Integral Riemann Stieltjes - Generalisasi Integral Riemann

1. TUGAS MATA KULIAH ANALISIS REAL
INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES
DITINJAU DARI BENTUK RIEMANN
JOKO SOEBAGYO
7826120981
PROGRAM PASCASARJANA
FAKULTAS PENDIDIKAN MIPA
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
2013

2. Ringkasan
Integral Riemann-Stieltjes dinamakan sesuai pencetusnya yaitu Georg Fri-
edrich Bernhard Riemann (17 September 1826 s.d 20 July 1866) dan Thomas
Joannes Stieltjes (29 December 1856 s.d 31 December 1894). Georg Frie-
drich Bernhard Riemann adalah matematikawan Jerman yang berpengaruh
dan memberikan kontribusi yang besar terhadap analisis, teori bilangan dan
diferensial geometri. Sedangkan Thomas Joannes Stieltjes adalah matemati-
kawan Belanda yang merupakan pionir dalam bidang moment problems dan
memberikan kontribusi dalam bidang continued fractions.
Integral Riemann-Stieltjes adalah generalisasi dari integral Riemann. Di-
mana integral Riemann dinotasikan:
b
f (x)dx
a
Sedangkan Integral Riemann Stieltjes dinotasikan dengan:
b b
f dα atau f (x)dα(x)
a a
Jakarta, Desember 2012
Penyusun
1

3. 1 Partisi
1.1 Konsep Partisi
Definisi 1.1.1. Jika I := [a,b] sebuah interval di R maka sebuah partisi dari interval
I pasti terbatas, ada himpunan berurut P := (x0 , x1 , ..., xn−1 , xn ) dari titik-titik di
dalam I sedemikian hingga
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
Titik-titik di P berguna untuk membagi-bagi I = [a, b] ke dalam subinterval
yang tidak saling tumpang tindih
I1 := [x0 , x1 ], I2 := [x1 , x2 ], ..., In := [xn−1 , xn ]
Contoh 1.1.2. Jika I := [0,6] sebuah interval di R maka sebuah partisi dari interval
I pasti terbatas, ada himpunan berurut P := (x0 = 0, 1.1, 2, 3.2, 4, 6 = x5 ) dari titik-
titik di dalam I sedemikian hingga
x0 = 0 < 1.1 < 2 < 3.2 < 4 < 6 = x5
Titik-titik di P berguna untuk membagi-bagi I = [0, 6] ke dalam subinterval yang
tidak saling tumpang tindih
I1 := [x0 = 0, 1.1], I2 := [1.1, 2], I3 := [2, 3.2], I4 := [3.2, 4], I5 := [4, 6 = x5 ]
angka 5 adalah angka dari subinterval dalam partisi [0,6] yang membagi partisi
kedalam 5 bagian. Dan ∆xi = xi − xi−1 tidak harus selalu sama
2 Jumlah dan Integral Riemann
2.1 Jumlah Riemann
Definisi 2.1.1. Misal I = [a,b] interval di R dan f : [a,b] → R fungsi terbatas.
Untuk setiap himpunan terbatas dari titik-titik {x0 , x1 , ..., xn } sedemikian hingga
2

4. a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, dan f berkorespondensi ke setiap partisi P dari I
Maka jumlah Riemann atas dan bawah dari f yang berpadanan dengan
partisi P didefinisikan sebagai:
n
U (P, f ) = i=1 Mi ∆xi dengan Mi = sup f (x)
n
L(P, f ) = i=1 mi ∆xi dengan mi = inf f (x)
dimana x ∈ [xi−1 , xi ] ∆xi = xi − xi−1 (i = 1, 2, ..., n)
2.2 Integral Riemann
Definisi 2.2.1. Jika
n n
lim Mi ∆xi dan lim mi ∆xi
|P |→0 |P |→0
i=1 i=1
ada, maka
b b
a
f (x)dx = inf U (P, f ) dan a
f (x)dx = sup L(P, f )
Dimana infimum dan supremum diambil dari semua partisi P dari [a,b].
b b
Jika a
f (x)dx = a
f (x)dx
maka dikatakan f terintegralkan Riemann di [a, b], atau f ∈ R[a, b],
b
ditulis dengan notasi: a
f (x)dx
Teorema 2.2.1. Integral atas dan bawah terdefinisi untuk setiap batas fungsi f
Bukti :
Ambil M = batas atas dan m = batas bawah dari f(x) di [a,b] maka
m ≤ f (x) ≤ M untuk (a ≤ x ≤ b)
3

5. Sehingga Mi ≤ M dan mi ≥ m untuk (i = 1, 2, ...n) dimana Mi dan mi meru-
pakan supremum dan infimum dari f (x) di (x1−1 , xi ) untuk beberapa partisi P dari
[a,b].
n n
Maka L(P, f ) = i=1 mi ∆xi ≥ i=1 m∆xi dimana ∆xi = xi−1 − xi
n
Sehingga L(P, f ) ≥ m i=1 ∆xi
Karena:
n
i=1 ∆xi = (x1 − x0 ) + ... + (xn − xn−1 ) = xn − X0 = b − a
Maka L(P, f ) ≥ m(b − a)
Untuk U (P, f ) sama seperti sebelumnya, sehingga diperoleh:
U (P, f ) ≤ M (b − a) sehingga
m(b − a) ≤ L(P, f ) ≤ U (P, f ) ≤ M (b − a)
Dengan demikian integral atas dan bawah terdefinisi untuk setiap fungsi f.
3 Generalisasi Riemann
3.1 Konsep Generalisasi Riemann
Generalisasi Riemann yang dimaksud adalah ketika:
∆xi = xi − xi−1
terkait dengan sebuah partisi:
P = {a = x0 , x1 , ..., xn−1 , xn = b} dari [a,b]
ada bentuk yang lebih umum yaitu:
∆αi = α(xi ) − α(xi−1 ) dengan 1 ≤ i ≤ n
dimana α : [a, b] → R adalah monoton naik. Inilah yang membawa kita dalam
bentuk Integral Riemann-Stieltjes terkait dengan sebuah fungsi monoton naik
α : [a, b] → R
4

6. 4 Partisi Penghalus
4.1 Partisi Penghalus dan Penghalus Bersama
Definisi 4.1.1. Misalkan P ∗ dan P merupakan sebarang partisi dari interval I:=[a,b].
Partisi P ∗ disebut penghalusan (refinement) dari P jika P ⊂ P ∗
Definisi 4.1.2. Jika diberikan dua sebarang partisi lainnya dari interval I:=[a,b]
katakanlah P1 dan P2 , maka P ∗ disebut pernghalusan bersama dari P1 dan P2 jika
P ∗ = P1 ∪ P2 .
Pernyataan bahwa partisi P ∗ disebut penghalusan dari partisi P mengandung
arti bahwa partisi P ∗ lebih halus dengan kata lain lebih baik dari partisi P. Dalam
hal ini maksudnya adalah bahwa setiap titik partisi dari P juga merupakan suatu
titik dari partisi P ∗ .
5 Jumlah dan integral Riemann-Stieltjes
5.1 Jumlah Riemann-Stieltes
Definisi 5.1.1. Misal I = [a,b] interval di R dan f : [a,b] → R fungsi terbatas.
Untuk setiap himpunan terbatas dari titik-titik {x0 , x1 , ..., xn } sedemikian hingga
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, dan α berkorespondensi ke setiap partisi P dari I
dinotasikan dengan ∆αi = α(xi ) − α(xi−1 )
Maka jumlah Riemann-Stieltjes atas dan bawah dari f terhadap α yang
berpadanan dengan partisi P didefinisikan sebagai:
n
U (P, f, α) = i=1 Mi ∆αi dengan Mi = sup f (x)
n
L(P, f, α) = i=1 mi ∆αi dengan mi = inf f (x)
dimana x ∈ [xi−1 , xi ] ∆αi = α(xi ) − α(xi−1 ) (i = 1, 2, ..., n)
5

7. 5.2 Integral Riemann-Stieltjes dari Fungsi Bernilai Real
Untuk menunjukkan keberadaan integral Riemann-Stieltjes dari suatu fungsi berni-
lai real yang berkaitan dengan jumlah atas dan jumlah bawah serta integral atas
dan integral bawah dari fungsi tersebut, diperlukan kondisi perlu dan cukup sebagai
berikut:
Definisi 5.2.1. Jika
n n
lim Mi ∆αi dan lim mi ∆αi
|P |→0 |P |→0
i=1 i=1
ada, maka
b b
a
f (x)dαx = inf U (P, f, α) dan a
f (x)dαx = sup L(P, f, α)
Dimana infimum dan supremum diambil dari semua partisi dari [a,b].
b b
Jika a
f (x)dα(x) = a
f (x)dα(x)
maka dikatakan f terintegralkan Riemann-Stieltjes terhadap α yang berpadanan
b
di [a, b], atau f ∈ Rα [a, b], ditulis dengan notasi: a
f (x)dα(x)
Definisi 5.2.2. f dikatakan terintegralkan Riemann-Stieltjes terhadap α di
I jika ada A ∈ R sedemikian hingga diberikan > 0 ada sebuah partisi P dari I,
untuk semua P penghalus dari P dan setiap pemilihan titik x ∈ [xi−1 , xi ], diperoleh
|S(P, f, α) − A| <
Jika A ada, maka dikatakan sebagai integral Riemann-Stieltjes dari f ter-
hadap α. f disebut integran dan α disebut integrator. ditulis dengan notasi:
b
a
f (x)dα(x)
6

8. 6 Teorema-teorema Pendukung
6.1 Partisi Penghalus dari Sebuah Partisi
Teorema 6.1.1. Jika P ∗ adalah penghalus dari P maka:
L(P, f, α) ≤ L(P∗ ,f,α) ..... (i)
dan
L(U, f, α) ≥ U (P∗ ,f,α) ..... (ii)
Bukti :
Misalkan P ∗ berisi hanya satu titik x∗ lebih banyak dari P sedemikian hingga
xi−1 < x∗ < xi dimana xi−1 dan xi adalah dua titik yang saling berurutan dari P.
Misal:
w1 = inf f (x) untuk (xi−1 ≤ x ≤ x∗ ) dan w2 = inf f (x) untuk (x∗ ≤ x ≤ xi )
Maka jelas w1 ≥ mi dan w2 ≥ m1
dimana
mi = inf f (x) untuk (xi−1 ≤ x ≤ x)
Oleh karena itu
L(P ∗ , f, α) − L(P, f, α) =
= w1 [α(x∗ ) − α(xi−1 )] + w2 [α(xi ) − α(x∗ )] − mi [α(xi ) − α(xi−1 )]
= w1 [α(x∗ ) − α(xi−1 )] + w2 [α(xi ) − α(x∗ )] − mi [α(xi ) − α(x∗ ) + α(x∗ ) − α(xi−1 )]
= (w1 − mi ) [α(x∗ ) − α(xi−1 )] + (w2 − mi ) [α(xi ) − α(x∗ )]
jika α adalah fungsi monoton naik, maka:
α(x∗ ) − α(xi−1 ) ≥ 0 dan α(xi ) − α(x∗ ) ≥ 0
Sehingga L(P ∗ , f, α) − L(P, f, α) ≥ 0
atau
L(P, f, α) ≤ L(P ∗ , f, α) dan ini sama dengan (i )
Jika P ∗ berisi k titik lebih banyak dari P, kita ulangi hal yang sama sebanyak
k kali seperti kita dapatkan (i )
7

9. Misal:
W1 = supf (x) untuk (xi−1 ≤ x ≤ x∗ ) dan W2 = supf (x) untuk (x∗ ≤ x ≤ xi )
Maka jelas Mi ≥ W1 dan Mi ≥ W2
dimana
U (P, f, α) − U (P ∗ , f, α) =
= Mi [α(xi ) − α(xi−1 )] − W1 [α(x∗ ) − α(xi−1 )] − W2 [α(xi ) − α(x∗ )]
= Mi [α(xi ) − α(x∗ ) + α(x∗ ) − α(xi−1 )] − W1 [α(x∗ ) − α(xi−1 )] − W2 [α(xi ) − α(x∗ )]
= (Mi − W1 ) [α(x∗ ) − α(xi−1 )] + (Mi − W2 ) [α(xi ) − α(x∗ )]
jika α adalah fungsi monoton naik, maka:
α(x∗ ) − α(xi−1 ) ≥ 0 dan α(xi ) − α(x∗ ) ≥ 0
Sehingga U (P, f, α) − U (P ∗ , f, α) ≥ 0
atau
U (P, f, α) ≥ U (P ∗ , f, α) dan ini sama dengan (ii )
6.2 Fungsi Bernilai real
Teorema 6.2.1. Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi di [a,b] dan
α adalah fungsi monoton naik di [a,b], maka supL(P, f, α) ≤ inf U (P, f, α)
dengan kata lain:
b b
a
f (x)dα(x) ≤ a
f (x)dα(x)
Bukti :
Misal P ∗ adalah penghalus bersama dari dua partisi P1 dan P2 , maka:
L(P1 , f, α) ≤ L(P ∗ , f, α) ≤ U (P ∗ , f, α) ≤ U (P2 , f, α)
Oleh karena itu L(P1 , f, α) ≤ U (P2 , f, α) ....(i )
Jika P2 adalah tetap dan supremum diambil dari semua P1 maka dari (i ) didapat:
b
a
f (x)dα(x) ≤ U (P2 , f, α)
Jika P1 adalah tetap dan supremum diambil dari semua P2 maka dari (i ) didapat:
b b
a
f (x)dα(x) ≤ a
f (x)dα(x)
8

10. 6.3 Kriteria Cauchy
Teorema 6.3.1. Misal f ∈ R(α) di [a,b] jika untuk setiap > 0 ada sebuah partisi
P yang eksis, sedemikian hingga U (P, f, α) − L(P, f, α) <
Bukti :
Misal:
U (P, f, α) − L(P, f, α) < ........(i )
Maka:
b b
L(P, f, α) ≤ a
f (x)dα(x) ≤ a
f (x)dα(x) ≤ U (P, f, α)
Sehingga:
b
a
f (x)dα(x) − L(P, f, α) ≥ 0
dan
b
U (P, f, α) − a
f (x)dα(x) ≥ 0
Dengan menjumlahkan keduanya, kita peroleh:
b b
a
f (x)dα(x) − L(P1 , f, α) + U (P, f, α) − a
f (x)dα(x) ≥ 0
b b
a
f (x)dα(x) − a
f (x)dα(x) + U (P, f, α) − L(P, f, α) ≥ 0
b b
a
f (x)dα(x) − a
f (x)dα(x) − U (P, f, α) + L(P1 , f, α) ≤ 0
dari (i ), kita peroleh:
b b
a
f (x)dα(x) − a
f (x)dα(x) ≤ U (P, f, α) − L(P1 , f, α) <
Dengan kata lain:
b b
0≤ a
f (x)dα(x) − a
f (x)dα(x) <
Sehingga:
b b
a
f (x)dα(x) = a
f (x)dα(x) dengan kata lain f ∈ R(α)
Sebaliknya, misal f ∈ R(α) dan > 0 maka:
9

11. b b b
a
f (x)dα(x) = a
f (x)dα(x) = a
f (x)dα(x)
b b
Adapun a
f (x)dα(x) = inf U (P, f, α) dan a
f (x)dα(x) = supL(P, f, α)
Ada partisi P1 dan P2 yang eksis sedemikian hingga:
b
U (P2 , f, α) − f (x)dα(x) < ........(ii)
a 2
U (P2 , f, α) − < f (x)dα(x)
2
dan
b
f (x)dα(x) − L(P1 , f, α) < ........(iii)
a 2
f (x)dα(x) ≤ L(P1 , f, α) +
2
Ambil P sebagai penghalus bersama dari P1 dan P2 , maka:
b
U (P, f, α) ≤ U (P2 , f, α) < f (x)dα(x) + < L(P1 , f, α) + ≤ L(P, f, α) +
a 2
Dengan demikian:
U (P, f, α) − L(P, f, α) <
Teorema 6.3.2. a) Jika U (P, f, α) − L(P, f, α) < berlaku untuk beberapa P dan
(dengan yang sama) maka berlaku juga untuk setiap penghalus dari P
b) Jika U (P, f, α) − L(P, f, α) < berlaku untuk P = x0 , ..., xn dan si , ti adalah titik
yang berubah-ubah di [xi−1 , xi ], maka :
n
i=1 |f (si ) − f (ti )| ∆αi <
c)Jika f ∈ R(α) dan hipotesis dari (b) berlaku, maka:
n b
f (ti )∆αi − f (x)dα(x) <
i=1 a
Bukti :
a) Misal P ∗ adalah penghalus bersama P, maka:
10

12. L(P, f, α) ≤ L(P ∗ , f, α)
dan
U (P ∗ , f, α) ≤ U (P, f, α)
Sehingga:
L(P, f, α) + U (P ∗ , f, α) ≤ L(P ∗ , f, α) + U (P ∗ , f, α)
U (P ∗ , f, α) − L(P ∗ , f, α) ≤ U (P, f, α)L(P, f, α)
U (P, f, α) − L(P, f, α) <
U (P ∗ , f, α) − L(P ∗ , f, α) <
b) P = x0 , ...xn dan si , ti adalah titik yang berubah-ubah di [xi−1 , xi ], maka:
f (si ) dan f (ti ) keduanya terletak di [mi , Mi ], sehingga:
|f (si ) − f (ti )| ≤ Mi − mi
|f (si ) − f (ti )| ∆αi ≤ Mi ∆αi − mi ∆αi
n n n
|f (si ) − f (ti )| ∆αi ≤ Mi ∆αi − mi ∆αi
i=1 i=1 i=1
n
|f (si ) − f (ti )| ∆αi ≤ U (P, f α) − L(P, f, α)
i=1
U (P, f, α) − L(P, f, α) <
n
|f (si ) − f (ti )| ∆αi <
i=1
c)
mi ≤ f (ti ) ≤ Mi
mi ∆αi ≤ f (ti )∆αi ≤ Mi ∆αi
L(P, f, α) ≤ f (ti )∆αi ≤ U (P, f, α)
b
dan juga L(P, f, α) ≤ a
f (x)dα(x) ≤ U (P, f, α)
11

13. Dengan menggunakan (b) kita mendapatkan:
b
f (ti )∆αi − f (x)dα(x) <
a
Teorema 6.3.3. Jika f kontinu di [a,b] maka f ∈ R(α) di [a,b]
Bukti :
Ambil > 0, pilih β > 0 maka:
[α(b) − α(a)] β <
f kontinu di [a,b] maka f secara seragam kontinu di [a,b] Ada δ > 0 sedemikian
hingga:
|f (s) − f (t) < β jika x ∈ [a, b], t ∈ [a, b], dan |x − t| < δ .... (i )
Jika P adalah suatu partisi dari[a,b] sedemikian hingga ∆xi < δ untuk semua i
maka implikasi dari (i ) bahwa Mi − mi ≤ β untuk i = 1,2,...,n
⇒ U (P, f, α) − L(P, f, α) = Mi ∆αi − mi ∆αi
= (Mi − mi )∆αi
≤β ∆αi = β[α(b) − α(a)] <
⇒f ∈ R(α) oleh kriteria Cauchy
Teorema 6.3.4. Jika f monoton di [a,b] dan jika α kontinu di [a,b] maka f ∈ R(α)
Bukti :
Ambil > 0 bilangan postif. Untuk setiap integer positif n, pilih sebuah partisi
P = {x0 , x1 , ..., xn } di [a,b] sedemikian hingga:
α(b) − α(a)
∆αi = , i = 1, 2, ..., n
n
Maka α kontinu dan monoton naik di interval tutup [a,b] dan sekaligus menga-
sumsikan setiap nilai diantaranya terbatas, α(a) dan α(b).
Misal f monoton naik di [a,b], maka batas-batas atas dan bawah, Mi dan mi di
[xi−1 , xi ] adalah mi = f (xi−1 ) dan Mi = f (xi ) serta i = 1, 2, ..., n Maka:
U (P, f, α) − L(P, f, α) =
12

14. n
= i=1 (Mi − mi )∆αi
α(b)−α(a) n α(b)−α(a) n
= n i=1 [f (xi ) − f (xi−1 )] = n i=1 [f (b) − f (a)] < jika n diambil
cukup besar
Sehingga f ∈ R(α) di [a,b]
Catatan:
Ketika f ∈ R(α) salah satu diantara dua berikut:
i) f kontinu jika α monoton atau
ii) f monoton dan α kontinu, maka tentu saja α tetap monoton
7 Catatan
1. Integral Riemann adalah kasus khusus dari integral Riemann-Stieltjes ketika
α(x) = x
2. Integral bergantung kepada f, α, a dan b tapi tidak terhadap variabel integral
8 Daftar Pustaka
1. Eric T. Sawyer, Lecture Notes in Advanced Real Analysis, McMaster Univer-
sity, Hamilton, Ontario
2. Syyed Gul Shah, Chapter 6 - Riemann-Stieltjes Integral, Department of Ma-
thematics, US Sargodha dalam Atiq ur Rahman
9 Tautan
1. http://www.mathcity.org/
2. http://classicalrealanalysis.com/default.aspx
3. http://planetmath.org/encyclopedia/Integrator.html
4. http://zzz.sederet.com/translate.php
13

15. 5. http://planetmath.org/RiemannIntegral.html
14