OPTIMASI FUNGSI

Click to edit Master title style
1
OPTIMASI :
FUNGSI DENGAN
SATU VARIABEL
PERUBAH

2
Dalam fungsi non linier sering
ditemui titik ekstrim , terutama
titik maksimum dan minimum.
Titik ini sangat penting untuk
menentukan arah grafik,
S u b t i t l e
2

3
Titik ekstrim merupakan yang pertamabahan
fungsinya mencapai posisi terendah dan
kemudian menurun atau sebaliknya. Titik ekstrim
ini merupakan titik stasioner. Titik ekstrim dapat
berupa titik maksimum atau titik minimu. Syarat
utama titik ekstrim ini adalah turunan atau
diferensial fungsinya sama dengan nol ( dy/dx =
0 ).
3
Pengertian Titik Ekstrim

4
Suatu fungsi berlaku untuk batas-batas tertentu y =
f(x) dimana a ≤ x ≤ b, mempunyai kemiringan ke bawah
seperti pada gambar 1.1. Maka, fungsi tersebut
dinakaman fungsi yang menurun (decreasing
function). Dalam hal ini nilai fungsi y menurun pada
saat nilai x bertamab, sehingga kemiringan kurva yaitu
dy/dx = tg α < 0, Sebaliknya apabila fungsi itu
mempunyai kemiringan ke atas atau meningkat seperti
pada gambar 1.2. Fungsi tersebut dinamakan fungsi
yang menaik ( increasing function). Dalam hal ini nilai
fungsi y menaik pada saat nilai x bertambah sehingga
kemiringan kurva yaitu dy/dx = tg α >0
4

5
Gambar 1.1
5
x
a b
y
Y =f(x)
Gambar 1.2. Grafik
fungsi menurun

6
Gambar 1.2
6
x
a b
y Y =f(x)
Gambar 1.1. Grafik
fungsi menaik

7
Dalam batas-batas a dan b itu, fungsi f(x)
terebut akan mempunyai nilai fungsi y
tertinggi/maksimum, dan nilai fungsi y
yang terendah/minimum. Dengan begitu,
ada dua istilah yang perlu kita ketahui,
yaitu
1. absolut maksimum/minimum
2. relative maksimum/minimum.
7

8
Absolut Maksimum
8
Ialah titik dimana nilai fungsi y adalah paling
tinggi dari seluruh nilai fungsi yang ada. Jadi,
fungsi f(x) mempunyai nilai fungsi yang absolut
maksimum pada nilai x = x0 dalam batas-batas a
≤ x ≤ b jika fungsi f(x) tersebut mempunyai nilai
y yang paling tinggi atau f(x0) ≥ f(x).
Demikian pula sebaliknya dengan absolut
minimum, yaitu titik berupa nila fungsi y adalah
paling rendah dari seluruh nilai fungsi y yang
ada. Jadi f(x0) ≤ f(x)

9
Relatif Maksimum
9
Ialah titik dimana nilai fungsi y adalah terbesar
dibandingkan dengan nilai x yang lain yang
berdekatan/sekitarnya. Fungsi f(x) mempunyai
nilai fungsi yang relatif maksimum pada nilai x
= x1 dalam batas-batas a ≤ x ≤ b Jadi fungsi f(x)
tersebut mempunyai nilai yang terbesar pada
x=x1 apabila dibandingkan dengan nilai x yang
lain yang berdekatan /sekitarnya. Dengan kata
lain f(x1 - Δx) ≤ f(x) ≥ f(x1 + Δx).

10
Relatif Minimum
10
Sebaliknya Relatif minimu yaitu
titik dimana nilai fungsi y adalah
yang terkecil dibandingkan
dengan nilai x yang lain yang
berdeketan/sekitarnya.
Jadi f(x1 - Δx) ≥ f(x) ≤ f(x1 + Δx).

11
Opimasi fungsi mencari titik optimuam
(maksimum/minimum) atau titik stationer
kurva. Aplikasinya termasuk
menentukannilai maksimum/minimum
fungsi, missal profit, biaya, utility dan
produksi, titik yang dimaksud dapat dilihat
pada grafik berikut.
11

12
12
Titik maksimum
dy/dx = 0
dy/dx = 0
dy/dx = 0
dy/dx = 0
Titik minimum
A
B
C
D
Y
X
Gambar. Titik maksimum dan minimum

13
Berdasarkan Gambar diatas :
Titik A,B,C,dan D disebut titik stationer
Titik A dan B disebut titik balik maksimum atau titik maksimum
Titik C dan D disebut titik balik minimum atau titik minimum
Pada titik stationer slope = dy/dx =f ‘ (x) = 0.
Tabel 1. Titik maksimum dan Minimum
13
Terminologi Titik Penjelasan
Lokal minimum C Titik terendah pada suatu interval
Lokal maksimum B Titik tertinggi pada suatu interval
Global minimum D Titik terendah pada kurva
Global maksimum A Titik tertinggi pada kurva

14
Menentukan Titik Balik
14
• Jika dx/dx = 0 tidak memeiliki suatu
penyelesaian, maka tidak ada titik balik.
• Jika dy/dx = 0, memiliki penyelesaian,
maka x = c kemungkinan merupakan titik
balik atau titik belok.
• Jika benar merupakan titik balik, maka
dy/dx = 0.

15
15
Contoh :
Diberikan fungsi y = f(x) = 1/x
Tentukanlah : Apakah memiliki titik balik
Penyelesaian :
Y = f(x) = 1/x
dy/dx = f ‘ (x) = - 𝑥−2
dy/dx = 0
0 = - 𝑥−2
Y = f(x) = 1/x tidak memiliki titik balik.

16
16
Contoh :
Diberikan fungsi y = f(x) = 𝑥2
-10x + 26
Tentukanlah : Apakah memiliki titik balik
Penyelesaian :
Y = f(x) = 𝑥2
-10x + 26
dy/dx = f ‘ (x) = 2x -10
dy/dx = 0
0 = 2x - 10
X = 5 ; titik balik, Y = f(x) = 10x - 𝑥2
adalah di x = 5

17
17

18
18

19
19

20
Jenis Titik Balik Fungsi
20
1. Titik balik minimum Fungsi
a. Jika y = f(x) fungsi turun, maka
y’ = f’(x) < 0 dan y” = f”(x) < 0
b. Jika y = f(x) fungsi naik, maka
y’ = f’(x) > 0 dan y” = f”(x) > 0
2. Titik balik Maksimum fungsi
a. Jika y = f(x) fungsi naik, maka
y’ = f’(x) > 0 dan y” = f”(x) > 0
b. Jika y = f(x) fungsi turun, maka
y’ = f’(x) < 0 dan y” = f”(x) < 0

21
21
Fungsi Turun Fungsi Naik

22
Gambar 1.3. Garif fungsi f(x) y = (x – 1)²(5 – 2x)
22
A ( 0,5 )
C ( 2, 1 )
B ( 1,0 )
4
3
2
1
1 2 3
y
x

23
Dalam grafik seperti terdapat pada gambar
1.3, dalam batas a ≤ x ≤ b, titik
maksimumnya adalah
1. Titik A adalah titik absolut maksimum
2. Titik B adalah titik relative minimum
3. Titik C adalah titik relative maksimum
4. Titik D adalah titik absolut minimum
23

SKETSA FUNGSI NAIK DAN TURUN
Dari grafik di atas, fungsi bergerak naik dari lokasi A ke B, kemudian
bergerak turun dari B ke C. Fungsi f(x) disebut fungsi naik dalam daerah
interval a < x < b. Fungsi dikatakan naik apabila x makin bertambah (ke
kanan), maka nilai f(x) atau y semakin bertambah. Sedangkan fungsi f(x)
disebut fungsi turun dalam daerah interval b < x < c. Fungsi dikatakan turun
apabila nilai x makin bertambah (ke kanan), maka nilai g(x) atau nilai y
semakin berkurang.

Fungsi Naik dan Fungsi Turun
a. f’(x) > 0 untuk ∀𝑥 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 (𝑎, 𝑏), maka f adalah fungsi
naik pada interval (a,b)
b. f’(x) < 0 untuk ∀𝑥 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 (𝑎, 𝑏), maka f adalah fungsi
turun pada interval (a,b)
c. f’(x) = 0 untuk ∀𝑥 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 (𝑎, 𝑏), maka f adalah fungsi
naik pada interval (a,b)

SIFAT DAN GRAFIK FUNGSI
 Sifat dan grafik fungsi suatu kurva f(x) dapat ditentukan
dengan turunan.
 Sifat-sifat fungsi pada interval tertentu:

1. Tentukan interval agar fungsi
f(x) = 𝑥2
+ 10𝑥 − 5 naik atau turun?
 Fungsi naik jika f’(x) > 0
f(x) = 𝑥2
+ 10𝑥 − 5
f’(x) > 0
2x + 10 > 0
2x > -10
x > -5
 Fungsi turun jika f’(x) < 0
f(x) = 𝑥2 + 10𝑥 − 5
f’(x) < 0
2x + 10 < 0
2x < -10
x < -5

2. Tentukan interval agar fungsi f(x) =
1
3
𝑥3
−
3
2
𝑥2
− 4𝑥 + 5 naik dan turun?
 Fungsi naik jika f’(x) > 0
f(x) =
1
3
𝑥3
−
3
2
𝑥2
− 4𝑥 + 5
 f’(x) > 0
𝑥2 − 3𝑥 − 4 > 0
(x-4)(x+1) > 0
x > 4 v x < -1
 Fungsi turun jika f’(x) < 0
f(x) =
1
3
𝑥3
−
3
2
𝑥2
− 4𝑥 + 5
 f’(x) < 0
𝑥2 − 3𝑥 − 4 < 0
(x-4)(x+1) < 0
-1 < x < 4

3. Tunjukkan secara aljabar bahwa fungsi
f(x) = 𝑥3
− 3𝑥2
+ 3𝑥 − 10 tidak pernah turun
 Karena Fungsi f(x) tidak pernah turun
berarti termasuk fungsi naik, maka
Fungsi naik jika f’(x) ≥ 0
3𝑥2 − 6𝑥 + 3𝑥 ≥ 0
Kedua ruas dibagi 3, sehingga
𝑥2-2x+1 ≥ 0
(x−1)2
≥ 0
x -1 ≥ 0
x ≥ 1

4. Tentukan secara aljabar fungsi
f(x) = −2𝑥3
− 3𝑥2
+ 12𝑥 selalu turun
 Karena Fungsi f(x) selalu turun berarti termasuk
fungsi turun, maka
Fungsi turun jika f’(x) < 0
-6𝑥2 − 6𝑥 + 12 < 0
Kedua ruas dibagi -6, sehingga
𝑥2
+ x − 2 > 0
(x + 2)(x – 1) > 0
x< -2 v x > 1

STASIONER
 Sebelumnya, telah dipelajari
hubungan antara turunan fungsi
dengan fungsi naik atau fungsi
turun. Lalu bagaimanakah
hubungan turunan fungsi dengan
fungsi konstan? Untuk
mengetahuinya, kita cermati dulu
gradien garis singgung (m) pada
gambar berikut ini.

Pada kurva A, fungsi berhenti turun dan mulai
naik setelah titik A. Sedangkan pada kurva B,
fungsi berhenti naik untuk sementara dan
mulai naik lagi setelah titik B. Titik A dan
titik B disebut titik stasioner.

TITIK STASIONER
 Titik stasioner adalah titik tempat
fungsi berhenti naik atau turun
untuk sementara, yaitu mempunyai
gradien sama dengan nol
 Syarat stasioner adalah f’(x) = 0
atau
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0

JENIS STASIONER
 Misalkan, f’(x) = 0 untuk suatu konstanta a, maka titik
stasioner terjadi ketika x = a dan y = f (a), sehingga
koordinat titik stasionernya (a, f(a)).
 Jenis titik stasioner juga dapat ditentukan dari turunan
kedua fungsi (f’’(x)).
1) Jika pada suatu titik f’(x) = 0 dan f’’(x) ≠ 0, maka titik itu
adalah titik balik.
a. Titik balik maksimum bila f’’(x) < 0.
b. Titik balik minimum bila f’’(x) > 0.
2) Jika pada suatu titik f’(x) = 0 dan f’’(x) = 0, maka titik itu
adalah titik belok yang jenisnya diuji dengan turunan pertama
fungsi (f’(x)).

JENIS STASIONER
1. Titik balik maksimum pada
titik x = a
 jika x < a, maka f ' (x) > 0
 Jika x > a, maka f ' (x) < 0
2. Titik balik minimum pada titik
x = a
 Jika x < a, maka f ' (x) < 0
 Jika x > a, maka f ' (x) > 0

JENIS STASIONER
3. Titik belok stasioner positif
pada titik x = a
 Jika x < a, maka f ' (x) > 0
 Jika x > a, maka f ' (x) > 0
4. Titik belok stasioner negatif
pada titik x = a
 jika x < a, maka f ' (x) < 0
 Jika x > a, maka f ' (x) < 0

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM
 Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi kurva f(x)
pada suatu interval dapat ditentukan dengan turunan.
 Langkah-langkah menentukan nilai maksimum dan
minimum fungsi f(x) pada interval a ≤ x ≤ b:
1) Tentukan nilai titik a dan titik b (f(a) dan f(b)),
2) Tentukan titik-titik dan nilai-nilai stasioner pada
interval tersebut,
3) Tentukan mana nilai terbesar (maksimum) dan nilai
terkecil (minimum) dari semua nilai di atas dengan
mensubstitusi nilai tersebut ke persamaan awal

SOAL-SOAL PEMBAHASAN
1. Tentukan titik stasioner
dari kurva y = 𝒙𝟐
– 3x +5!
f ' (x) = 2x – 3
Syarat stasioner: f ' (x)
= 0
2x – 3 = 0
2x = 3
x =
3
2
Jadi, titik stasionernya
adalah
3
2
2. Tentukan koordinat titik stasioner
dari kurva y = x3 – 6x2 + 9x + 2!
 y = x3 – 6x2 + 9x + 2
 y ' = 3x2 – 12x + 9
 Syarat stasioner y’= 0
Sehingga 3x2 – 12x + 9 = 0
(3x – 3) (x – 3) = 0
3x – 3 = 0 atau x – 3 = 0
3x = 3 x = 3
x = 1
untuk x = 1 o y = 13 – 6. 12 + 9. 1 + 2 = 6
untuk x = 3 o y = 33 – 6. 32 + 9. 3 + 2 = 2
Jadi, koordinat titik stasionernya (1,6)
dan (3,2).

3. Tentukan titik stasioner dan jenisnya
dari fungsi f(x) = 2𝑥3
− 9𝑥2
+ 12𝑥
Fungsi awal : f (x) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥
f '(x) = 6𝑥2 - 18x +12
 f’’(x) = 12x -18
Syarat stasioner f’(x) = 0
6(𝑥2 - 3x +2) = 0
Kedua ruas bagi 6
𝑥2 - 3x +2 = 0
(x-2)(x-1) = 0
x= 2 v x = 1
Utk x = 1 => f(1) =2. 13
− 9. 12
+ 12.1 =
5, jadi T1 (1,5)
Utk x = 2 => f(2) = 2. 23 − 9. 22 + 12.2 =
4, jadi T2 (2,4)
 Menentukan jenis
stasioner: gunakan turunan
kedua
Utk x = 1 => f’’(1) =12-18 = -6
Karena -6 < 0 maka T1(titik
balik maksimum)
Utk x = 2 => f’’(2) = 24 – 18= 6
Karena 6>0 maka T2(2,4) titik
balik minimum

4. Fungsi f (x) = a𝑥3
+ b𝑥2
memiliki titik
stasioner (1, -1) tentukan nilai a dan b.
 f (x) = a𝑥3 + b𝑥2
f '(x) = 3a𝑥2
+ 2bx
 Syarat stasioner f '(x) = 0
3a𝑥2 + 2bx = 0 ,
untuk x = 1  3a.12 + 2b.1 = 0  3a + 2b = 0 (...1)
Titik stasioner (1, -1) maka
f (1) = a.13
+ b.12
-1 = a.13 + b.12  -1 = a + b  b = -a-1 (...1)
Subs b = -a-1 ke pers. 1, diperoleh
3a + 2(-a-1) = 0  3a -2a +2 = 0
a + 2 = 0  a = -2
b= -a - 1 = -2 – 1 = -3

5. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi
f(x) = 2𝑥3 - 15𝑥2 + 36x dalam interval 1≤ 𝑥 ≤ 5
 Fungsi awal: 2𝑥3
- 15𝑥2
+ 36x
 f’(x) = 6𝑥2
- 30x + 36 dan f’’(x) = 12x-30
 Menentukan nilai x dari syarat stasioner: f’(x) = 0
 f '(x) = 6𝑥2 - 30x + 36 = 0
6 (x - 2)(x - 3) = 0 (kedua ruas bagi 6)
(x - 2)(x - 3) = 0
x = 2 atau x = 3
Jadi x = [1,2,3,5]
Menentukan nilai fungsi pada x =[0,1,3, 5] ke pers awal
Untuk x = 2 maka f (2) = 2. 23 -15. 22 + 36.2 = 28
Untuk x = 3 maka f (3) = 2.33 -15.32 + 36.3 = 27

Lanjutan
 Menentukan nilai f (1) dan f (5)
 f (1) = 2. 13 -15. 12 + 36.1 = 23 dan
 f (5) = 2. 53 -15. 52 + 36.5 = 55
Dari nilai- nilai tersebut dapat kita lihat
bahwa nilai maksimumnya adalah 55 dan
nilai minimumnya adalah 23.

6. Tentukan nilai maksimum dari fungsi
f(x)= -𝑥2
+ 4𝑥 + 3
 Fungsi awal : f(x)= -𝑥2
+ 4𝑥 + 3
f’(x) = -2x + 4 dan f’’(x) = -2
 Menentukan nilai x dari syarat stasioner: f’(x) = 0
f’(x) = 0  -2x + 4 = 0  -2x = -4  x = 2
 Menentukan jenis stasioner: gunakan turunan kedua
Utk x = 2 => f’’(2) = -2 (negatif) jenisnya maksimum dan x = 2
menyebabkan fungsinya maksimum
 Menentukan nilai maksimum saat x = 2, subsitusi ke fungsi awal
f maks = f(2) = -(2)2+4.2 + 3 = 7
Jadi nilai maksimum 7 diperoleh saat x = 2

7. Tentukan nilai minimum fungsi
f(x) =
1
3
𝑥3
+
1
2
𝑥2
− 2𝑥 + 3
 Fungsi awal f(x) =
1
3
𝑥3 +
1
2
𝑥2 − 2𝑥 + 3
f’(x) = 𝑥2 + 𝑥 − 2 dan f’’(x) = 2x + 1
 Menentukan nilai x dari syarat stasioner f’(x) = 0
f’(x) = 0  𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0
 (x+2)(x-1)= 0  x = -2 v x = 1
 Menentukan jenis stasioner gunakan turunan kedua
Utk x = -2 => f’’(-2) = 2(-2) +1= -3 (negatif) jenisnya maks
Utk x = 1 => f’’(1) = 2(1) + 1 = 3 (positif) jenisnya min
 Menentukan nilai min saat x = 1 subs ke pers awal
f min = f(1)=
1
3
13 +
1
2
12 − 2.1 + 3 =
11
6

8. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi
f(x) = 𝑥3
- 6𝑥2
+ 12x - 6 dalam interval 0 ≤ 𝑥 ≤ 3
 Fungsi awal f x = 𝑥3− 6𝑥2 + 12x – 6
f’(x) = 3𝑥2
− 12𝑥 + 12 dan f’’(x) = 6x – 12
 Menentukan nilai x dari syarat stasioner f’(x) = 0
f’(x) = 0  3𝑥2 − 12𝑥 + 12 = 0 (kedua ruas bagi 3)
𝑥2
− 4𝑥 + 3 = 0  (x-3)(x-1)  x = 3 v x = 1
Menentukan nilai fungsi pada x =[0,1,3] ke pers awal
f(0) = 03
- 6(0)2
+ 12.0 – 6 = -6 (min)
f(1) = 13 - 6(1)2 + 12.1 – 6 = 1-6+12-6 = 13 (maks)
f(3) = 33 - 6(3)2 + 12.3 – 6 = 27-54+36-6 = 3

OPTIMASI FUNGSI

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to OPTIMASI FUNGSI

Similar to OPTIMASI FUNGSI (20)

More from UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH BERAU

More from UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH BERAU (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (18)

OPTIMASI FUNGSI

Editor's Notes