1. 1
III. MENGUJI KESAMAAN / PERBEDAAN
HARGA DUA PARAMETER
1. Pengertian
Menguji kesamaan / perbedaan dua buah parameter, bisa kita gambarkan sebagai
berikut. Misalkan kita mempunyai 2 buah populasi yaitu Populasi 1 dan Populasi 2.
Populasi 1
θ1
Populasi 2
Ada dugaan atau hipotesa
yang bentuknya :
H0 : θ1= θ2
H 1 : θ1 ≠ θ 2
θ2
n1
n2
Kita tidak bisa menguji hipotesis di atas dengan cara memeriksa seluruh unit yang
ada dalam populasi dengan alasan ukuran populasi besar, sehingga apabila setiap unit
diperiksa akan memerlukan waktu yang lama dan biaya yang besar.
Oleh karena itu, untuk menguji hipotesis kita mengambil sampel dari masingmasing populasi dengan ukuran sampel masing-masing n1 dan n2. Dari sampel ini kita
melakukan pengujian secara statistis apakah hipotesis kita terima atau harus kita tolak.
Pola umum pengujian masih tetap berlaku, demikian pada saat menentukan
daerah dan titik kritis.
2. Menguji Kesamaan / Perbedaan Harga Dua Buah Parameter Persentase atau
Proporsi
Statistik uji yang digunakan untuk menguji perbedaan dua persentase adalah :
P1 − P2
ZHit =
P (1 − P )(
1
1
+ )
n1 n2
Pi =
xi
ni
, i = 1 atau 2
x i = Banyaknya unit yang ada dalam sampel ke-i
yang mempunyai karakteristik yang dicari
ni = Ukuran sampel yang ke- i
P=
x1 + x 2
n1 + n 2
Contoh :
Berdasarkan pengamatan pemerintah daerah A dan daerah B, diperkirakan bahwa
persentase pengangguran di daerah A lebih besar dari persentase pengangguran di daerah
B. Untuk menguji perkiraan ini diambil sampel melalui SRS(Simple Random Sampling )
dari daerah A dan daerah B masing-masing dengan ukuran nA = 150 dan nB = 180. setelah
dilakukan wawancara ternyata dalam sampel yang diambil dari daerah A dan daerah B
masing-masing terdapat 32 responden yang menyatakan tidak punya pekerjaan.
Berdasarkan hasil survey ini dilakukan pengujian apakah perkiraan yang
dilontarkan oleh kepala-kepala daerah tersebut bisa diterima atau ditolak. Gunakan level
of significance sebesar 5 %.
Langkah pengujian :
1

2. 2
1. Parameter yang akan diuji perbedaannya adalah persentase pengangguran ( π ). Kita
sebut saja % pengangguran di daerah A → π 1, daerah B → π 2. Berdasarkan dugaan
yang dilontarkan oleh kepala-kepala daerah, HP tersebut diterjemahkan ke dalam
hipotesis statistis yang bentuknya:
H0 : π 1 = π 2
H1 : π 1 > π 2
2. Level of significance yang akan digunakan adalah α = 0,05
3. Data dikumpulkan
4. Statistik uji yang digunakan adalah
Z=
P1 − P2
P (1 − P )(
1
1
+ )
n1 n2
5. Berdasarkan bentuk Ho dan H1dan berdasarkan statistik uji yang akan dipakai, maka
daerah dan titik kritis pengujian bisa digambarkan sebagai berikut :
α = 0,05
0
0,81
Z = 1,645
6. Atas dasar data yang diperoleh dihitung statistik uji :
32
− 32
150
180
Z=
32 + 32
32 + 32
1
1 = 0,813421255 ≈ 0,81
(
(1 −
)(
+
)
150 + 180
150 + 180 150 180
Ternyata nilai statistik hitung jatuh di luar daerah kritis. Pengujian non significant.
Isyaratnya H0 diterima.
7. Kesimpulan Statistis
Berdasarkan hasil pengujian, mengindikasikan bahwa persentase pengangguran di
daerah A ternyata sama dengan persentase pengangguran di daerah B.
Oleh karena itu dugaan yang dilontarkan kepala-kepala daerah tersebut tidak bisa
diterima.
3. Menguji Kesamaan / Perbedaan Dua Buah Parameter Simpangan Baku
(Varians)
Untuk menguji kesamaan / perbedaan 2 buah simpangan baku tidak bisa
dilakukan secara langsung, tetapi harus dilakukan melalui pengujian terhadap varians.
Untuk melakukan pengujian diperlukan pengetahuan mengenai tabel SNEDECOR`S F .
Statistik uji yang digunakan untuk menguji perbedaan 2 varians
adalah : F =
S12
S 22
Contoh :
Sebuah perusahaan industri memproduksi sebuah produk A melalui 2 buah mesin
M1 dan M2. M2 baru saja diperbaiki, sehingga produk A yang dihasilkan keadaannya
belum begitu stabil. Yang diperhatikan mengenai produk A adalah rata-rata diameter
produk A dan keseragamannya. Oleh karena mesin M2 baru saja diperbaiki, maka
→
ν1=
→ ν2
2

3. 3
diperkirakan bahwa keseragaman diameter produk A yang dihasilkan mesin M 2 berbeda
dengan keseragaman produk A yang diproses oleh mesin M1..
Untuk menguji dugaan tersebut maka secara random / acak dipilih 10 buah
produk A yang diproses oleh M1 dan 8 buah produk yang diproses oleh M 2. Hasil
pengukuran terhadap diameter produk A dari sampel tersebut memberikan data sebagai
berikut :
X1
M1
= 15,2
mm
S1 = 0,2 mm
n1 = 10
X2
M2
= 15,8
mm
S2 = 0,6 mm
n2 = 8
Berdasarkan data tersebut lakukan pengujian dengan level of significant sebesar 5 %.
Berikan kesimpulan dan apakah perkiraan di atas bias diterima atau tidak.
Langkah kerja :
1) Yang akan kita uji adalah keseragaman. Keseragaman ini secara statistis yang menjadi
parameter adalah σ2.
Oleh karena itu, bentuk H0 dan H1 untuk pengujian ini adalah
H0 : σ1 2 = σ2 2
H1 : σ1 2 ≠ σ2 2
2) Untuk pengujian ini diambil α = 0,05
3) Data telah terkumpul
S12
4) Statistik uji yang digunakan adalah : F = 2 ,
S2
ν1 = n1 – 1
ν2 = n2 – 1
5) Daerah dan titik kritis untuk pengujian ini bisa digambarkan sebagai berikut :
α = 0,05
α = 0,05
0,30
3,68
3,68
6) Masukkan data yang diperoleh ke dalam statistik uji :
F =
0,2 2
= 1,111....
0,6 2
Ternyata statistik hitung jatuh di luar daerah kritis, pengujian non significant,
Isyaratnya H0 diterima.
7) Kesimpulan statistis
Berdasarkan hasil pengujian terhadap data yang dikumpulkan, ternyata apa yang
diduga bahwa produk A yang diproduksi oleh M1 mempunyai keseragaman yang
berbeda dengan produk A yang dihasilkan oleh mesin M 2 tidak dapat diterima,
karena ternyata berdasarkan pengujian keseragamannya masih sama.
4. Menguji Kesamaan / Perbedaan Dua Buah Parameter Rata-Rata
Menguji kesamaan / perbedaan dua buah parameter rata-rata rumus yang
digunakan ada 3 kemungkinan, dengan alternatif sebagai berikut :
3

4. 4
1) Diketahui sebelum penelitian berdasarkan pengalaman bahwa σ1 dan σ2 atau σ12 dan
σ22 nilainya diketahui
2) Sebelum penelitian diperoleh keterangan atau dari hasil pengujian diketahui bahwa
σ1= σ2 atau σ12 = σ22 meskipun nilai σ tidak diketahui.
3) Sebelum penelitian diperoleh keterangan atau dari hasil pengujian diketahui bahwa σ1
≠ σ2 atau σ12 ≠ σ22 meskipun nilai σ tidak diketahui.
4.1.
Menguji Kesamaan / Perbedaan Harga 2 Buah Parameter Rata-Rata
σ1 dan σ2 nilainya diketahui
X1 − X 2
Z=
Statistik uji yang digunakan :
σ1 σ 2
+
n1 n2
Contoh :
Jika
Ada perkiraan bahwa tingkat sadar wisata orang-orang di daerah perkotaan tidak
berbeda dengan tingkat sadar wisata di daerah pedesaan. Untuk memeriksa dugaan ini
dilakukan survey terhadap 8 orang penduduk perkotaan dan 10 orang penduduk
pedesaan. Keadaan tingkat sadar wisata diukur melalui Likert`s Summated Ratings.
Yang ditransformasikan ke dalam skala interval melalui Method of successive interval.
Skor yang diperoleh para responden dari daerah perkotaan dan pedesaan adalah sebagai
berikut :
Perkotaan Pedesaan
175
160
180
159
170
170
168
181
168
184
155
172
165
181
175
169
180
172
Menurut pengalaman simpangan baku skor sadar wisata untuk perkotaan dan
pedesaan sama besarnya, masing-masing = 8
Berdasarkan data yang ada dari hasil survey lakukanlah pengujian, untuk
mengetahui apakah dugaan di atas bisa diterima atau tidak dengan menggunakan level of
siginificance 1 %.
Langkah kerja :
1. Parameter yang akan diuji perbedaan / kesamaannya adalah rata-rata (µ) tingkat sadar
wisata. Misalkan saja rata-rata skor sadar wisata daerah perkotaan dan pedesaan
masing-masing sebagai µ1 dan µ2. Atas dasar bentuk dugaan yang dilontarkan (HP),
maka kita memperoleh bentuk HS sebagai berikut :
H0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 ≠ µ2
2. α yang digunakan = 0,01
3. Data terkumpul
4

5. 5
4. Oleh karena sebelum penelitian ada keterangan bahwa simpangan baku untuk kedua
daerah diketahui nilainya, yaitu sama besarnya, masing-masing = 8, maka
Statistik uji yang digunakan :
Z=
X1 − X 2
= 170,375
= 172,1
σ1 σ 2
+
n1 n2
5. Daerah dan titik kritis
α/2 = 0,005
α/2 = 0,005
Z = -2,575
-0,45 0
Z = 2,575
6. Hitung statistik uji.
Z=
170,275 − 172,1
8 +8
8
10
= -0,45457741 ≈ -0,45
Harga statistik hitung jatuh di luar daerah kritis, maka Hasil pengujian non significant.
Isyaratnya H0 diterima.
7. Kesimpulan statistis
Berdasarkan hasil survey, dan berdasarkan hasil pengujian, maka skor sadar wisata di
daerah perkotaan dan daerah pedesaan adalah sama. Dugaan diterima.
4.2.
Menguji Kesamaan / Perbedaan Harga 2 Buah Parameter Rata-Rata
σ1= σ2 tetapi nilainya tidak diketahui
Statistik uji yang digunakan :
t=
Jika
X1 − X 2
 (n1 − 1) S1 2 + (n2 − 1) S 2 2   1 1 

 + 
n1 + n2 − 2

  n1 n2 
ν = n 1 + n2 – 2
Perhatikan contoh mengenai skor sadar wisata. Dugaan pun sama. Sebelum
penelitian, dianggap tidak ada keterangan mengenai nilai simpangan baku populasinya.
lakukan pengujian dengan α = 0,01.
Langkah kerja :
1)
H0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 ≠ µ2
2) α = 0,01
3)
Data terkumpul
4)
Oleh karena sebelum penelitian tidak ketahui berapa harga simpangan baku
populasinya, maka perlu dilakukan pengujian terhadap nilai simpangan baku
populasinya berdasarkan nilai simpangan baku sampel, dengan cara menguji
kesamaan / perbedaan varians pada sub bab 3 di atas.
Pasangan hipotesis : H0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 ≠ µ2
5

6. 6
Untuk pengujian ini diambil α = 0,01
Statistik uji yang digunakan adalah :
t=
X1 − X 2
 (n1 − 1) S1 2 + (n2 − 1) S 2 2   1 1 

 + 
n1 + n2 − 2

  n1 n2 
ν = n 1 + n2 – 2
Daerah dan titik kritis untuk pengujian ini bisa digambarkan sebagai berikut :
α = 0,01
α = 0,01
0,96
F = 0,15
F = 5,61
Masukkan data dua varians sampel ke dalam statistik uji :
F =
8,192984804
= 0,956082839
8,569325234
≈
0,96
Ternyata statistik hitung jatuh di luar daerah kritis, pengujian non significant,
Isyaratnya H0 diterima berarti σ1 2 = σ2 2
Maka untuk menguji 2 parameter rata-rata tersebut di atas
statistik uji yang digunakan :
5)
t=
X1 − X 2
 (n1 − 1) S1 2 + (n2 − 1) S 2 2   1 1 

 + 
n1 + n 2 − 2

  n1 n2 
ν = n 1 + n2 – 2
Daerah dan titik kritis
α/2 = 0,005
Z = -2,92
α/2 = 0,005
-1,25…
S12 = 8,192984804
S22 = 8,569325234
Z = 2,92
6) Hitung statistik uji.
t=
170,375 − 172,1
 (18 − 1)(8,192984804) + (10 − 1)(8,569325239) 1 1 

 + 
8 + 10 − 2

8 10 
= −1,25440375
Harga statistik hitung jatuh di di luar daerah kritis. Hasil pengujian non significant.
Isyaratnya H0 diterima.
7) Kesimpulan Statistis
Berdasarkan hasil survey dan hasil pengujian, maka skor sadar wisata di daerah
perkotaan dan pedesaan adalah sama. Dugaan dapat diterima.
6

7. 7
3.3.
Menguji Kesamaan / Perbedaan Harga 2 Buah Parameter Rata-Rata JIKA
σ1 ≠ σ2 tetapi nilainya tidak diketahui
Statistik Uji yang digunakan :
X1 − X 2
t=
2
2
S1 S 2
+
n1
n2
Rumus Welch → Rumus asli Welch → uji konservatif yaitu uji hati-hati untuk
menolak H0. maka derajat bebasnya dihitung dengan :
2
 S1 2 S 2 2 


 n + n 
1
2 
ν = 
−2
2
 S1 2 
 S 22 


 
 n 
n 
1 
2

+ 
n1 − 1 n2 − 1
Contoh perhatikan masalah dibawah ini :
1)
H0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 ≠ µ2
2)
α = 0,05
3)
Data yang diketahui :
n1 = 6
X 1 = 160
S1 = 4,1
S12 = 16,81
n2
X
S2
S22
2
=9
= 170
= 10,8
= 116,64
Ada keterangan sekunder yang diperoleh sebelum penelitian bahwa σ1 ≠ σ2
4)
Apabila ada keterangan σ1 ≠ σ2, maka statistik uji untuk menguji perbedaan 2 buah
rata-rata adalah :
2
t=
5)
X1 − X 2
2
2
S1 S 2
+
n1
n2
 S1 2 S 2 2 


 n + n 
1
2 
ν = 
−2
2
dengan derajat bebas
 S1 2 
 S 22 


 
 n 
n 
1 
2

+ 
n1 − 1 n2 − 1
Daerah dan titik kritisnya
Titik kritis belum bisa ditentukan apabila ν / derajat bebasnya belum dihitung.
2
 16,81 116,64 
+


9 
 6
ν=
− 2 = 11,00950126 − 2 = 9,00950126 ≈ 9
2
2
 16,81 
 116,64 




 6  + 9 
6 −1
9 −1
7

8. 8
Setelah ν diperoleh, maka daerah dan titik kritisnya :
α/2 = 0,025
-2,54
6)
α/2 = 0,025
t = 2,262
t = -2,262
Statistik hitung :
t=
160 − 170
4,12 10,8 2
+
6
9
= −2,53883042
≈ -2,54
Harga statistik hitung jatuh di daerah kritis. Hasil pengujian significant. Isyaratnya H 0
ditolak.
7)
Kesimpulan statistis
Maka nilai rata-rata kedua populasi memang berbeda.
Catatan :
Keterangan mengenai apakah σ1= σ2 atau σ1 ≠ σ2, bisa diperoleh dari:
1.
Berdasarkan keterangan sekunder
sebelum penelitian
Berdasarkan pengujian kesamaan /
2.
perbedaan dua buah parameter varians.
8) Menguji Kesamaan / Perbedaan dua Parameter Rata-Rata Jika Sampelnya
Tidak Independen atau Tidak Bebas
5.1. Pengertian 2 Sampel Independen dan Sampel tidak Independen
Dua buah sampel masing-masing berukuran n1 dan n2 dikatakan independen satu
sama lain (bebas satu sama lain ) apabila pada saat memilih unit-unit samplingnya untuk
sampel yang pertama tidak mempengaruhi pemilihan unit-unit sampling untuk sampel
yang kedua.
Contoh : kita berhadapan dengan 2 buah populasi. Ada populasi 1 dan populasi 2.
Populasi 1
Populasi 2
n1 independent terhadap n2, apabila
pemilihan n1 pada populasi 1 ≠
mempengaruhi pemilihan n2 pada
populasi 2
n1
n2
Semua uji yang telah kita bicarakan di atas mengenai perbedaan / kesamaan 2
parameter yang didasarkan kepada 2 sampel yang independen ( saling bebas ).
Dua buah sampel masing-masing berukuran n1 dan n2 dikatakan
tidak
independen, apabila pemilihannya mengikuti salah satu pola dibawah ini.
1) Pola Matching (Pairing / Pasangan)
8

9. 9
Bayangkan bahwa kita mempunyai 2 buah populasi. Dari populasi 1 dipilih n = 10
orang dari populasi 2 harus dipilih 10 orang, tetapi pemilihan itu didasarkan pada
matching. Berdasarkan matching mengenai variabel tertentu. Misalnya saja mengenai
variabel jenis kelamin.
Contoh :
Populasi 1
Populasi 2
L ♀
P ♂
L ♀
P ♂
 Pemilihan populasi 2 didasrkan pada
populasi 1, dan harus berpasangan.
Jadi n1 ≠ independent n2.
 Banyaknya pasangan ≠ selalu harus
sama jumlahnya.
Misalnya : n1 = 10 maka n2 dapat 30.
Matching by three ÷ one.
2) Pola Repeated Measuruses (Pengukuran Berulang / Harus Diulang)
Dipilih sebuah sampel berukuran n, kepada orang-orang yang dalam sampel itu diukur
variabel x-nya, kepada orang-orang tersebut kemudian diberikan sesuatu perlakuan
(treatment). Setelah beberapa lamanya, terhadap orang-orang itu juga diukur lagi variabel
x-nya.
Contoh : X
Treatment
X
♀
♀
♀
♀
5.2. Bentuk H0 Dan H1 Dalam Pengujian Rata-Rata Dalam 2 Sampel Yang tidak
Independent
No. Sampel Independent
1. H0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 ≠ µ2
2. H0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 > µ2
3. H0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 < µ2
Sampel ≠ Independent
H0 : µ1 - µ2 = 0 → H0 : S = 0
H1 : µ1 - µ2 ≠ 0
H1 : S ≠ 0
H0 : µ1 - µ2 = 0 → H0 : S = 0
H1 : µ1 - µ2 > 0
H1 : S > 0
H0 : µ1 - µ2 = 0 → H0 : S = 0
H1 : µ1 - µ2 < 0
H1 : S < 0
5.3. TEKNIK PENGUJIAN
Contoh : seorang olahragawan menciptakan sejenis olahraga senam yang menurut
pendapatnya senam tersebut bisa menurunkan berat badan. Untuk menguji pendapat ini
dipilih 10 orang secara acak. Ke-10 orang itu diukur berat badannya (sebelum senam).
Kemudian orang-orang tersebut
diberi pelakuan yaitu harus melakukan senam
(treatment). Setelah beberapa lamanya mengikuti senam, diukur lagi berat badan masingmasing (setelah senam).
a. Yang akan diperiksa dari hasil pengukuran ini adalah rat-rata berat badan. Nyatakan
H0 dan H1 nya.
Apabila diperkirakan bahwa senam bisa menurunkan berat badan, maka rata-rata
berat badan sebelum senam lebih berat dari rat-rata berat badan sesudah senam.
Apabila kedua sampel independent maka bentuk H0 dan H1 nya :
H0 : µ1 = µ2
→ Tetapi karena sampel ini ≠ independent (pengukuran yang
H1 : µ1 > µ2
berulang), maka bentuk H0 dan H1 nya : H0 : S = 0
H1 : S > 0
Untuk menguji hipotesis diatas dengan α = 0,05. Hasil pengukuran menunjukkan :
Berat badan sebelum (X) dan sesudah (Y) senam.
X
Y
di = Xi - Yi di
6 6 6 5
0
-1
0 5 0 1
-2
1
5 6 6 5
8
0
8 0 0 9
3
2
7 6 6 6
5
3
0 2 2 2
6 7 6 6
9

10. 10
8
6
5
0 5 8
5 6 5
8 0 5
Jumlah
19
117
b. Uji atas data yang ada apakah pernyataan olahragawan tersebut dapat diterima atau ≠.
Langkah pengujian :
1) H0 : S = 0
H1 : S > 0
2) α = 0,05
3) Data terkumpul
4) Apabila keadaan sampel tersebut ≠ independent, maka statistik uji yang
2
d
1
n∑ d i2 − ( ∑ d i )
t=
d = ∑d i , S =
digunakan :
, ν=n–1 ,
Sd
d
n
n(n − 1)
n
5) Daerah dan titik kritisnya
6) Hitung statistik uji
d =
t=
1
∑d i = 1,9
n
∑d
i
=19
∑d
2
i
=117
S d = 2,998147576
1,9
2,998
= 2,004013279
10
Harga hitung statistik uji jatuh di daerah kritis. Pengujian significant . Isyaratnya
H0 ditolak.
7) Kesimpulan statistis
Berdasarkan data hasil experiment ternyata berat badan rat-rata sesudah olahraga
senam < dibandingkan dengan rata-rata berat badan sebelum senam. Atas dasar
pengujian ini kita menerima pernyataan ahli olahraga tersebut.
10