Metode dua fase digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier dengan variabel buatan. Terdiri dari dua tahap: (1) Fase pertama menetapkan harga variabel buatan menjadi nol, (2) Fase kedua memaksimalkan fungsi tujuan asli dengan mempertimbangkan kendala dan harga variabel sebenarnya. Contoh menunjukkan proses penyelesaian masalah program linier menggunakan metode dua fase hingga mendapatkan

1. METODE DUA FASE UNTUK
VARIABEL BUATAN
Metode dua fase (two-phase method)
adalah metode pemecahan persoalan
proglin atas 2 bagian, yaitu:

2. 1.
Fase pertama (fase I), yaitu: Mengusahakan
agar semua nilai variabel buatan menjadi
nol.
2.
Fase kedua (fase II), yaitu:
memaksimumkan fungsi tujuan Z yang
sesungguhnya dimulai dari suatu
pemecahan dasar yang fisibel baik memuat
vektor buatan dengan nilai variabel pada
tingkat nol atau tidak memuat vektor buatan
sama sekali.

3. Fase Pertama (fase I)
 Pada
fase pertama, variabel buatan diberi
koefisien harga (price) sebesar -1 bukan –M
seperti sebelumnya.
 Variabel
lainnya diberi kooefisien harga nol,
tanpa memperhatikan nilai koefisien aslinya.

4.  Dalam hal ini bukan membuat fungsi tujuan asli
Z maksimum akan tetapi membuat fungsi
tujuan Z* menjadi maksimum
 Apabila Z*maks =0, ini berarti kita sudah berhasil
mengusahakan semua nilai variabel buatan =0.
 Apabila Z* < 0, maka kita tidak berhasil
membuat nilai variabel buatan = 0. Jadi
persoalan proglin tidak mempunyai
pemecahan yang fisibel.
 Fase pertama berakhir setelah Z* = 0, maka
dapat dilanjutkan ke Fase dua.

5. Pada akhir fase pertama ada 3 kemungkinan
hasil:
1. Z*maks < 0, Satu atau lebih vektor buatan
berada dalam basis pada tingkat nilai yang
positif. Persoalan proglin yang asli tidak
mempunyai pemecahan fisibel
2. Z*maks = 0, tidak ada vektor buatan yang
berada dalam basis. Kita telah memperoleh
pemecahan dasar yang fisibel pada
persoalan proglin yang asli.
3. Z*maks > 0, Satu atau lebih vektor buatan
berada dalam basis pada tingkat nilai nol.
Kita telah me,peroleh pemecahan yang
fisibel pada persoalan proglin yang asli.

6. Fase kedua (Fase II)
 Apabial
fase I memberikan hasil sepert (2)
atau (3)kita lanjutkan ke fase II untuk
memperoleh pemecahan yang optimal.
 Pada Fase II setiap varabel Xj diberi
koefisien harga Cj yang sebenarnya dan nilai
koefisien harga nol pada setiap variabel
buatan yang berada dalam basis pada
tingkat nilai nol.

7. 
Pada fase ini fungsi tujuan (objektive
fungtion) yang harus dibuat maksimum ialah
fungsi tujuan asli Z bukan Z*.

Tabel pertama pada fase II adalah
merupakan tabel terakhir dari fase I,
perbedaannya adalah pada baris Zj –Cj;
dirubah untuk memperhitungkan perubahan
koefisien harga (change in the prices).
Baris Zj –Cj yang baru diperoleh dengan
rumus Z= CBXB, Zj –Cj = CBAj –Cj.

8. 

Seandainya fase I berakhir dengan hasil
(2), berarti tidak ada variabel buatan
dalam basis. Maka kita dapat memulai
fase II dengan pemecahan dasar fisibel
buat pemecahan proglin asli.
Akan tetapi jika berakhir dengan nhasil
(3), kita hrs memberikan perhatian kepada
variabel-variabel buatan yang berada
dalam basis pada tingkat nilai nol. Kita hrs
yakin bahwa dalam fase kedua variabel
tidak akan menjadi positif lebih besar dari
nol.

9. Contoh:

Cari x1, x2, x3, x4
srs: Z = -2x1 – x2 – 4x3 – 5x4 ; Minimum
dp : x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 ≤ 20
2x1 + 16x2 + x3 + x4 ≥ 4
3x1 - x2 - 5x3 + 10x4 ≤ -10
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0

10. 
Untuk menyelesaikan persoalan diatas ketidak
samaan ketiga hrs dikalikan dg -1. Maka:
-3x1 + x2 + 5x3 - 10x4 ≥10

Pers. Standar:
Z = -2x1 – x2 – 4x3 – 5x4
dp : x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 + x5 = 20
2x1 + 16x2 + x3 + x4 – x6 = 4
-3x1 + x2 + 5x3 - 10x4 – x7 = 10
xi ≥ 0 ; i = 1,2, 3,…, 7

11. 
Pers Matriks:
3 2
 1

 2 16 1
− 3 1 5

2
1
− 10
0

0 −1 0 
0 0 − 1

1
0
x1

x 2
x
 3
x 4
x
 5
x 6

x 7





=





 20 
 
4
 10 
 
Ingat :
Pada fase pertama fungsi tujuan yang dijadikan
maksimum bukan fungsi tujuan asli, tetapi Z *
( Z *maks = −Z min )

12. Tabel 1 (Fase I)
Cj*
0
0
0
0
0
0
0 -1 -1
CB*
H
A1 A2 A3 A4
A5 A6 A7 q1 q2
0
←
q1
VDB
A5
20
1
3
2
5
1
0
-1
q1
4
2
16 1
1
0
-1 0 1 0
-1
q2
10 -3
5 -10 0
0 -1 0 1
1
Zj*-Cj* -14 1 -17 -6
9
0
1
↑ A2 masuk dalam basis
0 0 0
1 0 0

13. Tabel 2 (Fase I)
Cj*
0
CB* VDB H
0
0
0
0
0
0
-1
-1
A1 A2 A3
A4 A5 A6 A7 q1
q2
0
19.25
0.63
0
1.83
4.81
1
0.19
0
-0.19
0
0
←
q2
A5
A2
0.25
0.13
1
0.06
0.06
0
0.06
0
0.06
0
-1
q2
9.75
-3.13
0
4.94
0.06
0
0.06
-1
-0.06
1
Zj-Cj
-9.75
3.13
0
-4.94 10.06
0
0.06
1
1.06
0
↑ A3 masuk dalam basis

14. Tabel 3 (Fase I)
Cj*
CB* VDB
0
H
0 0
0
0
0
0
-1
-1
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A7
q1
q2
0
A5
15.67
1.78
0
0
8.51
1
0.17
0.37
-0.17
-0.37
0
A2
0.126
0.17
1
0
0.19
0
-0.06
0.01
0.06
-0.01
0
A3
1.98
-0.63
0
1
-2.04
0
0.01
-0.20 -0.01
0.20
Zj-Cj
0
0
0
0
0
0
0


0
Dari tabel 3 terlihat bahwa variabel buatan
sudah tidak berada dalam basis dan fase I
berakhir Z*maks = 0 untuk xa1=xa2= 0.
Lanjutkan dengan fase II
1
1

15. Tabel 4 (Fase II)
Cj*
2
CB* VDB H
←
A2 Keluar
dari basis
1 4
5
0
0
0
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A7
0
A5
15.67
1.78
0
0
8.51
1
0.17
0.37
1
A2
0.126
0.17
1
0
0.19
0
-0.06
0.01
4
A3
1.98
-0.63
0
1
-2.04
0
0.01
-0.20
Zj-Cj
8.02
-4.37
0
0
-12.96
0
-0.01
-0.80
A4
↑ masuk dalam basis

16. Tabel 5 (Fase II)
Cj*
←
A5 Keluar
dari basis
CB* VD
B
A5
0
A4
5
A3
4
ZjCj
H
2
A1
1
A2
4 5 0 0
A3 A A5 A6
4
0
A7
10.04 -5.59 -44.72
0
0
1
2.99
-0.20
0.66
0.87
5.26
0
1
0
-0.33
0.07
3.32
1.13
10.71
1
0
0
-0.66
-0.07
16.61
6.85
68.13
0
0
0
-4.33
-0.07
A masuk dalam
↑
6
basis

17. Tabel 6 (Fase II)
Cj*
←
A4 Keluar
dari basis
CB* VD
B
A6
0
A4
5
A3
4
Zj-Cj
H
2
A1
1 4 5 0 0
A2 A3 A4 A5 A6
0
A7
3.35
-1.89 -14.93
0
0
0.34
1
0.07
1.78
0.24
0.29
0
1
0.11
0
0.04
5.55
-0.11
0.78
1
0
0.22
0
-0.11
31.09 -1.22
3.56
0
0
1.44
0
-0.22
↑masuk dalam basis
A1

18. Tabel 7 (Fase II)
Cj*
CB* VDB H
2
A1
1 4 5
A2 A3 A4
0 0
A5 A6
0
A7
A6
17.07
0
-12.70
0
7.72
1.19
1
0.27
A1
7.27
1
1.18
0
4.09
0.45
0
0.18
A3
6.36
0
0.91
1
0.45
0.27
0
-0.09
Zj-Cj
0
2
4
39.99
0
5.01
0
5.002
1.99
0
0.0005

Oleh karena Zj-Cj ≥ 0, maka pemecahan sudah optimal

Harga Z*maks = 39.99 dg x1=7.27, x3=6.36 dan
X6=17.07

Jadi nilai Zmin=-Z*maks = -39.99