This document contains a mathematics exam with 4 problems (Themes A, B, C, D) involving functions, derivatives, monotonicity, convexity, extrema, asymptotes and limits. Theme A involves properties of differentiable functions, the definition of the derivative, and Rolle's theorem. Theme B analyzes the monotonicity, convexity, asymptotes and graph of a given function. Theme C proves properties of a continuous, monotonically increasing function and finds extrema of related functions. Theme D proves properties of a power function and its relation to a given line, defines a new function, and proves monotonicity and existence of a single real root for a polynomial equation.

1. Διαγώνισµα στα Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου
Θέµα Α [Α1: 9 | Α2: 4 | Α3: (2+2) | Α4: α) (1+3) β) (1+3), µονάδες]
Α1. Μια συνάρτηση 𝑓 είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα (𝛼, 𝛽), µε εξαίρεση ίσως ένα
σηµείο 𝑥S ∈ (𝛼, 𝛽), στο οποίο η 𝑓 είναι συνεχής.
Αν η 𝑓′(𝑥) διατηρεί πρόσηµο στο (𝑎, 𝑥S) ∪ (𝑥S, 𝛽), να αποδειχθεί ότι το 𝑓(𝑥S) δεν είναι
τοπικό ακρότατο της 𝑓 και η 𝑓 είναι γνησίως µονότονη στο (𝛼, 𝛽).
Α2. Να δώσετε τον ορισµό της παραγώγου µιας συνάρτησης.
Α3. Να διατυπώσετε το Θεώρηµα Rolle και να δώσετε τη γεωµετρική του ερµηνεία.
Α4. Να εξετάσετε αν αληθεύουν οι παρακάτω προτάσεις και να αιτιολογήσετε τις απα-
ντήσεις σας.
α] «Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί το πρόσηµό της µεταξύ δύο οποιωνδήποτε
ριζών της».
β] «Αν 𝑙𝑖𝑚
i→ik
𝑓(𝑥) = 𝜆, 𝑙𝑖𝑚
i→ik
𝑔(𝑥) = 𝜇 και 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) κοντά στο 𝑥S,τότε 𝜆 > 𝜇».
Θέµα Β [Β1: 6 | Β2: 6 | Β3: 5 | Β4: 4 | Β5: 4, µονάδες]
Δίνεται η συνάρτηση
𝑓(𝑥) =
𝑥t
𝑥u − 1
Β1. Να µελετήσετε την 𝑓 ως προς τη µονοτονία και να προσδιορίσετε τα τοπικά ακρότατά
της.
Β2. Να µελετήσετε την 𝑓 ως προς την κυρτότητα και να προσδιορίσετε τα σηµεία καµπής
της 𝐶x.
Β3. Να βρείτε τις ασύµπτωτες της 𝐶x.
Β4. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της 𝑓.
Β5. Αν 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥, να ορίσετε τη συνάρτηση 𝑔𝑜𝑓.
Θέµα Γ [Γ1: α) (2+3) β) 3 | Γ2: 4 | Γ3: 2+4 | Γ4: 7, µονάδες]
Έστω συνεχής και γνησίως µονότονη συνάρτηση 𝑓: [0,1] → ℝ. Η τιµή 𝑓(0) είναι το όριο της
συνάρτησης
𝑔(𝑥) =
√𝑥 ∙ 𝜂𝜇
1
𝑥 + 2
1 + 𝑒…
†
i
στο σηµείο 𝑥S = 0.
Η τιµή 𝑓(1) είναι το ελάχιστο της συνάρτησης
ℎ(𝑥) = 𝑙𝑛 ˆ
𝑥
𝑙𝑛𝑥
‰.
Γ1. Να αποδείξετε ότι:

2. α] 𝑓(0) = 2 και 𝑓(1) = 1.
β] Η συνάρτηση 𝑓…†
ορίζεται στο διάστηµα [1,2].
Γ2. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης
𝑔(𝑥) = 𝑓u(𝑥) − 2𝑓(𝑥) + 2, 𝑥 ∈ [0,1].
Γ3. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων 𝛭‹2𝑓(𝑥), −𝑓(𝑥)Œ, 𝑥 ∈ [0,1], καθώς και τα
ακρότατα της απόστασης του Μ από το σηµείο 𝛢(−3, −1).
Γ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικός 𝑥Ž ∈ (0,1) µε
3𝑓(𝑥S) = 𝑓(0) + 𝑓 •
1
2
• + 𝑓(1).
Θέµα Δ [Δ1: 4 | Δ2: α) 3 β) 4 | Δ3: 5 | Δ4: 4 | Δ5: 5 , µονάδες]
Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑥‘
, όπου 𝜈 φυσικός µε 𝜈 ≥ 3 και η ευθεία 𝜀: 𝑦 = 𝜈𝑥 + 1 − 𝜈.
Δ1. Να αποδειχθεί ότι η 𝜀 είναι εφαπτοµένη της 𝐶x.
Δ2. Να αποδειχθεί ότι:
α] Αν ο 𝜈 είναι άρτιος, τότε η 𝜀 έχει µόνο ένα κοινό σηµείο µε τη 𝐶x.
β] Αν ο 𝜈 είναι περιττός, τότε η 𝜀 έχει, εκτός από το σηµείο επαφής, ακόµα ένα κοινό
σηµείο µε τη 𝐶x, αλλά δεν εφάπτεται της 𝐶x στο σηµείο αυτό.
Δ3. Αν ο 𝜈 είναι περιττός, να ορίσετε τη συνάρτηση 𝑓…†
και να προσδιορίσετε τα κοινά ση-
µεία των 𝐶x και 𝐶x–—.
Δ4. Έστω παραγωγίσιµη συνάρτηση 𝑔: ℝ → ℝ µε (𝑥 − 1) ∙ 𝑔˜(𝑥) = 𝑥‘
− 1, για κάθε 𝑥 ∈ ℝ,
όπου 𝜈 περιττός µε 𝜈 ≥ 3. Να αποδειχθεί ότι η 𝑔 είναι γνησίως αύξουσα.
Δ5. Αν ο 𝜈 είναι περιττός µε 𝜈 ≥ 3, να αποδειχθεί ότι η εξίσωση
1
𝜈
𝑥‘
+
1
𝜈 − 1
𝑥‘…†
+ ⋯ +
1
3
𝑥t
+
1
2
𝑥u
+ 𝑥 + 1 = 0
έχει µία ακριβώς πραγµατική ρίζα.
Θανάσης Ξένος