1. ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ
ΣΧΕΣΕΙΣ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ

2. Θεώρημα
Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από
καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου
ΣΧΕΣΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΓΩΝΙΑΣ
εξ
∧ ∧
Α >Γ

3. Θεώρημα
Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από
καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου
ΣΧΕΣΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΓΩΝΙΑΣ
ΑΠΟΔΕΙΞΗ:
Φέρνουμε την διάμεσο ΒΔ και προεκτείνουμε
κατά τμήμα ΔΕ = ΒΔ.
Το Ε βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας
ΓΑx , επομένως
(1)x εξ
∧ ∧∧
=< ΓΑ ΑΓΑΕ
Τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΕΔΑ είναι
ίσα (γιατί;) .
(2)
∧ ∧
= ΓΑΕΓ
εξ
∧ ∧
>Α Γ
Από τις σχέσεις (1) , (2)
προκύπτει:
Συνεπώς:

4. Θεώρημα
Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από
καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου
ΣΧΕΣΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΓΩΝΙΑΣ
ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ:
i. Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μία γωνία ορθή ή αμβλεία.
ii. Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο των 1800

5. ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΛΕΥΡΩΝ ΚΑΙ ΓΩΝΙΩΝ
Θεώρημα
Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται
όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα .
β γ
∧ ∧
> ⇔ Β > Γ

6. ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΛΕΥΡΩΝ ΚΑΙ ΓΩΝΙΩΝ
Θεώρημα
Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται
όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα .
ΑΠΟΔΕΙΞΗ:
Έστω β > γ. Τότε υπάρχει μοναδικό εσωτερικό σημείο Δ της ΑΓ ώστε ΑΔ = ΑΒ
1
1
Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές , επομένως:
1 1 ω
∧∧
= =Β ∆
( )1 1ω
∧ ∧∧
> ⇔ >Β ΒΒΕπίσης:
Η γωνία Δ1 , ως εξωτερική του
τριγώνου ΒΔΓ , θα είναι
μεγαλύτερη από τη γωνία Γ.
Άρα: ( )1 2ω
∧ ∧ ∧
⇔> >∆ Γ Γ
Από τις σχέσεις (1) , (2) προκύπτει:
∧∧
>Β Γ

7. ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΛΕΥΡΩΝ ΚΑΙ ΓΩΝΙΩΝ
Θεώρημα
Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται
όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα .
ΑΠΟΔΕΙΞΗ (αντίστροφο) :
Έστω .
∧ ∧
Β > Γ Θα αποδείξω ότι και β > γ.
Έστω ότι β = γ .
Τότε θα είχαμε και
∧ ∧
Β = Γ ΑΤΟΠΟ
Έστω ότι β < γ .
Τότε θα είχαμε και
∧ ∧
Β < Γ ΑΤΟΠΟ
Επομένως είναι : β > γ

8. ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΛΕΥΡΩΝ ΚΑΙ ΓΩΝΙΩΝ
Θεώρημα
Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται
όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα .
(i) Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ορθή ή αμβλεία, τότε η
απέναντι πλευρά της είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου.
(ii) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε είναι ισοσκελές.
(iii) Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες, τότε είναι
ισόπλευρο.
ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ:

9. Μπορείτε να κατασκευάσετε τρίγωνα με πλευρές:
i) α = 1, β = 2, γ = 3
ii) α = 2, β = 7, γ = 4
iii) α = 3, β = 4, γ = 6
ΕΡΩΤΗΣΗ

10. ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ
Θεώρημα
Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των
δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. .
β – γ < α < β + γ , β γ≥

11. ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ
Θεώρημα
Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των
δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. .
ΑΠΟΔΕΙΞΗ:
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Θα αποδείξουμε αρχικά ότι α < β + γ
Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ, προς το Α,
κατά τμήμα ΑΔ = ΑΓ.
Το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές, οπότε γωνΔ =γωνΓ1 (1)
Η ΓΑ είναι εσωτερική ημιευθεία της ΒΓΔ, οπότε
γωνΓ1< γωνΒΓΔ. (2)
Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι γωνΔ < γωνΒΓΔ,
Στο τρίγωνο ΒΔΓ , είναι: γωνΔ < γωνΒΓΔ
Επομένως: ΒΓ < ΒΔ ή α < β + γ.

12. ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ
Θεώρημα
Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των
δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. .
ΠΟΡΙΣΜΑ:
Κάθε χορδή κύκλου είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου.

13. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1η
Αν Μ είναι ένα εσωτερικό σημείο ενός
τριγώνου ΑΒΓ, να αποδειχθεί ότι:
i) γωνΒΜΓ > γωνΑ
ii) ΜΒ + ΜΓ < ΑΒ + ΑΓ.

14. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1η
Αν Μ είναι ένα εσωτερικό σημείο ενός
τριγώνου ΑΒΓ, να αποδειχθεί ότι:
i) γωνΒΜΓ > γωνΑ
ii) ΜΒ + ΜΓ < ΑΒ + ΑΓ.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i)
Έστω Δ το σημείο τομής της προέκτασης του
ΒΜ με την ΑΓ.
Η γωνία ΒΜΓ είναι εξωτερική στο
τρίγωνο ΜΔΓ και επομένως
γωνΒΜΓ > γωνΔ1. (1)
Η γωνΔ1 είναι εξωτερική στο τρίγωνο
ΑΒΔ, οπότε θα είναι γωνΔ1 > γωνΑ. (2)
Από τις σχέσεις (1),(2) προκύπτει ότι
γωνΒΜΓ > γωνΑ,

15. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1η
Αν Μ είναι ένα εσωτερικό σημείο ενός
τριγώνου ΑΒΓ, να αποδειχθεί ότι:
i) γωνΒΜΓ > γωνΑ
ii) ΜΒ + ΜΓ < ΑΒ + ΑΓ.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ (ii)
Στο τρίγωνο ΑΒΔ , λόγω της τριγωνικής ανισότητας
είναι: ΒΔ < ΑΒ + ΑΔ
ΜΒ + ΜΔ < ΑΒ + ΑΔ (1)
Προσθέτοντας τις σχέσεις (1),(2) κατά μέλη
έχουμε:
ΜΒ + ΜΔ + ΜΓ < ΑΒ + ΑΔ + ΜΔ + ΔΓ
ΜΒ + ΜΔ + ΜΓ < ΑΒ + (ΑΔ+ ΔΓ) + ΜΔ
ΜΒ + ΜΓ < ΑΒ + ΑΓ
Στο τρίγωνο ΜΓΔ , λόγω της τριγωνικής
ανισότητας είναι: ΜΓ < ΜΔ + ΔΓ (2)

16. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2η
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ
και σημείο Δ της
πλευράς ΒΓ. Αν
ισχύουν δύο από τις
επόμενες προτάσεις:
(i) το τμήμα ΑΔ είναι
διάμεσος,
(ii) το τμήμα ΑΔ είναι
διχοτόμος,
(iii) το τμήμα ΑΔ
είναι ύψος,
τότε το τρίγωνο ΑΒΓ
είναι ισοσκελές με
βάση ΒΓ.
ΑΔ
διάμεσος
και ύψος
ΑΔ
διχοτόμος
και ύψος

17. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2η
Υπόθεση: ΑΔ διχοτόμος και διάμεσος.
Συμπέρασμα: ΑΒΓ ισοσκελές.

18. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2η
Προεκτείνουμε το ΑΔ κατά ίσο τμήμα ΔΕ.
Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΔΓΕ είναι ίσα (γιατί;)
Άρα ΑΒ = ΓΕ (1) και γωνΑ2 = γωνΕ
Δηλαδή το τρίγωνο ΑΓΕ έχει δύο γωνίες
ίσες , άρα είναι ισοσκελές με ΑΓ = ΓΕ (2)
Από τις σχέσεις (1) , (2) προκύπτει:
ΑΒ = ΑΓ , άρα τριγΑΒΓ
ισοσκελές
Υπόθεση: ΑΔ διχοτόμος και διάμεσος.
Συμπέρασμα: ΑΒΓ ισοσκελές. 2
Όμως , γωνΑ2 = γωνΑ1
Επομένως , γωνΑ1 = γωνΕ
ΑΠΟΔΕΙΞΗ :

19. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3η
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες
και τις περιεχόμενες γωνίες άνισες, τότε
και οι τρίτες πλευρές θα είναι όμοια
άνισες και αντίστροφα.
Δηλαδή:
Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν:
ΑΒ = Α’Β’
ΑΓ = Α΄Γ΄
γωνΑ < γωνΑ΄
τότε: ΒΓ < ´ô

20. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3η
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες
και τις περιεχόμενες γωνίες άνισες, τότε
και οι τρίτες πλευρές θα είναι όμοια
άνισες και αντίστροφα.
Αντιστρόφως:
Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν:
ΑΒ = Α’Β’
ΑΓ = Α΄Γ΄
ΒΓ < ´ô
τότε: γωνΑ < γωνΑ΄

21. Δίνονται μια ευθεία και δύο σημεία εκτός αυτής.
Να βρεθεί το σημείο της ευθείας που το
άθροισμα των αποστάσεων του από τα δύο σημεία είναι
ελάχιστο.
ΠΡΟΒΛΗΜΑ

22. Θέλουμε να βρούμε τη θέση του σημείου Μ ώστε το άθροισμα ΜΑ+ΜΒ να είναι
ελάχιστο

23. Φέρνουμε το συμμετρικό του Β ως προς την ευθεία και το ονομάζουμε Β΄
Ενώνουμε το Α με το Β΄ και ονομάζουμε Μ΄ το σημείο τομής με την ευθεία.
Το σημείο Μ΄ είναι το σημείο που ψάχνουμε.
Δηλαδή , όταν το σημείο Μ πάει στη θέση του Μ΄ , το άθροισμα
ΜΑ+ΜΒ θα έχει την ελάχιστη τιμή.

24. ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Ενώνω το Μ με το Β΄
Στο τρίγωνο ΑΜΒ΄ ισχύει
η τριγωνική ανισότητα:
ΑΒ΄ < ΑΜ + ΜΒ΄
Μ΄Α + Μ΄Β΄< ΑΜ + ΜΒ΄

25. Έχουμε λοιπόν: Μ΄Α + Μ΄Β΄< ΑΜ + ΜΒ΄ (1)
Ενώνω το Μ΄ με το Β
Λόγω συμμετρίας είναι:
Μ΄Β΄ = Μ΄Β
ΜΒ΄ = ΜΒ
Επομένως η σχέση (1) γίνεται:
Μ΄Α + Μ΄Β < ΜΑ + ΜΒ
που σημαίνει ότι το άθροισμα ΜΑ+ΜΒ παίρνει την ελάχιστη τιμή όταν
το Μ ταυτιστεί με το Μ΄

26. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

27. ΑΣΚΗΣΗ 5 – ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ σελ. 57
Αν Μ σημείο της βάσης ΒΓ ισοσκελούς
τριγώνου ΑΒΓ , να αποδείξετε ότι ΑΜ < ΑΒ.
Η γωνΜ είναι εξωτερική του τριγΑΜΓ ,
επομένως γωνΜ > γωνΓ
Όμως γωνΓ =γωνΒ (γιατί;)
Επομένως γωνΜ > γωνΒ
Στο τριγΑΒΜ είναι : γωνΜ > γωνΒ
Άρα και οι απέναντι πλευρές θα είναι όμοια άνισες:
Οπότε: ΑΒ > ΑΜ.
ΛΥΣΗ:

28. ΤριγΟΒΓ ισοσκελές (ΟΒ=ΟΓ)
Άρα γωνΒ1 =γωνΓ1 (1)
τριγΟΜΒ =τριγΟΛΓ (γιατί;)
Άρα γωνΒ2 =γωνΓ2 (2)
Προσθέτοντας τις σχέσεις (1), (2) , έχω :
γωνΒ =γωνΓ
επομένως τριγΑΒΓ ισοσκελές.
ΑΣΚΗΣΗ 7 – ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ σελ. 57
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ο σημείο στο
εσωτερικό του τριγώνου.
Οι ΒΟ και ΓΟ τέμνουν τις ΑΓ και ΑΒ
στα σημεία Λ και Μ αντίστοιχα.
Αν ισχύει ότι ΒΟ = ΓΟ και ΟΛ = ΟΜ
να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι
ισοσκελές.
1
ΛΥΣΗ:
1
22

29. ΑΣΚΗΣΗ 10 – ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ σελ. 57
Οι κωμοπόλεις Κ1, Κ2, Κ3 απέχουν από τη
πόλη Π (σχήμα), αποστάσεις 7, 6 και 10 km
αντίστοιχα.
Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την κωμόπολη
Κ1 και ακολουθώντας τη διαδρομή Κ1Κ2Κ3Κ1
επιστρέφει στην Κ1.
Ο χιλιομετρητής του γράφει ότι για αυτή τη
διαδρομή διήνυσε απόσταση 48 km.
Είναι αυτό δυνατόν;
Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
Τριγωνική ανισότητα στο τριγ Κ1Κ2Π:
Κ1Κ2 < 13
Τριγωνική ανισότητα στο τριγ Κ1Κ3Π:
Κ1Κ3 < 17
Τριγωνική ανισότητα στο τριγ Κ2Κ3Π:
Κ2Κ3 < 16
Κ1Κ2 + Κ1Κ3 + Κ2Κ3 < 13 +17 +16 = 46 < 48
ΛΥΣΗ:

30. Έστω κύκλος (Ο,R) διαμέτρου ΑΒ και σημείο Σ
της ημιευθείας ΟΑ.
Για κάθε σημείο Μ του κύκλου να αποδειχθεί
ότι ΣΑ ≤ ΣΜ ≤ ΣΒ. (Το τμήμα ΣΑ λέγεται
απόσταση του Σ από τον κύκλο).
ΑΣΚΗΣΗ 4 – ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ σελ. 58
ΛΥΣΗ:
Τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΣΟΜ:
ΣΟ – ΟΜ < ΣΜ < ΣΟ + ΟΜ
ΣΟ – ΟΑ < ΣΜ < ΣΟ + ΟΒ
ΣΑ < ΣΜ < ΣΒ (1)
 Αν το Μ συμπίπτει με το Α , τότε η (1) γίνεται: ΣΑ = ΣΜ < ΣΒ
 Αν το Μ συμπίπτει με το Β , τότε η (1) γίνεται: ΣΑ < ΣΜ = ΣΒ
Επομένως ισχύει : ΣΑ ≤ ΣΜ ≤ ΣΒ

31. ΑΣΚΗΣΗ 6 – ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ σελ. 58
Έστω κύκλος (Ο,R) και δύο τόξα ΑΒ, ΓΔ.
Αν τοξΑΒ=2τοξΓΔ να αποδείξετε ότι ΑΒ < 2ΓΔ.

32. ΑΣΚΗΣΗ 6 – ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ σελ. 58
Έστω κύκλος (Ο,R) και δύο τόξα ΑΒ, ΓΔ.
Αν τοξΑΒ=2τοξΓΔ να αποδείξετε ότι ΑΒ < 2ΓΔ.
ΛΥΣΗ:
Έστω Μ το μέσο του τοξΑΒ
Επομένως: τοξΑΜ = τοξΜΒ = τοξΓΔ
Και οι αντίστοιχες χορδές θα είναι ίσες:
ΑΜ = ΜΒ = ΓΔ
Τριγωνική ανισότητα στο τριγΑΜΒ:
ΑΒ < ΑΜ + ΜΒ
ΑΒ < ΓΔ + ΓΔ
ΑΒ < 2ΓΔ