Uji hipotesis mean dua sampel independen dengan n<30 dan varians tidak diketahui menggunakan distribusi t. Perusahaan menguji klaim agen sewa genset bahwa rata-rata biaya sewa genset 10 kW sama di dua sektor dengan mengambil sampel acak di masing-masing sektor.

2. UJI HIPOTESIS
DUA POPULASI
MATEMATIKA TERAPAN

3. CONTENT
Uji mean dua sample dependen
Uji mean dua sample
independent n>30, σ1
2
, σ2
2
tahu
Uji mean dua sample
independent n<30, σ1
2
, σ2
2
?
Uji variance dua sample
Analisis Varians (ANOVA)

4. Kekuatan battery :
48 +/- 2 jam
Kekuatan battery :
50 +/- 2 jam
CASE 1

5. 44 jam 40 jam 48 jam 40 jam 42 jam
X̄ = 47.5 jam
X̄ = 49.5 jam
APAKAH CLAIM APPLE BENAR??
Peluang dari kedua sampel diambil dari populasi yang sama?

6. UJI HIPOTESIS
MEAN SAMPEL
GANDA
1. H0 : μ1= μ2
H1 : μ1=/= μ2 → Dua ujung
atau
H1 : μ1< μ2 → Satu ujung
H1 : μ1> μ2 → Satu ujung
2. Derajat kepercayaan
3. Distribusi z atau t
4. Penentuan batas penolakan
5. Pembuatan aturan keputusan
6. Perhitungan RU
→LIHAT FLOW CHART
7. Kesimpulan

7. UJI HIPOTESIS SAMPEL GANDA
DEPENDEN?
YA
Distribusi t
RUt =
ത
d − μd
൘
Sd
n
Sd =
σ(d − ത
d)2
n − 1
TIDAK
SAMPEL >30
σ1
2
, σ2
2
tahu
YA
Distribusi Z
RUz =
ത
x1 − ത
x2
σത
x1−ത
x2
σത
x1−ത
x2
=
σ1
2
n1
+
σ2
2
n2
TIDAK

8. Uji mean dua
sample dependen

9. Dua Populasi Dependen
Suatu kelompok yang ditinjau sifatnya sebelum dan sesudah
mendapatkan perlakukan terhadap sifat yang ditinjau tersebut
Misal:
• Emisi CO2 suatu negara sebelum dan setelah kebijakan energi
terbarukan diberlakukan
• Timbulan sampah di perkantoran setelah top management
berkampanye green life-style
• Konsentrasi BOD pada limbah industri sebelum dan setelah dilakukan
efisiensi produksi

10. Langkah uji
1. H0 :μd= 0
H1 :μd=/= 0 → Dua ujung
atau
H1 :μd< 0 → Satu ujung
H1 :μd> 0 → Satu ujung
2. Derajat kepercayaan
3. Distribusi t
4. Penentuan batas penolakan
5. Pembuatan aturan keputusan
6. Perhitungan RU
7. Kesimpulan
d = perbedaan data sebelum dan sesudah perlakuan
ҧ
𝑑 = rata-rata perbedaan sebelum dan sesudah perlakuan
𝑠𝑑= standar deviasi perbedaan sebelum dan sesudah perlakuan
RUt =
ത
d − μd
൘
Sd
n
Sd =
σ(d − ത
d)2
n − 1

11. Contoh
Dengan alfa =0.05, Apakah IPAL efektif dalam menyisihkan
pencemar?
Lokasi
pengambilan
sampel
Konsentrasi Pencemar (mg/L)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Inlet IPAL 292.37 262.82 231.71 201.17 173.28 149.95 352.81 338.96 318.34 292.37
Outlet IPAL 261.88 263.21 262.61 260.5 257.37 253.65 245.98 252.95 258.42 261.88

12. Sampel x1 x2 d
1 292.37 261.88 30.49
2 262.82 263.21 -0.39
3 231.71 262.61 -30.9
4 201.17 260.5 -59.33
5 173.28 257.37 -84.09
6 149.95 253.65 -103.7
7 352.81 245.98 106.83
8 338.96 252.95 86.01
9 318.34 258.42 59.92
10 292.37 261.88 30.49
3.533
sd 71.82932
ത
d

13. 1.Hipotesis :
H0 : μd = 0
H1 : μd ≠ 0
2. Distribusi t
3. α = 0.05
4. Titik kritis
Distribusi t
Derajat kebebasan = v = n -1 = 10 – 1 = 9
Tα/2,9 = 2.262

14. 5. Aturan penolakan
Tolak H0 apabila RU < -2.262 atau RU > 2.262
6. Rasio Uji
RUt =
ഥ
d−μd
ൗ
Sd
n
RU =
3.533 − 0
71.829/ 𝑛
= 0.155
7. Karena -2.262 <RU < 2.262 , H0 diterima
Tidak terdapat perbedaan signifikan antara konsentrasi
pencemar sebelum dan sesudah IPAL

15. Uji mean dua sample
independent
(n>30)

16. Langkah Uji
1. H0 : μ1= μ2
H1 : μ1=/= μ2 → Dua ujung
atau
H1 : μ1< μ2 → Satu ujung
H1 : μ1> μ2 → Satu ujung
2. Derajat kepercayaan
3. Distribusi z
4. Penentuan batas penolakan
5. Pembuatan aturan keputusan
6. Perhitungan RU
7. Kesimpulan
RUz =
ത
x1 − ത
x2
σത
x1−ത
x2
σത
x1−ത
x2
=
σ1
2
n1
+
σ2
2
n2

17. CONTOH
Sebuah perusahaan telekomunikasi memutuskan untuk membeli sistem antena dari kedua
pemasok dengan syarat tidak ada perbedaan berarti dalam hal daya tahan (umur pemakaian) dari
sistem tersebut. Suatu sampel acak 35 sistem antena dari pemasok pertama dan 32 sistem antena
kedua diuji. Rata-rata waktu kegagalan dari sistem antena pertama adalah 2800 hari dan dari
antena B adalah 2750 hari. Informasi dari suatu sumber industri independen yang layak dipercaya
mengindikasikan bahwa deviasi standard populasi untuk sistem antena pertama adalah 200 jam
sedangkan untuk antena kedua adalah 180 jam. Dengan tingkat kepentingan 0,05 apakah ada
perbedaaan dalam daya tahan sistem antena tsb?

18. 1. Hipotesis:
Ho : μ1 = μ2
H1 : μ1 > μ2 → uji satu ujung
2. α = 0,05
3. Menggunakan distribusi z
4. Batas-batas daerah penolakan: α = 0,05 → dari tabel z diperoleh batas kritis z0,05
= ± 1,64
5. Aturan keputusan: tolak Ho dan terima H1 jika Ruz > 1,64 atau <- 1,64.
6. Rasio uji:
7. Karena - 1,64< RUz <+1,64 , maka Ho : μ1 = μ2 diterima. Hal ini berarti rata-
rata daya tahan sistem antena pertama tdk berbeda dg sistem antena kedua.

19. Uji varian
dua sample

20. Uji hipotesis varians dg sampel ganda
• Varians sampel (s2) digunakan untuk mengambil kesimpulan mengenai
varians populasi (σ2)
• Diambil sampel acak dari dua populasi, dihitung varians data dari masing-
masing sampel, dan hasilnya digunakan sebagai dasar untuk membandingkan
varians populasi.

21. Prosedur pengujian
hipotesis varians sampel ganda
1. Pernyataan hipotesis nol dan alternatif
Ho : σ1
2 = σ2
2
H1 : σ1
2 ≠ σ2
2
σ1
2 > σ2
2
σ1
2 < σ2
2
2. Pemilihan tingkat kepentingan, α
3. Penentuan distribusi pengujian yang digunakan
Dalam uji dua varians, digunakan distribusi F

22. Prosedur pengujian
hipotesis varians sampel ganda
4. Pendefinisian daerah-daerah penolakan atau kritis
Nilai –nilai dari distribusi F disajikan dalam bentuk Fα,df1,df2, yang dapat ditentukan
dengan mengetahui tiga hal berikut:
➢ tingkat kepentingan, α
➢ derajat kebebasan (degree of freedom) untuk sampel yang digunakan sebagai
PEMBILANG (Numerator) dalam rasio uji s1
2 / s2
2 yaitu
(df1 = v1 = n1 – 1)
➢ derajat kebebasan (degree of freedom) untuk sampel yang digunakan sebagai
PENYEBUT (Denumerator) dalam rasio uji s1
2 / s2
2 yaitu
(df2 = v2 = n2 – 1)

23. Prosedur pengujian
hipotesis varians sampel ganda
5. Pernyataan aturan keputusan
6. Perhitungan rasio uji (RU)
RUF = Fhitung = s1
2 / s2
2
7. Pengambilan keputusan secara statistik
jika RUF berada di daerah penerimaan, maka hipotesis nol diterima
jika RUF berada di daerah penolakan, maka hioptesis nol ditolak

24. Contoh SOAL
Untuk mengetahui pengaruh pemberian bahan peredam suara pad suatu kopartemen
kendaraan dengan dua jenis bahan yang berbeda A dan B, dilakukan sustu eksperimen
pengukuran pengurangan kebisingan dengan menggunakan detektor bunyi. Tujuan
eksperimen ini adalah ingin mengetahui apakah ada perbedaan variabilitas yang berarti
dari kedua bahan tersebut dalam hal kemampuan meredam kebisingan mengingat
harga kedua bahan tersebut sangat berbeda jauh. Untuk menguji hal tersebut, bahan A
dipasangkan pada 8 kompartemen sedangkan bahan B dipasangkan pada 9
kompartemen mobil-mobil yang sejenis. Setelah diuji, ternyata bahan A memberikan
pengurangan kebisingan saebesar 41, 43, 60, 56, 85, 79, 51, 49(dB) sedangkan bahan
B memberikan pengurangan kebisingan sebesar 73, 67, 83, 70, 66, 68, 92, 76, 59 (dB).
Dengan menggunakan uji dua varians, apakah kesimpulan yang bisa diambil?

25. Sampel bahan A
ത
𝑋 =58
s2 = 260.29
Sampel bahan B
ത
𝑋 =72.7
s2 =98
UJI HIPOTESIS:
1. Hipotesis:
Ho : σ1
2 = σ2
2
H1 : σ1
2 =/= σ2
2
2. α = 0,05
→ 2
→ 1

26. 3. Pengujian menggunakan distribusi F
Karena varians sampel A > varians sampel B, maka:
n1 = nA = 8 dan n2 = nB = 9
df1 = v1 = n1 – 1 = 8-1 = 7
df2 = v2 = n2 – 1 = 9 – 1 = 8
4. Batas-batas daerah penolakan (kritis ) → uji dua ujung
α = 0,05 → batas kritis (LIHAT TABEL F)
F α/2, V1, V2 = F0,025, 7, 8 = 4,53 (Upper Limit)
1/Fα/2, V2, V1 = 1/F0,025,8,7 = 1/4,9 (Lower limit)
5. Aturan keputusan : tolak Ho dan terima H1 jika RUF > 4,53
6. Rasio uji:
RUF = s1
2 / s2
2 = 260,29 / 98 = 2,656
7. Pengambilan keputusan:
Karena RUF < 4,53 maka Ho : σ1
2 = σ2
2 diterima. Hal ini berarti tidak terdapat perbedaan
yang signifikan terhadap variabilitas hasil kedua eksperimen tsb.

27. Uji mean dua
sample independent
(n<30, σ1
2 ≠ σ2
2 )

28. Distribusi F
UJI VARIANS
RUf =
𝑆1
2
𝑆2
2
n<30
𝜎1
2
= 𝜎2
2
?
TIDAK
YA
Distribusi t
V = derajat kebebasan
terkecil
RUt =
ത
x1 − ത
x2
Τ
𝑠1
2
𝑛1 + Τ
𝑠2
2
𝑛2
Distribusi t
V = n1+n2 -2
RUt =
ത
x1 − ത
x2
𝑠1
2
(𝑛1−1) + 𝑠2
2
(𝑛2−1)
𝑛1 + 𝑛2 − 2
1
𝑛1
+
1
𝑛2

29. Langkah Uji
1. H0 : μ1= μ2
H1 : μ1=/= μ2 → Dua ujung
atau
H1 : μ1< μ2 → Satu ujung
H1 : μ1> μ2 → Satu ujung
2. Derajat kepercayaan
3. Distribusi t
4. Penentuan batas penolakan
V = df terkecil
5. Pembuatan aturan keputusan
6. Perhitungan RU
7. Kesimpulan
RUt =
ത
x1 − ത
x2
Τ
𝑠1
2
𝑛1 + Τ
𝑠2
2
𝑛2

30. Contoh SOAL
Agen persewaan genset mengatakan kepada sebuah perusahaan yang
berminat menyewa sejumlah unit genset bahwa rata-rata biaya sewa genset
berdaya 10 kW sama saja di sektor A dan B di kota tersebut. Untuk menguji
klaim tersebut, perusahaan tsb memilih secara random sampel dari beberapa
tempat persewaan genset di masing-masing sektor dan mendapatkan data
sebagi berikut. Di sektor A, dengan 10 data, diperoleh rata-rata biaya sewa
sebuah genset Rp. 595.000,- dan deviasi standardnya (sampel) Rp. 62.000,-.
Sedangkan di kota B dengan 12 data diperoleh rata-rata biaya sewa sebuah
genset Rp. 580.000,- dan deviasi standardnya (sampel) Rp 32.000,-. Apa yg
bisa disimpulkan atas klaim tersebut dengan tingkat kepentingan 0,05?

31. Uji F atas varians:
1. Hipotesis :
Ho : σ1
2 = σ2
2
H1 : σ1
2 ≠ σ2
2 → uji dua ujung
2. α = 0,05
3. Karena varians sampel A lebih besar dari sampel B, maka:
n1 = nA = 10
n2 = nB = 12.
Derajat kebebasan untuk pembilang adalah
df1 = v1 = n1-1 =10-1=9
Derajat kebebasan untuk penyebut adalah
df2 = v2 = n2-1=12-1=11
4. batas-batas daerah penolakan adalah : α = 0,05 → α/2 = 0,025. Dari
tabel F, maka F0,025, 9, 11 = 3,59

32. Uji F atas varians:
5. Aturan keputusan:
tolak Ho dan terima H1 jika RUF > 3,59
6. Rasio uji:
RUF = Fhitung = s1
2 / s2
2 = 620002 / 320002 = 3,754
7. Pengambilan keputusan:
Karena RUF > 3,59 maka Ho : σ1
2 = σ2
2 ditolak. Hal ini berarti
H1 : σ1
2 ≠ σ2
2 diterima

33. Uji t :
1. Hipotesis :
Ho : μ1 = μ2
Ho : μ1 > μ2 → uji satu ujung
2. α = 0,05
3. Menggunakan distribusi t
4. Batas-batas daerah penolakan α = 0,05
df = v = 10-1 =9 (yg diambil adalah df yg lebih kecil dari dua sampel)
dari tabel t → t0,05, 9 = 1,83

34. 5. Aturan keputusan:
tolak Ho dan terima H1jika RUt > 1,83
6. Rasio uji:
= 0,692
7. Pengambilan keputusan:
Karena RUt <1.83, maka Ho : μ1 = μ2 diterima. Hal ini
bererti klaim yang dikatakan oleh agen persewaan
genset tersebut benar.

35. Uji mean dua
sample independent
(n<30, σ1
2 = σ2
2 )

36. Langkah Uji
1. H0 : μ1= μ2
H1 : μ1=/= μ2 → Dua ujung
atau
H1 : μ1< μ2 → Satu ujung
H1 : μ1> μ2 → Satu ujung
2. Derajat kepercayaan
3. Distribusi t
4. Penentuan batas penolakan
V = n1+n2 -2
5. Pembuatan aturan keputusan
6. Perhitungan RU
7. Kesimpulan
RUt =
ത
x1 − ത
x2
𝑠1
2
(𝑛1−1) + 𝑠2
2
(𝑛2−1)
𝑛1 + 𝑛2 − 2
1
𝑛1
+
1
𝑛2

37. Contoh SOAL 3 (soal sama dengan
contoh 1)
Dengan mengulang pada contoh 1, dimana uji F pada varians menunjukkan bahwa σ1
2 = σ2
2 maka uji t
untuk meannya sbb:
1. Hipotesis :
Ho : μ1 = μ2
H1 : μ1 > μ2 → uji satu ujung
2. α = 0,05
3. Menggunakan distribusi t
4. batas-batas daerah penolakan α = 0,05 →
df = v = n1+n2 – 2 = 10+12-2 = 20. dari tabel t untuk α=0,05 ; df = v =20
didapat batas kritis t0,05,20= 1,72
5. Aturan keputusan: tolak Ho dan terima H1 jika RUt > 1,72

38. 6. Rasio uji:
= - 3,85
7. Pengambilan keputusan:
karena RUt < 1,72, maka terima Ho. Ini berarti mean
rata-rata dari kedua sampel tsb sama (H0 : μ1 = μ2 )

39. ANALISIS VARIANS
1 FAKTOR
MATEMATIKA TERAPAN

40. Analisis Data
Populasi terdistribusi normal
Jumlah parameter Jumlah level Metode
1 2 T-test/Z-test
1 > 2 Anova one way
2 > 2 Anova two way
n > 2 Anova n way
Copyright Universitas Indonesia 2020

41. KEGUNAAN ANOVA ONE WAY
• Digunakan untuk mengetahui signifikansi satu variable independent
terhadap variabilitas variable dependent
• Untuk membandingkan lebih dari dua grup sampel
• Misal
➢ Dari data eksperimen koagulasi, diperoleh efisiensi SS memiliki
variabilitas
➢ Dengan ANOVA ONE WAY dapat dikitahui bahwa bagaimana
pengaruh dosis (independent variable) terhadap variabilitas
efisiensi Suspended Solid (dependent variable)
Copyright Universitas Indonesia 2020

42. VARIANCE
Rata-rata dari kuadrat selisih antara nilai data dengan nilai mean
sampel/populasinya
Kuadrat perbedaan data
dengan rata-rata
Copyright Universitas Indonesia 2020

43. DEKOMPOSISI VARIANCE DALA ANOVA
SStotal = SSantar grup + SSdalam grup
Total variabilitas data:
→Sum of squares total (SStotal)
Apabila dikelompokan berdasarkan grup, rata-rata
nilai variable dependent juga memiliki variabilitas
→Variabilitas grup → Sum of square
grup(SSantar grup)
Copyright Universitas Indonesia 2020

44. DEKOMPOSISI VARIANCE DALA ANOVA
SSdalam 𝑔𝑟𝑢𝑝 variabilitas tidak terjelaskan
→ Variabilitas dari seluruh nilai data
Semakin besar konstribusi SSgrup terhadap
SStotalsemakin besar pengaruh suatu variable
independent terhadap variabilitas variable
dependen
SStotal = SSantar grup + SSdalam grup
Copyright Universitas Indonesia 2020

45. PRINSIP
Hipotesis
H0 : μ1 = μ2 = μ3 = … =μK
H1 : tidak seluruh mean populasi sama
Distribusi
Distribusi F
Nilai kritis
Dfnum = banyaknya grup – 1
Dfden = jumlah sampel total – jumlah grup
Fα,v1, v2 → dua sisi
Copyright Universitas Indonesia 2020

46. PRINSIP
RASIO UJI
RU =
MSSantar grup
MSSdalam grup
MSSantar grup =
n1 ഥ
x1 − ഥ
ന
X
2
+ n2 x2 − ഥ
ന
X
2
+ nk xk − ഥ
ന
X
2
dfnum
ന
X =
n1 ഥ
x1 + n2x2 + ⋯ + nkxk
n1 + n2 + ⋯ + nk
SSantar grup = n1 ഥ
x1 − ഥ
ന
X
2
+ n2 x2 − ഥ
ന
X
2
+ nk xk − ഥ
ന
X
2
Copyright Universitas Indonesia 2020

47. PRINSIP
RASIO UJI
MSSdalam grup =
σ d1
2
+ σ d2
2
+ σ d3
2
+ ⋯ + σ dk
2
dfden
෍ di
2
= Jumlah dari variance(෍ xi − ഥ
xi
2
SSdalam grup = ෍ d1
2
+ ෍ d2
2
+ ෍ d3
2
+ ⋯ + ෍ dk
2
Copyright Universitas Indonesia 2020

48. DIAMETER FLOC (μm)
BERDASARKAN MERK KOAGULAN
Koagulan merk 1 Koagulan merk 2 Koagulan merk 3
300 250 280
250 325 320
275 350 350
250 280 325
315 300 335
320 350 250
280 325 275
295 360 250
270 250 260
Koagulan mana yang akan dipilih?
Copyright Universitas Indonesia 2020

49. KOAGULAN 1 KOAGULAN 2 KOAGULAN 3
x1 x1-x̄1 (x1-x̄1)2 x2 x2-x̄2 (x2-x̄2)2 X3 x3-x̄3 (x3-x̄3)2
300 250 280
250 325 320
275 350 350
250 280 325
315 300 335
320 350 250
280 325 275
295 360 250
270 250 260
x̄1= 283.888 x̄2= 310 x̄3= 293.889
Copyright Universitas Indonesia 2020

50. KOAGULAN 1 KOAGULAN 2 KOAGULAN 3
x1 x1-x̄1 (x1-x̄1)2 x2 x2-x̄2 (x2-x̄2)2 X3 x3-x̄3 (x3-x̄3)2
300 16.111 250 -60 280 -13.889
250 -33.889 325 15 320 26.111
275 -8.889 350 40 350 56.111
250 -33.889 280 -30 325 31.111
315 31.111 300 -10 335 41.111
320 36.111 350 40 250 -43.889
280 -3.889 325 15 275 -18.889
295 11.111 360 50 250 -43.889
270 -13.889 250 -60 260 -33.889
x̄1= 283.888 x̄2= 310 x̄3= 293.889
Copyright Universitas Indonesia 2020

51. KOAGULAN 1 KOAGULAN 2 KOAGULAN 3
x1 x1-x̄1 (x1-x̄1)2 x2 x2-x̄2 (x2-x̄2)2 X3 x3-x̄3 (x3-x̄3)2
300 16.111 259.568 250 -60 3600 280 -13.889 192.9012
250 -33.889 1148.457 325 15 225 320 26.111 681.7901
275 -8.889 79.012 350 40 1600 350 56.111 3148.457
250 -33.889 1148.457 280 -30 900 325 31.111 967.9012
315 31.111 967.901 300 -10 100 335 41.111 1690.123
320 36.111 1304.012 350 40 1600 250 -43.889 1926.235
280 -3.889 15.123 325 15 225 275 -18.889 356.7901
295 11.111 123.457 360 50 2500 250 -43.889 1926.235
270 -13.889 192.901 250 -60 3600 260 -33.889 1148.457
x̄1= 283.888 Σd1
2 = 5238 x̄2= 310 Σd2
2 = 14350 x̄3= 293.889 Σd3
2 = 12038
Copyright Universitas Indonesia 2020

52. 1.Hipotesis :
H0 : μ1 = μ2 = μ3
H1 : Tidak seluruh mean sama
2. Distribusi F
3. α = 0.05
4. Titik kritis
Distribusi F
dfnum = k-1 = 3-1 =2
dfdem = T-k = 27-3 =24
Fα,2,24 = 3.4
Copyright Universitas Indonesia 2020

53. MSSantar grup =
9 283.88−295 2+9 310−295 2+9 293.88−295 2
3−1
= 1562.037
MSSdalam grup =
5238 + 14350 + 12038
27 − 3
= 1317.24
RU =
1562.037
1317.24
= 1.18
5. Aturan penolakan
Tolak H0 apabila RU > 3.4
6. Rasio Uji
7. Kesimpulan
• Karena RU< 3.4, maka koagulan dari ketiga merk menghasilkan diameter flok yang sama
• Variable independent jenis koagulan tidak dapat menjelaskan variabilitas variable
dependent diameter floc
Copyright Universitas Indonesia 2020

54. Terima Kasih