Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. Συμμετρίες & Εξίσωση Ευθείας
Εργασία στο Κεφάλαιο 2ο: «Ευθεία»
Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Ελλάς 2020
17.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 12

2. Πρόλογος
Στην τελευταία ερώτηση κατανόησης, σελίδα 78, το σχολικό βιβλίο έχει ένα πολύ ενδιαφέρον
ερώτημα που ήταν η αφορμή γι’ αυτήν την εργασία. Ας το δούμε:
Από την ερώτηση αυτή «πηγάζουν» οι εξής εφαρμογές που πρέπει να μελετήσει ο ανήσυχος
μαθητής. Οι εργασίες έχουν σκοπό και να τις μελετήσουν οι μαθητές και ανά ομάδες. Ένα
μεγάλο μέρος από τα παρακάτω πραγματοποιήθηκαν στο 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικού.
Προαπαιτούμενες γνώσεις lisari.blogspot.com
Υπενθυμίζουμε ότι, στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων το συμμετρικό σημείο
 Μ α,β ως προς:
- τον άξονα των y είναι το σημείο  Μ΄ α,β , δηλαδή έχει αντίθετες τετμημένες και
ίδιες τεταγμένες.
- τον άξονα των x είναι το σημείο  Μ΄ α, β , δηλαδή έχει ίδιες τετμημένες και
αντίθετες τεταγμένες.
- την αρχή των αξόνων είναι το σημείο  Μ΄ α, β  , δηλαδή έχει αντίθετες τετμημένες
και ίδιες τεταγμένες.
- την ευθεία y x είναι το σημείο  Μ΄ β,α , δηλαδή έχει τετμημένη την τεταγμένη του
Μ και τεταγμένη την τετμημένη του Μ.
Το σχήμα που συνοψίζει όλα τα παραπάνω και το βρίσκουμε στο σχ. βιβλίο Άλγεβρας Α΄
Λυκείου είναι:
17.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 12

3. Εφαρμογή 1η lisari.blogspot.com
Δίνεται η ευθεία με εξίσωση ε : x 2y 2 0   .
α) Να βρείτε δύο σημεία Α, Β που ανήκουν στην ευθεία ε και στη συνέχεια να βρείτε
τις συντεταγμένες των συμμετρικών τους σημείων ως προς τον άξονα των y.
β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε΄ που είναι συμμετρική της ευθείας ε ως προς
τον άξονα των y. Τι παρατηρείτε σε σχέση με την αρχική εξίσωση ε;
γ) Γενίκευση: Έστω η εξίσωση της ευθείας ε: Αx By Γ 0, A 0 ή B 0     . Να
βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε΄ που είναι συμμετρική της ευθείας ε ως προς τον
άξονα των y.
Λύση
α) Θα βρούμε για ευκολία τα σημεία τομής της ευθείας ε με τους άξονες συντεταγμένων.
 Για x 0 έχουμε:
0 2y 2 0 y 1    
άρα η ε τέμνει τον άξονα των y στο σημείο  Α 0,1 .
 Για y 0 έχουμε:
x 2 0 2 0 x 2      
άρα η ε τέμνει τον άξονα των x στο σημείο  Β 2,0 .
Τα συμμετρικά σημεία των Α και Β ως προς τον άξονα των y είναι  Α 0,1 και  Β 2,0
αντίστοιχα.
β) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β΄ είναι:
 
0 1 1
y 1 x 0 y x 1 x 2y 2 0
2 0 2

           

δηλαδή παρατηρούμε ότι η ε΄: x 2y 2 0    είναι η αρχική εξίσωση ευθείας
ε : x 2y 2 0   αντί για x το x .
γ) Μόνο τυχαίο δεν είναι το συμπέρασμα που καταλήξαμε στο προηγούμενο ερώτημα.
17.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 12

4. Θα αποδείξουμε ότι η συμμετρική ευθεία της ε : Αx By Γ 0, A 0 ή B 0     , ως προς
τον άξονα των y, έχει εξίσωση: Αx By Γ 0, A 0 ή B 0      .
Αν και οι περισσότεροι θα σκεφτούν να κάνουν μια ανάλογη απόδειξη με το ερώτημα (α)
τελικά αποδεικνύεται ότι δεν είναι μια καλή σκέψη. Στη γενική περίπτωση τα πράγματα
δεν είναι τόσο απλά γιατί δεν γνωρίζουμε τους συντελεστές της εξίσωσης. Οπότε
βαδίζουμε σε αχαρτογράφητα νερά που πρέπει να μελετήσουμε το σχέδιο που θα το
προσεγγίσουμε.
Η ιδέα είναι η εξής: να δούμε την ευθεία ως γεωμετρικό τόπο σημείων! Για το σημείο
έχουμε γνώση τι σημαίνει συμμετρικό σημείο ως προς τον άξονα των y. Οπότε η
αντιμετώπιση θα είναι απλή!
 Αν Β 0 , τότε το σημείο
A Γ
Μ t, t , t
B Β
 
   
 
R παριστάνει ένα οποιοδήποτε
σημείο της ευθείας ε. Επομένως, το συμμετρικό του σημείο ως προς τον άξονα των
x είναι:
A Γ
Μ t, t , t
B Β
      
 
R (ίδια x αλλά αντίθετα y) άρα έχουμε
A Γ
x t και y t
B Β
     οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων αυτών ανήκουν
στην ευθεία με εξίσωση:
A Γ
y x Αx Βy Γ 0
B Β
       .
 Αν Β 0 και Α 0 , τότε έχουμε
Γ
x
Α
  που η συμμετρικής ευθεία ως προς τον
άξονα των y είναι η
Γ
x Αx Γ 0 Αx 0y Γ 0
Α
         
Σε κάθε περίπτωση η συμμετρική ευθεία ε Αx By Γ 0, A 0 ή B 0     ως προς τον
άξονα των y είναι:
ε΄: Αx By Γ 0    .
Εφαρμογή 2η lisari.blogspot.com
Δίνεται η ευθεία με εξίσωση ε : x 2y 2 0   .
α) Να βρείτε δύο σημεία Α, Β που ανήκουν στην ευθεία ε και στη συνέχεια να βρείτε
τις συντεταγμένες των συμμετρικών τους σημείων ως προς τον άξονα των x.
β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε΄ που είναι συμμετρική της ευθείας ε ως προς
τον άξονα των x. Τι παρατηρείτε σε σχέση με την αρχική εξίσωση ε;
γ) Γενίκευση: Έστω η εξίσωση της ευθείας ε: Αx By Γ 0, A 0 ή B 0     . Να
βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε΄ που είναι συμμετρική της ευθείας ε ως προς τον
άξονα των x.
Λύση
17.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 12

5. α) Τα σημεία τομής της ευθείας ε με τους άξονες συντεταγμένων, όπως βρήκαμε στην
εργασία 1 στο (α) ερώτημα, είναι:  Α 0,1 και  Β 2,0 .
Τα συμμετρικά σημεία των Α και Β ως προς τον άξονα των x είναι  Α΄ 0, 1 και  Β 2,0
αντίστοιχα.
β) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α΄ και Β είναι:
 
0 1 1
y 1 x 0 y x 1 x 2y 2 0
2 0 2

          
 
δηλαδή παρατηρούμε ότι η ε΄: x 2y 2 0   είναι η αρχική εξίσωση της ευθείας
ε : x 2y 2 0   αντί για y το y .
γ) Μόνο τυχαίο δεν είναι το συμπέρασμα που καταλήξαμε στο προηγούμενο ερώτημα. Θα
αποδείξουμε ότι η συμμετρική ευθεία της ε : Αx By Γ 0, A 0 ή B 0     , ως προς τον
άξονα των x, έχει εξίσωση: Αx By Γ 0, A 0 ή B 0     .
Η απόδειξη είναι ανάλογη με την απόδειξη της εργασίας 1γ.
 Αν Β 0 , τότε το σημείο
A Γ
Μ t, t , t
B Β
 
   
 
R παριστάνει ένα οποιοδήποτε
σημείο της ευθείας ε. Επομένως, το συμμετρικό του σημείο ως προς τον άξονα των
x είναι:
A Γ
Μ t, t , t
B Β
    
 
R (ίδια x αλλά αντίθετα y) άρα έχουμε
A Γ
x t και y t
B Β
   οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων αυτών ανήκουν
στην ευθεία με εξίσωση:
A Γ
y x Αx Βy Γ 0
B Β
      .
 Αν Β 0 και Α 0 , τότε η συμμετρική ευθεία ε : Αx 0y Γ 0   ως προς τον
άξονα των x είναι η ίδια η ευθεία, άρα
Αx 0y Γ 0  
Σε κάθε περίπτωση η συμμετρική ευθεία ε: Αx By Γ 0, A 0 ή B 0     ως προς τον
άξονα των x είναι:
ε΄: Αx By Γ 0   .
17.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 12

6. Εφαρμογή 3η lisari.blogspot.com
Δίνεται η ευθεία με εξίσωση ε : x 2y 2 0   .
α) Να βρείτε δύο σημεία Α, Β που ανήκουν στην ευθεία ε και στη συνέχεια να βρείτε
τις συντεταγμένες των συμμετρικών τους σημείων ως προς την ευθεία y x .
β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε΄ που είναι συμμετρική της ευθείας ε ως προς
την ευθεία y x . Τι παρατηρείτε σε σχέση με την αρχική εξίσωση ε;
γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y x είναι διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν οι
ευθείες ε και ε΄ (του ερωτήματος β).
δ) Γενίκευση: Έστω η εξίσωση της ευθείας ε: Αx By Γ 0, A 0 ή B 0     . Να
βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε΄ που είναι συμμετρική της ευθείας ε ως προς την
ευθεία y x .
Λύση
α) Τα σημεία τομής της ευθείας ε με τους άξονες συντεταγμένων, όπως βρήκαμε στην
εργασία 1 στο (α) ερώτημα, είναι:  Α 0,1 και  Β 2,0 .
Τα συμμετρικά σημεία των Α και Β ως προς την ευθεία y x είναι  Α΄ 1,0 και  Β΄ 0, 2
αντίστοιχα.
β) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α΄ και Β΄ είναι:
 
2 0
y 2 x 0 y 2x 2 2x y 2 0
0 1
 
          

δηλαδή παρατηρούμε ότι η ε΄: 2x y 2 0    είναι η αρχική εξίσωση ευθείας
ε : x 2y 2 0   απλά έχουμε αλλάξει θέση στα x με τα y.
γ) Έστω Γ το σημείο τομής των ευθειών ε και ε΄ και Ο η αρχή των αξόνων. Τα τρίγωνα
ΟΑΓ και ΟΑ΄Γ είναι ίσα (τρεις πλευρές ίσες), άρα 1 2Γ Γ , άρα η y x είναι διχοτόμος
της γωνίας που σχηματίζουν οι ευθείες ε και ε΄.
17.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 12

7. δ) Μόνο τυχαίο δεν είναι το συμπέρασμα που καταλήξαμε στο προηγούμενο ερώτημα. Θα
αποδείξουμε ότι η συμμετρική ευθεία της
ε : Αx By Γ 0, A 0 ή B 0     ,
ως προς την ευθεία y x , έχει εξίσωση:
Αy Bx Γ 0, A 0 ή B 0     .
Η απόδειξη είναι ανάλογη με την απόδειξη της εργασίας 1γ.
 Αν Β 0 , τότε το σημείο
A Γ
Μ t, t , t
B Β
 
   
 
R παριστάνει ένα οποιοδήποτε
σημείο της ευθείας ε. Επομένως, το συμμετρικό του σημείο ως προς την ευθεία
y x είναι:
A Γ
Μ t ,t , t
B Β
     
 
R άρα έχουμε
A Γ
x t και y t
B Β
    , δηλαδή
ο γεωμετρικός τόπος των σημείων αυτών ανήκουν στην ευθεία με εξίσωση:
A Γ
x y Αy Βx Γ 0
B Β
       .
 Αν Β 0 και Α 0 , τότε η ευθεία ε : Αx 0y Γ 0   τέμνει την ευθεία y x
στο σημείο
Γ Γ
,
Α Α
 
  
 
και τον άξονα των x στο σημείο
Γ
,0
Α
 
 
 
. Άρα η
συμμετρική ευθεία της (ε) ως προς την ευθεία y x θα διέρχεται από το σημείο
Γ Γ
,
Α Α
 
  
 
και το σημείο
Γ
0,
Α
 
 
 
, άρα είναι η ευθεία
Γ
y Αy 0x Γ 0
Α
     
Σε κάθε περίπτωση η συμμετρική ευθεία ε: Αx By Γ 0, A 0 ή B 0     , ως προς την
ευθεία y x είναι: ε΄: Αy Bx Γ 0   .
Εφαρμογή 4η lisari.blogspot.com
Δίνεται η ευθεία με εξίσωση ε : x 2y 2 0   .
α) Να βρείτε ένα σημείο Α που ανήκει στην ευθεία ε. Στη συνέχεια να βρείτε τις
συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου Α ως προς την αρχή των αξόνων.
β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε΄ που είναι συμμετρική της ευθείας ε ως προς
την αρχή των αξόνων. Τι παρατηρείτε σε σχέση με την αρχική εξίσωση ε;
γ) Γενίκευση: Έστω η εξίσωση της ευθείας ε: Αx By Γ 0, A 0 ή B 0     . Να
βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε΄ που είναι συμμετρική της ευθείας ε ως προς την
αρχή των αξόνων.
Λύση
α) Ένα σημείο της ευθείας ε είναι το  Α 0,1 . Το συμμετρικό του ως προς την αρχή των
αξόνων είναι το  Α΄ 0, 1 .
17.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 12

8. β) Η εξίσωση ευθείας ε΄, που είναι συμμετρική της ε, ως προς την αρχή των αξόνων,
διέρχεται από το σημείο Α΄ και είναι παράλληλη στην ε, δηλαδή ε ε
1
λ λ
2
   . Άρα η
εξίσωση της ευθείας ε΄ είναι:
   
1
y 1 x 0 x 2y 2 0
2
        
δηλαδή παρατηρούμε ότι η ε΄: x 2y 2 0    είναι η αρχική εξίσωση της ευθείας
ε : x 2y 2 0   αντί για y το y και αντί για x το x .
γ) Μόνο τυχαίο δεν είναι το συμπέρασμα που καταλήξαμε στο προηγούμενο ερώτημα. Θα
αποδείξουμε ότι η συμμετρική ευθεία της
ε : Αx By Γ 0, A 0 ή B 0     ,
ως προς την αρχή των αξόνων, έχει εξίσωση:
Αx By Γ 0, A 0 ή B 0      .
Η απόδειξη είναι ανάλογη με την απόδειξη της εργασίας 1γ.
 Αν Β 0 , τότε το σημείο
A Γ
Μ t, t , t
B Β
 
   
 
R παριστάνει ένα οποιοδήποτε
σημείο της ευθείας ε. Επομένως, το συμμετρικό του σημείο ως προς την αρχή των
αξόνων είναι:
A Γ
Μ t, t , t
B Β
     
 
R (αντίθετες συντεταγμένες) άρα έχουμε
A Γ
x t και y t
B Β
    , δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των σημείων αυτών ανήκουν
στην ευθεία με εξίσωση:
 
A Γ
y x Αx Βy Γ 0
B Β
        .
17.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 12

9.  Αν Β 0 και Α 0 , τότε η ευθεία ε : Αx 0y Γ 0   τέμνει τον άξονα των x στο
σημείο
Γ
,0
Α
 
 
 
, άρα η συμμετρική της ευθεία ως προς την ευθεία y x θα
τέμνει τον άξονα x στο σημείο
Γ
,0
Α
 
 
 
, άρα είναι η ευθεία έχει εξίσωση:
Γ
x Αx 0x Γ 0
Α
     
Άρα σε κάθε περίπτωση η συμμετρική ευθεία της ε: Αx By Γ 0, A 0 ή B 0     , ως
προς την αρχή των αξόνων είναι: ε΄: Αx Βy Γ 0    .
Εφαρμογή 5η lisari.blogspot.com
Δίνεται η ευθεία με εξίσωση ε : x 2y 2 0   .
α) Να βρείτε ένα σημείο Α που ανήκει στην ευθεία ε. Στη συνέχεια να βρείτε τις
συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου Α ως προς το σημείο  Κ 2,3 .
β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε΄ που είναι συμμετρική της ευθείας ε ως προς
το σημείο  Κ 2,3 .
γ) Γενίκευση 1η: Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε΄ που είναι συμμετρική της ευθείας
ε ως προς το σημείο  0 0Κ x ,y .
δ) Γενίκευση 2η: Έστω η εξίσωση της ευθείας ε: Αx By Γ 0, A 0 ή B 0     . Να
βρείτε την εξίσωση της συμμετρικής ευθείας της ε ως προς το σημείο  0 0Κ x ,y .
Λύση
α) Έστω  Α 0,1 το σημείο τομής της ευθείας ε με τον άξονα των x. Έστω  Α΄ x, y το
τυχαίο σημείο της ευθείας ε΄ που είναι συμμετρική της ε ως προς το σημείο  Κ 2,3 , άρα
το Κ είναι μέσο του ΑΑ΄, οπότε έχουμε:
x 0
2 x 4
2

   και
1 y
3 y 5
2

  
άρα  Α΄ 4,5 .
β) Η συμμετρική ευθεία ε ως προς το σημείο Κ(2,3) είναι παράλληλη με την ε, οπότε
ε ε
1
λ λ
2
  , επομένως η εξίσωση της ευθείας ε΄ είναι:
 
1
y 5 x 4 x 2y 6 0
2
        .
17.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 12

10. γ) Αν  Α΄ x, y τυχαίο σημείο της ζητούμενης ευθείας ε΄, τότε το σημείο  0 0Κ x ,y ως
κέντρο συμμετρίας είναι μέσο του ΑΑ΄, άρα έχουμε:
0 0
x 0
x x 2x
2

   και 0 0
1 y
y y 2y 1
2

   
άρα  0 0Α΄ 2x ,2y 1 .
Η συμμετρική ευθεία ε ως προς το σημείο  0 0Κ x ,y είναι παράλληλη με την ε, οπότε
ε ε
1
λ λ
2
  , επομένως η εξίσωση της ευθείας ε΄ είναι:
     0 0 0 0 0 0
1
y 2y 1 x 2x 2y 4y 2 x 2x x 2y 2 2 x 2y 0
2
               .
δ) Έστω
Γ
Μ 0,
Β
 
 
 
το σημείο τομής της ευθείας ε με τον άξονα των x (ανάλογα
συμπεράσματα προκύπτουν αν η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα των y).
Αν  Α΄ x, y τυχαίο σημείο της ζητούμενης ευθείας ε΄, τότε το σημείο  0 0Κ x ,y ως
κέντρο συμμετρίας είναι μέσο του ΑΑ΄, άρα έχουμε:
0 0
x 0
x x 2x
2

   και 0 0
Γ
y
ΓΒy y 2y
2 Β

   
άρα 0 0
Γ
Α΄ 2x ,2y
Β
 
 
 
.
17.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 10 of 12

11. Η συμμετρική ευθεία ε΄, ως προς το σημείο  0 0Κ x ,y είναι παράλληλη με την ε, οπότε
ε ε
Α
λ λ
Β
   , επομένως η εξίσωσή της είναι:
 
 
0 0 0 0
0 0
Γ Α
y 2y x 2x Βy 2y B Γ Αx 2Ax
Β Β
Ax By Γ 2 Αx Βy 0
 
           
 
     
Όλα τα παραπάνω συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα:
Η εξίσωση της ευθείας ε
Αx By Γ 0, A 0 ή B 0    
είναι συμμετρική ως προς
τον άξονα των y
με την
εξίσωση της
ευθείας ε΄:
Αx By Γ 0   
τον άξονα των x Αx By Γ 0  
την ευθεία y x Αy Bx Γ 0  
την αρχή των
αξόνων
Αx By Γ 0   
το σημείο  0 0x , y  0 0Ax By Γ 2 Αx Βy 0    
Με αφορμή την άσκηση Β1 σχολικού βιβλίου στη σελ. 70
και τα παραπάνω προτείνουμε την εξής άσκηση:
Άσκηση lisari.blogspot.com
Δίνεται η εξίσωση 2 2
x y 4y 4 0    .
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει:
 δύο ευθείες 1 2ε ,ε
 κάθετες
 και συμμετρικές ως προς τον άξονα των y.
β) Να τις σχεδιάσετε και να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι
ευθείες με τον άξονα των x.
Λύση
17.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 11 of 12

12. α) Έχουμε,
 
  
22 2 2
x y 4y 4 0 x y 2 0
x y 2 x y 2 0
x y 2 0 ή x y 2 0
       
     
      
άρα παριστάνει δύο ευθείες τις:
1 2ε : x y 2 0 και ε : x y 2 0      
που είναι κάθετες διότι,
 1 2ε ελ λ 1 1 1     
και συμμετρικές ως προς τον άξονα των y διότι έχουν αντίθετα x και ίδια y όπως είδαμε
στην εφαρμογή 1.
β) Η ευθεία 1ε τέμνει τους άξονες συντεταγμένων στα σημεία  Α 2,0 και  Β 0,2 , ενώ
η ευθεία 2ε τέμνει τους άξονες συντεταγμένων στα σημεία  Α΄ 2,0 και  Β 0,2 , άρα το
σχήμα είναι το παρακάτω:
Άρα αναζητούμε το εμβαδόν του τριγώνου ΒΑΑ΄. Έχουμε,
     
1 1
ΒΑΑ΄ ΒΟ ΑΑ΄ 2 4 4 τ.μ.
2 2
     
17.03.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 12 of 12