Dokumen tersebut membahas identitas trigonometri dan rumus-rumus yang digunakan untuk menunjukkan kebenaran identitas trigonometri, seperti rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, rumus trigonometri sudut ganda, rumus perkalian sinus dan cosinus, serta rumus-rumus lainnya.

1. Selanjutnya
Klik Shapes
Untuk ke subbab materi
Atau keluar
Keluar Program

2. Identitas Trigonometri atau kesamaan trigonometri adalah identitas atau
Kesamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu sudut.
Sebuah Identitas trigonometri dapat ditunjukan kebenarannya dengan cara :
1. Mengubah salah satu bentuk ruas sehingga didapat bentuk yang sama
dengan ruas yang lainnya.
2. Mengubah masing-masing ruas sehingga didapat bentuk yang sama.
Rumus-rumus yang digunakan untuk menunjukan kebenaran suatu identitas
Trigonometri antara lain adalah Rumus Trigonometri jumlah dan selisih dua sudut,
Rumus Trigometri sudut ganda, Rumus perkalian sinus dan cosinus,
Rumus jumlah dan selisih pada sinus dan cosinus, Rumus-rumus kebalikan,
Rumus-rumus Perbandingan, Rumus-rumus Phytagoras dan Rumus-rumus
trigonometri sudut Berelasi.
Sebelumnya
Ke Menu Utama

3. A. Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut.
I.Rumus Cos (α ± β)
α
β
-β
X
Y
A
C
B
D
•
•
•
•
Sebuah Lingkaran dengan jari-jari 1 satuan
(disebut lingkaran satuan ), sehingga titik A (1,0).
Misal AOB = α , dan ⦟BOC = β, maka :
⦟AOC = ⦟ AOB + ⦟ BOC = α+β.
Dengan Mengambil sudut pertolongan ⦟AOD = -β,
Maka ∆AOC kongruen dengan ∆BOD.
Akibatnya AC = BD atau AC² = BD²…………….(i)
Ingat-ingat………..!
O
Koordinat Cartesius dapat dinyatakan dengan
koordinat kutub (r Cos α, r Sin α) ,sehingga
a. Titik B (Cos α, Sin α)
b. Titik C (Cos (α+β), Sin (α+β)
c. Titik D (Cos(-β),Sin(-β) = (Cos β,-Sin β)
Ingat jari-jari
lingkaran r = 1
Selanjutnya
Ke Menu Utama

4. Selesaikan Yu….K!
Dengan menggunakan rumus antara dua titik diperoleh :
I. Titik A (1,0) dan titik C (Cos (α+β), Sin (α+β)
AC² = (Cos (α+β) – 1)² + (Sin (α+β) – 0)²
AC² = Cos² (α+β) – 2Cos (α+β) + 1 + Sin² (α+β)
AC² = {Cos² (α+β) + Sin² (α+β)} + 1 – 2Cos (α+β)
1
AC² = 2 – 2Cos (α+β)………………………..(ii)
II. Titik B (Cos α, Sin α) dan D (Cos β,-Sin β)
BD² = (Cos β - Cos α)² + (-Sin β - Sin α)²
BD² = (Cos²β - 2 Cos α Cos β + Cos²α + Sin²β + 2 Sin α Sin β + Sin²α
BD² = (Cos²β + Sin²β) + (Cos²α + Sin²α) - 2 Cos α Cos β + 2 Sin α Sin β
1 1
BD² = 2- 2Cos α Cos β + 2 Sin α Sin β………………………..(iii)
Karena AC² = BD², maka diperoleh hubungan :
2 - 2 Cos (α+β) = 2- 2Cos α Cos β + 2 Sin α Sin β
Jadi, Cos (α+β) = Cos α Cos β ̶ Sin α Sin β
Jika sudut β diganti dengan sudut –β maka diperoleh :
Cos (α+(-β)) = Cos α Cos (–β) - Sin α Sin (–β)
Cos (α – β) = Cos α Cos β - Sin α -Sin β
Jadi, Cos (α – β) = Cos α Cos β + Sin α Sin β
Sebelumnya Selanjutnya
Ke Menu Utama

5. II. Rumus Sin (α ± β)
Rumus Sin (α ± β) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sudut berelasi
(i)
(ii)
(iii) Cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Berdasarkan rumus diatas diperoleh hubungan :
Maka, Sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Jika sudut β diganti dengan sudut –β
maka berlaku Hubungan:
Sin (α+(-β) = sin α cos(-β) + Cos α sin(-β)
Sin (α – β ) = sin α cos β) + Cos α –sin β
Sin (α ̶ β ) = sin α cos β) ̶ Cos α sin β
Jadi ,Sin (α ̶ β ) = sin α cos β) ̶ Cos α sin β
Sebelumnya Selanjutnya
Ke Menu Utama

6. III. Rumus untuk tan (α ± β)
Berdasarkan rumus perbandingan
, maka
Jadi,
Jika sudut β diganti dengan
sudut –β maka berlaku
Hubungan:
Jadi,
Sebelumnya
Ke Menu Utama

7. B. Rumus Trigonometri Sudut Ganda.
Misalkan α adalah sudut tunggal, maka dua kali sudut α ditulis 2α , disebut
juga Sudut ganda, trigonometri sudut ganda, yaitu sin 2α, cos 2α , dan tan 2α.
I.Rumus sin 2α
perhatikan kembali rumus , sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
apabila sudut β diganti dengan α atau substitusi β = α, maka rumus
diatas menjadi:
sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α
sin 2α = sin α cos α + cos α sin α, ingat sin α cos α = cos α sin α
sin 2α = 2 sin α cos α
Jadi, Rumus sin 2α = 2 sin α cos α
II.Rumus cos 2α
perhatikan kembali rumus , cos (α+β) = cos α cos β ̶ sin α sin β
apabila sudut β diganti dengan α atau substitusi β = α, maka rumus diatas
menjadi:
cos (α+α) = cos α cos α ̶ sin α sin α
cos 2α = cos²α ̶ sin²α
Jadi ,Rumus cos 2α = cos²α ̶ sin²α
Selanjutnya
Ke Menu Utama

8. III. Rumus Tan 2α
Perhatikan kembali rumus
apabila sudut β diganti dengan α atau substitusi β = α, maka rumus di atas menjadi
Jadi, rumus
Catatan : Rumus Tan 2α dapat dihitung dengan rumus perbandingan ,
Bentuk lain dari rumus Cos 2α, dapat ditentukan dari rumus Sin²α + Cos²α = 1
Sin²α = 1 ̶ Cos²α atau Cos²α = 1 ̶ Sin²α ,
dengan substitusi rumus-rumus tersebut ke dalam rumus Cos 2α = Cos²α ̶ Sin²α, maka :
(i) Cos 2α = Cos²α ̶ Sin²α (ii) Cos 2α = Cos²α ̶ Sin²α
Cos 2α = Cos²α ̶ (1 ̶ Cos²α ) Cos 2α = (1 ̶ Sin²α) ̶ Sin²α
Cos 2α = 2Cos²α ̶ 1 dan Cos 2α = 1 ̶ 2 Sin²α
Jadi, bentuk lain dari rumus Cos 2α = Cos²α ̶ Sin²α adalah ,
Cos 2α = 2Cos²α ̶ 1 dan Cos 2α = 1 ̶ 2 Sin²α
Sebelumnya
Ke Menu Utama

9. C. Rumus Sinus ,Cosinus, dan Tangen Sudut pertengahan.
A. Rumus Sin ½θ
Perhatikan kembali rumus Cos 2α,
Cos 2α = 1 ̶ 2 Sin²α
2 Sin²α = 1 ̶ Cos 2α
Dengan mengganti atau substitusi α = ½θ,
kepersaman di atas, diperoleh:
B. Rumus Cos ½θ
Perhatikan kembali rumus Cos 2α,
Cos 2α = 2Cos²α ̶ 1
2Cos²α = 1 + Cos 2α
Dengan mengganti atau substitusi α = ½θ,
kepersaman di atas, diperoleh:
Selanjutnya
Ke Menu Utama

10. C. Rumus Tan ½θ
Substitusi ,
Pada
Jadi, rumus
Catatan :
Tanda ( + ) diambil jika
sudut ½θ terletak dikudran
I atau III, sedangkan
tanda( ̶ ) diambil jika
sudut ½θ terletak
dikudran II atau IV
dan
Sebelumnya
Ke Menu Utama

11. D. Bentuk lain dari rumus tan ½θ
rumus tan ½θ dapat diubah dalam bentuk lain dengan cara mengubah
bagian pembilang atau penyebut :
(i)
Jadi bentuk lainnya , Jadi ,bentuk lainya
(!!)
Selanjutnya
Ke Menu Utama

12. D. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
 Rumus-rumus untuk 2 sin α cos β dan 2 cos α sin β
I. Rumus 2 sin α cos β
Perhatikan kembali rumus jumlah dan selisih pada sinus
jika rumus tersebut dijumlahkan maka :
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α ̶ β) = sin α cos β) ̶ cos α sin β
+
sin (α + β) + sin (α ̶ β) = 2 sin α cos β
Jadi, 2 cin α cos β = sin (α + β) + sin (α ̶ β)
II. Rumus 2 cos α sin β
Jika rumus tersebut di kurangkan ,maka diperoleh:
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α ̶ β) = sin α cos β) ̶ Cos α sin β
̶
sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β) = 2 cos α sin β
Jadi, 2 cos α sin β = sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β)
Selanjutnya
Ke Menu Utama

13.  Rumus 2 cos α cosβ dan 2 sin α sin β
I. Rumus 2 Cos α Cos β
Perhatikan kembali rumus jumlah dan selisih pada Cosinus
jika rumus tersebut dijumlahkan maka :
cos (α + β) = cos α cos β ̶ sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
+
cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cosβ
Jadi, 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)
II. Rumus 2 sin α sin β
Jika rumus tersebut di kurangkan ,maka diperoleh:
cos (α + β) = cos α cos β ̶ sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
̶
cos (α + β) ̶ cos (α – β) = ̶ 2 sin α sin β
Jadi, 2 sin α sin β = ̶ {cos (α + β) ̶ cos (α – β)}
Sebelumnya Selanjutnya
Ke Menu Utama

14.  Perhatikan kembali rumus-rumus dibawah ini
Sin (α + β) + Sin (α ̶ β) = 2 Sin α Cos β
Sin (α + β) ̶ Sin (α ̶ β) = 2 Cos α Sin β
Cos (α + β) + Cos (α – β) = 2 Cos α Cos β
Cos (α + β) ̶ Cos (α – β) = ̶ 2 Sin α Sin β
Dengan menetapkan Variabel-variabel baru α + β = A dan α ̶ β = B,
diperoleh hubungan antara α dan β dengan A dan B sebagai berikut :
α + β = A
α ̶ β = B
+
2α = A + B
α = ½ (A + B)
Selanjutnya nilai-nilai (α + β) = A, (α ̶ β) = B, α = ½ (A + B) dan β = ½ (A ̶ B)
disubstitusikan ke masing-masing persamaan di atas, maka akan diperoleh :
sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B)
sin A ̶ sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A ̶ B)
cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B)
cos A ̶ cos B = ̶ 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A ̶ B)
α + β = A
α ̶ β = B
2β = A ̶ B
β = ½ (A ̶ B)
̶
Sebelumnya Selanjutnya
Ke Menu Utama

15. •Rumus-rumus tersebut dapat digunakan untuk membuktikan kebenaran
Identitas trigonometri yang lebih umum, untuk lebih jelas simaklah
beberapa Contoh berikut ini……..ok!
1
= ••••••••••• ?
Sebelumnya
Ke Menu Utama