Ένα μικρό επαναληπτικό διαγώνισμα στα μαθηματικά προσανατλισμού της Γ' λυκείου, εφ' όλης της ύλης, για να γυρίσει λίγο πιο εύκολα ο οβελίας. Καλή Ανάσταση!

1. Επαναληπτικό Διαγώνισμα
14 Απριλίου 2017
Θέμα 1
1. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα
∆ του πεδίου ορισμού της;
2. Πότε λέμε ότι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f είναι κοίλη ή ότι στρέφει
τα κοίλα προς τα κάτω σε ένα διάστημα ∆ του πεδίου ορισμού της;
3. Αν για μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f : A −→ R ισχύει ότι f (x) = 0
για κάθε x ∈ A, τότε να δείξετε ότι η f είναι σταθερή, δηλαδή ότι:
f(x) = c, για κάθε x ∈ A
4. Να χαρακτηρίσετε τις ακόλουθες προτάσεις ως Σωστές ή Λανθασμέ-
νες:
(αʹ) Ισχύει η συνεπαγωγή lim
x→x0
|f(x)| = l ∈ R ⇒ lim
x→x0
f(x) = l ή − l.
(βʹ) Για κάθε συνάρτηση f ισχύει ότι f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.
(γʹ) Η αντίστροφος μίας γνησίως αύξουσας συνάρτησης είναι γνησίως
φθίνουσα.
(δʹ) Αν f : [α, β] −→ R είναι μία συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρ-
τηση με f(α) > 0 τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται
από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x x και τις ευθείες
x = α και x = β θα δίνεται από τη σχέση:
E(Ω) =
β
α
f(x)dx
(εʹ) Για δύο συναρτήσεις f, g : R −→ R ισχύει ότι f ◦ g = g ◦ f.
Θέμα 2
Δίνεται η συνάρτηση f : [0, 2] −→ R με τύπο:
f(x) =
αx2 x ∈ [0, 1]
x + 1 x ∈ (1, 2]
, α ∈ (0, +∞)
1

2. 1. Να εξετάσετε για ποιες τιμές του α ∈ R η f είναι συνεχής σε όλο το
πεδίο ορισμού της.
2. Να βρείτε για ποιες τιμές του α ∈ R η f είναι αντιστρέψιμη.
3. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f για α < 2.
4. Να βρείτε για ποιες από εκείνες τις τιμές που ορίζεται η αντίστροφος της
f η f−1 είναι συνεχής.
Θέμα 3
Δίνεται μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f : [0, +∞) −→ R με f(0) = 0 που
ικανοποιεί τη σχέση:
f (x) = λ − λf(x), λ > 0
1. Να δείξετε ότι f(x) = 1 − e−λx.
2. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
3. Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα.
4. Να δείξετε ότι λx ≥ f(x) για κάθε x ≥ 0.
5. Να δείξετε ότι λx2
≥
x
0
2f(t)dt για κάθε x > 0.
Θέμα 4
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [0, +∞) −→ R με f(x) = 0 για κάθε x = 0
για την οποία ισχύει ότι:
f(x + y) = f2(x) + f2(y), για κάθε x, y ≥ 0
1. Να δείξετε ότι f(0) = 0 και στη συνέχεια να δείξετε ότι η f είναι μη
αρνητική και μη σταθερή.
2. Να δείξετε ότι αν υπάρχει το lim
x→+∞
f(x) τότε lim
x→+∞
f(x) = +∞.
3. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) =
1
x
έχει τουλάχιστον μία θετική λύση.
4. Να δείξετε ότι για κάθε λύση x0 της εξίσωσης f(x) =
1
x
υπάρχει τουλάχι-
στον ένα ξ > 0 τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της συνάρτησης g(x) = xf(x)
να έχει κλίση
1
x0
.
5. Θεωρώντας γνωστό ότι για μία κοίλη συνάρτηση g : A −→ R ισχύει ότι
g
x + y
2
>
g(x) + g(y)
2
, για κάθε x, y ∈ A
2

3. τότε να δείξετε ότι:
f
x + y
2
> f
x
2
+ f
y
2
, για κάθε x, y ∈ A
3