Διάκριση διχοτόμων μεταξύ τεμνόμενων ευθειών

1. Άσκηση 8 σχολικού βιβλίου /σελ.76 [ Διάκριση εξωτερικής – εσωτερικής διχοτόμου ]
Έστω οι ευθείες     1 2 ε :3x  4y 1  0 και ε :5x 12y  4  0
α) Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω ευθείες τέμνονται
β) Να βρείτε τις δύο εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών, που σχηματίζουν οι παραπάνω ευθείες.
γ) Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι του (β) υποερωτήματος τέμνονται κάθετα. Την γνωρίζαμε αυτή την
πληροφορία; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
δ) Ποια διχοτόμος από τις δύο του (β) ερωτήματος, αντιστοιχεί στην οξεία γωνία που σχηματίζουν οι
ευθείες; Δικαιολογήστε τον ισχυρισμό σας (υπάρχουν πολλές και όμορφες αποδείξεις)
Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης
Λύση
α, β, γ: Προφανείς λύσεις, βρίσκουμε τις εξισώσεις των διχοτόμων
1 2 δ : 2x 16y 1  0 και δ : 64x  8y  33  0
δ) Α΄ τρόπος
 Θέτουμε τα διανύσματα δ1  8,1 
και δ2  1,8
που είναι παράλληλα στις διχοτόμους 1 2 δ , δ αντίστοιχα.

Θα τα συγκρίνουμε ως προς την ευθεία 1 ε , η οποία είναι παράλληλη στο διάνυσμα Δ  4,3
  
Βρίσκουμε τα μέτρα των διανυσμάτων, δ1  δ2  65 και Δ  5
   
 
Από τον τύπο συν α,β α β
   
  
  βρίσκουμε  1   2 
α β


συν δ ,Δ  7 και συν δ ,Δ 
4
65 65
    

συν δ ,Δ 7 4 συν δ ,Δ
άρα     1   
2
65 65
Επειδή όσο αυξάνεται το συνημίτονο (στο πρώτο και δεύτερο τεταρτημόριο) οι γωνίες μειώνονται, άρα
    

 δ1 ,Δ  
 δ2 ,Δ
 Συμπέρασμα: Η διχοτόμος που διχοτομεί την οξεία γωνία των ευθειών 1 2 ε και ε είναι η διχοτόμος
1 δ : 2x 16y 1  0
Προσοχή! Συχνή αντιμετώπιση από τους μαθητές είναι η εξής, όταν προκύψει
   
  
συν δ ,Δ 7 0 και συν δ ,Δ 4 0
 1   2 
   
65 65
να θεωρήσουν την πρώτη γωνία οξεία (λόγω θετικού συνημίτονου) και την δεύτερη γωνία αμβλεία, λόγω αρνητικού
συνημίτονου. Όμως το παραπάνω είναι λάθος, αφού τα διανύσματα που είναι παράλληλα στην ευθεία Αx+By+Γ=0 είναι:
  
δ  Β,Α ή  δ  Β,Α ή λ  δ  λ Β,λ Α, λ  0
άρα οι γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων δεν είναι καθορισμένες. Ένα σχήμα θα σας πείσει!

2. Β΄ τρόπος (σχεδιαστικά)
Γ΄ τρόπος (με αποστάσεις)
Θεωρούμε ένα συγκεκριμένο σημείο Μ σε μια από τις ευθείες 1 2 ε , ε και υπολογίζουμε τις αποστάσεις
από τους φορείς των διχοτόμων. Η μικρότερη απόσταση αντιστοιχεί στη διχοτόμο της οξείας γωνίας.
Πράγματι, από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων ΚΑΜ, ΚΜΒ έχουμε ότι
ΜΑ  ΜΒ Κˆ  Κˆ  2Κˆ  2Κˆ
1 2 1 2
(αφού στα ίσα τρίγωνα, απέναντι από άνισες πλευρές
βρίσκονται άνισες γωνίες και αντίστροφα)
Στη συγκεκριμένη περίπτωση, θεωρούμε το σημείο
Μ 0, 1
 
  4


της ευθείας 3x  4y 1  0 , έχουμε
  1
0  16  1 
1
d M,δ  4  5 
20
4 
256 2 65 8 65
και
 
  
   
  2 2 2 1 2 2
 
0 8 1 33
d M,δ 4 35 35 d M,δ
64  8 8 8 
1 8 65