ,να βρείτε τις τιμές των  και ω.
14. Το διπλανό σχήμα παριστάνει
τη γραφική παράσταση της
0     g(x) ( x), ,
Nα βρείτε τις τιμές των πραγματικών
αριθμών ω,  .
15. Δίνεται η συνάρτηση
2
3
 
    
 
x
f(x) με x και α>0,  
i. Αν η μέγιστη τιμή της f είναι το 3 και η γραφική παράσταση τέμνει τον ψ΄ψ στο
1 βρείτε τον τύπο της f .
ii. Να κάνετε την γραφική παράσταση σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου και στο
διάστημα να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα
χ΄χ.
16. Δίνεται η συνάρτηση:    
3
h x 2x 2 2x
2
 
       
 

38. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
[38]
Ι. Να αποδείξετε ότι  h x 3 2x  .
ΙΙ. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση  h x , όταν
0 x 2  .
ΙΙΙ. Να βρείτε πόσες λύσεις έχει η εξίσωση  h x 1 όταν 0 x 2  .
17. Δίνεται η συνάρτηση:    
7
g x 3x 3x
2
 
      
 
i) Να αποδείξετε ότι  g x 2 3x   .
ii) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση  g x , όταν
0 x 2   .
iii)Να βρείτε πόσες λύσεις έχει η εξίσωση  g x 1  όταν 0 x 2  
18. Δίνεται η συνάρτηση
2+ ημ(x - π)-συν(x + π)
f(x) =
3+συν(x - π) + ημ(x + π)
.
α) Να αποδειχθεί ότι
2-ημx +συνx
f(x) =
3-ημx -συνx
.
β) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f.
γ) Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός Τ = 2π είναι περίοδος της f(x).
19. Δίνονται οι συναρτήσεις
(2 1)x
f(x) 3 2
3
 
     και
( 2)x
g(x) 6 10 3
4
 
     να βρεθούν τα  2,  και  0,  αν είναι
γνωστό ότι έχουν την ιδία μέγιστη τιμή και η περίοδος της f είναι τριπλάσια από την
περίοδο της g.
20. Nα λυθεί η ανίσωση
2
x 2x
6 3
    
       
   
όταν
2
x ,
2 3
  
  
21. Δίνεται περιοδική συνάρτηση f με περίοδο Τ , Τ > 0, και πεδίο ορισμού το R.
Στο διάστημα [0 , Τ] η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή το 2016 για το
μοναδικό x =
4

και στο διάστημα [2Τ , 3Τ] η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή
για x =
9
4

.
i) Να βρεθεί η περίοδος Τ της συνάρτησης.
ii) Αν f(x) ( x)   να βρείτε το α και το ω και να σχεδιάσετε την γραφική
παράσταση της συνάρτησης στο διάστημα [0 , 3Τ].
22. Δίνεται η συνάρτηση:      f x 2 2 x 2x      
i)Να αποδείξετε ότι  f x 2x  .
ii)Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α, την περίοδο και τα ακρότατα της f(x).
iii)Να χαράξετε τη γραφική παράσταση Cf της f(x).

39. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
[39]
iv)Να χαράξετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων:
α)    g x f x 2  β)    g x f x 1 
γ)
π
g(x) f x
3
 
  
 
δ)
π
g(x) f x
2
 
  
 
23. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
i) f(x) x  ii) f(x) x  iii) f(x) x  iv) f(x) x 
24. Δίνεται η συνάρτηση:
π
f(x) 2ημ(π 2x) συν 2x
2
 
    
 
α) Να αποδείξετε ότι f(x) = 3ημ2x και να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f.
β) Να βρείτε την περίοδο, το μέγιστο και το ελάχιστο της f.
γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση Cf της f.
δ) Να εξετάσετε αν η εξίσωση f(x) = 4 έχει λύση.
25. Δίνεται η συνάρτηση:
 π
2
ημ x ημ(x π) 1
f(x)
3 ημ(x π) συν(x π)
   

   
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f.
γ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός Τ = 2π είναι περίοδος της f.
26. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2συν3x.
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f(x).
β) Να βρείτε την περίοδο και τα ακρότατα της f(x).
γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f(x).
δ) Να λύσετε την εξίσωση x2
= 2(συν3x – 1).
27. Μια συνάρτηση f : R  R έχει την ιδιότητα:
f(x) + f(x + 1) + f(x + 2) = 0, για κάθε xR . Να αποδειχθεί ότι:
α) f(x + 3) = f(x), για κάθε xR .
β) Η f είναι περιοδική με περίοδο Τ = 3.
γ) Ο αριθμός Τ = 6 είναι επίσης περίοδος της f(x).
28. Δίνεται η συνάρτηση:  
 
 
 
      
 
 
      
 
x 20 x 2
2f x
7
x 5 x 4
2
.
α) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
γ) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο 2 .
δ) Να λύσετε την εξίσωση   
1
f x
2
.
29. Δίνεται η συνάρτηση       
2x
f x , 0,
3
η οποία έχει μέγιστο το 3 και η
γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y΄y στο 1.
α) Να αποδείξετε ότι   2 και  1.
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ.
γ) ) Να αποδείξετε ότι   
  
      
  
2
2 3
f x 1 f x 1 4
4
.
δ) Να λύσετε την εξίσωση    f 6x f 3x στο διάστημα   0, .

40. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
[40]
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
1. Έστω η συνάρτηση f(x) = (α+1)συν(βπx), όπου α και β είναι θετικοί πραγματικοί
αριθμοί.
i.Αν η μέγιστη τιμή της f(x) είναι 3 και η περίοδός της είναι 4, να αποδείξετε ότι
α = 2 και β =
1
2
.
ii. Για τις τιμές α = 2 και β =
1
2
, να λύσετε την εξίσωση f(x) =
3
2
.
2. Οι ετήσιες πωλήσεις ενός προϊόντος (σε δεκάδες χιλ .κομμάτια ) δίνονται κατά
προσέγγιση από τον τύπο:
t
f(t) 15 2
3

   ,όπου t ο χρόνος σε έτη 0 t 6  .
i. Να βρεθεί το έτος που θα έχουμε το μέγιστο αριθμό πωλήσεων και πόσες θα
είναι αυτές;
ii. Σε ποιο έτος οι πωλήσεις θα φτάσουν τις 160.000 κομμάτια.
3. To βάθος του νερού κάτω από τη γέφυρα του Ευρίπου κατά τη διάρκεια της
ημέρας δίνεται από τη συνάρτηση
t
f(t) 20 4 ,
3

   όπου t o χρόνος σε ώρες
με0 t 24  .
i. Να βρεθεί η περίοδος της συνάρτησης.
ii. Ποιο είναι το μέγιστο και το ελάχιστο βάθος του νερού;
iii.Αν το ύψος της γέφυρας είναι 30μ( από τον πυθμένα του νερού) να ελεγχθεί αν
το σκάφος ύψους 8μ πάνω από (την επιφάνεια του νερού) μπορεί να περάσει
κάτω από τη γέφυρα στις 12 το πρωί.
iv. Ποια ώρα της ημέρας το βάθος του νερού είναι 18μ;
4. Δίνεται η συνάρτηση   2
f x 2 x 5 x 1     .
α) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο 2π.
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες.
γ) Να λύσετε την εξίσωση      
22 2
f x 2 x 8 f x 2 x 20 0      
5. Δίνονται οι συναρτήσεις    f x 2 2 x     και     g x x     ,
, 0   .
Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο, τότε:
α) να αποδείξετε ότι 1    .
β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης f g
3 4
    
     
   
γ) Να λύσετε την εξίσωση    f x 3 2g x  στο διάστημα  ,2  .
6. Δίνεται η παράσταση:   2
f x x 2 x 2     , x
α) Να παραγοντοποιήσετε την f.
β) Να αποδείξετε ότι  f x 0 , x .

41. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
[41]
γ) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες  f x 0 .
δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια.
ε) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο 2π.
στ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστο το 4.
7. Δίνεται η συνάρτηση  f x x
4
 
    
 
, ,  της οποίας η γραφική
παράσταση διέρχεται από τα σημεία A , 1 , B ,1
4 4
    
    
   
, τότε:
α) Να αποδείξετε ότι 2  και 1 
β) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς
και την περίοδό της.
γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f .
δ) Να λύσετε την εξίσωση f 2x 2
4
 
  
 
.
ε) Να αποδείξετε ότι:
3 5 7 9
f f f f f 1
4 4 4 4 4
             
             
         
8. Δίνεται η συνάρτηση   2
f x x x 2, x     .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο 2.
β) Να αποδείξετε ότι κανένα σημείο της γραφικής παράστασης της f δεν
βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ.
γ) Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f στο διάστημα
 0, με τεταγμένη 2.
δ) Να λύσετε στο διάστημα  0,2 την εξίσωση:  f x f x
2
 
  
 
.
9. Δίνεται η συνάρτηση   2 2
f x x x 3 x 2, x       .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο 2.
β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το
1
8
 .
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον
άξονα χ΄χ.
δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη
γραφική παράσταση της συνάρτησης  g x 2 3 x   .
ε) Να λύσετε στο διάστημα  0, την εξίσωση:  f x f x
2
 
  
 
.

42. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ  
[42]
3.6. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ  
Τυπολόγιο:
           
           
 
1
  
   

 
1
 
   
 
1
( )

   
  
1
( )

   

ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις :
Α=
5 5
12 12 12 12
   
     Β=
7 5 7 5
12 12 12 12
   
   
Γ= 0 0 0 0
63 27 27 63   
Δ=        0 0 0 0
50 40 40 50       
2. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών
5
12

και
7
12

.
3. Αν 0<x<
2

και
2

<y<π και
12
x
13
  ,
3
y
4
   να υπολογιστούν:
i)    x y x y    ii)    x y x y   
4. Να δείξετε ότι:
    
   0 0
2 2
2 2
i) 2
4 4
ii) ( )
iii) x 120 x 240 x 0
2
iv) 3
1 2
    
           
   
             
       
    
  
   
5. Έστω συνάρτηση 2 2
f(x) x (x ) 2 x. . (x )         .Δείξτε ότι η
f είναι σταθερή (ανεξάρτητη του x).
6. Αν 0
225   , να δείξετε ότι
1
1 1 2
 
 
   
.
7. Αν ( ) 0    , να δείξετε ότι: (2 ) ( )    

43. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ  
[43]
8. Αν 0
90    να αποδειχθεί ότι:
i) 1  
ii)  
iii) 2
. . .
  
  
    
9. Αν x y    και x y    , να βρείτε το  x y  και να
δείξετε ότι 2 2
4   .
10. Αν σ΄ ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση 2  , να δείξετε ότι
είναι ισοσκελές.
11. Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:
(B )
( )
 
 
   
.Τότε το τρίγωνο είναι
ορθογώνιο.
12. Στο εικονιζόμενο τρίγωνο δίνεται ότι ΓΔ=2x,ΑΔ=x και ΑΒ=4x.Να δείξετε ότι:
i)
8
19
 
ii)
 
  
13. Έστω ότι: ΜΛ=3,ΚΛ=4,ΔΛ=x,και ΜΔ
διχοτόμος της


Να δείξετε ότι:
i) 1 
ii) ii)Να βρείτε την τιμή του x.
14. Να λυθούν οι εξισώσεις:
i) 2 x x
6
 
    
 
ii) x 1 x
4 4
    
        
   
iii) x x 2 3
4 4
    
        
   
3
iv)συν2x συνx ημ2x ημx
2
   
15. Οι πωλήσεις, σε εκατοντάδες χιλιάδες, ενός σχολικού προϊόντος από μια
εταιρεία με σχολικά είδη δίνονται από τη συνάρτηση
t t
f(t) 2
6 6
 
     εκατοντάδες χιλιάδες , όπου t ο χρόνος σε μήνες
από την έναρξη της σχολικής χρονιάς, (Σεπτέμβριος) και α σταθερός πραγματικός
αριθμός με 0 ,
2
 
 
 
.

44. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ  
[44]
i) Να δείξετε ότι
1 t
f(t) 2
6
 
     
  
ii) Αν γνωρίζουμε ότι οι μέγιστες πωλήσεις της εταιρείας είναι 400000
μονάδες προϊόντος να υπολογίσετε την τιμή της σταθεράς α και κατόπιν να
απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα:
α. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός των πωλήσεων του προϊόντος;
β. Γιατί οι πωλήσεις του προϊόντος στον ίδιο μήνα κάθε χρόνο είναι οι ίδιες;
γ. Σε ποιόν μήνα του χρόνου οι πωλήσεις του προϊόντος είναι μέγιστες και σε
ποιον ελάχιστες;
H ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=αημx+βσυνx
Θυμίζουμε
H συνάρτηση f(x)=ρημx
H συνάρτηση αυτή έχει περίοδο 2π
έχει ελάχιστο   και μέγιστο το  .
Η συνάρτηση f(x)=ρημ(x+φ)
Έχει περίοδο 2π, ελάχιστο  
και μέγιστο  , ενώ είναι
μετατοπισμένη αριστερά κατά φ.
Η συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx
Όταν εμφανιστεί παράσταση της παραπάνω μορφής είτε στη μελέτη
συνάρτησης είτε στη λύση εξίσωσης, χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό.
H συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx μπορεί να πάρει τη μορφή αημx+βσυνx=ρημ(x+φ)
όπου ρ= 2 2
  και ,
 
   
 
, οπότε ανάγεται στην προηγούμενη
μορφή. Η περίοδος μιας συνάρτησης f(x)=ρημ(αx+φ) είναι
2

.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
16. Να βρεθεί η περίοδος, η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή των παρακάτω
συναρτήσεων και στη συνέχεια να παρασταθούν γραφικά.
i)  f x 2 2x
6
 
   
 
ii)  g x 2 4x
8
 
   
 
17. Να γράψετε στη μορφή f(x)=ρ ημ (x+φ) τις παρακάτω συναρτήσεις και στη
συνέχεια να τις παραστήσετε γραφικά:
i) f(x)=ημx+συνx ii) f(x)=ημx+ 3 συνx
iii) f(x)=ημ3x+ 3 συν3x iv) f(x)= 3 ημx+συνx


0
2

2
3
π
2
π


0
2

2
3
π 2
π

45. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ  
[45]
18. Να λυθούν οι εξισώσεις:
i) x 3 x 1    ii)
3
2x 2x 1
3
    iii) 3 x x 2  
19. Δίνεται η συνάρτηση  f x x x   , x .
i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παίρνει τη μορφή  
5
f x 2 x
4
 
   
 
.
ii) Να λύσετε την εξίσωση: x x 2  
(ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛ ΣΕΠΤ 2000)

46. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2α
[46]
3.7. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2α
Τυπολόγιο
ημ2α=2ημασυνα εφ2α= 2
2
1

 
συν2α=συν2
α-ημ2
α=2συν2
α-1=1-2ημ2
α σφ2α=
2
1
2
  

Τύποι αποτετραγωνισμού
ημ2
α=
1 2
2
 
, συν2
α=
1 2
2
  
, εφ2
α=
1 2
1 2
 
  
Τύποι του 2α συναρτήσει της εφα
ημ2α= 2
2
,
1

  
συν2α=
2
2
1
,
1
  
  
εφ2α= 2
2
1

 
Τύποι συναρτήσει του
2

ημα=2ημ ,
2 2
 
 συνα=συν2
2
,
2 2
 
 εφα=
2
2
2
1
2



 
ημ2
1
2 2
 
 συνα =2συν2 1
2


συν2
1
2 2
  
 συνα =1-2ημ2
2

εφ2
1
2 1
 

 
ημα=
2
2
2 ,
1
2



 
συνα=
2
2
1
2
1
2

 

 
Τύποι του 3α
ημ3α=3ημα-4ημ3
α, συν3α=4συν3
α-3συνα

47. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2α
[47]
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Αν συνα=
1
4
 και π<α<
3
2

υπολογίστε το ημ2α και το συν2α.
2. Αν εφα=2 να υπολογίσετε τα ημ2α, συν2α, εφ2α.
3. Αν ημα+συνα=
2
3
να υπολογιστεί το ημ2α και το συν2α αν γνωρίζουμε ότι
0.
4

   
4. Για τη γωνία α ισχύει ότι: 5 2 14 7 0    .
i) Να αποδείξετε ότι
3
5
  
ii) Αν επιπλέον ισχύει:
3
2

    , να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς
αριθμούς ημ2α , συν2α, εφ2α .
(ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ Ιούνιος 2001)
5. Να δείξετε ότι
α) 2
1 2
4 2
  
     
 
β)
2
4 1 2
   
   
   
γ) εφ (
π
4
+ α) - εφ (
π
4
- α) = 2εφ2α
6. Να δείξετε ότι:
i)
1 + συν4α + συν2α
ημ4α + ημ2α
= σφ2α ii)
ημ2α
1 + συν2α
συνα
1 + συνα
= εφ
α
2
1
2iii)
1
1
2

 


 
1
2iv)
2
2

   

 

  
7. Να δείξετε ότι:
α)
3 5 7 1
1 1 1 . 1
8 8 8 8 8
        
             
     
β) 4 4 3 3
8 8 4
 
    γ) 2 4 5 1
12 12 16
 
  
8. Έστω οτι ισχύει η σχέση 2x 2x 1   με x 0,
2
 
 
 
.
i) Να υπολογίσετε την x .
ii) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του τόξου 2x.
9. Να δείξετε ότι: