Εξισώσεις και προβλήματα, , Α.4.2, Επίλυση προβλημάτων , Α.4.3 Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, Μέρος Α' , Κεφάλαιο 3ο, Οι φυσικοί αριθμοί, teagher, Εκπαιδευτικό βίντεο από τo ΚΑΛΙΤΣΑ : https://mcjmcjmcj.wordpress.com​​/ Άρθρο του μαθήματος: https://wp.me/PJcUD-8E9/ #teagher, #ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, #ΜΑΘΗΜΑΤΑ, #ΓΥΜΝΑΣΙΟ #ΠΡΩΤΗΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, #ΛΥΣΕΙΣ, #ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, #ΚΑΛΙΤΣΑ,

1. Εξισώσεις και προβλήματα.
Α.4.2 Επίλυση προβλημάτων
Α.4.3. Παραδείγματα
επίλυσης προβλημάτων
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Μέρος Α'
Κεφάλαιο 4ο

2. • Έστω x ένα από τα ίσα ψηφία.
• Ο αριθμός που έχει τα ίδια ψηφία θα είναι της μορφής xxxx .
• Ο αριθμός xxxx για να διαιρείται με το 9 θα πρέπει το μονοψήφιο
άθροισμα των ψηφίωντου να είναι πολλαπλάσιο του 9.
Δηλαδή x + x + x + x = 4 • x = πολλαπλάσιο του 9
• Π9{9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, ...}
• x + x + x + x = 4 • x = πολλαπλάσιο του 9
- 4 • x = 9 ⇒ x = 9 : 4 ⇒ x = 9 : 4 = 2,25 δεν είναι ακέραιο ψηφίο.
- 4 • x = 18 ⇒ x = 18 : 4 ⇒ x = 18 : 4 = 4,5 δεν είναι ακέραιο ψηφίο.
- 4 • x = 27 ⇒ x = 27 : 4 ⇒ x = 27 : 4 = 6,75 δεν είναι ακέραιο ψηφίο.
- 4 • x = 36 ⇒ x = 36 : 4 ⇒ x = 36 : 4 = 9 είναι ακέραιο ψηφίο.
• Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 9999 .

3. Έστω x το πλήθος των μαθητών του σχολείου, άρα
𝟐
𝟖
• x = 60 ⇒ x = 60 :
𝟐
𝟖
⇒ x = 60 •
𝟖
𝟐
⇒ x =
𝟒𝟖𝟎
𝟐
⇒ x = 240 μαθητές
Επομένως το πλήθος των μαθητών του σχολείου είναι 240.
•
• Τα
𝟏𝟎
𝟏𝟎
των μαθητών είναι 240 μαθητές
Το
𝟏
𝟏𝟎
των μαθητών είναι 240 : 10 = 24 μαθητές
Τα
𝟕
𝟏𝟎
των μαθητών είναι 24 • 7 = 168 μαθητές
Τα
𝟕
𝟏𝟎
των μαθητών είναι
𝟕
𝟏𝟎
• 240 =
𝟏𝟔𝟖𝟎
𝟏𝟎
=168 μαθητές

4. • Έστω x ο πρώτος από τους διαδοχικούς αριθμούς.
Επομένως οι δύο επόμενοι θα είναι οι x + 1 και x + 2.
• Οπότε
x + (x + 1) + (x + 2) = 1533 ⇒ x + x + 1 + x + 2 = 1533 ⇒x + x + x + 1 + 2 = 1533 ⇒ 3 • x + 3 = 1533 ⇒
3 • x = 1533 – 3 ⇒ 3 • x = 1530 ⇒ 3 • x = 1530 ⇒ x = 1530 : 3 ⇒ x = 1530 : 3 ⇒ x = 510
• Επομένως οι αριθμοί είναι οι : x = 510
x + 1 = 510 + 1 = 511
και x + 2 = 510 + 2 = 512

5. • Έστω x το ψηφίο που λείπει.
• Ο αριθμός για να διαιρείται με το 9 θα πρέπει το μονοψήφιο άθροισμα των
ψηφίων του να είναι πολλαπλάσιο του 9.
Δηλαδή 7 + 5 + x + 3 = πολλαπλάσιο του 9
• Π9{9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, ...}
• 7 + 5 + x + 3 = πολλαπλάσιο του 9
- 7 + 5 + x + 3 = 9 ⇒ 15 + x = 9 ⇒ x = 9 – 15 ⇒ x = – 6 δεν είναι θετικό ψηφίο.
- 7 + 5 + x + 3 = 18 ⇒ 15 + x = 18 ⇒ x = 18 – 15 ⇒ x = 3 θετικό ψηφίο.
• Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 5733.
3

6. • Έστω x το πλήθος των σωστών απαντήσεων.
Άρα η βαθμολογία των σωστών απαντήσεων είναι 3 • x.
• Τότε το πλήθος των λανθασμένων είναι 100 – x.
Άρα η βαθμολογία των λανθασμένων απαντήσεων είναι 1 • (100 – x) = 100 – x
• Επομένως η συνολική βαθμολογία ισούται με (3 • x) + (100 – x) .
• Αφού ο μαθητής πήρε 220 μονάδες έχουμε
3 • x + 1•(100 – x) = 220 ⇒ 3 • x + 100 – x = 220 ⇒ 3 • x – x + 100 = 220 ⇒
2•x + 100 = 220 ⇒ 2•x = 220 – 100 ⇒ 2•x =120 ⇒ x = 120 : 2 ⇒ x = 60
• Επομένως ο μαθητής απάντησε σωστά σε 60 ερωτήσεις .

7. Έστω x η ηλικία της μητέρας.
Άρα η ηλικία της κόρης θα είναι 18 = x – 25⇒
Επομένως η ηλικία της μητέρας είναι
18 = x – 25 ⇒ x = 18 + 25 ⇒ x = 43 ετών.
•
•
•

8. • Έστω x η αξία του χωραφιού και y η αξία του διαμερίσματος
• Επομένως ο τρίτος αδελφός πήρε μερίδιο ίσο με 15.000 €
• Αφού η αξία του χωραφιού είναι x και ο πρώτος κληρονόμος πήρε και 600 € για να
πάρει συνολικά το μερίδιο του, που είναι 15.000 € (όσα χρήματα πήρε ο τρίτος) θα έχουμε
600 + x = 15.000 ⇒ x = 15.000 – 600 ⇒ x =14.400
• Άρα το χωράφι άξιζε 14.400 €.
• Αφού η αξία του διαμερίσματος είναι y και ο δεύτερος κληρονόμος έδωσε 600 € για να
πάρει συνολικά το μερίδιο του, που είναι 15.000 € (όσα χρήματα πήρε ο τρίτος) θα έχουμε
y – (600 + 15000) = 15000 ⇒ y – 15.600 = 15000 ⇒ y = 15000 + 15.600 ⇒y = 30.600
• Άρα το διαμέρισμα άξιζε 30.600 €.

9. α
• ΑΒ + 47 = 73 ⇒ ΑΒ = 73 – 47 ⇒ ΑΒ = 26
26 3
3
4
Α = 2 Β = 6
• ΓΔ μειωτέος 8 αφαιρετέος Δ5 διαφορά
Από το ΓΔ αφαιρώ 8.
Άρα από το Δ αφαιρώ 8 Μονάδες και μένουν 5 μονάδες.
Για να γίνει αυτό πρέπει στο Δ να δώσω 1 Δεκάδα.
Επομένως 10 + Δ – 8 = 5 ⇒ Δ + 10 – 8 = 5 ⇒ Δ + 2 = 5 ⇒ Δ = 5 – 2 ⇒ Δ = 3
Συνεχίζοντας την αφαίρεση επιστρέφω την 1 δεκάδα στον αφαιρετέο και την
αφαιρώ από τις Γ δεκάδες του μειωτέου και μου δίνουνυπόλοιποΔ=3
Δηλαδή Γ – 1 = Δ ⇒ Γ – 1 = 3 ⇒ Γ = 3 + 1⇒ Γ = 4
ΓΔ – 8 = Δ5 ⇒ ΓΔ = Δ5 + 8 = (Δ + 1) •3 ⇒ Γ = Δ + 1 και Δ = 3
Γ = 3 + 1 και Δ = 3
Γ = 4 και Δ = 3

10. • Έστω x lt η ποσότητα του κρασιού.
• Άρα x – 18 = πολλαπλάσιο του 7 ⇒ x = (πολλαπλάσιο του 7) + 18
• Π7 {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, ...}
• Όμως 90 < x < 100 ⇒ 90 < (πολλαπλάσιο του 7) + 18 < 100
90 – 18 < (πολλαπλάσιο του 7) + 18 – 18 < 100 – 18
72 < πολλαπλάσιο του 7 < 82
• Το μοναδικό πολλαπλάσιο του 7 μεταξύ του 72 και του 82 είναι το 77.
Συνεπώς x – 18 = 77 ⇒ x = 77 + 18 ⇒ x = 95
• Άρα ο αριθμός των δοχείων που θα χρησιμοποιήσουμε είναι ίσος με 77 : 7 = 11

11. (α) • Έστω x τα μπουκάλια που θα χρειαστεί ο παραγωγός.
• Επομένως 0,75 • x = 100 ⇒ x = 100 : 0,75 ⇒ x = 133,333 ≈ 133 μπουκάλια
(β) • Στα 133 μπουκάλια θα συσκευάσει 133 • 0,75 = 99,75lt
• Επομένως θα του περισσέψουν 100 – 99,75 = 0,25lt ξύδι.

12. • Έστω x το σύνολο των ημερών που τα δύο συνεργεία θα έχουν ολοκληρώσει τον
καθαρισμό της παραλίας.
• Τα δύο συνεργεία καθαρίζουν κάθε μέρα
3
𝟏
𝟐
+ 2
𝟑
𝟒
=
𝟕
𝟐
+
𝟏𝟏
𝟒
=
𝟏𝟒
𝟒
+
𝟏𝟏
𝟒
=
𝟐𝟓
𝟒
Km
• Άρα τις x ήμερες τα δύο συνεργεία θα έχουν ολοκληρώσει
𝟐𝟓
𝟒
• x Km δηλαδή 18
𝟑
𝟒
Km
𝟐𝟓
𝟒
• x = 18
𝟑
𝟒
⇒ Χ =18
𝟑
𝟒
:
𝟐𝟓
𝟒
⇒Χ =
𝟕𝟓
𝟒
:
𝟐𝟓
𝟒
⇒Χ =
𝟕𝟓
𝟒
•
𝟒
𝟐𝟓
⇒Χ =
𝟕𝟓
𝟐𝟓
⇒ Χ = 3 ημέρες

13. • Έστω x ο μισθός του υπαλλήλου πριν την αύξηση.
• Άρα το ποσό που αποταμίευε ο υπάλληλος ήταν
𝟏
𝟏𝟓
• x =
x
𝟏𝟓
• Αν ο μισθός αυξηθεί κατά το
𝟏
𝟏𝟓
αυτού, θα γίνει x +
𝟏
𝟓
• x =
𝟓 • x
𝟓
+
x
𝟓
=
𝟔 • x
𝟓
• Έστω τώρα y το μέρος του νέου μισθού που θα αποταμιεύει.
• Άρα το ποσό που θα αποταμιεύει ο υπάλληλος είναι
y •
𝟔 • x
𝟓
=
𝟏
𝟏𝟓
• x ⇒ y =
𝟏
𝟏𝟓
• x :
𝟔 • x
𝟓
⇒ y =
x
𝟏𝟓
•
𝟓
𝟔 • x
⇒ y =
x
𝟏𝟓
•
𝟓
𝟔 • x
⇒y =
𝟓 • x
𝟗𝟎 • x
⇒ y =
𝟏
𝟏𝟖
του νέου μισθού.

14. α
α
• Έστω 7• x είναι σήμερα η ηλικία του ανθρώπου.
• Την επόμενη χρονιά η ηλικία του θα είναι 7• x + 11 = πολλαπλάσιο του 9
• Π9{9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, ...}
Π7 {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, ...}
• 7• x + 1 = πολλαπλάσιο του 9
- 7• x + 1 = 9 ⇒ 7• x = 9 – 1 ⇒ 7• x = 8 ⇒ x = 8 : 7 Αδύνατο
- ...........................................................................................
- 7• x + 1 = 36⇒ 7• x = 36 – 1 ⇒ ⇒ 7• x = 35 ⇒ x = 35 : 7 ⇒ x = 5 Δυνατό
• Άρα σήμερα η ηλικία του ανθρώπου είναι 35 και σε ένα χρόνο θα είναι 36.
• - 7• x + 1 = 99 ⇒ 7• x = 99 – 1 ⇒ 7• x = 98 ⇒ x = 98 : 7⇒ x = 14 Δυνατό
•
Άρα σήμερα η ηλικία του ανθρώπου είναι 98 και σε ένα χρόνο θα είναι 99.
•