1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ตรีโกณมิติ
ตอน สื่อปฏิสัมพันธ์
เรื่อง กฎของไซน์ และโคไซน์
โดย
ผู้ช่วยศาสตราจารย์ วาสนา สุขกระสานติ
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 15 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
2. เนื้อหาตอนที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- อัตราส่วนตรีโกณมิติ
  
- อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
3. เนื้อหาตอนที่ 2 เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและวงกลมหนึ่งหน่วย
- เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
- วงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุม และหน่วยของมุม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
  
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
- ความแตกต่างและความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่างๆ
6. เนื้อหาตอนที่ 5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างของมุม
- สูตรผลคูณ ผลบวก และผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
7. เนื้อหาตอนที่ 6 กฎของไซน์และโคไซน์
- กฎของไซน์
- กฎของโคไซน์
3

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
8. เนื้อหาตอนที่ 7 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- การเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
9. เนื้อหาตอนที่ 8 ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- สมบัติและความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
12.แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
13.แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
14. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
17. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน
สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง
ตรีโกณมิติ นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆ ที่คณะผู้จัดทาได้
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
4

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตรีโกณมิติ (สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่องกฎของไซน์และโคไซน์)
หมวด สื่อปฏิสัมพันธ์
ตอนที่ 3 (3/3)
หัวข้อย่อย 1. กฎของไซน์
2. กฎของโคไซน์
3. มุมและด้านของรูปสามเหลี่ยม
4. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
5. แบบฝึกหัด
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียนได้ใช้สื่อปฏิสัมพันธ์ในการศึกษา เรื่อง ตรีโกณมิติ เกี่ยวกับ
1. กฎของไซน์ เพื่อบอกความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านของสามเหลี่ยมกับค่าไซน์ของมุม
ภายในของสามเหลี่ยม
2. กฎของโคไซน์ เพื่อบอกความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านของสามเหลี่ยมกับค่าโคไซน์
ของมุมภายในของสามเหลี่ยม
3. นากฎของไซน์ และกฎของโคไซน์ มาประยุกต์ใช้ในการหาค่ามุมและความยาวด้านของรูป
สามเหลี่ยม
4. นากฎของไซน์ และกฎของโคไซน์มาประยุกต์หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ค่าไซน์ของครึ่ง
มุมของสามเหลี่ยม
5. หาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมโดยใช้ Heron’s Formula
6. ประยุกต์หาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม
ผลการเรียนรู้
ผู้เรียนสามารถใช้สื่อปฏิสัมพันธ์เพื่อ
1. ทาความเข้าใจเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านของสามเหลี่ยม กับค่าไซน์ของ
มุมภายในของสามเหลี่ยม
5

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. เพื่อบอกความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านของสามเหลี่ยมกับค่าโคไซน์ของมุมภายใน
ของสามเหลี่ยม
3. ประยุกต์หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ค่าไซน์ของครึ่งมุมของสามเหลี่ยม ค่าโคไซน์ของครึ่ง
มุมของสามเหลี่ยม ที่แนบในวงกลม
4. ประยุกต์หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมเมื่อทราบ
6

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สารบัญ
หน้า
การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad 8
1. กฎของไซน์ 13
2. กฎของโคไซน์ 18
3. มุมและด้านของรูปสามเหลี่ยม 24
4. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม 31
5. แบบฝึกหัด 39
7

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
สื่อการสอนชุดนี้พัฒนาด้วยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คือซอฟต์แวร์สารวจเชิง
คณิตศาสตร์ เรขาคณิตพลวัต รุ่น 4.06 ภาษาไทย
ผู้ใช้โปรแกรมจะเรียกใช้โปรแกรมได้จากเมนูคาสั่ง
เมื่อคลิกเลือกโปรแกรม หรือไอคอน บนเดสก์ทอป
จะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 1
รูปที่ 1 หน้าต่างแรกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
ให้คลิกที่ปุ่ม เพื่อเข้าสู่การใช้งานโปรแกรม จะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 2
จากรูปที่ 2 จะกล่าวถึงเครื่องมือที่ใช้สาหรับการทางานกับโปรแกรมนี้ คือเมนูแฟ้ม และ
กล่องเครื่องมือ
 เมนูแฟ้ม ใช้ทางานเกี่ยวกับแฟ้มข้อมูล ในการใช้งานสื่อชุดนี้ใช้เพียงการเปิด/ปิด
แฟ้มข้อมูล
 กล่องเครื่องมือ แบ่งเครื่องมือออกเป็นหกประเภท ใน
ที่นี้จะใช้เฉพาะเครื่องมือลูกศร สาหรับเลือกหรือเคลื่อนย้าย (หรือลาก) อ็อบเจกต์
ในโปรแกรม ผู้ใช้โปรแกรมนี้จะต้องเลือกเครื่องมือลูกศร นี้ในการทางานตลอด
ทั้งโปรแกรม
8

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายการเมนู
กล่อง
เครื่องมือ
รูปที่ 2 หน้าต่างหลักของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
o การเปิด/ปิด แฟ้มข้อมูล
 ถ้าต้องการเรียกโปรแกรมแฟ้มข้อมูลขึ้นมาใช้งาน ให้คลิกที่เมนู เลือกคาสั่ง
จะปรากฏ
หน้าต่างดังรูปที่ 3 ให้เลือก
แฟ้มข้อมูลที่ต้องการ โดย
แฟ้มข้อมูลที่พัฒนาจากโปรแกรม
The Geometer’s Sketchpad จะ
มีนามสกุลเป็น gsp เลือก
แฟ้มข้อมูลที่ต้องการ แล้วคลิกที่
แล้วจะปรากฏ รูปที่ 3 หน้าต่างเปิดเลือกแฟ้มข้อมูล
หน้าต่างของโปรแกรมแฟ้มข้อมูลที่
ได้เลือกไว้ดังรูปที่ 4 คือหน้าจอ “สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของ
โคไซน์” จะปรากฏหน้าต่างสองหน้าต่างนี้สลับกัน
9

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รูปที่ 4 หน้าต่างแรกของโปรแกรม
 ถ้าต้องการปิดแฟ้มข้อมูล ให้คลิกที่เมนู เลือกคาสั่ง
จะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 5 คือโปรแกรม The
Geometer’s Sketchpad จะถามว่าต้องการบันทึกการเปลี่ยนแปลงของแฟ้มข้อมูล
หรือไม่ ในที่นี้ไม่แนะนาให้บันทึกแฟ้มข้อมูล เพราะอาจทาให้โปรแกรมที่พัฒนาไว้
มีข้อผิดพลาดได้ ให้เลือกคลิกที่ปุ่ม เพื่อจะได้ไม่มีการเปลี่ยนแปลง
โปรแกรมที่พัฒนาไว้
รูปที่ 5 หน้าต่างเมื่อเรียกคาสั่งปิดแฟ้มข้อมูล
10

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อเรียกโปรแกรม “สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์” จะปรากฏหน้าต่างสอง
หน้าต่างนี้สลับกัน
ระดับแรก
ระดับที่สอง
จากหน้าต่างนี้จะสังเกตได้ว่าที่ด้านล่างของหน้าต่างมีรายการเมนูคาสั่งสองระดับ ดังรูป
ระดับแรกอยู่ด้านล่างติดกับหน้าต่างที่เลือกไว้ คือรายการเมนู ดังนี้
สาหรับเลือกกาหนดตาแหน่งของหน้าต่างภายในหน้าจอของเรา
การทางานของปุ่มต่างๆ
เลื่อนหน้าต่างไปมุมบนซ้ายของหน้าต่างของโปรแกรม The
Geometer’s Sketchpad
ดูภาพการเคลื่อนไหวของหน้านั้น
เรียกหน้าสารบัญขึ้นมาแสดงบนหน้าต่าง
เรียกหน้าสุดท้ายของหัวข้อขึ้นมาแสดงบนหน้าต่าง
เลื่อนหน้าต่างสื่อไปกลางหน้าต่างของโปรแกรม The
Geometer’s Sketchpad
ระดับที่สองอยู่ด้านล่างติดกับหน้าต่างของโปรแกรม ดังนี้
11

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สาหรับแสดงรายชื่อหน้าต่างในโปรแกรม เพื่อให้ผู้ใช้เลือก/เปลี่ยนการทางานไปยัง
หน้าต่างนั้นๆ ได้เลย เปรียบเสมือนเป็นเมนูลัดสาหรับเลือกดูหัวข้อ/หน้าต่างที่ต้องการ
การทางานของปุ่มต่างๆ
เลื่อนไปหน้าแรกของหัวข้อนั้น
เรียกหน้าสารบัญขึ้นมาแสดงบนจอภาพ
แถบต่อมาเป็นรายการหัวข้อย่อยในหัวข้อ “กฎของไซน์” เช่น
ผู้ใช้สามารถคลิกที่แถบนี้เพื่อเลื่อนไปที่หน้านั้นๆ ได้ทันที
แถบเลื่อนหน้าต่าง ใช้สาหรับเลื่อนเพื่อเลือกดูรายการหัวข้อย่อยด้านล่าง
แถบเลื่อน ใช้สาหรับเลื่อนดูข้อมูลในหน้าต่างไปทางด้านซ้าย/ขวา หรือ
ถ้าอยู่ในแนวตั้งก็ใช้สาหรับเลื่อนข้อมูลในหน้าต่างขึ้น/ลง
12

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การเริ่มต้นใช้งานสื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่องกฎของไซน์ และโคไซน์ ผู้ใช้ต้องคลิกที่
เพื่อเปลี่ยนการทางานไปที่หน้าสารบัญ หน้าต่างสารบัญจะแสดงดังนี้
รูปที่ 6 สารบัญ
เมื่อผู้ใช้เลือกโปรแกรมสื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และโคไซน์ หน้าต่างสารบัญจะ
แสดงรายการบทเรียน ซึ่งแบ่งออกเป็น 5 หัวข้อ ดังนี้
1. กฎของไซน์
2. กฎของโคไซน์
3. มุมและด้านของรูปสามเหลี่ยม
4. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
5. แบบฝึกหัด
ผู้ใช้จะต้องคลิกเลือกหัวข้อที่ ล้อมรอบด้วยกรอบสี่เหลี่ยมเพื่อเข้าดูรายละเอียดของหัวข้อ
นั้นได้
13

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. กฎของไซน์
กฎของไซน์เป็นทฤษฎีบทหนึ่งที่บอกความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านของสามเหลี่ยม
ใดๆ และค่าไซน์ของมุมภายในทั้งสาม กฎของไซน์ จะถูกนาไปใช้ในสาขาต่างๆ มากมาย
โดยเฉพาะวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ หรือการนากฎของไซน์ ไปใช้แก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับระยะทาง
และความสูงได้
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงกฎของไซน์
ซึ่งประกอบด้วย
1. กฎของไซน์
2. การพิสูจน์กฎของไซน์
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าจอตามลาดับ ดังนี้
1.1 กฎของไซน์
รูปที่ 7 กฎของไซน์
กาหนดรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม A, B, C เป็นมุมตรงข้ามกับด้าน a, b, c ตามลาดับ
14

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
กฎของไซน์ (law of sine) หรือกฎไซน์ (sine rule) กล่าวว่าสาหรับรูปสามเหลี่ยม ABC ใด
ๆ อัตราส่วนความยาวของด้าน a ที่สมนัยกับมุม A (มุมตรงข้าม) จะเท่ากับ อัตราส่วนความยาว
ของด้าน b ที่สมนัยกับมุม B (มุมตรงข้าม) และจะเท่ากับ อัตราส่วนความยาวของด้าน c ที่สมนัย
กับมุม C (มุมตรงข้าม) กฎของไซน์แสดงความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่วนของความยาวด้าน กับ
a b c
มุมที่ตรงกันข้ามกับด้าน ดังนี้  
sin A sin B sin C
1.2 การพิสูจน์กฎของไซน์
ส่วนแรก
ส่วนที่สอง
ส่วนที่สาม
ส่วนที่สี่
รูปที่ 8 การพิสูจน์กฎของไซน์
หน้าจอนี้จะประกอบด้วยสี่ส่วนหลัก ดังนี้
ส่วนแรก คือส่วนที่แสดงรูปภาพสามเหลี่ยม ABC ที่มีมุม A, B, C เป็นมุมตรงข้ามกับด้าน
a, b, c ตามลาดับ ในที่นี้แสดงความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อให้ BC เป็นฐาน โดยลากเส้นตรง
จากมุม A ไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุม A คือด้าน BC ที่จุด HA
ส่วนที่สอง คือส่วนที่แสดงการพิสูจน์ โดยบรรทัดแรกจะแสดงข้อความ “ส่วนสูงจากจุด
ยอด A B C” หมายถึงการพิสูจน์ กฎของไซน์ โดยใช้ความสูงของสามเหลี่ยมซึ่งวัดจากจุดยอด
ของมุม A หรือมุม B หรือมุม C ซึ่งจะเห็นว่ามีสัญลักษณ์แถบ อยู่บนอักษร A หมายความว่า
15

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ขณะนี้ ส่วนแรกได้แสดงความสูงจากจุดยอด A โดยลากเส้นไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุม A ที่จุด
HA พร้อมแสดงบทพิสูจน์ของสมการหนึ่งในกฎของไซน์
ส่วนที่สาม คือส่วนการแสดงค่าของมุม A, B, C และ ความยาวด้าน a, b, c ซึ่งได้มาจาก
การคานวณค่าของมุมในส่วนแรก
ส่วนที่สี่ คือส่วนการแสดงค่าอัตราส่วนตามกฎของไซน์ ของรูปในส่วนแรก
คาอธิบาย ส่วนแรก
ในหน้าจอการพิสูจน์กฎของไซน์นี้ ผู้เรียนสามารถปรับเปลี่ยนรูปร่างลักษณะของสามเหลี่ยม
ABC ในส่วนแรกได้โดยใช้เมาส์เลื่อนไปที่จุดสีแดง ซึ่งคือมุมของสามเหลี่ยม เมื่อเลื่อนเมาส์เข้ามา
ใกล้ๆ เมาส์จะปรากฏเป็นรูปลูกศร  ให้ผู้เรียนกดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของมุมต่างๆ ถ้ามี
การเปลี่ยนขนาดของมุม จะทาไห้ค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ในส่วนที่สาม
a b c
เปลี่ยนไปด้วย มีผลทาให้ค่าอัตราส่วน   ในส่วนที่สี่เปลี่ยนไปด้วย รูปที่ 9
sin A sin B sin C
เป็นตัวอย่างแสดงการเปลี่ยนลักษณะของรูปสามเหลี่ยม โดยที่ส่วนสูงของสามเหลี่ยมยังคงเป็นระยะจาก
มุม A ไปยังด้าน BC
รูปที่ 9 (ก) การพิสูจน์กฎของไซน์ รูปที่ 9 (ข) การพิสูจน์กฎของไซน์
คาอธิบาย ส่วนที่สอง
ในหน้าจอการพิสูจน์กฎของไซน์นี้ ส่วนนี้ผู้เรียนสามารถเลือกการวัดส่วนสูงของสามเหลี่ยมได้
โดยเลื่อนเมาส์ไปที่แถบสัญลักษณ์ปรากฏอยู่ เมาส์จะปรากฏเป็นรูปลูกศร  ให้ผู้เรียนกดและลาก
เมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของแถบไปที่สัญลักษณ์ A หรือ B หรือ C ตามต้องการ ดังรูปที่ 10 แสดง
ตัวอย่างของสามเหลี่ยมรูปเดียวกันแต่เปลี่ยนลักษณะการวัดความสูง จะสังเกตได้ว่าค่าของมุม A, B, C
16

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ความยาวด้าน a, b, c และอัตราส่วนตามกฎของไซน์ ก็ยังคงมีค่าคงเดิมเช่นกัน เพราะเป็นสามเหลี่ยม
เดียวกัน ดังนี้
(ก) ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อให้ BC เป็นฐาน คือ AHA
(ข) ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อให้ AC เป็นฐาน คือ BHB
(ค) ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อให้ AB เป็นฐาน คือ CHC
c b
รูปที่ 10 (ก) การพิสูจน์ 
sin C sin B
a c b a
รูปที่ 10 (ข) การพิสูจน์  รูปที่ 10 (ค) การพิสูจน์ 
sin A sin C sin B sin A
จากรูปที่ 10 (ก) การวัดความสูงจากจุดยอด A แสดงการพิสูจน์กฎของไซน์ โดยการพิจารณา
จาก
A
(1) ABHA จะได้ว่า AH A  c sin B
c b
(2) ACHA จะได้ว่า AH A  b sin C
B C
17 a HA

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื่องจาก (1) และ (2) ต่างก็มีค่าเท่ากับ AH A
จะได้ว่า c sin B  b sin C
c b
เพราะฉะนั้น  (i)
sin C sin B
จากรูปที่ 10 (ข) การวัดความสูงจากจุดยอด B แสดงการพิสูจน์กฎของไซน์ โดยการพิจารณา
จาก
A
(1) BCHB จะได้ว่า BH B  a sin C
b
(2) BAHB จะได้ว่า BH B  c sin A c HB
เนื่องจาก (1) และ (2) ต่างก็มีค่าเท่ากับ BH B C
B a
จะได้ว่า a sin C  c sin A
a c
เพราะฉะนั้น  (ii)
sin A sin C
จากรูปที่ 10 (ค) การวัดความสูงจากจุดยอด C แสดงการพิสูจน์กฎของไซน์ โดยการพิจารณา
จาก
(1) CAHC จะได้ว่า CH C  b sin A A
(2) CBHC จะได้ว่า CH C  a sin B HC
b
c
เนื่องจาก (1) และ (2) ต่างก็มีค่าเท่ากับ CH C
B C
จะได้ว่า b sin A  a sin B a
b a
เพราะฉะนั้น  (iii)
sin B sin A
จาก (i), (ii) และ (iii) สรุปได้ว่า a

b

c

sin A sin B sin C
สาหรับการพิสูจน์กฎของไซน์นี้ ผู้เรียนอาจพิสูจน์เพียงสองกรณีก็เพียงพอที่จะสรุปกฎของไซน์
c b a c
ได้แล้ว เช่น ถ้าพิสูจน์ (i)  และ (ii)  ก็จะสรุปได้ว่า
sin C sin B sin A sin C
a b c
 
sin A sin B sin C
18

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. กฎของโคไซน์
กฎของโคไซน์เป็นทฤษฎีบทหนึ่งที่บอกความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านทั้งสามของรูป
สามเหลี่ยมใด ๆ และมุมภายในของสามเหลี่ยม กฎของโคไซน์ จะถูกนาไปใช้ในสาขาต่างๆ
มากมาย โดยเฉพาะวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ หรือการนากฎของโคไซน์ไปใช้แก้โจทย์ปัญหา
เกี่ยวกับระยะทางและความสูงได้
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงกฎของโคไซน์
ซึ่งประกอบด้วย
1. กฎของโคไซน์
2. การพิสูจน์กฎของโคไซน์
3. การใช้กฎของโคไซน์หามุม
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าจอตามลาดับ ดังนี้
2.1 กฎของโคไซน์
รูปที่ 11 กฎของโคไซน์
กาหนดรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม A, B, C เป็นมุมตรงข้ามกับด้าน a, b, c ตามลาดับ
กฎของโคไซน์ (law of cosine) หรือกฎโคไซน์ (cosine rule) กล่าวว่าสาหรับรูป
สามเหลี่ยม ABC ใดๆ ความสัมพันธ์ระหว่างด้าน กับมุมของรูปสามเหลี่ยม ดังนี้
19

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
a 2  b 2  c 2  2bc cos A
b 2  a 2  c 2  2ac cos B
c 2  a 2  b 2  2ab cos C
2.2 การพิสูจน์กฎของโคไซน์
ส่วนแรก
ส่วนที่สอง
ส่วนที่สาม
ส่วนที่สี่
รูปที่ 12 การพิสูจน์กฎของโคไซน์
หน้าจอนี้จะประกอบด้วยสี่ส่วนหลัก ดังนี้
ส่วนแรก คือส่วนที่แสดงรูปภาพสามเหลี่ยม ABC ที่มีมุม A, B, C เป็นมุมตรงข้ามกับด้าน
a, b, c ตามลาดับ พร้อมทั้งแสดงความสูงของสามเหลี่ยม ABC ที่มีด้าน BC เป็นฐาน โดยลากเส้น
ตรงจากมุม C ไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุม C คือด้าน AB ที่จุด HC
ส่วนที่สอง คือส่วนที่แสดงการหาความยาวด้าน a, b, c โดยบรรทัดแรกจะแสดงข้อความ
“หาความยาวด้าน a, b, c ” ซึ่งจะเห็นว่ามีสัญลักษณ์แถบ อยู่บนอักษร a หมายความว่าขณะนี้ได้
แสดงการหาความยาวด้าน a พร้อมส่วนแสดงบทพิสูจน์สมการหนึ่งตามกฎของโคไซน์
ส่วนที่สาม คือส่วนการแสดงค่าของมุม A, B, C และ ความยาวด้าน a, b, c ซึ่งได้มาจาก
การคานวณค่าของมุมในส่วนแรก
20

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ส่วนที่สี่ คือส่วนการแสดงความสัมพันธ์ของด้าน กับมุมของสามเหลี่ยมตามกฎของ
โคไซน์ ของรูปในส่วนแรก
คาอธิบาย ส่วนแรก
ในหน้าจอการพิสูจน์กฎของโคไซน์นี้ ผู้เรียนสามารถปรับเปลี่ยนรูปร่างลักษณะของสามเหลี่ยม
ABC ในส่วนแรกได้โดยใช้เมาส์เลื่อนไปที่จุดสีแดง ซึ่งคือมุมของสามเหลี่ยม เมื่อเลื่อนเมาส์เข้ามา
ใกล้ๆ เมาส์จะปรากฏเป็นรูปลูกศร  ให้ผู้เรียนกดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของมุมต่างๆ ถ้ามี
การเปลี่ยนขนาดของมุม จะทาให้ค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ในส่วนที่สามเปลี่ยนไป
ด้วย ซึ่งมีผลทาให้ค่า a2 , b2 และ c2 ในส่วนที่สี่เปลี่ยนไปด้วยเช่นกัน
คาอธิบาย ส่วนที่สอง
ในหน้าจอการพิสูจน์กฎของโคไซน์นี้ ส่วนนี้ผู้เรียนสามารถเลือกการหาค่าความยาวด้านของ
สามเหลี่ยมได้โดยเลื่อนเมาส์ไปที่แถบสัญลักษณ์ปรากฏอยู่ เมาส์จะปรากฏเป็นรูปลูกศร  ให้ผู้เรียน
กดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของแถบไปที่สัญลักษณ์ a หรือ b หรือ c ตามต้องการ รูปที่ 13
แสดงตัวอย่างของรูปสามเหลี่ยมรูปเดียวกัน แต่เปลี่ยนความต้องการหาค่าความยาวด้าน a , b และ c จะ
สังเกตได้ว่าค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ยังมีค่าคงเดิม และค่า a2 , b2 และ c2 ตามกฎ
ของโคไซน์ ก็ยังคงมีค่าคงเดิมเช่นกัน เพราะเป็นสามเหลี่ยมเดียวกัน ดังนี้
(ก) การหาความยาวด้าน a ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อ AB เป็นฐาน คือ CHC
(ข) การหาความยาวด้าน b ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อ AC เป็นฐาน คือ BHB
(ค) การหาความยาวด้าน c ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อ BC เป็นฐาน คือ AHA
รูปที่ 13 (ก) กฎของโคไซน์
21

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รูปที่ 13 (ข) การพิสูจน์กฎของโคไซน์ รูปที่ 13 (ค) การพิสูจน์กฎของโคไซน์
จากรูปที่ 13 (ก) การหาความยาวด้าน a ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อ AB เป็นฐาน คือ
CHC แสดงการพิสูจน์กฎของโคไซน์ โดยการพิจารณา จาก
A
(1) CAHc จะได้ว่า CH c  b sin A
(2) พิจารณาด้าน AB จะได้วา
่ BH c  BA  H c A c b
Hc
นั่นคือ BH c  c  H c A
C
a
BH c  c  b cos A B
(3) BCHc จะได้ว่า a 2  (CH c ) 2  ( BH c ) 2
แทนค่า (1) (2) ลงใน (3) จะได้ว่า a 2  (b sin A) 2  (c  b cos A) 2
เพราะฉะนั้น a 2  b 2  c 2  2bc cos A (i)
จากรูปที่ 13 (ข) การหาความยาวด้าน b ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อ BC เป็นฐาน คือ
AHA แสดงการพิสูจน์กฎของโคไซน์ โดยการพิจารณา จาก
A
(1) BHAA จะได้ว่า AH A  c sin B
(2) พิจารณาด้าน BC จะได้ว่า CH A  CB  H A B c b
นั่นคือ CH A  a  H A B
C
B HA a
CH A  a  c cos B
(3) CAHA จะได้ว่า b 2  ( AH A ) 2  (CH c ) 2
แทนค่า (1) (2) ลงใน (3) จะได้ว่า b 2  (c sin B) 2  (a  c cos B) 2
เพราะฉะนั้น b 2  a 2  c 2  2ac cos B (ii)
22

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จากรูปที่ 13 (ค) การหาความยาวด้าน c ความสูงของสามเหลี่ยม ABC เมื่อ AC เป็นฐาน คือ
BHB แสดงการพิสูจน์กฎของโคไซน์ โดยการพิจารณา จาก
A
(1) BCHB จะได้ว่า BH B  a sin C
b
(2) พิจารณาด้าน AC จะได้ว่า AH B  AC  H B C
c
HB
นั่นคือ AH B  b  H B C
C
B a
AH B  b  a cos C
(3) ABHB จะได้ว่า c 2  ( BH B ) 2  ( AH B ) 2
แทนค่า (1) (2) ลงใน (3) จะได้ว่า c 2  (a sin C )2  (b  a cos C )2
เพราะฉะนั้น c 2  a 2  b 2  2ab cos C (iii)
จาก (i), (ii) และ (iii) สรุปได้ว่า a 2  b2  c 2  2bc cos A
b 2  a 2  c 2  2ac cos B
c 2  a 2  b 2  2ab cos C
2.3 การใช้กฎของโคไซน์หามุม
รูปที่ 14 (ข) . การใช้กฎของโคไซน์หามุม
ถ้าเราทราบด้านของรูปสามเหลี่ยม เราสามารถใช้กฎของโคไซน์หามุมของรูปสามเหลี่ยมได้
ดังนี้
จากกฎของโคไซน์ หามุมของรูปสามเหลี่ยม
a 2  b 2  c 2  2bc cos A b2  c2  a2
cos A 
2bc
23

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
b 2  a 2  c 2  2ac cos B a2  c2  b2
cos B 
2ac
c 2  a 2  b 2  2ab cos C a  b2  c2
2
cos C 
2ab
24

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. มุมและด้านของรูปสามเหลี่ยม
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้นากฎของไซน์ และกฎของโคไซน์มาประยุกต์ใช้ในการคานวณหาค่าด้าน
หรือมุมของรูปสามเหลี่ยม เมื่อมีการกาหนดค่าด้านหรือมุมของรูปสามเหลี่ยมมาให้
ซึ่งประกอบด้วยหน้าต่างดังนี้
1. รูปสามเหลี่ยม
2. รูปแบบและหลักการ
3. กาหนดด้านสามด้าน
4. กาหนดด้านสองด้าน และมุมระหว่างด้าน
5. กาหนดมุม 2 มุม หรือ 3 มุม และ 1 ด้าน
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าจอตามลาดับ ดังนี้
3.1 รูปสามเหลี่ยม
รูปที่ 15 รูปสามเหลี่ยม
เมื่อกาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ จะมีตัวแปรทั้งหมด 6 ตัวคือ
1. มุม A, B, C
2. ความยาวด้าน a, b, c ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามกับมุม A, B และ C ตามลาดับ
ปัญหาเกี่ยวกับการคานวณด้านหรือมุมของรูปสามเหลี่ยมมักจะมีการกาหนดตัวแปร 3 ตัวมาให้
อย่างเหมาะสม เพื่อหาค่าตัวแปรอีก 3 ตัวที่เหลือ โดยใช้ กฎของไซน์ และ/หรือ กฎของโคไซน์
25

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.2 รูปแบบและหลักการ
รูปที่ 16 รูปแบบและหลักการ
หน้าต่างนี้จะแสดงรูปแบบในการกาหนดด้าน หรือมุมที่เพียงพอ A
ต่อการหาค่าตัวแปรอื่นๆ และกล่าวถึงหลักการที่ใช้ในการคานวณหา b
ค่าตัวแปรอื่นๆ คือเมื่อกาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ จะมีตัวแปร c
ทั้งหมด 6 ตัวคือมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ซึงเป็นด้านตรง
่
C
ข้ามกับมุม A, B และ C ตามลาดับ B a
ในสื่อนี้จะกล่าวถึงการกาหนดค่าด้านและมุมบางส่วน เพื่อให้
ผู้เรียนใช้กฎของไซน์ และ/หรือกฎของโคไซน์ คานวณหาค่าด้านและมุมที่เหลือจนครบตัวแปรทั้ง 6 ตัว
โดยใช้หลักการดังนี้
การกาหนดด้านหรือมุม หลักการในการคานวณหาด้านหรือมุมอื่นให้ครบ
กาหนดด้านสามด้าน คานวณหาค่ามุมสามมุมได้จากกฎของโคไซน์ดังนี้
b2  c2  a2
A
 cos A 
b 2bc
a  c2  b2
2
c  cos B 
2ac
a  b2  c2
2
C  cos C 
B a 2ab
26

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การกาหนดด้านหรือมุม หลักการในการคานวณหาด้านหรือมุมอื่นให้ครบ 6 ค่า
กาหนดด้านสองด้าน คานวณหาค่าด้านที่สามได้จากกฎของโคไซน์ดังนี้
และมุมระหว่างด้านทั้งสองนั้น  a  b2  c2  2bc cos A
A คานวณหาค่ามุมอีกสองมุมได้จากกฎของโคไซน์ดังนี้
a2  c2  b2
b
 cos B 
2ac
c
a  b2  c2
2
 cos C 
C 2ab
B a
กาหนดมุมสองมุม คานวณหาค่ามุมที่สามได้จากคุณสมบัติมุมภายในของ
และด้านระหว่างมุมนั้น สามเหลี่ยม
A  A + B + C = 180
b คานวณหาค่าด้านอีกสองด้านได้จากกฎของไซน์ดังนี้
c  ac
sin A
sin C
C
B
a  bc
sin B
sin C
3.3 กาหนดด้านสามด้าน
ส่วนที่สอง
ส่วนแรก
ส่วนที่สาม
รูปที่ 17 กาหนดด้านสามด้าน
27

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อกาหนดความยาวด้านสามด้าน ต้องการหาค่ามุมทั้งสามของสามเหลี่ยม โดยใช้กฎของ
โคไซน์ โดยในส่วนนี้ผู้เรียนสามารถปรับเปลี่ยนรูปร่างลักษณะของสามเหลี่ยม ABC ในส่วนแรกได้
โดยใช้เมาส์เลื่อนไปที่จุดสีแดง ซึ่งคือมุมของสามเหลี่ยม เมื่อเลื่อนเมาส์เข้ามาใกล้ๆ เมาส์จะ
ปรากฏเป็นรูปลูกศร  ให้ผู้เรียนกดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของมุมต่างๆ ถ้ามีการเปลี่ยน
ขนาดของมุม จะทาให้ค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ในส่วนที่สามเปลี่ยนไปด้วย
สาหรับการคานวณค่ามุม A, B, C ในส่วนที่สองนั้น เป็นการคานวณโดยใช้กฎของโคไซน์
ตามสูตรดังนี้
b2  c2  a2
cos A 
2bc
a  c2  b2
2
cos B 
2ac
a  b2  c2
2
cos C 
2ab
3.4 กาหนดด้านสองด้าน และมุมระหว่างด้าน
ส่วนที่สอง
ส่วนแรก
ส่วนที่สาม
รูปที่ 18 กาหนดด้านสองด้าน และมุมระหว่างด้าน
เมื่อกาหนดความยาวด้านสองด้าน และมุมระหว่างด้านทั้งสองนั้น ต้องการหาค่ามุมและด้านที่
เหลือ โดยใช้กฎของโคไซน์ ถ้าผู้เรียนเลือกกาหนดค่าของมุม A ค่าความยาวด้านที่เหลือก็ควรเป็น
ความยาวด้านประกอบมุม A คือด้าน b, c ถ้าเลือกกาหนดค่าของมุม B ค่าความยาวด้านที่เหลือก็ควร
เป็นความยาวด้านประกอบมุม B คือด้าน a, c หรือถ้าเลือกกาหนดค่าของมุม C ค่าความยาวด้านที่
เหลือก็ควรเป็นความยาวด้านประกอบมุม C คือด้าน a, b ในที่นี้จึงให้ผู้เรียนเลือกกาหนดมุมใดมุมหนึ่ง
เพียงมุมเดียวเท่านั้น
28

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ส่วนแรก ผู้เรียนสามารถปรับเปลี่ยนรูปร่างลักษณะของสามเหลี่ยม ABC ในส่วนแรกได้โดย
ใช้เมาส์เลื่อนไปที่จุดสีแดง ซึ่งคือมุมของสามเหลี่ยม เมื่อเลื่อนเมาส์เข้ามาใกล้ๆ เมาส์จะปรากฏ
เป็นรูปลูกศร  ให้ผู้เรียนกดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของมุมต่างๆ ถ้ามีการเปลี่ยนขนาดของ
มุม จะทาให้ค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ในส่วนที่สามเปลี่ยนไปด้วย
ส่วนที่สอง ผู้เรียนสามารถเลือกที่จะกาหนดค่ามุมระหว่างด้านหนึ่งมุม เพื่อนามาใช้ในการ
คานวณหาด้าน และมุมที่เหลือ โดยใช้กฎของโคไซน์ ตามสูตรดังนี้
a 2  b 2  c 2  2bc cos A
b 2  a 2  c 2  2ac cos B
c 2  a 2  b 2  2ab cos C
รูปที่ 19 แสดงตัวอย่างของรูปสามเหลี่ยมรูปเดียว และเปลี่ยนความต้องการหาค่าความยาวด้าน
จะสังเกตได้ว่าค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ยังมีค่าคงเดิม เพราะเป็นสามเหลี่ยม
เดียวกัน ดังนี้
(ก) การกาหนดมุม A และด้านสองด้านคือ b และ c
ต้องการคานวณหาความยาวด้าน a และมุม B , C
โดยใช้สูตร a  b2  c2  2bc cos A
a 2  c2  b2
cos B 
2ac
a  b2  c2
2
cos C 
2ab
รูปที่ 19 (ก) กาหนดด้าน b, c และมุม A
(ข) การกาหนดมุม B และด้านสองด้านคือ a และ c
ต้องการคานวณหาความยาวด้าน b และมุม A , C
โดยใช้สูตร b  a2  c2  2ac cos B
b2  c2  a 2
cos A 
2bc
a  b2  c 2
2
cos C 
2ab
รูปที่ 19 (ข) กาหนดด้าน a, c และมุม B
29
ด้านสองด้าน และมุมระหว่างด้าน

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
(ค) การกาหนดมุม C และด้านสองด้านคือ a และ b
ต้องการคานวณหาความยาวด้าน c และมุม A , B
โดยใช้สูตร c  a2  b2  2bc cos C
b2  c2  a 2
cos A 
2bc
a  c2  b2
2
cos B 
2ac
รูปที่ 19 (ค) กาหนดด้าน a, b และมุม C
ด้านสองด้าน และมุมระหว่างด้าน
3.5 กาหนดมุมสองมุม หรือสามมุม และด้านหนึ่งด้าน
ส่วนที่สอง
ส่วนแรก
ส่วนที่สาม
รูปที่ 20 กาหนดมุมสองมุม หรือสามมุม และด้านหนึ่งด้าน
เมื่อกาหนดมุมสองหรือสามมุม และความยาวด้านหนึ่งด้าน เพื่อต้องการหาค่ามุมและด้านที่
เหลือ โดยใช้สูตร A + B + C = 180 และกฎของไซน์
ส่วนแรก ผู้เรียนสามารถปรับเปลี่ยนรูปร่างลักษณะของสามเหลี่ยม ABC ในส่วนแรกได้โดย
ใช้เมาส์เลื่อนไปที่จุดสีแดง ซึ่งคือมุมของสามเหลี่ยม เมื่อเลื่อนเมาส์เข้ามาใกล้ๆ เมาส์จะปรากฏ
เป็นรูปลูกศร  ให้ผู้เรียนกดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของมุมต่างๆ ถ้ามีการเปลี่ยนขนาดของ
มุม จะทาไห้ค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ในส่วนที่สามเปลี่ยนไปด้วย
30

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ส่วนที่สอง ผู้เรียนสามารถเลือกที่จะกาหนดค่าความยาวด้านหนึ่งด้าน เพื่อนามาใช้ในการ
a b c
คานวณหาด้าน และมุมที่เหลือ โดยใช้กฎของไซน์ ตามสูตรดังนี้  
sin A sin B sin C
การเปลี่ยนด้านที่กาหนด สามารถทาได้โดยเลื่อนเมาส์ไปที่แถบสัญลักษณ์ปรากฏอยู่ เมาส์จะ
ปรากฏเป็นรูปลูกศร  ให้ผู้เรียนกดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของแถบไปที่สัญลักษณ์ a หรือ
b หรือ c ตามต้องการ ดังรูปที่ 21 แสดงตัวอย่างของสามเหลี่ยมรูปเดียว และเปลี่ยนความต้องการหา
ค่าความยาวด้าน จะสังเกตได้ว่าค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ยังมีค่าคงเดิม เพราะเป็น
สามเหลี่ยมเดียวกัน ในการกาหนดมุมสองมุม ผู้เรียนก็จะสามารถหาค่ามุมที่สามได้จากคุณสมบัติมุม
ภายในของสามเหลี่ยม (A+B+C = 180) ดังนั้นในการคานวณหาค่าความยาวด้านต่อไปนี้จะสมมติให้มี
การกาหนดสามมุม ดังนี้
(ก) การกาหนดด้าน a และมุม A, B, C
ต้องการคานวณหาความยาวด้าน b, c
sin B sin C
โดยใช้สูตร ba และ ca
sin A sin A
(ข) การกาหนดด้าน b และมุม A, B, C
ต้องการคานวณหาความยาวด้าน a, c
sin A sin C
โดยใช้สูตร ab และ ca
sin B sin A
(ค) การกาหนดด้าน c และมุม A, B, C
ต้องการคานวณหาความยาวด้าน a, b รูปที่ 21 (ก) กาหนดด้าน a และมุม A, B, C
sin A sin B
โดยใช้สูตร ac และ bc
sin C sin C
รูปที่ 21 (ข) กาหนดด้าน b และมุม A, B, C รูปที่ 21 (ค) กาหนดด้าน c และมุม A, B, C
31

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงการนากฎของไซน์ และกฎของโคไซน์มาประยุกต์ใช้ใน
การคานวณหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ค่าไซน์ของครึ่งมุมของสามเหลี่ยม ค่าโคไซน์ของครึ่งมุม
ของสามเหลี่ยม และการคานวณหาพื้นที่สามเหลี่ยมเมื่อทราบเฉพาะค่าความยาวด้านทั้งสาม
ตลอดจนการคานวณหาพื้นที่สี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม
ซึ่งประกอบด้วย หน้าต่างต่อไปนี้
1. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
2. ไซน์ของครึ่งมุมสามเหลี่ยม
3. โคไซน์ของครึ่งมุมสามเหลี่ยม
4. Heron’s Formula
5. การหาพื้นที่จาก Heron’s Formula
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าจอตามลาดับ ดังนี้
4.1 พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
รูปที่ 22 (ก) พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
หน้าจอนี้จะประกอบด้วยสี่ส่วนหลัก ดังนี้
32

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ส่วนแรกคือส่วนที่แสดงรูปภาพสามเหลี่ยม ABC ที่มีมุม A, B, C เป็นมุมตรงข้ามกับด้าน
a, b, c ตามลาดับพร้อมทั้งแสดงความสูงของสามเหลี่ยม โดยลากเส้นตรงจากมุม A ไปตั้งฉากกับ
ด้านตรงข้ามมุม A คือด้าน BC ที่จุด HA
ส่วนที่สอง คือส่วนที่แสดงการคานวณหาพื้นที่ โดยใช้ส่วนสูงจากมุมต่างๆ โดยบรรทัด
แรกจะแสดง “ส่วนสูงจากจุดยอด A B C” ซึ่งจะเห็นว่ามีสัญลักษณ์แถบ อยู่บนอักษร A
หมายความว่าขณะนี้ ส่วนแรกได้แสดงความสูงจากจุดยอด A โดยลากเส้นไปตั้งฉากกับด้านตรง
ข้ามมุม A ที่จุด HA พร้อมส่วนแสดงการคานวณหาพื้นที่สามเหลี่ยม ABC
ส่วนที่สาม คือส่วนการแสดงค่าของมุม A, B, C และ ความยาวด้าน a, b, c ซึ่งได้มาจาก
การคานวณค่าของมุมในส่วนแรก
ส่วนที่สี่ คือส่วนการแสดงค่าพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมในส่วนแรก
คาอธิบายส่วนแรก ผู้เรียนสามารถปรับเปลี่ยนรูปร่างลักษณะของสามเหลี่ยม ABC ในส่วน
แรกได้โดยใช้เมาส์เลื่อนไปที่จุดสีแดง ซึ่งคือมุมของสามเหลี่ยม เมื่อเลื่อนเมาส์เข้ามาใกล้ๆ เมาส์
จะปรากฏเป็นรูปลูกศร  ให้ผู้เรียนกดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของมุมต่างๆ ถ้ามีการเปลี่ยน
ขนาดของมุม จะทาไห้ค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ในส่วนที่สามเปลี่ยนไปด้วย
คาอธิบายส่วนที่สอง ผู้เรียนสามารถเลือกที่จะกาหนดค่ามุมหนึ่งมุม เพื่อนามาใช้ในการ
คานวณหาค่าพื้นที่สามเหลี่ยม ABC
การเลือกเปลี่ยนมุมที่กาหนด สามารถทาได้โดยเลื่อนเมาส์ไปที่แถบสัญลักษณ์ปรากฏอยู่ เมาส์
จะปรากฏเป็นรูปลูกศร  ให้ผู้เรียนกดและลากเมาส์เพื่อเลื่อนตาแหน่งของแถบไปที่สัญลักษณ์ A
หรือ B หรือ C ตามต้องการ ดังรูปที่ 22 แสดงตัวอย่างของสามเหลี่ยมรูปเดียว และเปลี่ยนความ
ต้องการ จะสังเกตได้ว่าค่าของมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c ยังมีค่าคงเดิม และค่าพื้นที่
1 1 1
สามเหลี่ยมคือ bc sin A  ac sin B  ab sin C ก็ยังคงมีค่าคงเดิมเช่นกัน เพราะเป็นค่าของ
2 2 2
พื้นที่สามเหลี่ยมเดียวกัน ดังนี้
(ก) การกาหนดให้ลากเส้นตรงจากมุม A ไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุม A ที่จุด HA
โดยการพิจารณา
(1) จาก ABHA จะได้ว่า AH A  c sin B
1 1
(2) พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = ฐานสูง = BC  AH A
2 2
33

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1
เพราะฉะนั้นพื้นที่สามเหลี่ยม ABC = ac sin B
2
(ข) การกาหนดให้ลากเส้นความสูงของสามเหลี่ยมจากมุม B ไปตั้งฉากกับด้าน AC ที่จุด HB
โดยการพิจารณา
(1) จาก BCHB จะได้ว่า BH B  a sin C
1 1
(2) พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = ฐานสูง = CA  BH B
2 2
1
เพราะฉะนั้นพื้นที่สามเหลี่ยม ABC = ab sin C
2
(ค) การกาหนดให้ลากเส้นความสูงของสามเหลี่ยมจากมุม C ไปตั้งฉากกับด้าน AB ที่จุด HC
โดยการพิจารณา
(1) จาก CAHc จะได้ว่า CH c  b sin A
(2) พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = 1
ฐาน  สูง = 1
AB  CH C
2 2
1
เพราะฉะนั้นพื้นที่สามเหลี่ยม ABC = bc sin A
2
รูปที่ 22 (ก) พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเมื่อกาหนด รูปที่ 22 (ข) พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเมื่อกาหนด
ส่วนสูงจากจุดยอด A ส่วนสูงจากจุดยอด B
34

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รูปที่ 22 (ค) พื้นทีของรูปสามเหลี่ยมเมื่อกาหนด
่
ส่วนสูงจากจุดยอด C
4.2 ไซน์ของครึ่งมุมสามเหลี่ยม
กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ มีมุม A, B, C และความยาวด้าน a, b, c A
ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามกับมุม A, B และ C ตามลาดับ ถ้าเราทราบความยาวของด้าน b
ทั้งสามของสามเหลี่ยม (a, b, c) ก็จะสามารถหาค่าไซน์ของครึ่งมุมของ c
สามเหลี่ยมได้ดังรูปที่ 23 (ก) แสดงบทพิสูจน์ของการหาค่า ไซน์ของครึ่งมุมของ
C
สามเหลี่ยม จากกฎของโคไซน์ ซึ่งจะได้สูตร sin A  (s  a)(s  c)
a
และ B
2 bc
ผู้เรียนอาจจะหาค่าไซน์ของครึ่งมุมของสามเหลี่ยม sin และ sin C
B
จากกฎของโคไซน์ ในทานองเดียวกัน
2 2
ซึ่งผู้เรียนสามารถที่จะใช้สื่อปฏิสัมพันธ์คานวณหาค่าไซน์ของครึ่งมุมของสามเหลี่ยมได้ดังรูปที่ 23 (ข)
รูปที่ 23 (ก) บทพิสูจน์ของไซน์ของครึ่งมุมของสามเหลี่ยม
35