1. Bab 4 membahas logika matematika dan penggunaannya dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan berkuantor.

1. BAB 4
Logika Matematika
Standar Kompetensi:
 Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan
pertanyaan majemuk dan pertanyaan berkuantor.
Kompetensi Dasar:
 Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya.
 Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.
 Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan
berkuantor yang diberikan.
 Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk
dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah.

2. Pernyataan adalah kalimat yang benar saja atau salah saja,
tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah.
Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah/
variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya
(benar atau salah).
Contoh:
Jika x diganti 3, diperoleh “2(3) + 3 = 11”
Pernyataan, Nilai Kebenaran, dan Kalimat Terbuka
Jika x diganti 4, diperoleh “2(4) + 3 = 11”
Pernyataan SALAH
Pernyataan BENAR

3. 1. Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan
cara mengganti peubah pada himpunan semestanya.
2. penyelesaian kalimat terbuka adalah nilai pengganti pada
himpunan semesta yang mengubah kalimat terbuka
menjadi pernyataan yang benar.
3. Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah suatu
himpunan dengan anggota-anggota merupakan
penyelesaian dari kalimat terbuka itu.
Kalimat Terbuka

4. Jika p adalah pernyataan yang diketahui, maka ingkaran atau
negasi dari p dapat ditulis dengan memakai lambang.
dibaca: tidak benar p atau bukan p.
~p
i. Jika p adalah pernyataan yang bernilai benar, maka ~p bernilai salah.
ii. Jika p adalah pernyataan yang bernilai salah, maka ~p bernilai benar.
p ~p
B
S
S
B
Ingkaran atau Negasi

5. P merupakan penyelesaian kalimat terbuka p(x) dalam
semesta S, p merupakan pernyataan yang terbentuk
dengan mengganti x  S, maka himpunan komplemen dari
P (ditulis P’) merupakan penyelesaian kalimat terbuka
~p(x) dalam semesta S yang sama.
P’ = {xl ~p(x)}
Hubungan Antara Ingkaran Pernyataan dengan
Komplemen Himpunan
S
P’
P

6. p v q
(dibaca: p atau q)
Ada dua macam disjungsi, yaitu disjungsi ekslusif
dan disjungsi inklusif.
Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari
dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan
menggunakan kata hubung atau.
Disjungsi

7. • p v q benar, jika salah satu di antara p dan q benar atau p dan q dua-
duanya benar.
Nilai kebenaran disjungsi p v q dapat ditentukan melalui definisi berikut.
Nilai Kebenaran Disjungsi
• p v q salah, jika p dan q dua-duanya salah.
p q p v q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
(1)
(1) (2) (3)
(2)
(4)
(3)
Tabel kebenaran disjungsi p v q

8. Hubungan Antara Disjungsi Dua Pernyataan
dengan Gabungan Dua Himpunan
Jika P dan Q masing-masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat
terbuka p(x) dan p(x) pada himpunan semesta S, maka P  Q adalah himpunan
penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) v p(x) pada himpunan semesta S.
P = {x l p(x)}, p benar jika x  P}
Q = {x l q(x)}, q benar jika x  Q}
P Q = {x l p(x) v q(x)}, p v q benar jika x  (P Q)
S
P QPQ
P Q = {x l p(x) v q(x)}

9. Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari
dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan
menggunakan kata hubung dan.
Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q ditulis
dengan lambang:
p q
ν
(dibaca: p dan q)

10. Nilai kebenaran konjungsi p q dapat ditentukan dengan
menggunakan definisi berikut:
ν
• p q benar, jika p benar dan q benarν
• p q salah, jika salah satu p atau q salah atau p salah
dan q salah
ν
p q p q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
(1)
(1) (2) (3)
(2)
(4)
(3)
Tabel kebenaran konjungsi p q
ν
ν

11. Jika P dan Q masing-masing merupakan himpunan penyelesaian dari
kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S, maka P Q
adalah himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) q(x) pada
himpunan semesta S yang sama.
ν
P = {x l p(x)}, p benar jika x  P}
Q = {x l q(x)}, q benar jika x  Q}
P Q = {x l p(x) q(x)}, p q benar jika x  (P Q)
ν ν
S
P Q
P Q = {x l p(x) q(x)}
ν
Hubungan antara Konjungsi Dua Pernyataan
dengan Irisan Dua Himpunan

12. Implikasi atau pernyataan bersyarat/kondisional adalah pernyataan
majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk
jika p maka q.
Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut.
p  q
(dibaca: jika p maka q)
Implikasi p  q dapat dibaca
i. p hanya jika q
ii. q jika p
iii. p syarat cukup bagi q
iv. q syarat perlu bagi p
Implikasi

13. Nilai kebenaran p  q dapat ditentukan dengan menggunakan
definisi berikut.
p  q dinyatakan salah, jika p benar dan q salah.
Dalam kemungkinan yang lainnya p  q dinyatakan benar.
p q p  q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
(1)
(1) (2) (3)
(2)
(4)
(3)
Tabel kebenaran implikasi p  q

14. Hubungan antara Implikasi dengan Himpunan Bagian
Jika P dan Q masing-masing merupakan himpunan
penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada
himpunan semesta S, maka p  q benar jika P  Q.
P = {x l p(x)}, p benar jika x  P
Q = {x l q(x)}, q benar jika x  Q
Implikasi p  q benar, jika P Q
S
P Q

15. Biimplikasi atau Implikasi Dwiarah
Pernyataan p dan pernyataan q dapat dirangkai dengan
menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika”.
Pernyataan yang dirangkai dengan cara tersebut disebut
biimplikasi atau implikasi dwiarah.
p  q
(dibaca: p jika dan hanya jika q)
i. Jika p maka q dan jika q maka p.
ii. p syarat perlu dan cukup bagi q.
iii. Q syarat perlu cukup bagi p.

16. p  q dinyatakan benar, jika (p) = (q) (dibaca: p dan
q mempunyai nilai kebenaran yang sama).
p  q dinyatakan salah, jika (p) = (q) (dibaca: p dan
q mempunyai nilai kebenaran yang tidak sama).
p q p  q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
(1)
(1) (2) (3)
(2)
(4)
(3)
Tabel kebenaran implikasi p  q

17. Hubungan antara Biimplikasi dengan dua Himpunan
yang Sama
Jika P dan Q masing-masing merupakan himpunan
penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada
semesta pembicaraan S, maka p(x)  q(x) menjadi
biimplikasi p  q yang bernilai benar apabila P =Q.
S
P = Q
P = {x l p(x)}, p benar jika x  P
Q = {x l q(x)}, q benar jika x  Q
Implikasi p  q benar, jika P Q

18. Pernyataan Majemuk dan Nilai Kebenarannya
Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang berbentuk
dari beberapa pernyataan tunggal (komponen) yang
dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika.
Jika sebuah pernyataan majemuk terdiri dari n buah
pernyataan tunggal yang berlainan, maka banyak baris pada
tabel kebenaran yang memuat nilai kebenaran adalah 2n.
(i) (~p q)  p (iii) ~[p (p  q)]
(ii) q  (p v ~q) (iv) [(p v q)  r]
ν ν
Contoh Pernyataan Majemuk

19. Tautologi
1. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu
benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari
pernyataan-pernyataan komponennya.
p q p  q (p  q) p [(p  q ) p]  q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
S
S
B
B
B
B
νν
(1) (2) (4)(3) (5)
[(p  q) p]  q selalu benarν
2. Implikasi logis adalah sebuah tautologi yang memuat
pernyataan implikasi.

20. Dua Buah Pernyataan Majemuk
yang Ekuivalen
1. Tautologi yang berbentuk a  b dinamakan
ekuivalen logis dan dituliskan dengan
lambang a  b (dibaca: a ekuivalen b).
2.Dua buah pernyataan majemuk dikatakan
ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk
itu mempunyai nilai kebenaran yang sama
untuk semua kemungkinan nilai kebenaran
pernyataan-pernyataan komponennya.

21. 1. Sifat Komutatif
a) p v q  p q
b) p q  p v q
ν
ν
Ingkaran dan Disjungsi, Konjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi
2. Sifat Asosiatif
a) (p v q) v r  p v (q v r)
b) (p q) r  p (q r)
ν ν ν ν
3. Sifat Distributif
a) Distributif disjungsi terhadap konjungsi.
p v (q r)  (p v q) (p v r)
b) Distributif konjungsi terhadap disjungsi.
p (q v r)  (p q) v (p r)
νν
ν ν ν
ν
νa) ~(p v q)  (~p ~q)
b) ~(p q)  (~p v ~q)
Hukum de Morgan
c) ~(p  q)  (p ~q)
d) ~(p  q)  (p ~q) v (~q ~p)
ν
ν ν

22. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
p  q q  p ~p  ~q ~q  ~p
B
S
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B
p q ~p ~q
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
(1) (2) (4)(3)
Kesimpulan dari tabel tersebut:
1. Implikasi tidak ekuivalen dengan konversnya.
2. Implikasi tidak ekuivalen dengan inversnya.
3. Implikasinya ekuivalen dengan kontraposisinya.
4. Konvers ekuivalen dengan invers dari sebuah implikasi

23. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Kuantor Universal
U B
A
Pernyataan berkuantor universal “Semua A adalah B” ekuivalen
dengan pernyataan implikasi “Jika x  A, maka x  B.
Contoh
“Semua penyanyi dangdut berparas cantik”,
ekuivalen dengan “jika Eli penyanyi dangdut,
maka ia berparas cantik”.

24. Kuantor Universal
S
A
B
Pernyataan berkuantor eksistensial “Berapa A adalah
B” ekuivalen dengan “Sekurang-kurangnya ada sebuah
x  A, maka x  B”.
Contoh
“Beberapa kuda berwarna coklat”, ekuivalen
dengan “Sekurang-kurangnya ada sektor
kuda yang berwarna coklat”.

25. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Universal
~ [  x, p(x)]   x, ~p(x)
Dibaca: ingkaran dari “untuk semua x yang berlaku p(x)”
ekuivalen “ ada x yang bukan p(x)”.
Contoh
Pernyataan  x  R, x + 3 = 4 merupakan pernyataan salah.
Ingkarannya ditentukan dengan menggunakan hubungan
~( x  R, x + 3 = 4)  x  R, x + 3  4

26. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Ekstensial
~ [ x, p(x)]   x, ~p(x)
Dibaca: ingkaran dari “ada x yang berlaku p(x)”
ekuivalen dengan “untuk semua x yang bukan p(x)”.
~( x  R, x + 4 = 1)  x  R, x + 4  1
Pernyataan  x  R, x + 4 = 1 merupakan
pernyataan benar.
Contoh

27. PERNYATAAN
BERKUANTOR INGKARAN
 x, ~p(x) x, ~p(x)
Semua X adalah Y Beberapa X bukan Y
atau
Tidak semua X adalah Y
x, ~p(x)  x, ~p(x)
Beberapa X adalah Y Semua X bukan Y
atau
Tidak ada (tiada) X yang
merupakan Y
atau
Jika x adalah X, maka x bukan Y

28. SILOGISME, MODUS PONENS, DAN
MODUS TOLLENS
1. Silogisme, modus ponens, dan modus tollens adalah
metode atau cara yang digunakan dalam penarikan
kesimpulan.
2. Proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa
pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya
(disebut premis).
3. Kemudian, dengan menggunakan prinsip-prinsip logika
dapat diturunkan pernyataan baru (disebut
kesimpulan/konklusi) yang diturunkan dari premis-
premis semula.
4. Penarikan kesimpulan seperti itu sering juga disebut
argumentasi.

29. Prinsip-prinsip Logika dalam
Proses Penarikan Kesimpulan
1. Argumentasi dikatakan berlaku atau sah:
jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi
konklusi.
Suatu argumentasi dikatakan sah jika premis-
premisnya benar, maka konklusinya juga benar.
2. Argumentasi dikatakan tidak berlaku atau tidak sah:
jika konjungsi dari premis-premisnya tidak
berimplikasi konklusi.

30. Silogisme
p  q …………. premis 1
q  r ………... premis 2
p  r …………. kesimpulan/konklusi
ν ν
p q r p  q q  r p  r (p  q) q  r (p  q) (q  r) (p  r )
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
B
S
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
[(p  q) (q  r)]  (p  r)
ν
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

31. Modus Ponens
Misalkan diketahui premis-premis p  q dan p. Dari premis-premis itu
dapat diambil konklusi q. Pengambilan kesimpulan seperti itu disebut
modus ponens atau kaidah pengasingan.
p  q …………. premis 1
p …………. premis 2
 q …………. kesimpulan/konklusi
[(p  q)  p]  q
ν
p q p  q p  q p [(p  q)  p]  q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
S
S
B
B
B
B
ν ν
(1) (2) (3 (4) (5)

32. Modus Tollens
Misalkan diketahui premis-premis p  q dan ~q. Dari premis-premis
itu dapat diambil konklusi ~p. Pengambilan kesimpulan seperti itu
disebut modus tollens atau kaidah penolakan akibat.
[(p  q)  ~q]  ~pν
p  q …………. premis 1
~q …………. premis 2
 ~p …………. kesimpulan/konklusi
p q ~p ~q p  q p  q ~q [(p  q)  ~q]  ~p
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
B
B
S
S
S
B
B
B
B
B
ν ν
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)