Dokumen ini membahas integral Riemann-Stieltjes, yang merupakan generalisasi dari integral Riemann, dan menjelaskan konsep-konsep dasar seperti partisi dan jumlah Riemann. Integral ini didefinisikan dalam konteks fungsi monoton naik dan melibatkan dua matematikawan penting, Riemann dan Stieltjes. Berbagai teorema terkait dan definisi dibahas untuk menjelaskan keberadaan dan sifat dari integral tersebut.

1. TUGAS MATA KULIAH ANALISIS REAL
INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES
DITINJAU DARI BENTUK RIEMANN
JOKO SOEBAGYO
7826120981
PROGRAM PASCASARJANA
FAKULTAS PENDIDIKAN MIPA
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
2013

2. Ringkasan
Integral Riemann-Stieltjes dinamakan sesuai pencetusnya yaitu Georg Fri-
edrich Bernhard Riemann (17 September 1826 s.d 20 July 1866) dan Thomas
Joannes Stieltjes (29 December 1856 s.d 31 December 1894). Georg Frie-
drich Bernhard Riemann adalah matematikawan Jerman yang berpengaruh
dan memberikan kontribusi yang besar terhadap analisis, teori bilangan dan
diferensial geometri. Sedangkan Thomas Joannes Stieltjes adalah matemati-
kawan Belanda yang merupakan pionir dalam bidang moment problems dan
memberikan kontribusi dalam bidang continued fractions.
Integral Riemann-Stieltjes adalah generalisasi dari integral Riemann. Di-
mana integral Riemann dinotasikan:
b
f (x)dx
a
Sedangkan Integral Riemann Stieltjes dinotasikan dengan:
b b
f dα atau f (x)dα(x)
a a
Jakarta, Desember 2012
Penyusun
1

3. 1 Partisi
1.1 Konsep Partisi
Definisi 1.1.1. Jika I := [a,b] sebuah interval di R maka sebuah partisi dari interval
I pasti terbatas, ada himpunan berurut P := (x0 , x1 , ..., xn−1 , xn ) dari titik-titik di
dalam I sedemikian hingga
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
Titik-titik di P berguna untuk membagi-bagi I = [a, b] ke dalam subinterval
yang tidak saling tumpang tindih
I1 := [x0 , x1 ], I2 := [x1 , x2 ], ..., In := [xn−1 , xn ]
Contoh 1.1.2. Jika I := [0,6] sebuah interval di R maka sebuah partisi dari interval
I pasti terbatas, ada himpunan berurut P := (x0 = 0, 1.1, 2, 3.2, 4, 6 = x5 ) dari titik-
titik di dalam I sedemikian hingga
x0 = 0 < 1.1 < 2 < 3.2 < 4 < 6 = x5
Titik-titik di P berguna untuk membagi-bagi I = [0, 6] ke dalam subinterval yang
tidak saling tumpang tindih
I1 := [x0 = 0, 1.1], I2 := [1.1, 2], I3 := [2, 3.2], I4 := [3.2, 4], I5 := [4, 6 = x5 ]
angka 5 adalah angka dari subinterval dalam partisi [0,6] yang membagi partisi
kedalam 5 bagian. Dan ∆xi = xi − xi−1 tidak harus selalu sama
2 Jumlah dan Integral Riemann
2.1 Jumlah Riemann
Definisi 2.1.1. Misal I = [a,b] interval di R dan f : [a,b] → R fungsi terbatas.
Untuk setiap himpunan terbatas dari titik-titik {x0 , x1 , ..., xn } sedemikian hingga
2

4. a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, dan f berkorespondensi ke setiap partisi P dari I
Maka jumlah Riemann atas dan bawah dari f yang berpadanan dengan
partisi P didefinisikan sebagai:
n
U (P, f ) = i=1 Mi ∆xi dengan Mi = sup f (x)
n
L(P, f ) = i=1 mi ∆xi dengan mi = inf f (x)
dimana x ∈ [xi−1 , xi ] ∆xi = xi − xi−1 (i = 1, 2, ..., n)
2.2 Integral Riemann
Definisi 2.2.1. Jika
n n
lim Mi ∆xi dan lim mi ∆xi
|P |→0 |P |→0
i=1 i=1
ada, maka
b b
a
f (x)dx = inf U (P, f ) dan a
f (x)dx = sup L(P, f )
Dimana infimum dan supremum diambil dari semua partisi P dari [a,b].
b b
Jika a
f (x)dx = a
f (x)dx
maka dikatakan f terintegralkan Riemann di [a, b], atau f ∈ R[a, b],
b
ditulis dengan notasi: a
f (x)dx
Teorema 2.2.1. Integral atas dan bawah terdefinisi untuk setiap batas fungsi f
Bukti :
Ambil M = batas atas dan m = batas bawah dari f(x) di [a,b] maka
m ≤ f (x) ≤ M untuk (a ≤ x ≤ b)
3

5. Sehingga Mi ≤ M dan mi ≥ m untuk (i = 1, 2, ...n) dimana Mi dan mi meru-
pakan supremum dan infimum dari f (x) di (x1−1 , xi ) untuk beberapa partisi P dari
[a,b].
n n
Maka L(P, f ) = i=1 mi ∆xi ≥ i=1 m∆xi dimana ∆xi = xi−1 − xi
n
Sehingga L(P, f ) ≥ m i=1 ∆xi
Karena:
n
i=1 ∆xi = (x1 − x0 ) + ... + (xn − xn−1 ) = xn − X0 = b − a
Maka L(P, f ) ≥ m(b − a)
Untuk U (P, f ) sama seperti sebelumnya, sehingga diperoleh:
U (P, f ) ≤ M (b − a) sehingga
m(b − a) ≤ L(P, f ) ≤ U (P, f ) ≤ M (b − a)
Dengan demikian integral atas dan bawah terdefinisi untuk setiap fungsi f.
3 Generalisasi Riemann
3.1 Konsep Generalisasi Riemann
Generalisasi Riemann yang dimaksud adalah ketika:
∆xi = xi − xi−1
terkait dengan sebuah partisi:
P = {a = x0 , x1 , ..., xn−1 , xn = b} dari [a,b]
ada bentuk yang lebih umum yaitu:
∆αi = α(xi ) − α(xi−1 ) dengan 1 ≤ i ≤ n
dimana α : [a, b] → R adalah monoton naik. Inilah yang membawa kita dalam
bentuk Integral Riemann-Stieltjes terkait dengan sebuah fungsi monoton naik
α : [a, b] → R
4

6. 4 Partisi Penghalus
4.1 Partisi Penghalus dan Penghalus Bersama
Definisi 4.1.1. Misalkan P ∗ dan P merupakan sebarang partisi dari interval I:=[a,b].
Partisi P ∗ disebut penghalusan (refinement) dari P jika P ⊂ P ∗
Definisi 4.1.2. Jika diberikan dua sebarang partisi lainnya dari interval I:=[a,b]
katakanlah P1 dan P2 , maka P ∗ disebut pernghalusan bersama dari P1 dan P2 jika
P ∗ = P1 ∪ P2 .
Pernyataan bahwa partisi P ∗ disebut penghalusan dari partisi P mengandung
arti bahwa partisi P ∗ lebih halus dengan kata lain lebih baik dari partisi P. Dalam
hal ini maksudnya adalah bahwa setiap titik partisi dari P juga merupakan suatu
titik dari partisi P ∗ .
5 Jumlah dan integral Riemann-Stieltjes
5.1 Jumlah Riemann-Stieltes
Definisi 5.1.1. Misal I = [a,b] interval di R dan f : [a,b] → R fungsi terbatas.
Untuk setiap himpunan terbatas dari titik-titik {x0 , x1 , ..., xn } sedemikian hingga
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, dan α berkorespondensi ke setiap partisi P dari I
dinotasikan dengan ∆αi = α(xi ) − α(xi−1 )
Maka jumlah Riemann-Stieltjes atas dan bawah dari f terhadap α yang
berpadanan dengan partisi P didefinisikan sebagai:
n
U (P, f, α) = i=1 Mi ∆αi dengan Mi = sup f (x)
n
L(P, f, α) = i=1 mi ∆αi dengan mi = inf f (x)
dimana x ∈ [xi−1 , xi ] ∆αi = α(xi ) − α(xi−1 ) (i = 1, 2, ..., n)
5

7. 5.2 Integral Riemann-Stieltjes dari Fungsi Bernilai Real
Untuk menunjukkan keberadaan integral Riemann-Stieltjes dari suatu fungsi berni-
lai real yang berkaitan dengan jumlah atas dan jumlah bawah serta integral atas
dan integral bawah dari fungsi tersebut, diperlukan kondisi perlu dan cukup sebagai
berikut:
Definisi 5.2.1. Jika
n n
lim Mi ∆αi dan lim mi ∆αi
|P |→0 |P |→0
i=1 i=1
ada, maka
b b
a
f (x)dαx = inf U (P, f, α) dan a
f (x)dαx = sup L(P, f, α)
Dimana infimum dan supremum diambil dari semua partisi dari [a,b].
b b
Jika a
f (x)dα(x) = a
f (x)dα(x)
maka dikatakan f terintegralkan Riemann-Stieltjes terhadap α yang berpadanan
b
di [a, b], atau f ∈ Rα [a, b], ditulis dengan notasi: a
f (x)dα(x)
Definisi 5.2.2. f dikatakan terintegralkan Riemann-Stieltjes terhadap α di
I jika ada A ∈ R sedemikian hingga diberikan > 0 ada sebuah partisi P dari I,
untuk semua P penghalus dari P dan setiap pemilihan titik x ∈ [xi−1 , xi ], diperoleh
|S(P, f, α) − A| <
Jika A ada, maka dikatakan sebagai integral Riemann-Stieltjes dari f ter-
hadap α. f disebut integran dan α disebut integrator. ditulis dengan notasi:
b
a
f (x)dα(x)
6

8. 6 Teorema-teorema Pendukung
6.1 Partisi Penghalus dari Sebuah Partisi
Teorema 6.1.1. Jika P ∗ adalah penghalus dari P maka:
L(P, f, α) ≤ L(P∗ ,f,α) ..... (i)
dan
L(U, f, α) ≥ U (P∗ ,f,α) ..... (ii)
Bukti :
Misalkan P ∗ berisi hanya satu titik x∗ lebih banyak dari P sedemikian hingga
xi−1 < x∗ < xi dimana xi−1 dan xi adalah dua titik yang saling berurutan dari P.
Misal:
w1 = inf f (x) untuk (xi−1 ≤ x ≤ x∗ ) dan w2 = inf f (x) untuk (x∗ ≤ x ≤ xi )
Maka jelas w1 ≥ mi dan w2 ≥ m1
dimana
mi = inf f (x) untuk (xi−1 ≤ x ≤ x)
Oleh karena itu
L(P ∗ , f, α) − L(P, f, α) =
= w1 [α(x∗ ) − α(xi−1 )] + w2 [α(xi ) − α(x∗ )] − mi [α(xi ) − α(xi−1 )]
= w1 [α(x∗ ) − α(xi−1 )] + w2 [α(xi ) − α(x∗ )] − mi [α(xi ) − α(x∗ ) + α(x∗ ) − α(xi−1 )]
= (w1 − mi ) [α(x∗ ) − α(xi−1 )] + (w2 − mi ) [α(xi ) − α(x∗ )]
jika α adalah fungsi monoton naik, maka:
α(x∗ ) − α(xi−1 ) ≥ 0 dan α(xi ) − α(x∗ ) ≥ 0
Sehingga L(P ∗ , f, α) − L(P, f, α) ≥ 0
atau
L(P, f, α) ≤ L(P ∗ , f, α) dan ini sama dengan (i )
Jika P ∗ berisi k titik lebih banyak dari P, kita ulangi hal yang sama sebanyak
k kali seperti kita dapatkan (i )
7

9. Misal:
W1 = supf (x) untuk (xi−1 ≤ x ≤ x∗ ) dan W2 = supf (x) untuk (x∗ ≤ x ≤ xi )
Maka jelas Mi ≥ W1 dan Mi ≥ W2
dimana
U (P, f, α) − U (P ∗ , f, α) =
= Mi [α(xi ) − α(xi−1 )] − W1 [α(x∗ ) − α(xi−1 )] − W2 [α(xi ) − α(x∗ )]
= Mi [α(xi ) − α(x∗ ) + α(x∗ ) − α(xi−1 )] − W1 [α(x∗ ) − α(xi−1 )] − W2 [α(xi ) − α(x∗ )]
= (Mi − W1 ) [α(x∗ ) − α(xi−1 )] + (Mi − W2 ) [α(xi ) − α(x∗ )]
jika α adalah fungsi monoton naik, maka:
α(x∗ ) − α(xi−1 ) ≥ 0 dan α(xi ) − α(x∗ ) ≥ 0
Sehingga U (P, f, α) − U (P ∗ , f, α) ≥ 0
atau
U (P, f, α) ≥ U (P ∗ , f, α) dan ini sama dengan (ii )
6.2 Fungsi Bernilai real
Teorema 6.2.1. Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi di [a,b] dan
α adalah fungsi monoton naik di [a,b], maka supL(P, f, α) ≤ inf U (P, f, α)
dengan kata lain:
b b
a
f (x)dα(x) ≤ a
f (x)dα(x)
Bukti :
Misal P ∗ adalah penghalus bersama dari dua partisi P1 dan P2 , maka:
L(P1 , f, α) ≤ L(P ∗ , f, α) ≤ U (P ∗ , f, α) ≤ U (P2 , f, α)
Oleh karena itu L(P1 , f, α) ≤ U (P2 , f, α) ....(i )
Jika P2 adalah tetap dan supremum diambil dari semua P1 maka dari (i ) didapat:
b
a
f (x)dα(x) ≤ U (P2 , f, α)
Jika P1 adalah tetap dan supremum diambil dari semua P2 maka dari (i ) didapat:
b b
a
f (x)dα(x) ≤ a
f (x)dα(x)
8

10. 6.3 Kriteria Cauchy
Teorema 6.3.1. Misal f ∈ R(α) di [a,b] jika untuk setiap > 0 ada sebuah partisi
P yang eksis, sedemikian hingga U (P, f, α) − L(P, f, α) <
Bukti :
Misal:
U (P, f, α) − L(P, f, α) < ........(i )
Maka:
b b
L(P, f, α) ≤ a
f (x)dα(x) ≤ a
f (x)dα(x) ≤ U (P, f, α)
Sehingga:
b
a
f (x)dα(x) − L(P, f, α) ≥ 0
dan
b
U (P, f, α) − a
f (x)dα(x) ≥ 0
Dengan menjumlahkan keduanya, kita peroleh:
b b
a
f (x)dα(x) − L(P1 , f, α) + U (P, f, α) − a
f (x)dα(x) ≥ 0
b b
a
f (x)dα(x) − a
f (x)dα(x) + U (P, f, α) − L(P, f, α) ≥ 0
b b
a
f (x)dα(x) − a
f (x)dα(x) − U (P, f, α) + L(P1 , f, α) ≤ 0
dari (i ), kita peroleh:
b b
a
f (x)dα(x) − a
f (x)dα(x) ≤ U (P, f, α) − L(P1 , f, α) <
Dengan kata lain:
b b
0≤ a
f (x)dα(x) − a
f (x)dα(x) <
Sehingga:
b b
a
f (x)dα(x) = a
f (x)dα(x) dengan kata lain f ∈ R(α)
Sebaliknya, misal f ∈ R(α) dan > 0 maka:
9

11. b b b
a
f (x)dα(x) = a
f (x)dα(x) = a
f (x)dα(x)
b b
Adapun a
f (x)dα(x) = inf U (P, f, α) dan a
f (x)dα(x) = supL(P, f, α)
Ada partisi P1 dan P2 yang eksis sedemikian hingga:
b
U (P2 , f, α) − f (x)dα(x) < ........(ii)
a 2
U (P2 , f, α) − < f (x)dα(x)
2
dan
b
f (x)dα(x) − L(P1 , f, α) < ........(iii)
a 2
f (x)dα(x) ≤ L(P1 , f, α) +
2
Ambil P sebagai penghalus bersama dari P1 dan P2 , maka:
b
U (P, f, α) ≤ U (P2 , f, α) < f (x)dα(x) + < L(P1 , f, α) + ≤ L(P, f, α) +
a 2
Dengan demikian:
U (P, f, α) − L(P, f, α) <
Teorema 6.3.2. a) Jika U (P, f, α) − L(P, f, α) < berlaku untuk beberapa P dan
(dengan yang sama) maka berlaku juga untuk setiap penghalus dari P
b) Jika U (P, f, α) − L(P, f, α) < berlaku untuk P = x0 , ..., xn dan si , ti adalah titik
yang berubah-ubah di [xi−1 , xi ], maka :
n
i=1 |f (si ) − f (ti )| ∆αi <
c)Jika f ∈ R(α) dan hipotesis dari (b) berlaku, maka:
n b
f (ti )∆αi − f (x)dα(x) <
i=1 a
Bukti :
a) Misal P ∗ adalah penghalus bersama P, maka:
10

12. L(P, f, α) ≤ L(P ∗ , f, α)
dan
U (P ∗ , f, α) ≤ U (P, f, α)
Sehingga:
L(P, f, α) + U (P ∗ , f, α) ≤ L(P ∗ , f, α) + U (P ∗ , f, α)
U (P ∗ , f, α) − L(P ∗ , f, α) ≤ U (P, f, α)L(P, f, α)
U (P, f, α) − L(P, f, α) <
U (P ∗ , f, α) − L(P ∗ , f, α) <
b) P = x0 , ...xn dan si , ti adalah titik yang berubah-ubah di [xi−1 , xi ], maka:
f (si ) dan f (ti ) keduanya terletak di [mi , Mi ], sehingga:
|f (si ) − f (ti )| ≤ Mi − mi
|f (si ) − f (ti )| ∆αi ≤ Mi ∆αi − mi ∆αi
n n n
|f (si ) − f (ti )| ∆αi ≤ Mi ∆αi − mi ∆αi
i=1 i=1 i=1
n
|f (si ) − f (ti )| ∆αi ≤ U (P, f α) − L(P, f, α)
i=1
U (P, f, α) − L(P, f, α) <
n
|f (si ) − f (ti )| ∆αi <
i=1
c)
mi ≤ f (ti ) ≤ Mi
mi ∆αi ≤ f (ti )∆αi ≤ Mi ∆αi
L(P, f, α) ≤ f (ti )∆αi ≤ U (P, f, α)
b
dan juga L(P, f, α) ≤ a
f (x)dα(x) ≤ U (P, f, α)
11

13. Dengan menggunakan (b) kita mendapatkan:
b
f (ti )∆αi − f (x)dα(x) <
a
Teorema 6.3.3. Jika f kontinu di [a,b] maka f ∈ R(α) di [a,b]
Bukti :
Ambil > 0, pilih β > 0 maka:
[α(b) − α(a)] β <
f kontinu di [a,b] maka f secara seragam kontinu di [a,b] Ada δ > 0 sedemikian
hingga:
|f (s) − f (t) < β jika x ∈ [a, b], t ∈ [a, b], dan |x − t| < δ .... (i )
Jika P adalah suatu partisi dari[a,b] sedemikian hingga ∆xi < δ untuk semua i
maka implikasi dari (i ) bahwa Mi − mi ≤ β untuk i = 1,2,...,n
⇒ U (P, f, α) − L(P, f, α) = Mi ∆αi − mi ∆αi
= (Mi − mi )∆αi
≤β ∆αi = β[α(b) − α(a)] <
⇒f ∈ R(α) oleh kriteria Cauchy
Teorema 6.3.4. Jika f monoton di [a,b] dan jika α kontinu di [a,b] maka f ∈ R(α)
Bukti :
Ambil > 0 bilangan postif. Untuk setiap integer positif n, pilih sebuah partisi
P = {x0 , x1 , ..., xn } di [a,b] sedemikian hingga:
α(b) − α(a)
∆αi = , i = 1, 2, ..., n
n
Maka α kontinu dan monoton naik di interval tutup [a,b] dan sekaligus menga-
sumsikan setiap nilai diantaranya terbatas, α(a) dan α(b).
Misal f monoton naik di [a,b], maka batas-batas atas dan bawah, Mi dan mi di
[xi−1 , xi ] adalah mi = f (xi−1 ) dan Mi = f (xi ) serta i = 1, 2, ..., n Maka:
U (P, f, α) − L(P, f, α) =
12

14. n
= i=1 (Mi − mi )∆αi
α(b)−α(a) n α(b)−α(a) n
= n i=1 [f (xi ) − f (xi−1 )] = n i=1 [f (b) − f (a)] < jika n diambil
cukup besar
Sehingga f ∈ R(α) di [a,b]
Catatan:
Ketika f ∈ R(α) salah satu diantara dua berikut:
i) f kontinu jika α monoton atau
ii) f monoton dan α kontinu, maka tentu saja α tetap monoton
7 Catatan
1. Integral Riemann adalah kasus khusus dari integral Riemann-Stieltjes ketika
α(x) = x
2. Integral bergantung kepada f, α, a dan b tapi tidak terhadap variabel integral
8 Daftar Pustaka
1. Eric T. Sawyer, Lecture Notes in Advanced Real Analysis, McMaster Univer-
sity, Hamilton, Ontario
2. Syyed Gul Shah, Chapter 6 - Riemann-Stieltjes Integral, Department of Ma-
thematics, US Sargodha dalam Atiq ur Rahman
9 Tautan
1. http://www.mathcity.org/
2. http://classicalrealanalysis.com/default.aspx
3. http://planetmath.org/encyclopedia/Integrator.html
4. http://zzz.sederet.com/translate.php
13

15. 5. http://planetmath.org/RiemannIntegral.html
14