ΙΦΕ - Μαθηματικά - Μάθημα 1 - Σύνολα

ΙΦΕ Μαθηματικά
21/10/2021
Μάθημα 1
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
α.ε. 2021-2022

1. Σύνολα
Ορισμός (Cantor). Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων που γίνονται
αντιληπτά διά της εμπειρίας μας ή της διανόησής μας, και είναι σαφώς
καθορισμένα και διακεκριμένα μεταξύ τους.
Τα επί μέρους αντικείμενα της συλλογής ονομάζονται στοιχεία ή μέλη
του συνόλου.
Ορισμός. Ονομάζουμε κενό σύνολο ∅ ένα σύνολο χωρίς στοιχεία

1. Σύνολα
Σύνολα: κεφαλαία γράμματα Χ, Υ, Ζ
Στοιχεία συνόλου: μικρά γράμματα x,y,z,a,b
Tο σύνολο X αποτελείται από τα στοιχεία 𝒙, 𝒚, 𝒛, …
𝑋 = 𝑥, 𝑦, 𝑧, …
Ανήκειν: το αντικείμενο 𝑥 (δεν) είναι στοιχείο του συνόλου X
𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∉ 𝑋)
Ποσοδείκτες:
Καθολικός ποσοδείκτης: Για κάθε «∀»
Υπαρκτικός ποσοδείκης: Υπάρχει τουλάχιστον ένα «∃»
Συνεπαγωγή και ισοδυναμία
Υποθετική πρόταση: Αν … τότε ... «⇒»
… αν και μόνο αν (τότε και μόνο τότε) «⇔»
Όταν μία ισότητα, ή μία ισοδυναμία τίθεται εξ ορισμού, γράφουμε
αντίστοιχα
«≔» «: ⇔»

1. Σύνολα
Αν ο Μάνος είναι άνθρωπος τότε ο Μάνος είναι θνητός
Ο Μάνος είναι άνθρωπος αν και μόνον αν ο Μάνος είναι θνητός

1. Σύνολα

1. Σύνολα
Με αναγραφή των στοιχείων του συνόλου
Α = 1,2,3
Με αναγραφή της συνθήκης ή της χαρακτηριστικής
ιδιότητας των στοιχείων του συνόλου
Α = 𝑥: 𝑥 𝛼𝜌𝜏𝜄𝜊𝜍 απο το 1 𝜔𝜍 𝜏𝜊 1000
Γενικότερα αν 𝑃 𝑥 είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα που
ικανοποιεί κάθε στοιχείο 𝑥 ενός συνόλου Α , θα
γράφουμε,
Α = 𝑥: 𝑃 𝑥
Καθορισμός συνόλου

1. Σύνολα
• Ορισµός 4. Έστω δύο σύνολα 𝐴 και 𝐵.
1. Τοµή των 𝐴 και 𝐵 καλείται το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των δύο
συνόλων και συµβολίζεται ως 𝛢 ∩ 𝐵.
2. Ενωση των 𝐴 και 𝐵 καλείται το σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία και των δυο
συνόλων και συµβολίζεται ως 𝐴 ∪ 𝐵.
3. ∆ιαφορά του 𝐵 από το 𝐴, µε αυτή τη σειρά, καλείται το σύνολο που αποτελείται από
εκείνα τα στοιχεία του 𝐵 τα οποία δεν ανήκουν στο 𝐴 και συµβολίζεται ως 𝐵A ή 𝐵 − A
4. Αν το σύνολο 𝐴 είναι υποσύνολο ενός σύνολου Χ ορίζουμε το συμπλήρωμα 𝑨𝒄
του
συνόλου 𝐴,
𝐴𝑐
≔ 𝑥 ∈ 𝑋: 𝑥 ∉ 𝐴 = 𝑋A

1. Σύνολα
Αν Ω = {1,2,3, … , 10,11,12} , Α = {1,2,3}, Β = 2,3,4,8 και Γ = {3,4,11,12} να
βρεθούν τα σύνολα Α𝑐, (𝐴 ∩ Γ)𝑐 , 𝐵Γ και (𝐴 ∪ Β)𝑐.
Άσκηση 1

1. Σύνολα
Άσκηση 2
Δίνονται τα σύνολα:
Ω = 1,2,3, … , 12
Α = 𝑥 ∈ Ω | 𝑥 𝛿𝜄𝛼𝜄𝜌𝜀𝜄 𝜏𝜊 12
Β = 𝑥 ∈ Ω | 𝑥 𝛼𝜌𝜏𝜄𝜊𝜍
Γ = 𝑥 ∈ Ω | 𝑥 𝜋𝜌𝜔𝜏𝜊𝜍
α) Να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα
β) Να βρείτε τα Α ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 − Γ, Β ∩ Γ, Β ∪ Γ c

1. Σύνολα
• Για δύο μη κενά σύνολα 𝐴, 𝐵 ορίζουμε το καρτεσιανό γινόμενο 𝐴 × 𝐵
ως το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών (𝛼, 𝛽) με πρώτο στοιχείο 𝛼
από το σύνολο 𝐴 και δεύτερο στοιχείο 𝛽 από το 𝐵
𝐴 × 𝐵 ≔ { 𝛼, 𝛽 : 𝛼 ∈ 𝐴 και 𝛽 ∈ Β}

1. Σύνολα
Οι φυσικοί αριθμοί
• Διαισθητικά: Οι απλούστεροι αριθμοί είναι οι «αριθμοί απαριθμησης»
1,2,3, …
Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται φυσικοί αριθμοί.
Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με ℕ∗
.
ℕ∗
≔ 1,2,3, …

1. Σύνολα
• Πρόσθεση: απεικόνιση ℕ∗
× ℕ∗
→ ℕ∗
όπου σε κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών (𝜈, 𝜇)
αντιστοιχεί ακριβώς ένας φυσικός αριθμός 𝜅:
𝜈, 𝜇 ↦ 𝜅 = 𝜈 + 𝜇
• Η πρόσθεση στους φυσικούς αριθμούς έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
1. Αν α = 𝛽, τότε α + γ = 𝛽 + 𝛾
2. α + β = β + α
3. α + (β + γ) = (𝛼 + 𝛽) + 𝛾
• Η εξίσωση 𝛼 + 𝑥 = 𝛽 δεν έχει λύση για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών α, 𝛽.

1. Σύνολα
• Πολλαπλασιασμός: απεικόνιση ℕ∗
× ℕ∗
→ ℕ∗
όπου σε κάθε ζεύγος φυσικών
αριθμών (𝜈, 𝜇) αντιστοιχεί ακριβώς ένας φυσικός αριθμός 𝜅:
𝜈, 𝜇 ↦ 𝜅 = 𝜈𝜇
• Η πρόσθεση στους φυσικούς αριθμούς έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
1. Αν α = 𝛽, τότε αγ = 𝛽𝛾
2. αβ = βα
3. α(βγ) = (𝛼𝛽)𝛾
• Η εξίσωση 𝛼𝑥 = 𝛽 δεν έχει λύση για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών α, 𝛽.
• Επιμεριστική ιδιότητα:
α + β γ = 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾

1. Σύνολα
• Μια θεωρία αποτελείται από μια ολιγοπληθή ομάδα κατάλληλων
πρωταρχικών όρων, οι οποίοι δεν ορίζονται, καθώς και από ολιγοπληθή
ομάδα κατάλληλων προτάσεων που δίδονται χωρίς απόδειξη, αξιωμάτων.
• Κάθε άλλος όρος της θεωρίας ορίζεται με βάση τους πρωταρχικούς όρους.
• Κάθε άλλη πρόταση της θεωρίας, θεώρημα, αποδεικνύεται από τα αξιώματα
στη βάση συμφωνημένων κανόνων συλλογισμού.
• Τα αξιώματα αποτελούν έμμεσους ορισμούς των πρωταρχικών όρων.
• Ένα σύστημα αξιωμάτων πρέπει να είναι μη αντιφατικό.
• Τα αξιώματα θα πρέπει να είναι ανεξάρτητα.
• Η βασική διαφορά της σύγχρονης αξιωματικής μεθόδου από την παραδοσιακή
(Ευκλείδης) συνίσταται στο ότι είναι απαλλαγμένη από κάθε προσφυγή στην
εμπειρική εποπτεία την οποία έχουμε για τους πρωταρχικούς όρους ή για την
προφανή αλήθεια των αξιωμάτων.
Η σύγχρονη αξιωματική μέθοδος

1. Σύνολα
Τα αξιώματα του Peano
Ρ1 : Το ένα είναι αριθμός.
Ρ2 : Ο διάδοχος αριθμού είναι πάλι αριθμός
Ρ3 : Το ένα δεν είναι διάδοχος αριθμού
Ρ4 : Δεν υπάρχουν διαφορετικοί αριθμοί με τον ίδιο διάδοχο.
Ρ5 : Κάθε ιδιότητα την οποία έχει το ένα και η οποία ανήκει στον διάδοχο κάθε
αριθμού που έχει αυτή την ιδιότητα, ανήκει σε όλους τους αριθμούς.

1. Σύνολα
Τα αξιώματα του Peano
Το σύνολο ℕ∗ονομάζεται σύνολο των φυσικών αριθμών αν και μόνο αν,
Ρ1 : 1 ∈ ℕ∗
Ρ2 : ∀𝜈 ∈ ℕ∗
⇒ 𝜈 + 1 ∈ ℕ∗
Ρ3 : ∀𝜈 ∈ ℕ∗ ⇒ 𝜈 + 1 ≠ 1
Ρ4 : 𝜈 ∈ ℕ∗
και μ ∈ ℕ∗
και 𝜈 + 1 = 𝜇 + 1 ⇒ 𝜈 = 𝜇
Ρ5 : Αν A ⊆ ℕ∗
και 1 ∈ Α και ∀𝜈 ∈ Α ⇒ 𝜈 + 1 ∈ Α τότε Α = ℕ∗

ΙΦΕ - Μαθηματικά - Μάθημα 1 - Σύνολα

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

ΙΦΕ - Μαθηματικά - Μάθημα 1 - Σύνολα