Dokumen tersebut membahas tentang fungsi non-linear khususnya fungsi kuadrat. Dijelaskan bahwa fungsi kuadrat memiliki bentuk grafik parabola dan dapat memiliki nilai ekstrim minimum atau maksimum tergantung nilai koefisien a. Selanjutnya dijelaskan pula bagaimana menentukan titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x dan y berdasarkan nilai diskriminan. Diberikan juga contoh soal untuk mengg

1. MATEMATIKA EKONOMI TOPIK BAHASAN: FUNGSI NON LINEAR Oleh : Dani Rizana

2. www.themegallery.com
Fungsi kuadrat ialah pemetaan dari himpunan bilangan nyata R ke dirinya sendiri yang dinyatakan dengan:
f(x) = y = ax2 + bx + c
dengan a, b, c  R dan a  0
Bentuk grafik fungsi kuadrat adalah parabola
Fungsi kuadrat

3. www.themegallery.com Berdasarkan Nilai a
i.Jika a > 0 (positif), maka grafik atau parabola terbuka keatas. Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim minimum, dinotasikan 풚풎풊풏
ii.Jika a < 0 (negatif), maka grafik atau parabola terbuka kebawah. Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim maksimum, dinotasikan 풚풎풂풙

4. www.themegallery.com Berdasarkan Nilai Diskriminan (D) D = 풃ퟐ- 4ac
i.Jika D > 0, maka grafik memotong sumbu x didua titik yang berbeda
ii.Jika D = 0, maka grafik menyinggung sumbu x di (x, 0) disebuah titik.
iii.Jika D < 0, maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x.

5. Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X X
(i)
X (ii) X
(iii)
a > 0 D > 0 a > 0 D = 0 a > 0 D < 0
X
(iv) X (v)
a < 0
D > 0
a < 0 D = 0 X (vi)
a < 0
D < 0
5

6. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat Langkah-langkahnya :
1.Menentukan titik potong dengan sumbu x dengan syarat y = 0 Dapat Mengunakan Rumus abc: 풙ퟏ,ퟐ= −풃±풃ퟐ−ퟒ풂풄 ퟐ풂
2.Menentukan titik potong dengan sumbu y dengan syarat x = 0
3.Menentukan sumbu simetri x=− 풃 ퟐ풂 4.Menentukan koordinat titik balik /titik puncak (− 풃 ퟐ풂 ,− 푫 ퟒ풂 )
5.Menentukan beberapa titik lain atau titik bantu bila perlu

7. www.themegallery.com
Contoh: Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = 풙ퟐ -4x – 5 ! 1.Titik potong dengan sumbu x (y =0) 풙ퟐ -4x – 5 = 0  (x + 1)(x – 5) = 0  x = -1 atau x = 5 jadi titik potong grafik dengan sumbu x adalah (-1, 0) dan (5, 0) 2. Titik potong dengan sumbu y (x = 0) y = ퟎퟐ -4.0 – 5  y = -5 jadi titik potong grafik dengan sumbu y adalah (0, -5)
Penyelesaian:

8. 3. Menentukan sumbu simetri x = − 풃 ퟐ풂 =− (−ퟒ) ퟐ.(ퟏ) = 2 4. Menentukan koordinat titik balik/puncak x = − 풃 ퟐ풂 =− (−ퟒ) ퟐ.(ퟏ) = 2 y = − 푫 ퟒ풂 =− −ퟒퟐ−ퟒퟏ−ퟓ ퟒퟏ =−ퟗ Jadi Titik Puncak: P (2, -9) 5. Menentukan Titik bantu Misal : x = 1  y = ퟏퟐ -4.1 – 5 = -8 x = 3  y = ퟑퟐ -4.3 – 5 = -8 x = 4  y = ퟒퟐ -4.4 – 5 = -5

9. www.themegallery.com Gambar grafiknya
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Sumbu y
Sumbu x

10. LATIHAN SOAL
1.y = -x2 + 5x – 4
2.y = x2 - 8x – 48
3.y= 36 - x2
4.y= 2x2 - 8x – 5
Gambarkan Fungsi kuadrat dibawah ini :

11. www.themegallery.com KESEIMBANGAN PASAR Keseimbangan pasar terjadi ketika jumlah permintaan sama dengan jumlah penawaran atau Qd = Qs, harga yang tercipta pada keseimbangan pasar merupakan harga keseimbangan (Pe). Contoh: Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran sejenis barang adalah: D: P = Q2 – 7Q + 12 S: P = Q2 + 3Q + 2 Tentukan keseimbangan pasarnya dan gambarkan kurvanya.

12. www.themegallery.com
Jawab:
Pada keseimbangan pasar berlaku Qd = Qs atau Pd = Ps, sehingga keseimbangan pasar dapat diselesaikan dengan substitusi:
↔ Q2 – 7Q + 12 = Q2 + 3Q + 2
↔ 10Q = 10
↔ Q =1
dan P dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai Q = 1 ke dalam fungsi permintaan atau fungsi penawaran, sehingga diperoleh nilai P sebagai P = (1)2 + 3(1) + 2 =6.
Jadi keseimbangan pasar tercapai pada E(1,6)

14. LATIHAN SOAL:
1.Fungsi Permintaan All New Toyota Yaris ditunjukkan oleh Persamaan Qd = 19 – P² sedangkan penawarannya Qs = -8 + 2P². Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan All New Toyota Yaris yang tercipta di pasar?
2.Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar secara aljabar dan geometri dari fungsi permintaan dan penawaran berikut: a. Q = 16 – 2P dan 4Q = 4P + P2 b. P = 16 - Q2 dan P = 4 + Q c. Q = 9- P2 dan Q = P2 +2P-3

15. www.themegallery.com Dari Latihan Soal nomor 1 : Jika misalnya Produk All New Toyota Yaris dikenakan pajak spesifik sebesar 1 USD per unit, maka persamaan sesudah pajak adalah: Qs = -8 + 2 (P-1 )² = -8 + 2(P² – 2P + 1) = -6 – 4P + 2 P² Keseimbangan pasar yang baru ? Qd = Qs 19 – P² = -6 - 4P + 2P² 3P² - 4P -25 = 0 Dengan rumus abc diperoleh: P1= 3, 63 dan P2 = - 2,30 sehingga P2 = - 2,30 tidak digunakan karena harga negatif adalah irrasional Dengan memasukkan P1= 3, 63 kedalam persamaan Qd atau Qs maka di peroleh Q = 5, 82 Jadi , dengan adanya Pajak maka P’e= 3, 63 dan Q’e = 5, 82
Selanjutnya dapat di hitung beban Pajak yg ditanggung konsumen dan produsen per unit barang, serta pajak yang diterima oleh Pemerintah:
 tK = P’e - Pe = 3, 63 - 3 = 0, 63
 tP = t – tK = 1 – 0,63 = 0, 37
 T = Q’e X t = 5, 82 X 1 = 5, 82

16. www.themegallery.com FUNGSI BIAYA Selain pengertian biaya tetap, biaya variabel dan biaya total, dalam konsep biaya dikenal pula pengertian biaya rata-rata (Avarage Cost) dan Biaya Marginal (Marginal Cost). Biaya rata-rata adalah Biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit produk, yang merupakan hasil bagi biaya total terhadap jumlah produk yang dihasilkan. Biaya Marginal adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk

17.  
TC FC VC k f (Q) c(Q)
VC f Q vQ
FC k
    
 

퐴퐹퐶 =
퐹퐶
푄
퐴푉퐶 =
푉퐶
푄
퐴퐶 =
퐶
푄
= 퐴퐹퐶 + 퐴푉퐶
푀퐶 =
Δ퐶
Δ푄
Biaya tetap
Biaya Variabel
Biaya Total
Biaya tetap rata-rata
Biaya variabel rata-rata
Biaya rata-rata
Biaya Marginal

18. Bentuk non linear fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat, Andaikan → 푪=풂푸ퟐ−풃푸+풄 푽푪 푭푪 Sehingga :
퐴퐶= 퐶 푄 = 푎푄2−푏푄+푐 푄 =푎푄−푏+ 푐 푄
퐴푉퐶= 푉퐶 푄 = 푎푄2−푏푄 푄 =푎푄−푏 퐴퐹퐶= 퐹퐶 푄 = 푐 푄

19. C c 0 C FC
VC
Q (a) AFC AC AVC Q 0
-b
(b) Karena C dan VC berbentuk parabola maka, dengan memanfaatkan rumus titk ekstrim parabola, dapat dihitung tingkat produksi (Q) pada C minimum dan VC minimum serta besarnya C minimum dan VC minimumnya. C dan VC yang berbentuk parabola membawa konsekuensi AC dan AVC berbentuk linear; sementara AFC asimtotik terhadap kedua sumbu C dan sumbu Q, sebab FC linear. Perhatikan gambar a, C minimum ≠ VC minimum. Hanya jika FC  c = 0, maka C minimum = VC minimum. Selanjutnya perhatikan gambar b, AC = AFC pada posisi Q dimana AVC = 0.

20. Contoh Soal: Biaya total yang dikeluarkan PT. GALAU ABADI di tunjukkan oleh persamaan C = 2 Q² - 24 Q + 102. Pada tingkat produksi berapa unit biaya total ini minimum? Hitunglah besarnya biaya tetap, biaya variabel, biaya rata-rata, biaya tetap rata-rata dan biaya variabel rata-rata pada tingkat produksi tadi. Seandainya dari kedudukan ini produksi dinaikkan 1 unit, berapa besarnya biaya marjinal? Berdasarkan rumus titik ekstrim parabola, C minimum terjadi pada kedudukan 푄=− 푏 2푎 = 242.2=6 Besarnya C minimum = 2 Q² - 24 Q + 102 = 2 (6)² - 24 (6) + 102 = 30 C minimum juga dapat dicari dengan rumus ordinat titik ekstrim parabola, yaitu : ( b² – 4ac) = (24² – 4.2.102) = -240 = 30 - 4a -4.2 -8

21. Selanjutnya pada Q = 6 maka FC = 102 VC = 2 Q² - 24 Q = 2 (6)² - 24 (6) = - 72 AC = VC = 30 = 5 Q 6 AFC = FC = 102 = 17 Q 6 AVC = VC = -72 = -12 Q 6 Jika Q = 7 (karena dinaikan 1 unit) maka C = 2 (7)² - 24 (7) + 102 = 32 MC = ΔC = 32 -30 =2 ΔQ 7 – 6 Berarti untuk menaikkan produksi dari 6 unit menjadi 7 unit diperlukan biaya tambahan (biaya marjinal) sebesar 2 USD

22. www.themegallery.com PENERIMAAN TOTAL Penerimaan total dari suatu perusahaan (produsen) adalah hasil kali antara harga per unit produk dengan jumlah produk yg dijual : TR = PQ Dimana : TR = Penerimaan Total Q = jumlah Produk yg dijual P = Harga produk /unit Bentuk Fungsi Penerimaan Total ( Total Revenue, R) yang non –linear pada umummnya berupa sebuah persamaan parabola terbuka kebawah. Ini merupakan bentuk fungsi penerimaan yang lazim dihadapi produsen yang beroperasi di pasar monopoli.
Jika fungsi permintaan dinyatakan oleh P = b-aQ, maka akan diperoleh persamaan penerimaan total:
TR = P . Q
TR = (b-aQ).Q
TR = bQ - aQ2
Titik puncak persamaan diatas adalah (− 풃 ퟐ풂 ,− 푫 ퟒ풂 )

23. Penerimaan rata-rata ( Average Revenue, AR): Penerimaan yang diperoleh per unit barang, merupakan hasil bagi penerimaan total terhadap jumlah barang AR= 푅 푄 Penerimaan Marginal (Marginal Revenue, MR): penerimaan tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang yang dihasilkan atau terjual. MR= Δ푅 Δ푄

24. Diketahui fungsi permintaan P = 20-2Q, Tentukan fungsi penerimaan totalnya dan berapa penerimaan total maksimummnya serta gambarkan kurva permintaan dan penerimaan total dalam satu diagram! Contoh 1 : Penyelesaian : TR = P . Q TR = (20-2Q).Q TR = 20Q - 2Q2 TR maksimum = (− ퟐퟎ ퟐ.(−ퟐ) ,− ퟐퟎퟐ−ퟒ.−ퟐ.ퟎ ퟒ.(−ퟐ) )= (ퟓ,ퟓퟎ)

25. www.themegallery.com
Contoh 2:
Fungsi Permintaan PT. Pertamina, Tbk ditunjukkan oleh P = 900 – 1,5Q. Bagimana persamaan penerimaan totalnya? Berapa besar penerimaan total jika terjual barang sebanyak 200 unit dan berapa harga jual per unit? Hitunglah penerimaan marjinal dari penjualan sebanyak 200 unit menjadi 250 unit. Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum, dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut.!
Jawab: P = 900 – 1,5Q R = P x Q = (900 – 1,5Q)Q = 900Q – 1,5Q² Jika Q = 200, maka R = 900 (200) – 1, 5 (200)² = 120.000 P = 900 – 1, 5 (200) = 600 Atau P = R/Q = 120.000/ 200 = 600 Jika Q = 250, maka R = 900 (250) – 1, 5 (250)² = 131.250 MR = ΔR ΔQ MR = 131.250- 120.000 = 225 250 – 200

26. R = 900Q – 1,5Q² = -1,5 Q² + 900 Q R maksimum pada Q = -b/2a = -900/-3 = 300 Besarnya R maksimum = -1,5 (300)² + 900 (300) = 135.000 0 120rb R 200 300
600
135rb

27. Latihan : Jika fungsi permintaan adalah 3P = 1050 - Q, Tentukan:
a.Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum, dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut
b.Berapa besar penerimaan total jika terjual barang sebanyak 300 unit dan berapa harga jual per unit?
c.Hitunglah penerimaan marjinal dari penjualan sebanyak 300 unit menjadi 330 unit.

28. www.themegallery.com 0 C, R Q3 Q2
Q1
Q4 C= c (Q) TPP TPP R=r (Q) TPP= Titik Pulang Pokok (Break Event Point) Keuntungan, Kerugian dan Pulang Pokok

29. Keterangan Gambar:
Tingkat produksi Q1 dan Q4 mencerminkan keadaan pulang pokok (BEP) sebab, penerimaan total sama dengan pengeluaran biaya total, R = C. Area di sebelah kiri Q1 dan disebelah kanan Q4 mencerminkan keadaan rugi, sebab penerimaan total lebih kecil daripada pengeluaran total R < C. Sedangkan area diantara Q1 dan Q4 mencerminkan keadaan untung . Tingkat Produksi Q1 mencerminkan tingkat produksi yang memberikan penerimaan total maksimum.
Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih positif antara R dan C. Secara grafik, hal ini dituinjukkan oleh jarak antara kurva R dan kurva C, semakin lebar jarak positif tersebut semakin besar keuntungan yang diperoleh. Jarak positif terlebar antara kurva R dan kurva C terjadi pada posisi lereng (slope) dari kedua kurva itu sama besar, dan ini mencerminkan keuntungan terbesar atau maksimum.

30. Contoh Soal: Penerimaan Total yang diperoleh PT. LEBAY JAYA.Tbk saat terjadinya kenaikan harga BBM ditunjukkan persamaan R = -0,20Q²+150Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkan C = 0,20Q³-10Q² +10Q +1500. Hitunglah profit PT. LEBAY JAYA.Tbk jika dihasilkan dan terjual barang sebanyak 50 dan 70 unit. Jawab: π = R – C = -0,20Q² + 150Q – (0,40Q³ - 10Q² +10Q +50) = -0,40Q³ + 9,8Q² + 40Q - 50 Q = 50 → π = -0,20 (50)³ + 9,8 (50)² + 140(50) - 1500 = -25.000 + 24.000 +7000 – 1500 = 4500 ( keuntungan) Q = 60 → π = -0,20 (60)³ + 9,8 (60)² + 140(60) - 1500 = -43.200 + 35.820 + 8400 – 1500 = -480 ( kerugian)

31. Latihan Soal: Penerimaan Total yang diperoleh PT. QUANTUM JAYA.Tbk saat terjadinya kenaikan harga BBM ditunjukkan persamaan R = - 0,40Q²+100Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkan C = 10Q² +10Q +1500. Hitunglah profit PT. QUANTUM JAYA.Tbk jika dihasilkan dan terjual barang sebanyak 10 dan 5 unit.

32. www.themegallery.com TERIMAKASIH SELAMAT BELAJAR !!!