This document contains a mathematics exam for high school students in Greece. It is divided into 4 sections with multiple questions in each section. The questions cover topics related to functions, limits, derivatives, and integrals. Some questions ask students to prove statements, find domains of functions, determine if functions are injective or have critical points. The document is 3 pages long and aims to test students' understanding of key concepts in calculus and mathematical analysis.

1. Γιαννάκαρος Σπύρος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2021
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση 𝑓 ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και 𝑥0 ένα εσωτερικό σημείο του
Δ. Αν η 𝑓 παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 𝑥0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο
αυτό, τότε να αποδείξετε ότι 𝑓 ′
(𝑥0) = 0 .
Μονάδες 7
Α2. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Rolle και τη γεωμετρική του ερμηνεία.
Μονάδες 4
Α3. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
« Υπάρχουν συναρτήσεις 𝑓 ∶ R → R που δεν είναι συνεχείς και για τις οποίες
ισχύει ότι 𝑓 (R) = R ».
α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν
είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α).
Μονάδες 1+3=4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα
στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σω-
στή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥) − 𝜅) = 0 , τότε η ευθεία 𝑥 = 𝜅 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της
γραφικής παράστασης της 𝑓 .
β) Για κάθε 𝑥 ∈ R και 𝛼 > 0 ισχύει ότι (𝛼𝑥
)
′
= 𝑥 𝛼𝑥−1
.
γ) Αν 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) > 0 , τότε 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0 .
δ) Αν 𝑓 ′
γνησίως αύξουσα σε διάστημα (𝛼, 𝑥0) , γνησίως φθίνουσα στο (𝑥0, 𝛽) και η
𝑓 είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (𝛼, 𝛽) , τότε το 𝐴(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) είναι σημείο καμπής
της 𝐶𝑓 .
ε) Κάθε συνάρτηση 𝑓 που είναι συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ, παίρνει σε αυτό μία μέ-
γιστη και μία ελάχιστη τιμή.
Μονάδες 10
ΣΕΛΙΔΑ 1 ΑΠΟ 3 mathamagicpath.blogspot.com

2. Γιαννάκαρος Σπύρος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι συναρτήσεις
𝑓(𝑥) =
3
√2 − 𝑥 και 𝑔(𝑥) = √𝑥3 + 1 + 3 𝑙𝑛 𝑥 .
Β1. Να προδιορίσετε τη συνάρτηση 𝑔 ∘ 𝑓 .
Μονάδες 5
Β2. Αν (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = √3 − 𝑥 + 𝑙𝑛 (2 − 𝑥) , με 𝑥 < 2 , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 𝑔 ∘ 𝑓
είναι ”1 − 1” και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.
Μονάδες 7
Β3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης (𝑔∘𝑓)
−1
έχει με την ευθεία
𝑦 = 𝑥 ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη 𝑥0 ∈ (1, 2) .
Μονάδες 6
Β4. Να βρείτε τις τιμές των 𝛼 και 𝛽 πραγματικών, για τις οποίες η συνάρτηση
𝜑(𝑥) =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
[ (𝑔 ∘ 𝑓) (𝑥) − 𝑥] 𝜂𝜇
1
𝑥 − 𝑥0
, αν 𝑥 < 𝑥0
𝛼 , αν 𝑥 = 𝑥0
𝜂𝜇 [𝛽 (𝑥 − 𝑥0)]
𝑥 − 𝑥0
+ 𝛽2021
, αν 𝑥 > 𝑥0
είναι συνεχής.
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται συνάρτηση 𝑓 ∶ R → R , δύο φορές παραγωγίσιμη, με
𝑓(𝑥) ≥
𝑓(−1) + 𝑓(1)
2
, για κάθε 𝑥 ∈ R .
Γ1. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 παρουσιάζει ελάχιστο στα σημεία της με τετμημένες −1 και 1.
Μονάδες 5
Γ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία, στα οποία οι εφαπτομένες της
γραφικής παράστασης της πρώτης παραγώγου της 𝑓 είναι παράλληλες στον άξονα
𝑥 ′
𝑥 .
Μονάδες 5
Γ3. Αν, επιπλέον, 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2−1
− 𝛼𝑥2
+ 𝛽 , για κάθε 𝑥 ∈ R , και
𝑓(1) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
( √4𝑥2 + 4𝑥 − 2021 + 2𝑥) ,
να αποδείξετε ότι:
α) 𝛼 = 1 και 𝛽 = −1 .
ΣΕΛΙΔΑ 2 ΑΠΟ 3 mathamagicpath.blogspot.com

3. Γιαννάκαρος Σπύρος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
β) η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 3𝜆
− 1 , 𝜆 ∈ R , έχει ακριβώς τρεις ρίζες όταν 𝜆 ≤ 𝛽 .
Μονάδες 6+4=10
Γ4. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης 𝑔 ∶ R → R , με
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑥2
, για κάθε 𝑥 ∈ R ,
δεν έχει σημεία καμπής.
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Δ
Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 ∶ R → R , για τις οποίες ισχύουν τα εξής:
• 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑓(𝑥)
+ 𝑓(𝑥) + 2021 , για κάθε 𝑥 ∈ R .
• η 𝑓 είναι κοίλη.
• η 𝑔 δεν είναι αντιστρέψιμη.
Δ1. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 παίρνει μέγιστη τιμή σε κάποιο 𝑥0 ∈ R .
Μονάδες 6
Δ2. Να αποδείξετε ότι 2𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥 − 1) + 𝑓(𝑥 + 1) , για κάθε 𝑥 ∈ R .
Μονάδες 6
Δ3. Να λύσετε την ανίσωση
𝑔(𝑥2
+ 𝑥0) + 𝑓(𝑥2
+ 𝑥0) < 𝑔(|𝑥| + 𝑥0) + 𝑓(|𝑥| + 𝑥0)
Μονάδες 6
Δ4. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 𝑓 σε ένα σημείο της με τετμημένη
𝑥 = 𝛼 > 0 , όπου 𝛼 > −𝑓(𝛼) , σχηματίζει με τους άξονες 𝑥 ′
𝑥 και 𝑦 ′
𝑦 τρίγωνο με
εμβαδόν 8 τ.μ. και με τον άξονα 𝑥 ′
𝑥 γωνία 135∘
, να αποδείξετε ότι
𝑓(𝑥 − 1) + 𝑓(𝑥 + 1) + 2𝑥 − 8 < 0 , για κάθε 𝑥 ∈ R .
Μονάδες 7
Επιμέλεια: Γιαννάκαρος Σπύρος,
Μαθηματικός
ΣΕΛΙΔΑ 3 ΑΠΟ 3 mathamagicpath.blogspot.com