ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 2020-2021

Σχ.Έτος 19-20
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Επιμέλεια : Ιορδάνη Χ. Κοσόγλου
Msc μαθηματικού ΓΕ.Λ Απόφοιτου
Α.Π.Θ
ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3
Ευκλείδεια Γεωμετρία Α΄ Λυκείου

ΓΕ.Λ Εξαπλατάνου ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ Λυκείου
ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Επιμέλεια : Ιορδάνη Χ. Κοσόγλου, μαθηματικού ΓΕ.Λ Εξαπλατάνου-https://blogs.sch.gr/iordaniskos- σελίδα 2
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 3.1
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ
ΟΡΙΣΜΟΙ – ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ - ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ
 Σημείο είναι ότι δεν έχει μέρος - ( Ευκλείδειος Ορισμός-Βιβλίο Ι)
 Ευθεία είναι ότι έχει μόνο μήκος - (Ευκλείδειος Ορισμός-Βιβλίο Ι)
 Κάθε Ευθύγραμμο Τμήμα προεκτεινόμενο και από τα δυο άκρα καταλήγει σε
ευθεία.- ( Ευκλείδειο Αίτημα ΙΙ)
 Το μέρος που περιέχεται από δυο μη αντικείμενες ημιευθείες καλείται
γωνία.(Ευκλείδειος Ορισμός-Βιβλίο Ι)
Α )Σημεία : Συμβολίζονται με ΚΕΦΑΛΑΙΑ γράμματα.
Β )Ευθύγραμμα Τμήματα : Γράφουμε κολλητά την αρχή και το πέρας του
τμήματος. Π.χ ΑΒ , ΑΓ , ΒΓ . Είτε γράψω ΑΒ είτε ΒΑ αναφέρομαι στο ΙΔΙΟ τμήμα.
Γ )Γωνίες :Συμβολίζονται είτε με ένα γράμμα (κορυφή), είτε με τρία γράμματα.
Μερικές φορές τις αριθμούμε. Η κορυφή στο κέντρο .
π.χ 𝛢̂ ή Γ 𝛢̂Β ή Β 𝛢̂Γ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ :Να γράψετε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα και τις γωνίες που
βλέπετε στο σχήμα.
…………………………………………………………………………………….

Δ )Στοιχεία Τριγώνου :
 Κύρια είναι οι πλευρές , οι γωνίες.
 Δευτερεύοντα είναι οι διάμεσοι , οι διχοτόμοι και τα ύψη.
Τις πλευρές τις συμβολίζουμε είτε όπως τα τμήματα ή με μικρά γράμματα.
Για π.χ την ΑΓ = β , την ΑΒ = ……… και την ΒΓ = ……….
 Δηλαδή απέναντι από την γωνία 𝛢̂είναι η πλευρά α. Ομοίως οι άλλες.
Οι διάμεσοι συμβολίζονται με μα , μβ , μγ , ή όπως τα ευθ. τμήματα.
Οι διχοτόμοι συμβολίζονται με δα , δβ , δγ , ή όπως τα τμήματα.
Τα ύψη συμβολίζονται με ………………….., ή …………………..
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ :Γράψτε, σύμφωνα με τα παραπάνω, τα δευτερεύοντα στοιχεία
που υπάρχουν στο
τρίγωνο ΑΒΓ.
…………………………………………………………………………………….
Λίγη Μαθηματική Λογική
Προτάσεις (p, q , r )
Απλή Πρόταση, στα μαθηματικά, καλείται μια δήλωση (statement) που μπορεί
να χαρακτηριστεί ως Αληθής ή Ψευδής (True – False).
Συμβολίζονται με p,q,r.
1ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜA
Ποιες από τις παρακάτω είναι προτάσεις ;
i )Το 2 είναι άρτιος.
ii )Καλημέρα σας !!
iii )Τι κάνετε ;
iv )Το 45 διαιρείται με το 4.
v )Ο καθηγητής των μαθηματικών είναι 45 χρόνων.

Σύνθετες Προτάσεις, είναι προτάσεις που περιέχουν συνδέσμους.
Σύνδεσμοι είναι το ή ( ∨ ) ,το και ( ∧ ) και η άρνηση – αντίθετη πρόταση(  ).
2οΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Δείτε κάποιες σύνθετες προτάσεις και σημειώστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς.
i )Το 2 είναι άρτιος και πρώτος.
ii )Το 3 είναι άρτιος και πρώτος.
iii )Το 45 διαιρείται με το 5 και το 9.
iv ) Το 45 διαιρείται με το 5 ή το 2.
v )Το 13 διαιρείται με το 2 ή το 13.
3ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Συμπληρώστε τους πίνακες.
p q p∧q
A Α
Α Ψ
Ψ Α
Ψ Ψ
 Η Αντίθετη Πρόταση (Άρνηση) της p είναι η  p.
4οΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Γράψτε τις αντίθετες των παρακάτω προτάσεων.
i )x ≠ 3.
ii ) α = 0 ή β = 0 .
iii )α ≠ 0 και β ≠ 0.
iv )x ≥ 3.
v )ε1 // ε2.
ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΕΣ – ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ (Αν , τότε ) pq , p q
5οΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ:ι )«Αν χιονίζει , τότε κάνει κρύο».
Μαθηματικά : Χιονίζει  Κάνει Κρύο.
ιι ) Αν το ΑΒΓ ισοσκελές , τότε οι γωνίες στη βάση
είναι ίσες.
ιιι ) Αν το ΑΒΓΔ παρ/μο , τότε ΑΒ = ΓΔ.
ιv ) Στον ίδιο κύκλου, αν δυο χορδές είναι ίσες , τότε
και τα αντίστοιχα τόξα είναι ίσα.
ν ) Αν α2 = β2 , τότε α = β.
 Η εργασία με αληθείς Προτάσεις του τύπου pq λέγεται παραγωγικός
συλλογισμός ή απλώς συλλογισμός. Η πρόταση p λέγεται Υπόθεση και η
πρόταση q λέγεται Συμπέρασμα. Ονομάζουμε την pq ένα Θεώρημα.
p q p∨q
A Α
Α Ψ
Ψ Α
Ψ Ψ
p q pq
A Α Α
Α Ψ Ψ
Ψ Α Α
Ψ Ψ Α

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΕΣ
 Η Αντίστροφη της συνεπαγωγής pq , είναι η qp
ΑΣΚΗΣΗ 1η: Μπορείτε να γράψετε τις αντίστροφες των παραπάνω ι ), ιι ) , ιιι ),
ιv ) ν ) , συνεπαγωγών; Αληθεύουν ΠΑΝΤΑ οι αντίστροφες ; Τι λέτε ;
…………………………………………………………………………………….
ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ ( p q )
Αν και οι δυο συνεπαγωγές pq , qpείναι αληθείς , τότε γράφουμε p  q.
Διαβάζουμε «p αν και μόνο αν q»ή «ανpτότε και μόνον τότεq».
6οΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Ισοδύναμων Προτάσεων
i )Το ΑΒΓ είναι ισοσκελές αν και μόνο αν οι γωνίες στη βάση είναι ίσες.
ii ) α∙β= 0 αν και μόνο αν α = 0 ή β = 0 .
iii ) Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ισαπέχει από τα
άκρα Α , Β του ευθυγράμμου τμήματος.
Αντιθετοαντιστροφή(Αντίθετη ΚΑΙ Αντίστροφη) Συνεπαγωγής
Όπως είπαμε παραπάνω η αντίθετη πρόταση (άρνηση) της pείναι ηpκαι η
αντίστροφη της συνεπαγωγής pqείναι ηqp.
Η αντιθετοαντίστροφη της συνεπαγωγής pqείναι η(q)( p)
ΑΣΚΗΣΗ : Μπορείτε να γράψετε τις αντιθετοαντίστροφες των παρακάτω
αληθών συνεπαγωγών ;
ι )Στον ίδιο κύκλο αν δυο χορδές είναι ίσες , τότε και τα αντίστοιχα τόξα είναι ίσα.
ii )Αν το ΑΒΓ είναι ισοσκελές , τότε οι γωνίες στη βάση είναι ίσες.
ιιι )Αν α∙β= 0 , τότε α = 0 ή β = 0 .
AΠΑΝΤΗΣΗ
…………………………………………………………………………………….
p q pq (q)  (p)
A Α Α A
Α Ψ Ψ Ψ
Ψ Α Α Α
Ψ Ψ Α A
Τι παρατηρείτε ; …………………………………………………………………………………….
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΡΙΤΗΡΙΟ (Π-Γ-Π)
Περιεχόμενη Γωνία
ι ) Η περιεχόμενη γωνία των ΑΒ , ΑΓ είναι η : …………
ιι ) Η περιεχόμενη γωνία των ΑΒ , ΒΓ είναι η : …………
ιιι ) Η περιεχόμενη γωνία των ΒΓ , ΑΓ είναι η : ………
1ο Κριτήριο Ισότητας Τριγώνων
ΑΣΚΗΣΗ 1
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
Ισοσκελές Τρίγωνο
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………

ΑΣΚΗΣΗ 2
ΛΥΣΗ (στο πρόχειρο σας , παρακαλώ )
…………………………………………………………………………………………………………………………
Μεσοκάθετος Ευθ. τμήματος
Δοκιμάστε να το ΑΠΟΔΕΙΞΕΤΕ στο πρόχειρο σας για ένα τυχαίο σημείο της.
Δραστηριότητα
Στο παρακάτω σχήμα , να βρείτε το σημείο της ευθείας ε που ισαπέχει απ τα Α
και Β.
Τόξα και Χορδές Κύκλου – Υπενθυμίσεις
……………………………………
……………………………………
…………………………………….
…………………………………….
………………………………….....
……………………………………..
Για το Σπίτι : Άσκηση 3 Αποδεικτικές

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 3.3 – 3.4
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΡΙΤΗΡΙΑ (Γ-Π-Γ) , (Π-Π-Π)
Προσκείμενη Γωνία
ι ) Οι προσκείμενες γωνίες στην πλευρά ΑΓ είναι: …
ιι ) Οι προσκείμενες γωνίες στην πλευρά ΒΓ είναι: …
ιιι ) Οι προσκείμενες γωνίες στην πλευρά ΑΒ είναι: ..
ΑΣΚΗΣΗ 1
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
ΑΣΚΗΣΗ 2
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………

Ισοσκελές Τρίγωνο
Μεσοκάθετος Ευθ. τμήματος
 Ποια η σχέση του παραπάνω Πορίσματος με το Πόρισμα ΙΙΙ της
Παραγράφου 3.2 ; ………………………………………………………………….
Τόξα και Χορδές Κύκλου
 Ποια η σχέση των παραπάνω Πορισμάτων με το Πόρισμα ΙV της
Παραγράφου 3.2 ; ………………………………………………………………….
ΑΣΚΗΣΗ 3
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
Για το Σπίτι : Ασκήσεις 1-3 Κατανόησης

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 3.5 - 3.6 – 3.7
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ – ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ – ΑΠΟΣΤΗΜΑΤΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ
ΘΕΩΡΗΜΑ
Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται ΜΟΝΑΔΙΚΗ κάθετος στην ευθεία.
Κριτήριο Ισότητας Ορθογωνίων τριγώνων Ι
(ΠΠ)
Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα , όταν έχουν δυο ομόλογες πλευρές τους ίσες
μία προς μία.
Κριτήριο Ισότητας Ορθογωνίων τριγώνων ΙΙ
(ΠΓ)
Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα , όταν έχουν μια πλευρά και την προσκείμενη
σε αυτή οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μια προς μία.
ΘΕΩΡΗΜΑ ΙV (Διχοτόμος Γωνίας)
ΕΥΘΥ
 Κάθε σημείο Μ της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει απ τις πλευρές της
γωνίας .
( Μ σημείο της διχοτόμου ⇒ ΜΒ = ΜΑ )
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ
 Αν Μ εσωτερικό σημείο της γωνίας ΒΟΑ και ΜΒ = ΜΑ ⇒ Μ σημείο της
διχοτόμου της γωνίας ΒΟΑ.
Ασκήσεις : 7 Κατανόησης , 3 Εμπέδωσης & Αποδεικτική 1

ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙΙ (Χορδές - Αποστήματα)
ΕΥΘΥ
ΑΒ , ΓΔ χορδές κύκλου με ΑΒ = ΓΔ ⇒ ΟΚ = ΟΛ , όπου ΟΚ,ΟΛ αποστήματα των ΑΒ,ΓΔ.
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ
ΟΚ = ΟΛ ίσα αποστήματα ⇒ ΑΒ = ΓΔ
Ασκήσεις : 6 Κατανόησης & Αποδεικτική 5
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ
Γεωμετρικός Τόπος(γ.τ) λέγεται το σύνολο όλων των σημείων που έχουν μια
(κοινή) χαρακτηριστική ιδιότητα.
 Κύκλος : Το σύνολο των σημείων που………………..
 Διχοτόμος : Τα σημεία μιας διχοτόμου γωνίας ισαπέχουν από τις πλευρές της
γωνίας.
 Μεσοκάθετος : ………………………………………………………….
Δραστηριότητα Ι
Ποιο σημείο στο εσωτερικό μιας γωνίας xOy ισαπέχει από τις πλευρές της και
απέχει από την κορυφή της σταθερή απόσταση α ;
Δραστηριότητα ΙΙ
Πώς μπορεί να βρεθεί σημείο του επιπέδου που να απέχει από τα άκρα ενός
ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ απόσταση ίση με το μήκος ΑΒ ;
Μια πολύ Ωραία Άσκηση - 4 Αποδεικτικές Παραγράφου 3.6
Λίγη ΒΟΗΘΕΙΑ !

ΕΝΟΤΗΤΑ : Ασκήσεις στα Κριτήρια Ισότητας Τριγώνων – Ορθογωνίων Τριγώνων

Υπόδειξη για το ερώτημα γ ) η ΑΒΕ γωνία είναι εξωτερική στο ΒΘΕ.
Η ΑΓΕ είναι ίση με τη γωνία…………………. του τριγώνου ΒΘΕ.
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 3.11 - 3.12

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΛΕΥΡΩΝ ΓΩΝΙΩΝ – ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ
( Η απόδειξη του Θεωρήματος ΔΥΣΤΥΧΩΣ είναι ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ)
 Για παράδειγμα :
β > γ 


 Να διαβαστούν οπωσδήποτε τα Πορίσματα της Παραγράφου 3.11
 Να διαπραγματευτείτε την Ερώτηση Κατανόησης 1.
Δραστηριότητα
Στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο η γωνία Β είναι μεγαλύτερη της Γ και ΑΔ το
ύψος. Μπορείτε να διατάξετε απ το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τα τμήματα
ΑΓ,ΑΔ,ΒΓ και ΑΒ.
ΑΣΚΗΣΗ 1
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………

Τριγωνική Ανισότητα (δείτε και εδώ : https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/1484 )
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
ΑΣΚΗΣΗ 2
ΛΥΣΗ (στο πρόχειρο σας)
Δραστηριότητα Ποιο σημείο της ευθείας που δίνεται παρακάτω έχει
ελάχιστο άθροισμα αποστάσεων απ τα Ε και Ζ και στις δυο περιπτώσεις ;
Για το Σπίτι : Ασκήσεις 2,3 Κατανόησης – 5 , 6 , 10 Εμπέδωσης

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 3.13 – 3.14 – 3.15
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΑΓΙΑ,ΚΑΘΕΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ – ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ –
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ
Τι πρέπει να ξέρω !
α ) Τι ονομάζεται προβολή σημείου πάνω σε ευθεία και τι ίχνος ευθείας ή ευθ.
τμήματος.
Β ) Ποια τμήματα λέγονται πλάγια και ποια κάθετα σε ευθεία (ε).
ΘΕΩΡΗΜΑ Ι
Αν ΑΒ = ΑΓ ίσα πλάγια τμήματα ⇔ τα ίχνη τους ισαπέχουν απ το ίχνος της
καθέτου.
ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ
Έστω Α σημείο εκτός ευθείας (ε) και ΑΚ κάθετο τμήμα στην (ε) και ΑΒ πλάγιο
τμήμα στην (ε). Ισχύουν :
 ΑΚ < ΑΒ
 Αν ΑΓ επίσης πλάγιο τμήμα , τότε ισχύει :
ΑΓ > ΑΒ ⇔ΓΚ > ΒΚ
Ασκήσεις : 1,2 Κατανόησης & 1 Εμπέδωσης, Παραγράφου 3.13
ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΥ
Έστω Κύκλος (Ο,R) και ευθεία xx΄
Ονομάζουμε δ την απόσταση του Ο απ την ευθεία xx΄.
Μεταξύ του δ και R ισχύει μια απ τις σχέσεις :
 δ > R , η xx΄ εξωτερική του κύκλου.
 δ = R , η xx΄ εφαπτομένη του κύκλου.
 δ < R , η xx΄ τέμνουσα του κύκλου.
ΘΕΩΡΗΜΑ
Μια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δυο κοινά
σημεία.

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ
Έστω Ρ σημείο εξωτερικό σημείο του κύκλου (Ο,R). Φέρνω τις εφαπτομένες απ
το Ρ στον (Ο,R) και Α,Β τα σημεία επαφής των εφαπτομένων με τον (Ο,R).
Τα ΡΑ , ΡΒ λέγονται Εφαπτόμενα Τμήματα.
ΘΕΩΡΗΜΑ
Τα ΡΑ , ΡΒ είναι ίσα.
ΠΟΡΙΣΜΑ
 Το ΡΟ (διακεντρικό τμήμα) είναι μεσοκάθετος της χορδής ΑΒ.
 Το ΡΟ είναι διχοτόμος των γωνιών Ρ και Ο.
Ασκήσεις : 3 Κατανόησης & 2,3 Εμπέδωσης, Παραγράφου 3.15
Βοήθεια για τη 2 Βοήθεια για την 3

ΕΝΟΤΗΤΑ : Ασκήσεις στις Ανισοτικές Σχέσεις – Κύκλος

Υπόδειξη : βιι) τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΚΒΑ΄.
Ενδεικτική Λύση
α )
ι ) Αρκεί να δείξω ότι οι γωνίες Ο1 , Ο2 είναι
ίσες.
Το τρίγωνο ΟΑΑ΄ είναι ισοσκελές (ΟΑ=ΟΑ΄)
γιατί η ε είναι μεσοκάθετος της ΑΑ΄. Οπότε
η ε είναι και διχοτόμος της γωνίας ΑΟΑ΄.
ιι ) Αρκεί να δείξω ότι Ο1 = Ο3.
Είναι Ο2 = Ο3 ως κατακορυφήν και από
ερώτημα ι ) Ο2 = Ο1 , άρα προκύπτει το
ζητούμενο.
β )
ι ) Η ε είναι μεσοκάθετος του ΑΑ΄ άρα κάθε
σημείο της ισαπέχει απ τα άκρα του ευθ.
τμήματος ΑΑ΄.
Το Κ ανήκει στην ε , άρα ΚΑ = ΚΑ΄ (1)
ιι ) ΚΑ + ΚΒ = ΚΑ΄ + ΚΒ > Α΄Β , τριγωνική
ανισότητα στο τρίγωνο Α΄ΒΚ.
Είναι όμως Α΄Β = Α΄Ο + ΟΒ = ΑΟ + ΟΒ
Άρα ΚΑ + ΚΒ = ΚΑ΄ + ΚΒ > ΑΟ + ΟΒ.

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ
Διάκεντρος
Ονομάζεται το ………………………………………………………………………………………………..
Συμβολίζεται με …………… .
 Οι σχετικές θέσεις 2 κύκλων εξαρτώνται απ τη σχέση της διακέντρου με το
άθροισμα ή τη διαφορά των ακτίνων τους.
Σχετική Θέση 1 – Οι κύκλοι δεν έχουν κοινά σημεία (Εξωτερικοί)
δ > ……….. + …………..
Σχετική Θέση 2 – Οι κύκλοι τέμνονται
Σχηματίζεται το τρίγωνο ΑΟΚ.
Ισχύει σε αυτό , η τριγωνική ανισότητα.
…………….. < ………………. <…………………
Το ευθ. τμήμα ΑΒ καλείται κοινή χορδή.
Σχετική Θέση 3 – Οι κύκλοι εφάπτονται ΕΞΩΤΕΡΙΚΑ
δ ………..………..…………..

Σχετική Θέση 4– Οι κύκλοι εφάπτονται ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ
Η δ είναι το ευθ. τμήμα ΟΚ.
Ισχύει : ΟΚ + ΚΜ = ΟΜ 
δ + ρ = R δ = ………………..
Σχετική Θέση 5 – Οι κύκλοι δεν έχουν κοινά σημεία (Εσωτερικοί)
δ ………..………..…………..
Θεώρημα
«Η διάκεντρος δυο τεμνόμενων κύκλων ( σχετική θέση 2)είναι μεσοκάθετος της
κοινής χορδής τους.»
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
…………………………………………………..
……………………………………………………
 Αν οι κύκλοι είναι ίσοι , δηλαδή με ίσες ακτίνες , τότε η κοινή χορδή……..
……………………………………………………………………………….ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Σχολικού
Για το Σπίτι : Ασκήσεις 1,2 Κατανόησης – 1 , 2 , 3 Εμπέδωσης

Σχ.έτος : 19-20
ΓΕΛ Εξαπλατάνου
«Μενέλαος Λουντέμης»
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ & Β΄
[ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 4 – 11]
Επιμέλεια, Ιορδάνη Χ. Κοσόγλου , Msc μαθηματικού - https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/613

Γε.Λ Εξαπλατάνου «Μεν. Λουντέμης» Α΄& Β΄ Λυκείου
Επιμέλεια: Ιορδάνη Χ. Κοσόγλου , Msc μαθηματικού - https://blogs.sch.gr/iordaniskos
22
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 4.1 – 4.5
Σχετικές Θέσεις 2 ευθειών στο επίπεδο
Με τη βοήθεια του σχολικού Παράγραφος 4.1 , συμπληρώστε τα παρακάτω.
Δυο ευθείες ε1 , ε2 στο επίπεδο μπορούν να ,
α ) ……………………………..
β ) ……………………………., το Α καλείται …………………..
γ )………………………………
Τέμνουσα 2 ευθειών
Πάλι , με τη βοήθεια του σχολικού, Παράγραφος 4.2 , συμπληρώστε :
Η ε3 καλείται ……………………….. των ε1 , ε2 .
Οι γωνίες γ , δ , ζ , ε λέγονται …………… των ε1 , ε2.
Οι γωνίες α , β , η , θ λέγονται ………….. των ε1 , ε2.
Οι α , δ , ε , θ καλούνται ……………………της ε3.
Ομοίως οι γωνίες ………………………………………. .
Οι δ , ζ λέγονται ………………………………………… .
Οι α , ε καλούνται ………………….………….. καθώς επίσης και οι …………………… .
Γράψτε δυο εντός εναλλάξ γωνίες : ……………………… .
Γράψτε δυο εντός και επι τα αυτά γωνίες απ το σχήμα : …………………… .
Θεώρημα
Αν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δυο εντός εναλλάξ γωνίες
ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Αν ω = φ ,  ε1 // ε2. Δεδομένο είναι ότι : …………………
και ζητούμενο ότι : …………………………………………………….
Μπορείτε να δοκιμάσετε να το αποδείξετε , χωρίς να
βλέπετε το σχολικό με τη βοήθεια του σχήματος 3 και
της ,μεθόδου της απαγωγής σε άτοπο ;
……………………………………………………………………………………………………………………….
▄
Πρόταση Ι
Αν δυο παράλληλες ευθείες ε1 , ε2 τέμνονται από Τρίτη , σχηματίζουν τις εντός
εναλλάξ γωνίες ίσες. ▄
Τι σχέση έχει η Πρόταση Ι με το Θεώρημα ; ……………………………………… .

23
Άσκηση 1 Κατανόησης σχολικού
Λύση
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
Πόρισμα Ι
Αν δυο ευθείες ε1 , ε2 τέμνονται από τρίτη ευθεία και σχηματίζουν δυο εντός ,
εκτός και επι τα αυτά μέρη γωνίες ίσες ή δυο εντός και επι τα αυτά μέρη
παραπληρωματικές , τότε είναι παράλληλες. ▄
Πρόταση ΙΙ (Αντίστροφη του Πορίσματος Ι)
Μπορείτε να τη διατυπώσετε μόνοι σας ; (χωρίς το σχολικό)
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
▄
Λύση
…………………………………………………………………
………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
Λύση
………………………………………………………………….
…………………………………………………………………..
…………………………………………………………………..
▄
Άσκηση 1 Εμπέδωσης σχολικού
Λύση
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….

24
Πόρισμα ΙΙ
Δυο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία , σε διαφορετικά σημεία, είναι μεταξύ τους
παράλληλες. ▄
Λύση
………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
Πρόταση ΙΙ
Αν δυο ευθείες ε1 , ε2 είναι παράλληλες προς τρίτη ευθεία ε , τότε είναι και
μεταξύ τους παράλληλες. Δηλαδή, αν ε1 // ε και ε2 // ε , τότε………………. ▄
Λύση
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
Λύση
………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
Για το σπίτι : 2 και 3 Εμπέδωσης σχολικού.
Αξιοσημείωτοι κύκλοι Τριγώνου
ΘΕΩΡΗΜΑ
Οι τρεις μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από
το ίδιο σημείο , το οποίο είναι κέντρο κύκλου που
διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου.
Ο κύκλος καλείται ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΣ.
Το σημείο (κέντρο) καλείται ΠΕΡΙΚΕΝΤΡΟ.

25
ΘΕΩΡΗΜΑ
Οι τρεις διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο
σημείο , το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται
και στις πλευρές του τριγώνου.
Ο κύκλος καλείται ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΣ.
Το σημείο (κέντρο) καλείται ΕΓΚΕΝΤΡΟ.
Άσκηση 5 Αποδεικτικές σχολικού
Λύση
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
▄
Δραστηριότητα Δ17
Να διερευνήσετε πότε από τρία διαφορετικά σημεία Α , Β , Γ, διέρχεται κύκλος.
Λύση
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
Μπορούν δυο διαφορετικοί κύκλοι να διέρχονται από 3 διαφορετικά σημεία ;
……………………………………………………………………………………………………………………….

26
ΕΝΟΤΗΤΑ : Παράγραφος 4.6 Άθροισμα Γωνιών Τριγώνου
ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΩ για να λύσω τις παρακάτω ασκήσεις !
 Το άθροισμα γωνιών τριγώνου είναι : 𝛢̂ + 𝛣̂ + 𝛤̂ = 1800(1)
 Απ την (1) έχω :
𝛢̂
2
+
𝛣̂
2
+
𝛤̂
2
= 900 (2) ή
𝛢̂
2
= 900
−
𝛣̂
2
−
𝛤̂
2
ή …………
 𝛢̂ 𝜀𝜉 = 𝛣̂ + 𝛤̂ , 𝛣̂ 𝜀𝜉 = 𝛢̂ + 𝛤̂ , ………………….
 Συμπληρωματικές γωνίες λέγονται ………………..
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ με σχήμα και περισσότερα ερωτήματα !
1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει :
𝛢̂
2
+ 900 = 𝛣̂ 𝜀𝜉 .
ι ) Να αποδείξετε ότι :
𝛢̂
2
= 900
−
𝛣̂
2
−
𝛤̂
2
ιι ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ
είναι ισοσκελές, δηλαδή να δείξετε ότι :
𝛣̂ = 𝛤̂
2. Δίνεται τρίγωνο με 𝛣̂ > 𝛤̂. Έστω ΑΔ η διχοτόμος του.
ι ) Να δείξετε ότι :
Α𝛥̂ 𝛣 =
𝛢̂
2
+ 𝛤̂
ιι ) Να δείξετε ότι :
Α𝛥̂ 𝛤 =
𝛢̂
2
+ 𝛣̂
ιιι ) Συνθέστε τα
παραπάνω και δείξτε ότι:
Α𝛥̂ 𝛤 − Α𝛥̂ 𝛣 = 𝛣̂ − 𝛤̂
ιν ) Επίσης βρείτε το
άθροισμα : Α𝛥̂ 𝛣 + Α𝛥̂ 𝛤 =…………….
ν ) Ξανασυνθέστε τα ιιι), ιν) και αποδείξτε ότι :
Α𝛥̂ 𝛣 = 900
−
𝛣̂−𝛤̂
2
, Α𝛥̂ 𝛤 = 900 +
𝛣̂−𝛤̂
2

27
3. Δίνεται τρίγωνο με 𝛣̂ > 𝛤̂. Έστω ΑΕ η διχοτόμος του και ΑΔ το
ύψος του.
ι ) Αποδείξτε ότι :
900 -
𝛢̂
2
=
𝛣̂
2
+
𝛤̂
2
ιι ) Εξηγήστε γιατί ισχύει:
𝛢̂
2
+ 𝛤̂ = 𝛦̂ , όπου Ε η
εσωτερική γωνία του
τριγώνου ΑΔΕ.
𝛊𝛊𝛊 ) Να αποδείξετε ότι : Δ𝛢̂ 𝛦 =
𝛣̂−𝛤̂
2
4. Σε ορθογώνιο τρίγωνο (𝛢̂ = 900
), το ύψος του ΑΔ και η διχοτόμος
του ΒΖ τέμνονται στο Ε. Να αποδείξετε ότι το ΑΕΖ είναι ισοσκελές
ή ΑΕ = ΑΖ ή 𝛦̂ = 𝛧̂.
5. Άσκηση 5 Εμπέδωσης σχολικού.
6. Άσκηση 7 Εμπέδωσης σχολικού
Καλή Μελέτη

28
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 4.8-ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΚΥΡΤΟΥ ν – ΓΩΝΟΥ
α ) Στο προηγούμενο μάθημα αποδείξαμε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε
τριγώνου είναι ……………0. Δηλαδή , A

+……………… = 2L.
β ) Έστω ότι έχουμε ένα κυρτό Τετράπλευρο ΑΒΓΔ.
Θα προσπαθήσουμε να βρούμε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του.
Παίρνουμε ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο Ο, τότε το ΑΒΓΔ χωρίζεται σε ……….
τρίγωνα. Τα ……….. , …………. , ………….. , ……………
Στο τρίγωνο ΑΟΒ , ισχύει :
1A

+ 1

+ 1

= 2L (1)
Στο τρίγωνο ΒΟΓ ισχύει :
1

+ 2

+ 2

= 2L (2)
Στο τρίγωνο ΔΟΓ ισχύει :
………………………………. (3)
Τέλος στο τρίγωνο ΑΟΔ είναι : …………………….. (4)
Προσθέτω τις (1) , (2) , (3) , (4) και προκύπτει : ………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
γ ) Έστω ότι έχουμε ένα κυρτό Πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ.
Θα προσπαθήσουμε να βρούμε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του.
Παίρνουμε ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο Ο, τότε το ΑΒΓΔΕ χωρίζεται σε ……….
τρίγωνα. Τα ……….. , …………. , ………….. , …………… , ……………………
Στο τρίγωνο ΑΟΒ , ισχύει :
……………………………….. (1)
Στο τρίγωνο ΒΟΓ ισχύει :
………………………………… (2)
Στο τρίγωνο ΔΟΓ ισχύει :
LL 442  


29
……………………………………. (3)
Στο τρίγωνο ΟΔΕ είναι : …………………….. (4) και τέλος στο ΑΟΕ είναι :
………………………………. (5)
Προσθέτω τις (1) , (2) , (3) , (4) , (5) και προκύπτει : …………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………..
δ ) Έστω ότι έχουμε ένα κυρτό Εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ. Ο παραπάνω τύπος θα γίνει :
………………………………………………………………………………………………………………………
ε ) Αν έχω ένα Κυρτό ν – γωνο, ο τύπος που δίνει το άθροισμα των γωνιών του
είναι : ………………………. ……………………….
ΠΟΡΙΣΜΑ
Το άθροισμα των Εξωτερικών γωνιών κυρτού ν – γώνου είναι 4L.
Η απόδειξη δυστυχώς είναι Εκτός Ύλης.
Ασκήσεις :3, 5 Ερωτήσεις Κατανόησης , 7 Εμπέδωσης σχολικού βιβλίου.
LL 452  


30
ΕΝΟΤΗΤΑ : Παραλληλία – Άθροισμα Γωνιών Τριγώνου
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ 2014-2017 με Ενδεικτικές Λύσεις
ΛΥΣΗ 2853 – εφυής μαθητής ή όχι !!
Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ είναι
ισοσκελή (ΟΑ=ΟΒ, ΟΓ=ΟΔ) με Ο
κοινή γωνία.
Άρα Α=Β=Γ=Δ.
Οι Α και Γ είναι ίσες και επίσης
εντός εκτός και επί τα αυτά των
ΑΒ , ΓΔ που τέμνονται απ την Οx.
Άρα όντως ο μαθητής βρήκε
τρόπο για να φτιάχνει
παράλληλες !!
ΛΥΣΗ 2855 – Αχ! αυτή η μεσοκάθετος!
α ) Αεξ=2Β ή Β+Γ = 2Β ή Β = Γ άρα ΑΒΓ
ισοσκελές και (ΑΒ = ΑΓ)
β ) Φέρνω την ΔΒ. Το ΑΔΒ είναι ισοσκελές γιατί Δ
σημείο της μεσοκαθέτου και άρα ισαπέχει απ τα
άκρα Α, Β. Άρα Α+Β1 = 100ο ή Α=Β1 = 50ο .
Αφού η Α = 500 , τότε Β = Γ = 750.
ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ
Αεξ=2Β ΑΒ=ΑΓ
Δ σημείο
μεσοκαθέτου
Α=; Β=; Γ=;
ΑΔΒ = 80ο

31
ΛΥΣΗ 5573 - Συμπεράσματα του α) λύνουν το β)
α ) Συγκρίνω τα ορθογώνια ΑΔΓ , ΒΓΕ , έχουν :
1 ) Α=Β =90 2 ) ΑΔ=ΒΓ 3 ) ΑΓ=ΒΕ
Άρα ίσα και ΕΓΒ = ΑΔΓ , Ε = Γ , ΕΓ = ΔΓ.
β ) ΕΓΒ = ΑΔΓ=400 , άρα ΔΓΑ = 50ο (1)
ΕΓΒ = 400 και (1) άρα ΔΓΕ = 900 και επειδή ΕΓ=ΔΓ
από α) , προκύπτει το ζητούμενο.
ΛΥΣΗ 5599 – Άθροισμα γωνιών τριγώνου, ξες ;
α ) ΑΔ διάμεσος άρα ύψος και διχοτόμος της Α.
Συνεπώς Α =600 , όμως ισοσκελές με μια γωνία
600 είναι ισόπλευρο.
β ) ΑΔ = ΑΕ άρα ισοσκελές το ΑΔΕ και η
ΔΑΕ = 300 άρα η Ε = 750 = ΑΔΕ.
γ ) Η Γ είναι 600 , η ΔΕΓ = 1050 άρα ΕΔΓ = 150.
Α=Β=90ο ΑΓΔ=ΒΓΕ
ΑΔ=ΒΓ , ΑΓ=ΒΕ
ΕΓΒ = 40ο ΔΓΕ ισοσκελές
& ορθογώνιο
ΑΒ=ΑΓ ΑΒΓ ισόπλευρο
ΑΔ διάμεσος σε
ισοσκελές
Γωνίες ΑΔΕ ;;
ΒΑΔ = 30ο
ΑΔ=ΑΕ
ΕΔΓ = ;

32
ΛΥΣΗ 6584 Παραλληλία αγάπη μου !!
α ) ΕΔ // ΑΒ και η ΑΒ κάθετη στην ΑΓ , άρα και η ΕΔ
κάθετη στην ΑΓ.
β ) Α1 = ΑΔΕ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων
ΕΔ//ΑΒ που τέμνονται απ την ΑΔ.
Άρα ΑΔΕ = 450. Συνεπώς το ΑΕΔ ισοσκελές και
ορθογώνιο.
γ ) Β = 200 +Γ και Β + Γ = 900 άρα
200 + Γ + Γ = 90 0 ή 2Γ = 700 ή Γ = 350
Συνεπώς ΕΔΓ = 550 γιατί σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο
οι οξείες γωνίες είναι ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ.
Υπόδειξη :β ) Έστω Κ το ζητούμενο σημείο. Θέλουμε το τρίγωνο ΑΚΔ να είναι ισοσκελές. Το Ε είναι μέσο της ΑΔ. Άρα
φέρνω από το Ε …………………
ΛΥΣΗ 5904 Θέμα ενδοσχολικών εξετάσεων 2017
Από υπόθεση ισχύει ότι : ΒΕ = ΕΓ και ΕΑ = ΕΔ.
α)
Αρκεί να δείξω ότι
ΑΒ = ΓΔ.
Συγκρίνω τα τρίγωνα
ΑΒΕ και ΕΓΔ έχουν :
1) ΑΕ = ΕΔ
2) ΒΕ = ΕΓ
3) Ε1 = Ε2
(κατακορυφήν γωνίες ίσες)
Άρα από κριτήριο (ΠΓΠ)
προκύπτει ότι ΑΒ = ΓΔ.

33
Επίσης η γωνία Δ του τριγώνου ΕΓΔ είναι ίση με την Α του τριγώνου ΑΒΕ.
β ) Από ι) η γωνία Δ του τριγώνου ΕΓΔ είναι ίση με την Α του τριγώνου ΑΒΕ ,
αυτές είναι εντός εναλλάξ και ίσες άρα οι ΑΒ , ΓΔ παράλληλες , συνεπώς δεν θα
συναντηθούν ποτέ.
γ ) Φέρνω κάθετες από τα Β και Γ αντίστοιχα προς την ΑΔ.
Αρκεί να δείξω ότι ΒΚ = ΓΠ.
Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΚΕ και ΕΓΠ
1 ) Ορθογώνια
2 ) Ε1 = Ε2 (κατακορυφήν γωνίες ίσες)
3 ) ΒΕ = ΕΓ

34
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 5.1 – 5.2 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ
Ορισμός :Παραλληλόγραμμο λέγεται το………………………………………………
Ιδιότητες
1 ) Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες , δηλαδή
ΑΒ = ……….. , ΒΓ = …………
2 ) Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες , δηλαδή
………. = ……….. , ……….. = …………
3 ) Οι διαγώνιοι του διχοτομούνται , δηλαδή ΑΟ = ΟΓ , ……… = ……….
Μέθοδος : Πως αποδεικνύω ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλ/μο ;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
1 ) Αποδεικνύω ότι έχει τις απέναντι πλευρές του …………………..(Ορισμός)
2 ) Αποδεικνύω ότι οι απέναντι πλευρές του ανά δυο είναι …….. (Ιδιότητα 1)
3 **) Αποδεικνύω ότι δυο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες.
4 ) Αποδεικνύω ότι οι απέναντι γωνίες ανά δυο ………………………..(Ιδιότητα 2)
5 ) Αποδεικνύω ότι οι διαγώνιοι ………………………………………………. (Ιδιότητα 3)
 Να γίνουν όλες οι Ερωτήσεις Κατανόησης !
 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1o ( Άσκηση 3 Εμπέδωσης )
Έστω Ε , Ζ τα μέσα των ΑΒ , ΓΔ πλευρών παραλληλογράμμου. Να αποδείξετε ότι
ι ) το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
ιι ) Οι ΑΓ , ΒΔ , ΕΖ συντρέχουν .(σημαίνει τέμνονται και οι τρεις – κοινό σημείο
τομής).
ΥΠΟΔΕΙΞΗ : Χρησιμοποιήστε το
ερώτημα ι)
…………………………………………………..
…………………………………………………..

35
 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2o ( Άσκηση 2 Εμπέδωσης)
Έστω Ο κέντρο παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Αν Ε και Ζ σημεία των ΟΑ και ΟΓ
αντίστοιχα , ώστε ΟΕ = ΟΖ , να αποδείξετε ότι το ΒΕΔΖ είναι παραλληλόγραμμο.
ΛΥΣΗ
………………………………………………
………………………………………………
Άσκηση 2 Αποδεικτικές * : Αν ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο και Ε σημείο της
ΑΓ. Φέρνω ΔΖ // ΒΕ (Ζ σημείο της ΑΓ). Να αποδείξετε ότι ΔΕ // ΒΖ.
ΥΠΟΔΕΙΞΗ : Αρκεί να δείξω ότι το ΒΕΔΖ είναι παραλληλόγραμμο ή ΒΕ = ΔΖ – Φέρε ΒΔ.
Συνευθειακά Σημεία
Α΄Τρόπος : Όταν μου ζητούν να δείξω ότι τρία σημεία Α , Γ , Β , με τη σειρά που
δίνονται, είναι συνευθειακά , όπου Α, Β είναι στην ίδια ευθεία , τότε αρκεί να
δείξω ότι η γωνία Γ είναι ίση με 1800.
Β΄ Τρόπος : Αρκεί να δειχθεί ότι ΑΓ // σε ευθεία και ΓΒ// στην ίδια ευθεία.
Από ένα σημείο , πόσες ευθείες παράλληλες μπορώ να φέρω σε δοσμένη ευθεία;
(Ευκλείδειο Αίτημα)
 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3ο ( Άσκηση 3 Αποδεικτικές)
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ . Προεκτείνουμε τη ΔΓ κατά ΓΕ = ΔΓ , και την
ΔΑ κατά ΑΖ = ΔΑ. Να δείξετε ότι τα σημεία Ζ , Β , Ε είναι συνευθειακά.
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
Για το σπίτι : 1 , 4 εμπέδωσης , 1 αποδεικτικές.

36
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 5.3 - 5.4
ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ – ΡΟΜΒΟΣ
Ορισμός :Ορθογώνιο καλείται το Παραλληλόγραμμο που έχει μια ορθή
γωνία. (Προσοχή ! Ο ορισμός περιέχει τις ελάχιστες απαιτήσεις).
Γιατί ; Αν ένα παραλληλόγραμμο έχει μια ορθή γωνία τότε και η απέναντι της
γωνία θα είναι ……...και επειδή το άθροισμα των γωνιών του παραλληλογράμμου
είναι (ν-2)∙1800 = 3600 , άρα και οι άλλες δυο γωνίες θα είναι από ……..0(η κάθε
μία).
Ιδιότητες :
1 ) Οι διαγώνιοι του είναι ίσες , δηλαδή
ΑΓ = ………..
Αρκεί τα τρίγωνα ……… , ………. να είναι ίσα.
Είναι ; ……………………………………………………..
2 ) Επίσης έχει τις ιδιότητες του
παραλληλογράμμου.
Μέθοδος :Πως αποδεικνύω ότι ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο ;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
1 ) Αποδεικνύω ότι είναι παραλληλόγραμμο και έχει μια ………….γωνία (Ορισμός)
2 ) Αποδεικνύω την ιδιότητα του ορθογωνίου , δηλαδή ότι είναι ……………... και
έχει …………. διαγωνίους. (Ιδιότητα)
3 ) Αποδεικνύω ότι έχει 3 γωνίες ορθές. Γιατί τότε και η τέταρτη γωνία θα είναι
και αυτή ορθή. Μην ξεχνάς άθροισμα γωνιών τετραπλεύρου είναι …………0
4 ) Αποδεικνύω ότι όλες οι γωνίες του …………………….
 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( Άσκηση 1ι) Κατανόησης )
 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( Άσκηση 1 Εμπέδωσης) – Λύση στο πρόχειρο σας !!
Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Φέρνω ΑΕ  ΔΓ και ΓΖ  ΑΒ. Να αποδείξετε ότι
το ΑΖΓΕ είναι ορθογώνιο.
Ορισμός :Ρόμβος καλείται το Παραλληλόγραμμο που έχει δυο διαδοχικές
πλευρές ίσες. (Προσοχή ! Ο ορισμός περιέχει τις ελάχιστες απαιτήσεις).
Γιατί ; Αν ένα παραλληλόγραμμο έχει δυο διαδοχικές πλευρές ίσες τότε όλες του
οι πλευρές είναι ίσες. Συμφωνείτε ;

37
Ιδιότητες Ρόμβου
1 ) Οι διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα , δηλαδή
ΑΓ ……..
Γιατί ; Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ……………..
και ΟΔ = ……… , άρα ……………………
2 ) Οι διαγώνιες του διχοτομούν τις γωνίες του.
3 ) Επίσης έχει τις ιδιότητες του
παραλληλογράμμου.
Μέθοδος : Πως αποδεικνύω ότι ένα
τετράπλευρο είναι ρόμβος ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ
1 ) Αποδεικνύω ότι είναι παραλληλόγραμμο και
έχει …… ……………πλευρές ίσες. (Ορισμός)
2 ) Αποδεικνύω ότι είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοι του ………………
κάθετα. (Ιδιότητα 1)
3 ) Αποδεικνύω ότι είναι παραλληλόγραμμο και μια διαγώνιος του διχοτομεί μια
γωνία του. (Ιδιότητα 2)
4 ) Αποδεικνύω ότι όλες οι πλευρές του ………………………..
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( Άσκηση 1ιι) Κατανόησης )
………………………………………………………………………………………….
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( Άσκηση 1 Αποδεικτικές)
Έστω ΑΒΓ τρίγωνο , ΒΔ η διχοτόμος του και Μ μέσο της ΒΔ. Από το Δ φέρνω
παράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΒ στο Ε . Αν η ΕΜ τέμνει τη ΒΓ στο Ζ να
αποδείξετε ότι το ΔΕΒΖ είναι ρόμβος.
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………
Για το σπίτι : 2, 4 εμπέδωσης , 3 Aποδεικτικές.

38
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 5.5 ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
Ιδιότητες Τετραγώνου:
1 ) Οι απέναντι πλευρές του είναι ……………….
2 ) Όλες οι πλευρές του είναι ………………….
3 ) Όλες οι γωνίες του είναι …………….. μοίρες.
4 ) Οι διαγώνιοι του είναι ……………. , τέμνονται ………………. και διχοτομούν
τις………………… του.
Κριτήρια :Πως αποδεικνύω ότι ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο ;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( Άσκηση 4 Κατανόησης )
ι ) Ομοιότητες :……………………………………………………………….
Διαφορές :…………………………………………………………………..
ιι ) Ομοιότητες :……………………………………………………………….
Διαφορές :…………………………………………………………………..
ιιι ) Ομοιότητες :……………………………………………………………….
Διαφορές :…………………………………………………………………..

39
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( Άσκηση 5 Εμπέδωσης)
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( Άσκηση 6 Εμπέδωσης)
ΛΥΣΗ
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
Για το σπίτι :

40
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 5.6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ
ΑΠΟΔΕΙΞΗ (Θέμα Θεωρίας Ενδοσχολικών Εξετάσεων 2017 )
Δ, Ε είναι τα μέσα των ΑΒ , ΑΓ
αντίστοιχα. Προεκτείνω την ΔΕ κατά
ίσο τμήμα ΕΖ άρα , ΔΕ = ΕΖ .
Το ΑΖΓΔ είναι ………………………….
γιατί …………………………………….
Άρα : …………………………………..
………………………………………….
Εφαρμογή 1 (Άσκηση Κατανόησης)
Να βρεθεί το μήκος του τμήματος x ή ΔΕ.
……………………………………………………..
………………………………………………………
Εφαρμογή 2 (Άσκηση Εμπέδωσης)
ΛΥΣΗ
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Υπόδειξη : Κάνε σχήμα και χρησιμοποίησε την απαγωγή σε Άτοπο.
………………………………………………………………………………………..

41
………………………………………………………………………………………….
Βρείτε το μήκος των τμημάτων χ και y.
…………………………………………………….
……………………………………………………..
………………………………………………………
Αν ε1 // ε2 // ε3 // ε4 ,
βρείτε το μήκος των τμημάτων χ και y.
………………………………………………
……………………………………………….
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
Για το Σπίτι - Δραστηριότητα: Μπορείτε να χωρίσετε ένα ευθ. τμήμα μήκους
10εκ σε τρία ίσα μέρη μόνο με τη χρήση ενός διαβήτη ;

42
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 5.9-ΜΙΑ ΙΔΙΟΤΗΤΑ του ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Φέρνουμε τη διάμεσο ΜΔ. Το Μ μέσο της ΒΓ ,
το Δ μέσο της ……….άρα από το θεώρημα …..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
………………………………………………………
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Το Θεώρημα ΙΙ είναι το …………………. του
Θεωρήματος Ι.
Το τρίγωνο ΑΜΓ είναι …………… και η Γ = ……
Το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ……………και η Β = …….
Α1 + Α2 = …………… ή Α = ………………
Όμως Α + Β + Γ = 1800 …………………………..
………………………………………………………………………………………….
Εφαρμογή 1 (Άσκηση 1 Κατανόησης)
Να βρεθεί το μήκος του τμήματος x ή ΑΜ
……………………………………………………..
………………………………………………………
……………………………………………………….

43
Εφαρμογή 2(Άσκηση 1 Κατανόησης)
Ομοίως να βρεθούν τα μήκη των χ , y.
………………………………………………..
……………………………………………….
Εφαρμογή 3(Άσκηση 1 Αποδεικτική)
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
()
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
( )
………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………….
Για το σπίτι : 2, 4 Κατανόησης , 3,4,7 Εμπέδωσης , 8 Αποδεικτικές.

44
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 5.10 – 5.11 ΤΡΑΠΕΖΙΟ - ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ
Τραπέζιο – Διάμεσος Τραπεζίου
Βρείτε τον ορισμό στο βιβλίο και γράψτε τον εδώ. …………………………..………………
………………………………………………………………………………………….
Στο παρακάτω σχήμα, παράλληλες πλευρές είναι οι ……… , ………… , οι οποίες
ονομάζονται και …………….., επίσης μη παράλληλες οι ………… , ………….
Διάμεσος Τραπεζίου , είναι το ευθ. Τμήμα που
ενώνει τα μέσα των μη – παράλληλων
πλευρών, δηλαδή το …………………
Ύψος Τραπεζίου, είναι το ευθ. Τμήμα που είναι
κάθετο στις βάσεις ή αλλιώς το ευθ. Τμήμα που
μας δίνει την απόσταση των δυο παραλλήλων.
Συνεπώς στο σχήμα είναι το ……..
Η απόδειξη είναι στο σχ. Βιβλίο , αξίζει να διαβαστεί.
Εφαρμογή 1(Άσκηση Κατανόησης 1 σχολικού)
Να βρεθούν τα x , y. Αιτιολογήστε την απάντηση.
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Να βρεθεί ο αριθμός x. Αιτιολογήστε.
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

45
Ισοσκελές Τραπέζιο – Ιδιότητες αυτού.
Βρείτε τον ορισμό στο βιβλίο και γράψτε τον εδώ. …………………………..………………
………………………………………………………………………………………….
Ερωτήσεις :1 ) Σε ποιο άλλο σχήμα, ισχύει η i); ……………………………………………..
2 ) Αναφέρετε ένα σχήμα που έχει την ιδιότητα ii). ……………………………………….
ΛΥΣΗ
………………………………………
………………………………………
Εφαρμογή 4(Άσκηση Εμπέδωσης 2 σχολικού)
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Ασκήσεις για το σπίτι : 3 – 5 Εμπέδωσης και 1 – 2 Αποδεικτικές .

46
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 6.1 – 6.3 ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕΣ , ΕΠΙΚΕΝΤΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ -ΓΩΝΙΑ
ΧΟΡΔΗΣ και ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ
Ορισμοί ( Βρείτε τους στο σχολικό βιβλίο)
 Εγγεγραμμένη ονομάζεται, …………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………..
 Επίκεντρη …………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………..
 Γωνία χορδής και Εφαπτομένης …………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………..
Σχέση Εγγεγραμμένης – Επίκεντρης
Η απόδειξη είναι στο σχ. Βιβλίο , αξίζει να διαβαστεί.
Εφαρμογή 1(Άσκηση Εμπέδωσης 1 α ) σχολικού)
ΛΥΣΗ
………………………………
………………………………
………………………………
………………………………

47
ΛΥΣΗ
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
Γωνία Χορδής και εφαπτομένης
ΛΥΣΗ
………………………………
………………………………
………………………………
………………………………
 Σημαντικό ! Να διαβαστεί το σχόλιο της Παραγράφου 6.2
Ασκήσεις για το σπίτι : 1 - 3 Κατανόησης και 1β) Εμπέδωσης

48
ΕΝΟΤΗΤΑ : Ασκήσεις στα Παραλληλόγραμμα
ΛΥΣΗ 2829 Αχ ! Συνευθειακά & Παραλληλόγραμμο
α ) ΜΔ=//ΑΒ , άρα το ΑΔΜΒ παραλληλόγραμμο
συνεπώς ΑΔ=//ΒΜ (1)
ΜΕ=//ΑΓ , άρα το ΕΑΓΜ παραλληλόγραμμο
συνεπώς ΑΕ=//ΜΓ (2).
Όμως ΜΓ = ΜΒ (3) άρα από (1),(2),(3)
προκύπτει ότι ΔΑ=ΑΕ.
β ) ΑΔ//ΒΓ και ΑΕ //ΒΓ και απ το Α δεν γίνεται
να φέρω δυο παράλληλες προς τη ΒΓ (Ευκλείδειο
Αίτημα) ,άρα Α,Δ,Ε συνευθειακά .
γ ) ΑΔ=ΒΜ και ΑΕ=ΜΓ , τις προσθέτω κατά μέλη άρα
ΑΔ+ΑΕ=ΒΜ+ΜΓ ή ΔΕ = ΒΓ.
ΛΥΣΗ 5073 Αχ ! αυτές οι παράλληλες !
α ) ΑΑ΄ και ΓΓ΄ κάθετες στην ίδια ευθεία άρα
μεταξύ τους ΑΑ΄ // ΓΓ΄.
β ) Σύγκρινε ΑΔΑ΄ και ΒΓ΄Γ , τι έχουν ;
γ ) ΑΑ΄=//ΓΓ΄ άρα ……………..
Μ μέσο
ΒΓ(ΜΓ=ΒΜ)
ΔΑ=ΑΕ
ΜΔ=//ΑΒ Δ,Α,Ε
συνευθειακά
ΜΕ=//ΓΑ ΔΕ=ΒΓ
ΑΒΓΔ παρ/μο ΑΑ΄//=ΓΓ’
Α΄,Γ΄ προβολές ΑΓ΄ΓΑ΄ παρ/μο

49
ΛΥΣΗ 5646 Έμαθες τις ιδιότητες παρ/μου – ορθογωνίου ;
α ) ΑΒ , ΓΔ διάμετροι άρα ίσοι και τα μισά τους
είναι ακτίνες και άρα ίσα , συνεπώς το
ΑΔΒΓ παρ/μο αφού οι διαγώνιοι διχοτομούνται
οπότε ΑΓ = ΒΔ (απέναντι πλευρές παρ/μου)
β ) Οι διαγώνιες του παρ/μου ΑΔΒΓ είναι ίσες ως
διάμετροι άρα ……………..
ΛΥΣΗ 5129 Σύγκριση & Παραλληλία (Δίδυμο Φωτιά !)
α ) Σύγκρινε ΜΕ ΤΟ ΓΠΓ !!
1) Ο1 = Ο2(κατακορυφήν)
2) Β1 = Δ1
(εντός εναλλάξ των ε1//ε2 που τέμνονται απ την ΒΔ)
3 ) ΒΟ = ΟΔ
β ) ΑΒ=//ΓΔ , άρα ………………………
ΑΒ=ΓΔ
(διάμετροι)
ΑΓ=ΒΔ
(χορδές)
(Ο,ρ) ΚΥΚΛΟΣ ΑΓΒΔ ορθογώνιο
ε1//ε2 ΑΟΒ=ΓΟΔ
Ο μέσο ΒΔ
(ΔΟ=ΟΒ)
ΑΒΓΔ παρ/μο

50
ΕΝΟΤΗΤΑ : Τμήμα που ενώνει τα μέσα πλευρών – Διάμεσος Ορθογωνίου - Θεώρημα 300
ΛΥΣΗ 5111 Άσκηση Κατανόησης δεν συμφωνείτε ;
α ) Δ, Ε μέσα των ΒΓ, ΑΓ άρα ΔΕ //ΑΒ και ίσο με
το …………
β ι) χ = 500 ως εντός εκτός και επί τα αυτά των
ΔΕ//ΑΒ που τέμνονται απ την ΒΓ.
β ιι ) Γ = 180 – 70 -50 = 600 , άρα Α = 700 γιατί ;
ΛΥΣΗ 5653 Ισοσκελές – Ισόπλευρο
α ) Β = 300 = Γ και Α = 1200
Δ, Ε μέσα των ΑΓ , ΒΓ άρα ΔΕ // ΑΒ.
ΔΕΓ = 300 = Γ άρα ΔΕΓ ισοσκελές.
ΕΔΓ = Α = 1200
β ) ΑΕ είναι διχοτόμος ( ΕΑΓ = 600 )
Επίσης ΕΔΑ = 600 , άρα…………………………..
Β=500 ΔΕ//ΑΒ
Δ,Ε μέσα των
ΒΓ,ΑΓ
χ = ;;
ΔΕΓ=700 Α= ; Γ=;
ΑΒ=ΑΓ ΕΔΓ ισοσκελές
Δ,Ε μέσα των
ΑΓ,ΒΓ
Γωνίες ΕΔΓ ;;
Β = 30ο
ΑΔ=ΑΕ
ΑΔΕ ισόπλευρο

51
ΛΥΣΗ 7452 Διάμεσος στην Υποτείνουσα !!
α ) Α = 60ο = Γ γιατί ;
β ) ΕΖ διάμεσος σε υποτείνουσα ορθογωνίου
τριγώνου άρα ΕΖ η μισή της υποτείνουσας ή
ΕΖ = ΔΖ = ΖΓ.
ΑΚ η μισή της ΑΒ και ΑΒ = ΔΓ άρα ΑΚ η μισή της
ΔΓ ή ΑΚ = ΔΖ = ΖΓ.
γ ) ΕΖ = ΖΓ και Γ = 600 (α) άρα ισόπλευρο το ΕΖΓ.
ΛΥΣΗ 6582 - Τριαντάρα και Ορθογώνιο Παρ/μο !!
ΑΒΓΔ παρ/μο Α=; Γ=;
ΔΕ κάθετη στη ΒΓ ΕΖ = ΑΚ
Β = 120ο
ΕΖ διάμεσος του
ΔΕΓ
Γωνίες ΕΖΓ
Κ μέσο της ΑΒ

52
α ) Δ = Γ εξ = 600 άρα Β1 = 30 και η ΓΖ απέναντι
από 30 άρα ίση με το μισό της ΒΓ.
Όμως ΒΓ = ΑΔ γιατί ΑΒΓΔ παρ/μο άρα ………..
β ) Σύγκριση
1) Ορθογώνια 2 ) ΒΓ = ΑΔ 3 ) Δ = Γ εξ
Άρα ίσα.
γ ) Από β ) ΑΕ = ΒΖ, γιατί τα ΑΕ//ΒΖ ;
Προφανώς είναι κάθετα στην ίδια ευθεία, άρα παρ/μο και έχει μια γωνία ορθή
άρα ορθογώνιο .
Υπόδειξη : γ ) Συγκρίνω τρίγωνα και κάνω χρήση της παραλληλίας ΛΜ//ΑΓ
Υπόδειξη : γ ) Οι ΔΜ // ΒΓ ,τότε η γωνία ΕΔΜ είναι εντός εκτός και ……………
ΑΒΓΔ παρ/μο
ΑΕ,ΒΖ ύψη του
ΑΒΓΔ ΚΑΘΕΤΑ
ΣΤΗΝ ΔΓ !
ΑΔΕ=ΒΓΖ
Β= 60ο ΑΒΖΕ
ορθ.παρ/μο

53
Θέματα Γραπτών Προαγωγικών Εξετάσεων 2017
Θέμα 1ο
α ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) καθεμία απ
τις προτάσεις που ακολουθούν :
1. Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου παραλληλογράμμου τέμνονται κάθετα. Σ Λ
2.
Αν δυο ευθείες ε1 , ε2 , τεμνόμενες από τρίτη ευθεία ε3 σχηματίζουν δυο
εντός εναλλάξ γωνίες ίσες , τότε οι ε1 και ε2 είναι παράλληλες.
Σ Λ
3. Το τετράγωνο είναι και ρόμβος. Σ Λ
4.
Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου που άγονται από σημείο εκτός αυτού
είναι ίσα μεταξύ τους.
Σ Λ
5. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι δυο ορθές. Σ Λ
μονάδες 5∙2=10
β ) Να αποδειχθεί ότι : « Αν Δ, Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ , ΑΓ αντίστοιχα ,
τριγώνου ΑΒΓ , τότε το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ είναι παράλληλο και ίσο με το
μισό της πλευράς ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ.» μονάδες 15
Θέμα 2ο
Δίνεται το παρακάτω σχήμα. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και η ΑΓ διάμεσος
του.
α ) Να υπολογιστεί η γωνία ω.
β ) Να υπολογιστεί το μήκος του ευθυγράμμου
τμήματος x.
γ ) Να υπολογιστεί το μήκος του ευθυγράμμου
τμήματος y. Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας.
μονάδες α) 7 , β) 9 , γ) 9
Θέμα 3ο
Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι θέσεις στο χάρτη πέντε χωριών Α, Β , Γ , Δ
και Ε και οι δρόμοι που τους συνδέουν. Το χωριό Ε ισαπέχει (απέχει ίση
απόσταση) από τα χωριά Β , Γ και επίσης από τα χωριά Α και Δ.Να αποδείξετε
ότι :
α ) Η απόσταση των Α και Β είναι ίση με την απόσταση των Γ και Δ.
μονάδες 9
β ) Αν οι δρόμοι ΑΒ και ΓΔ έχουν δυνατότητα να προεκταθούν , να αποδείξετε
ότι αποκλείεται να συναντηθούν. μονάδες 6
γ ) Τα χωριά Β και Γ ισαπέχουν από το δρόμο ΑΔ. μονάδες 10

54
Θέμα 4ο
Έστω Ε και Ζ , τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ
αντίστοιχα.
Αν για το ΑΒΓΔ επιπλέον ισχύει ΑΒ > ΑΔ , να εξετάσετε αν είναι αληθείς οι
ακόλουθοι ισχυρισμοί :
Ισχυρισμός 1 : Το τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο.
Ισχυρισμός 2: Α E

Δ = Β 

Γ
Ισχυρισμός 3 : Οι ΔΕ και ΒΖ είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών Δ και Β.
α ) Στην περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός είναι αληθής , να τον
αποδείξετε. μονάδες 18
β ) Στην περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός δεν είναι αληθής, να
βρείτε τη σχέση των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώστε να είναι
αληθής. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. μονάδες 7
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)
1. Να απαντήσετε σε όλα τα Θέματα.
2. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 3ΟΥ ΚΑΙ 4ΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ
Από υπόθεση ισχύει ότι : ΒΕ = ΕΓ και ΕΑ = ΕΔ.
α) Αρκεί να δείξω ότι
ΑΒ = ΓΔ.
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΕΓΔ
έχουν :
1) ΑΕ = ΕΔ
2) ΒΕ = ΕΓ
3) Ε1 = Ε2 (κατακορυφήν
γωνίες ίσες)
Άρα από κριτήριο (ΠΓΠ) προκύπτει
ότι ΑΒ = ΓΔ.
Επίσης η γωνία Δ του τριγώνου ΕΓΔ είναι ίση με την Α του τριγώνου ΑΒΕ.
β ) Από ι) η γωνία Δ του τριγώνου ΕΓΔ είναι ίση με την Α του τριγώνου ΑΒΕ ,
αυτές είναι εντός εναλλάξ και ίσες άρα οι ΑΒ , ΓΔ παράλληλες , συνεπώς δεν θα
συναντηθούν ποτέ.
γ ) Φέρνω κάθετες από τα Β και Γ αντίστοιχα προς την ΑΔ.

55
Αρκεί να δείξω ότι ΒΚ = ΓΠ.
Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΚΕ και ΕΓΠ
1 ) Ορθογώνια
2 ) Ε1 = Ε2 (κατακορυφήν γωνίες ίσες)
3 ) ΒΕ = ΕΓ
Θέμα 4ο
Οι ισχυρισμοί :
Ισχυρισμός 1 : Το
τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι
παραλληλόγραμμο.
Ισχυρισμός 2:
Α E

Δ = Β 

Γ
Ισχυρισμός 3 : Οι ΔΕ και
ΒΖ είναι διχοτόμοι των
απέναντι γωνιών Δ και
Β.
Ο ισχυρισμός 1 ισχύει , γιατί ΔΖ = //ΕΒ άρα το ΔΖΒΕ είναι παραλληλόγραμμο.
Ο ισχυρισμός 2 ισχύει , γιατί οι γωνίες E

και 

του παραλληλογράμμου ΔΕΒΖ
είναι ίσες ως απέναντι γωνίες και οι Α E

Δ , Β 

Γ είναι παραπληρωματικές ίσων
γωνιών, άρα ίσες.
Ο ισχυρισμός 3 ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΛΗΘΗΣ.
Για να είναι αληθής θα πρέπει ΑΕ = ΑΔ = ΕΒ δηλαδή η πλευρά ΑΔ του ΑΒΓΔ
πρέπει να είναι η μισή της ΑΒ ή της ΔΓ ή 2ΑΔ = ΑΒ = ΔΓ.
Θέματα Γραπτών Προαγωγικών Εξετάσεων 2019
Θέμα 1ο
α ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) καθεμία απ
τις προτάσεις που ακολουθούν :
1. Δυο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία , σε διαφορετικά σημεία
της, είναι μεταξύ τους κάθετες.
Σ Λ
2.
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 

=90ο) αν 

= 30ο , τότε
ΑΓ =
2
B
.
Σ Λ
3. Κάθε ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο. Σ Λ
4.
Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι
παραπληρωματικές.
Σ Λ
5. Οι διαγώνιες ΒΔ και ΑΓ, τετραγώνου ΑΒΓΔ τέμνονται κάθετα. Σ Λ
μονάδες 5∙2=10
β ) Να αποδειχθεί το παρακάτω θεώρημα.

56
«Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής
γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.»
μονάδες 15
Θέμα 2ο
Δίνεται κύκλος κέντρου Κ, ΡΑ και ΡΒ εφαπτόμενα τμήματα του, ΑΒ χορδή του
και ΡΚ διάκεντρος , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
α ) Είναι τα
τρίγωνα ΡΒΚ
και ΡΑΚ ίσα ;
Αιτιολογήστε
την απάντηση
σας.
μονάδες 9
β ) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΚΒΔ , ΚΔΑ είναι ίσα.
μονάδες 10
γ ) Εξηγήστε γιατί το ευθύγραμμο τμήμα ΡΔ είναι κάθετο στην χορδή ΑΒ.
μονάδες 6
Θέμα 3ο
Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι

0
60A

 0
20

B
α )Να υπολογιστούν οι γωνίες του
τριγώνου ΑΒΓ.
μονάδες 10
β )Αν ΑΕ ύψος και ΒΔ διχοτόμος της
γωνίας Β οι οποίες τέμνονται στο Κ ,
σύμφωνα με το σχήμα, να βρείτε τις
γωνίες του τριγώνου ΑΚΔ.
μονάδες 15

57
Θέμα 4ο
Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ , παίρνουμε το μέσο Μ του ΔΓ . Αν είναι ΑΜ = ΜΝ ,
α )να αποδείξετε ότι το
τετράπλευρο ΑΓΝΔ είναι
παραλληλόγραμμο. μονάδες 6
β ) Να δειχθεί ότι ισχύει η ισότητα
γωνιών BAA 

μονάδες 5
γ )Να αποδείξετε ότι τα σημεία
Ν,Γ,Β είναι συνευθειακά.
μονάδες 14

58
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 7.1 – 7.4
ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΤΜΗΜΑΤΟΣ – ΛΟΓΟΣ ΤΜΗΜΑΤΩΝ – ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ – ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
Λίγη Επανάληψη
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ : Μπορείτε να χωρίσετε ένα ευθ. τμήμα μήκους 10εκ σε τρία
ίσα μέρη μόνο με τη χρήση ενός διαβήτη ;
……………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………..
Αν ΔΕΝ Μπορείτε , ρίξτε μια ματιά στην παρακάτω ΘΕΩΡΙΑ , από Α΄ Λυκείου
Αν ε1 // ε2 // ε3 // ε4 ,
βρείτε το μήκος των τμημάτων χ και y.
………………………………………………
……………………………………………….
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………
………………………………………………………………
Λόγος Τμημάτων – Σύμμετρα και Ασύμμετρα Τμήματα
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1Ο

59
Στο παραπάνω σχήμα το τμήμα ΕΙ έχει χωριστεί σε 4 ίσα ευθ. Τμήματα. Ισχύει :
ΕΙ = 4ΕΖ ή 4
EZ
EI
. Ο θετικός ρητός αριθμός 4 καλείται λόγος των
τμημάτων ΕΙ , ΕΖ.
Αλλιώς το τμήμα ΕΙ είναι τετραπλάσιο (τέσσερις φορές μεγαλύτερο)του ΕΖ.
Αντίστοιχα : ΕΖ = ……….ΕΙ ή αλλιώς το τμήμα ΕΖ είναι ………………………………
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2Ο
Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα , ΑΓ = …….. ΑΒ και ΓΔ = ………ΑΒ
Τα τμήματα ΑΓ , ΓΔ καλούνται σύμμετρα με κοινό μέτρο ή μονάδα μέτρησης
το τμήμα ΑΒ.
Δύο τμήματα που δεν είναι σύμμετρα , ονομάζονται Ασύμμετρα. Ο λόγος δυο
ασύμμετρων τμημάτων είναι άρρητος αριθμός. Μπορείτε να σκεφτείτε δυο
ασύμμετρα τμήματα ; Αν όχι δείτε την παρακάτω Εφαρμογή !
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………

60
Αναλογίες
Η ισότητα δυο λόγων καλείται Αναλογία. Θεωρώντας τα α, β, γ ,δ, ως μήκη
ευθυγράμμων τμημάτων προκύπτουν οι παρακάτω ιδιότητες αναλογιών.
ΜΙΑ ΑΠΟΔΕΙΞΗ(Για περισσότερα δες εφαρμογή 1 σελίδα 50 , Άλγεβρα Α΄ Λυκείου)
( ) 




 , άρα 


 ή α = λ∙β , ομοίως γ = λ∙δ . Συνεπώς






a
. Ομοίως το αντίστροφο.
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………
Ασκήσεις για το σπίτι : 3 Εμπέδωσης και 1 Αποδεικτικές

61
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 8.1 – 8.2 ΟΜΟΙΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΣΧΗΜΑΤΑ- ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
Στο διπλανό σχήμα , τα ΑΒΓΔ , ΔΕΖΗ είναι
ορθογώνια παραλληλόγραμμα και είναι ΑΔ = 2 ,
ΑΒ = 4 , ΔΗ = 2 και ΕΔ = 1 .
Υπολογίστε τους λόγους των ομόλογων πλευρών
τους καθώς και τους λόγους των περιμέτρων τους.
ΟΡΙΣΜΟΣ
Δυο ευθύγραμμα σχήματα λέγονται όμοια , αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες
και τις γωνίες που σχηματίζονται απ τις ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς
μία.
 ΘΕΩΡΗΜΑ : Ο λόγος των Περιμέτρων δυο όμοιων ευθ. σχημάτων ισούται με
το λόγο ομοιότητας τους.
ΑΣΚΗΣΗ 1
ΑΣΚΗΣΗ 2
ΑΣΚΗΣΗ 3 (5 Κατανόησης σχολικού)
Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι 3cm, 4cm και 5cm. Ένα τρίγωνο όμοιο με αυτό
έχει περίμετρο 24cm. Ποια είναι τα μήκη των πλευρών του ;

62
 1ο Κριτήριο Ομοιότητας : Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο γωνίες τους ίσες μία
προς μία, τότε είναι όμοια. ( θα γίνει η απόδειξη στην τάξη )
 2ο Κριτήριο Ομοιότητας : Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο πλευρές ανάλογες μία
προς μία και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι
όμοια.
 3ο Κριτήριο Ομοιότητας : Αν δυο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες
μία προς μία , τότε είναι όμοια.
ΑΣΚΗΣΗ 4 (Αφού μελετηθούν τα πορίσματα απαντήστε στα παρακάτω)
ΑΣΚΗΣΗ 5 (3 Κατανόησης σχολικού)
ΑΣΚΗΣΗ 6 (1 Εμπέδωσης σχολικού)
ΑΣΚΗΣΗ 7
ΑΣΚΗΣΗ 8
Για το σπίτι : 3 , 4 , 5 Εμπέδωσης Σχολικού βιβλίου , Καλή Μελέτη.

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 2020-2021

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 2020-2021

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 2020-2021

Similar to ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 2020-2021 (20)

More from General Lyceum "Menelaos Lountemis"

More from General Lyceum "Menelaos Lountemis" (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 2020-2021