Dokumen tersebut membahas berbagai uji statistik nonparametrik untuk menguji hipotesis, meliputi: uji mean satu populasi (Binomial), uji mean dua sampel independen (Mann-Whitney, Kolmogorov Smirnov), uji mean dua sampel dependen (Wilcoxon Signed-Rank, McNemar), uji mean k sampel independen (Kruskal-Wallis, Median Test), dan uji mean k sampel dependen (Friedman, Q Cochran).

1. 1 http://dataflow-stat.blogspot.com/
1
STATISTIKA NON PARAMETRIK
A. UJI MEAN SATU POPULASI
1. UJI BINOMIAL
Dalam Statistika parametrik untuk menguji mean sebuah sample maka
digunakan uji t. Namun apabila asumsi yang diperlukan untuk uji-t itu yaitu
n kecil dan populasinya normal tidak terpenuhi untuk suatu data maka
sebagai alternatif-nya digunakan uji Binomial. Binomial berarti 2 bagian,
sehingga dalam kasus ini dapat kita artikan data dibagi menjadi dua bagian
yaitu bagian “+” untuk setiap nilai pengamatan yang melebihi nilai yang
dihipotesiskan dan bagian “-“ untuk setiap pengamatan yang kurang dari
nilai yang dihipotesiskan.
B. UJI MEAN DUA SAMPEL INDEPENDEN/BEBAS
1. MANN-WHITNEY TEST
Pada Mann-Whitney Test, data terdiri dari dua sample random dengan X
1
, X
2
,
X
3
, … X
n
berasal dari populasi 1 dan Y
1
, Y
2
, Y
3
, … Y
m
berasal dari populasi 2.
Uji Hipotesis:
H
0
: μ
1
= μ
2
(tidak ada perbedaan rata-rata diantara kedua sampel)
H
1
: μ
1
≠ μ
2
(terdapat perbedaan rata-rata diantara kedua sampel)
Statistik uji:
𝑍 =
𝑈 −
1
2
. 𝑛1. 𝑛2
1
12
. 𝑛1. 𝑛2. 𝑛1 + 𝑛2 + 1
dimana 𝑈 𝑥 = 𝑛1. 𝑛2 +
1
12
. 𝑛(𝑥). 𝑛(𝑥+1) − 𝑅(𝑥)
Dengan:
x = 1 (untuk sampel 1)
2 (untuk sampel 2 )
R(x) = jumlah Rangking tiap sampel
n1 = banyaknya sampel pada sampel 1
n2 = banyaknya sampel pada sampel 2
H
0
ditolak jika nilai absolut dari Z hitung diatas > nilai Z
α/2

2. 2 http://dataflow-stat.blogspot.com/
2
2. KOLMOGOROV SMIRNOV TEST
Selain untuk menguji distribusi suatu data, Kolmogorov-Smirnov Test
juga dapat digunakan untuk menguji dua sampel bebas pada statistika non-
parametrik.
Prinsip dasar dalam menghitung nilai Kolmogorov-Smirnov adalah
mencari nilai absolut terbesar diantara selisih nilai empiris CDF diantara
kedua sampel yang akan diuji.
𝑇 = 𝑀𝑎𝑥 𝑆 𝑋1 − 𝑆 𝑋2
T= nilai dari statistic uji Kolmogorov-Smirnov
𝑆 𝑋𝑖,𝑗 =
𝑛 ≤ 𝑋𝑖,𝑗
𝑛 𝑋𝑖 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Nilai T ini akan dibandingkan dengan nilai Kolmogorov-Smirnov tabel
dengan:
𝐷 = 1.36 ∗
𝑚 + 𝑛
𝑚 ∗ 𝑛
dimana m = jumlah sampel pertama
n = jumlah sampel Kedua
Uji Hipotesis:
H
0
: μ
1
= μ
2
(tidak ada perbedaan rata-rata diantara kedua sampel)
H
1
: μ
1
≠ μ
2
(terdapat perbedaan rata-rata diantara kedua sampel)
H
0
ditolak jika nilai T > nilai Klomogorov Smirnov Tabel
C. UJI MEAN UNTUK DUA SAMPEL DEPENDEN/BERPASANGAN
Untuk uji dua sample berpasangan non parametrik, terdapat berbagai
macam uji yang dapat dilakukan yaitu:

3. 3 http://dataflow-stat.blogspot.com/
3
1. WILCOXON SIGNED-RANK TEST
Wilcoxon Signed Rank test ini digunakan hanya untuk data bertipe interval
atau rasio, namun datanya tidak mengikuti distribusi normal.
• Uji Hipotesis:
H
0
: d = 0 (tidak ada perbedaan diantara dua perlakuan yang diberikan)
H
1
: d ≠ 0 (ada perbedaan diantara dua perlakuan yang diberikan)
Dengan d menunjukkan selisih nilai antara kedua perlakuan
• Statistik uji:
𝑍 =
𝑇 −
1
4
𝑁 𝑁 + 1
1
24
𝑁 𝑁 + 1 2𝑁 + 1
Dimana:
N = Banyak data yang berubah setelah diberi perlakuan berbeda
T = jumlah ranking dari nilai selisih yang negatif (apabila banyaknya selisih
yang positif lebih banyak dari banyaknya selisih yang negatif)
= jumlah rangking dari nilai selisih yang positif (apabila banyaknya selisih
yang negatif lebih banyak dari banyaknya selisih yang positif)
H
0
ditolak jika nilai absolut dari Z hitung diatas > nilai Z
α/2
2. McNEMAR TEST
Pada McNemar Test, data yang digunakan adalah data yang bertipe nominal
dan hanya memiliki 2 pilihan saja (dikotomi) seperti “suka” dan “tidak suka”
, “ya” dan ”tidak”, ”berhasil” dan ”gagal”, dan sebagainya.
• Uji Hipotesis:
H
0
: P
1
= P
2
(Tidak ada perbedaan proporsi antara kedua perlakuan)
H
1
: P
1
≠ P
2
(Ada perbedaan proporsi antara kedua perlakuan)
 Statistik uji:
𝑍 =
𝑏 − 𝑐
𝑏 + 𝑐
Dimana:
b = banyaknya data yang berubah dari ”1” ke ”2”
c = banyaknya data yang berubah dari ”2” ke ”1”

4. 4 http://dataflow-stat.blogspot.com/
4
H
0
ditolak jika nilai absolut dari Z hitung diatas > nilai Z
α/2
D. UJI MEAN K SAMPEL INDEPENDEN/BEBAS
Walaupun ANOVA adalah metode yang banyak digunakan untuk menguji
apakah terdapat perbedaan beberapa populasi, metode ini mengasumsikan
bahwa mean sampel merupakan estimasi yang valid untuk pusat data,
distribusi data normal dan variansi masing- masing populasi homogen. Saat
asumsi ini tidak terpenuhi, maka metode ANOVA tidak lagi layak digunakan.
Untuk itu diperkenalkan metode lain sebagai alternatif metode ANOVA.
1. KRUSKAL WALLIS TEST
Uji Kruskal-Wallis merupakan generalisasi dari uji Wilcoxon untuk k>2. Uji ini
digunakan untuk menguji signifikansi perbedaan beberapa k sampel
independen dengan data yang minimal berskala ordinal. Asumsi dalam uji
Kruskal-Wallis :
1. sampel berasal dari populasi-populasi independen. Pengamatan satu
dan lainnya independen.
2. sampel diambil secara random dari populasi masing- masing.
3. data diukur minimal dalam skala ordinal.
Uji hipotesis yang dilakukan :
1. H
0
: distribusi semua populasi identik
H
1
: minimal ada 2 populasi yang berdistribusi tak identik
2. Tentukan signifikansi uji (alpha)
3. Statistik uji :
𝐻 =
12
𝑁 𝑁 + 1
𝑅𝑗
2
𝑛𝑗
𝑘
𝑗 =1
− 3 𝑁 − 1
N = total sampel,
R
j
= rata- rata rank untuk populasi ke –j
n
j
= jumlah sampel untuk populasi ke-j
4. Daerah kritik : H
0
ditolak jika H > α dengan derajat bebas k-1
5. Kesimpulan

5. 5 http://dataflow-stat.blogspot.com/
5
2. MEDIAN TEST
Uji Median merupakan alternatif dari uji Kruskal- Wallis. Sebagai pusat
data dalam uji ini adalah median dari data yang telah digabung. Untuk
masing- masing populasi, dihitung frekuensi nilai yang lebih besar dan yang
lebih kecil atau sama dengan median gabungan.
Score
Populasi
Populasi ke-1 … Populasi ke-k Total
>median n11 … n1k n1
<=median n21 … n2k n2
n1 nk N
Uji hipotesis yang dilakukan :
1. H
0
: distribusi semua populasi identik
H
1
: minimal ada 2 populasi yang berdistribusi tak identik
2. Tentukan signifikansi uji (alpha)
3. Statistik uji :
𝐶 =
𝑛𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗
2
𝐸𝑖𝑗
, 𝐸𝑖𝑗 =
𝑛𝑖 𝑛𝑗
𝑁
𝑘
𝑗 =1
2
𝑖=1
4. Daerah kritik : H
0
ditolak jika C > nilai tabel chi square(αχ) dengan
derajat bebas (k-1) atau H
0
ditolak jika nilai signifikansi uji < alpha
5. Kesimpulan
E. UJI MEAN UNTUK K SAMPEL DEPENDEN/ BERPASANGAN
Dalam uji mean nonparametrik untuk k sampel yang berpasangan/dependen
(Nonparametric Test for K Related Samples) terdapat berbagai metode, di
antaranya yaitu Uji Friedman dan Uji Q Cochran.
Syarat untuk dapat melakukan uji-uji tersebut adalah :
1. data minimal berupa dalam skala ordinal
2. pengamatan antar sampel adalah independen
3. adanya dependensi (saling berhubungan), yang bisa dihasilkan dari adanya
salah satu dari dua kondisi berikut:
a. sebuah sampel yang terdiri dari n objek yang dikenai k perlakuan
berbeda

6. 6 http://dataflow-stat.blogspot.com/
6
b. k sampel berbeda yang mengalami pencocokan (matching)
Berikut adalah keterangan tentang kedua uji di atas :
1. FRIEDMAN TEST
Uji ini memiliki hipotesis nol (H
0
) yang menyatakan bahwa k
sampel/variabel adalah berasal dari populasi yang sama.
Penerapan uji Friedman ini sering dilakukan pada penelitian untuk melihat
adanya pengaruh dari k perlakuan yang dikenakan pada n objek.
Uji ini dilakukan dengan menyajikan data dari sampel berukuran n ke dalam
tabulasi dengan k kolom. Kemudian beri nilai ranking untuk tiap barisnya
dari yang terendah 1 hingga nilai tertinggi dengan ranking k. Jika ada nilai
yang sama maka beri rata-rata nilai ranking untuk beberapa nilai yang sama
tersebut. Selanjutnya dari nilai-nilai ranking tersebut hitung nilai statistik uji
Friedman (F) berikut.
𝐹 =
12𝑆
𝑛𝑘 𝑘 − 1
, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑆 = 𝑅𝑖
2
− 3𝑛 𝑘 − 1
𝑘
𝑖=1
keterangan : = statistik uji Friedman F
= ukuran sampel n
= banyak sampel/perlakuan k
= kuadrat dari jumlah nilai ranking di sampel/perlakuan ke-i 2iR
Dalam uji hipotesis akan lebih mudah jika kita gunakan statistik uji nilai p
(p-value).
2. Q COCHRAN TEST
Statistik uji yang kedua ini diberikan sebagai alternatif dari uji Friedman,
dengan spesifikasi hanya digunakan ketika jenjang (rank) bernilai biner atau
dikotomi (misal 0 dan 1). Kita anggap 1 sebagai sukses, dan 0 gagal/tidak
sukses.
Hipotesis nol dalam uji ini menyatakan bahwa probabilitas memperoleh
sukses di antara k kelompok tersebut adalah sama secara signifikan.