31 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่2_โดเมนและเรนจ์

คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์

เรื่อง

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
(เนื้อหาตอนที่ 2)
โดเมนและเรนจ์

โดย

อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ

สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

สื่อการสอน เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
สื่อการสอน เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน
ซึ่งประกอบด้วย

1. บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
2. เนื้อหาตอนที่ 1 ความสัมพันธ์
- แผนภาพรวมเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
- ผลคูณคาร์ทีเซียน
- ความสัมพันธ์
- การวาดกราฟของความสัมพันธ์
3. เนื้อหาตอนที่ 2 โดเมนและเรนจ์
- โดเมนและเรนจ์
- การหาโดเมนและเรนจ์โดยการแก้สมการ
- การหาโดเมนและเรนจ์โดยการวาดกราฟ
4. เนื้อหาตอนที่ 3 อินเวอร์สของความสัมพันธ์ และบทนิยามของฟังก์ชัน
- อินเวอร์สของความสัมพันธ์
- บทนิยามของฟังก์ชัน
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ฟังก์ชันเบื้องต้น
- ฟังก์ชันจากเซต A ไปเซต B
- ฟังก์ชันทั่วถึง
- ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
6. เนื้อหาตอนที่ 5 พีชคณิตของฟังก์ชัน
- พีชคณิตของฟังก์ชัน
- ตัวอย่างประเภทของฟังก์ชันพื้นฐาน
7. เนื้อหาตอนที่ 6 อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
- อินเวอร์สของฟังก์ชันละฟังก์ชันอินเวอร์ส
- กราฟของฟังก์ชันอินเวอร์ส
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ฟังก์ชันประกอบ
- ฟังก์ชันประกอบ
- โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันประกอบ
- สมบัติของฟังก์ชันประกอบ
1


9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
11. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
12. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
13. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง อินเวอร์สของความสัมพันธ์และฟังก์ชันอินเวอร์ส
14. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง โดเมนและเรนจ์
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่องพีชคณิตและการประกอบของฟังก์ชัน
16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่องการเลื่อนแกน

คณะผู้จัดท าหวังเป็ นอย่ างยิ่ งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรีย นการสอน
สาหรับครู และนักเรียนทุ กโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกั บการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะ
ผู้จัดท าได้ ดาเนินการไปแล้ว ท่ า นสามารถดูชื่อ เรื่อง และชื่อ ตอนได้จากรายชื่อสื่ อการสอนวิช า
คณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้

2


เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 2 (2/7)

หัวข้อย่อย 1. โดเมนและเรนจ์
2. การหาโดเมนและเรนจ์โดยการแก้สมการ
3. การหาโดเมนและเรนจ์โดยการวาดกราฟ

จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจบทนิยามของโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
2. สามารถหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดมาในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้
3. สามารถหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดมาในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขโดย
การแก้สมการหรืออสมการได้
4. สามารถหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดมาในรูปกราฟได้
5. สามารถหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดมาในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขโดย
การใช้กราฟของความสัมพันธ์มาช่วยได้

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. บอกบทนิยามของโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ได้
2. หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดมาในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้
3. หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดมาในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขโดยการแก้
สมการหรืออสมการได้
4. หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดมาในรูปกราฟได้
5. หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดมาในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขโดยการอธิบาย
ขั้นตอนการวาดกราฟและวาดกราฟของความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ได้

3


เนื้อหาในสื่อ

4


1. โดเมนและเรนจ์

5


1. โดเมนและเรนจ์

ในช่วงนี้ได้แนะนาให้นักเรียนรู้จักโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ รวมถึงให้ตระหนักว่าการเปลี่ยน
เงื่อนไขของความสัมพันธ์ระหว่างเซตสองเซตที่กาหนดให้มีผลต่อโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

6


ครูอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมเช่น
ตัวอย่าง 1 กาหนดให้ A {1, 2} , B {2, 3} และ P(A) และ P (B ) เป็นพาวเวอร์เซตของ A และ B
ตามลาดับพิจารณา
r {(X ,Y ) P (A) P (B ) | X Y} และ s {(X ,Y ) P (A) P (B ) | n(X Y) 1}
จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ทั้งสองนี้

วิธีทา เนื่องจาก r {( , ), ( ,{2}), ( ,{3}), ( ,{2, 3}), ({2},{2}), ({2},{2, 3})} ทาให้ได้ว่า
Dr { , {2}} และ Rr { , {2}, {3}, {2, 3}}
ต่อมาเนื่องจาก
s {({1}, ), ({1},{2}), ({1},{3}), ({2}, ), ({2},{3}), ({1, 2},{2}), ({1, 2}, {2, 3})}
ทาให้ได้ว่า Dr {{1}, {2}, {1,2}} และ Rr { , {2}, {3}, {2, 3}}

7



8



ในช่วงนี้ได้แนะนาการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดมาในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข โดย
ใช้การแก้สมการและอสมการ

ครูควรทบทวนเรื่องการแก้สมการ อสมการ ตลอดจนสมบัติต่างๆ ของจานวนจริงให้นักเรียน เช่น สมบัติ
เกี่ยวกับรากที่สองที่เป็นบวกของจานวนจริง หรือสมบัติของค่าสัมบูรณ์ของจานวนจริง และพยายามเน้นย้าให้
นักเรียนเข้าใจว่าหากนักเรียนมีความรู้สึกว่าเรื่องการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์เป็นเรื่องยุ่งยาก อาจเป็น
เพราะพื้นฐานเรื่องจานวนจริงต่างๆ ที่นักเรียนควรรู้ไม่ดีพอ นอกจากนี้ครูอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมเช่น

ตัวอย่าง 2 สาหรับจานวนจริง a , b , c และ d ที่ทั้งสี่ตัวไม่เป็นศูนย์ จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
ax b
r (x, y ) y
cx d

9


d d
วิธีทา การหาโดเมน cx d 0 ดังนั้น x นั่นคือ Dr
c c
การหาเรนจ์ จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์จะได้ว่า cxy dy ax b นั่นคือ
dy b a
x (cy a) cxy ax dy b ดังนั้น x ทาให้ได้ว่า cy a 0 นั่นคือ y
cy a c
a
และ Rr
c

ในช่วงนีได้ค่อยๆ สรุปผ่านตัวอย่างต่างๆ ให้นักเรียนเห็นว่าการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์จาก
้
สูตรระหว่าง x และ y ที่กาหนดให้นั้นจะมีขั้นตอนอย่างไร

10


ในช่วงนี้ย้าเกี่ยวกับเงื่อนไขที่ต้องพิจารณาก่อนการเปลี่ยนแปลงสมการเพื่อนาไปสู่การหาโดเมนหรือเรนจ์

เมื่อถึงตอนนี้ครูอาจให้ตัวอย่างเพิ่มเติม

1
ตัวอย่าง 3 กาหนดให้ r (x, y) y จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้
3 x

วิธีทา การหาโดเมน จากเงื่อนไขที่กาหนดให้จะได้ว่า 3 x 0 นั่นคือ x 3 ดังนั้น Dr ( , 3)
1 1
การหาเรนจ์ จากเงื่อนไขที่กาหนดให้จะได้ว่า 3 x ดังนั้นต้องมีเงื่อนไขก่อนว่า 0 และ
y y
1
y 0 นั่นคือ y 0 จากนั้นจะได้ว่า x 3 ซึ่งมีเพียงเงื่อนไขว่า y 0 ดังนั้นเมื่อรวมเงื่อนไขทั้งหมด
y2
เกี่ยวกับ y จะได้ว่า Rr (0, )

11


4 x2
ตัวอย่าง 4 กาหนดให้ r (x, y ) y จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้
4 x2

(x 2)(x 2) 4 x2
วิ ธี ท า การหาโดเมน จากเงื่ อ นไขที่ ก าหนดให้ จ ะได้ ว่ า 0 แต่ เ นื่ อ งจาก
4 x2 4 x2
4 x2 0 ทุกจานวนจริง x ทาให้ได้ว่า (x 2)(x 2) 0 นั่นคือ 2 x 2 ดังนั้น Dr [ 2,2]
4 x2
การหาเรนจ์ จากเงื่อนไขที่กาหนดให้ต้องมีเงื่อนไขก่อนว่า y 0 จากนั้นจะได้ว่า y2 นั่นคือ
4 x2
4 4y 2 4 4y 2
4y 2 2 2
xy 4 x 2
ท า ใ ห้ ไ ด้ ว่ า x 2
นั่ น คื อ x ดั ง นั้ น
1 y2 1 y2
4(y 1)(y 1) 4 4y 2
0 เ นื่ อ ง จ า ก 1 y2 0 ทุ ก จ า น ว น จ ริ ง y ท า ใ ห้ ไ ด้ ว่ า
1 y2 1 y2
(y 1)(y 1) 0 นั่นคือ 1 y 1 ดังนั้นเมื่อรวมเงื่อนไขทั้งหมดเกี่ยวกับ y จะได้ว่า Rr [0,1]

ในตอนนี้ย้าว่าบางครั้งอาจไม่จาเป็นต้องเขียน y เป็นพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ x เพียงอย่างเดียวหรือ x เป็น
พจน์ที่เกี่ยวข้องกับ y เพียงอย่างเดียวในการหาโดเมนหรือเรนจ์ นักเรียนอาจเขียนเป็น | y | หรือ y n เป็นพจน์ที่
เกี่ยวข้องกับ x เพียงอย่างเดียวหรือ | x | หรือ x n เป็นพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ y เพียงอย่างเดียวในการหาโดเมน
หรือเรนจ์ได้เช่นกัน

12


เมื่อถึงตอนนี้ครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม

1
ตัวอย่าง 5 กาหนดให้ r (x , y ) y
2
จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r
x 4

วิธีทา การหาโดเมน จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์จะได้ว่า (x 2)(x 2) x2 4 0 ดังนั้น
Dr ( , 2) (2, )
1 1
การหาเรนจ์ จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์จะได้ว่า x2 4 ดังนั้นต้องมีเงื่อนไขก่อนว่า 0
y y
2 2
1 1
และ y 0 นั่ น คื อ y 0 จากนั้ น จะได้ ว่ า x 2
4 เพราะว่ า x 2
0 ดั ง นั้ น 4 0
y y
2
1
อย่ า งไรก็ ดี 4 0 ทุ ก จ านวนจริ ง y 0 ดั ง นั้ น เมื่ อ รวมเงื่ อ นไขทั้ ง หมดเกี่ ย วกั บ y จะได้ ว่ า
y
Rr (0, )

x
ตัวอย่าง 6 กาหนดให้ r (x, y) y จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r
|x | 1

วิธีทา การหาโดเมน จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์จะได้ว่า | x | 1 0ดังนั้น Dr { 1, 1}
การหาเรนจ์ จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์จะได้ว่า | x | y y x นั่นคือ | x | y x y
y y
กรณี x 0 จะได้ว่า x (y 1) | x | y x y นั่นคือ x เนื่องจาก x 0 ดังนั้น 0
y 1 y 1
จะได้ว่า y ( , 0] (1, )

13


y
กรณี x 0 จะได้ว่า x( y 1) | x | y x y นั่นคือ x เนื่องจาก x 0 ดังนั้น
y 1
y
0 จะได้ว่า y ( , 1) (0, )
(y 1)
ดังนั้นจากทั้งสองกรณีนี้จะได้ว่า Rr

ตัวอย่าง 7 กาหนดให้ r {(x , y ) | 4x 2 9y 2 8x 36y 4 0} จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r

วิธีทา การหาโดเมน จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์จะได้ว่า
0 4(x 2 2x ) 9(y 2 4y ) 4 4(x 2 2x 1) 9(y 2 4y 4) 4 4(1) 9(4)
2 2
4(x 1) 9(y 2) 36
นั่นคือ 9(y 2) 2
36 4(x 1)2 4(x 4)(x 2) เนื่องจาก 9(y 2)2 0 ทาให้ได้ว่า
(x 4)(x นั่นคือ Dr [ 2, 4]
2) 0
การหาเรนจ์ จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์จะได้ว่า
4(x 1)2 36 9(y 2)2 9(2 y 2)(2 y 2) 9y(y 4) เนื่องจาก 4(x 1)2 0
ทาให้ได้ว่า y(y 4) 0 นั่นคือ Rr [0, 4]
ตัวอย่าง 8 กาหนดให้ r {(x , y ) | x x y y} จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r

วิธีทา จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์จะได้ว่า
2 2
1 1 1 1
0 y y x x y y x x y x นั่นคือ
4 4 2 2
1 1 1 1
y x y x 0 จะได้ว่า y x 0 หรือ y x 1 0
2 2 2 2
ซึ่งในกรณีหลังนี้ไม่มีจานวนจริง x และ y ใดๆ ที่สอดคล้องกับสมการดังกล่าว ดังนั้น y x จะได้ว่า
Dr [0, ) Rr

14


แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การหาโดเมนและเรนจ์โดยการแก้สมการ

จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1. r {(x, y) | y x 1}
1
2. r (x, y ) | y | 2
x 4
3. r {(x , y ) | y x2 3}

1
4. r (x, y ) y
5 x2

5. r {(x, y ) | y 5 5 2x }
6. r {(x , y ) | x 2 6x y2 14y 41 0}
7. r {(x , y ) | y x2 2 | x |}
x
8. r (x, y ) y
1 x2
9. r {(x , y ) | x 2y x 3y 2 0}
10. r {(x , y ) | y (3 x )(2 x )}

15



16



ในช่วงนี้ต้องการให้นักเรียนสามารถหาโดเมนและเรนจ์จากกราฟของความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ได้ ทั้งนี้
ครูควรย้าว่าหากในกรณีที่จุดปลายของกราฟไม่ชัดเจนให้พิจารณาดังนี้ หากกราฟมีจุดทึบหรือจุดโปร่งที่จุดปลาย
ด้านใดด้านหนึ่งของกราฟ แสดงว่าไม่มีส่วนของกราฟของความสัมพันธ์ที่กาหนดมาเลยจุดดังกล่าวไป ทั้งนี้จุด
ทึบ จะหมายถึง จุดนั้นอยู่ บ นกราฟของความสัมพั นธ์ด้วย ส่วนจุดโปร่งจะหมายถึงจุดนั้นไม่อยู่บนกราฟของ
ความสัมพันธ์ ในขณะที่กราฟที่จุดปลายไม่มีจุดทึบหรือจุดโปร่ง หรือบางครั้งอาจมีลูกศรที่จุดปลายแสดงว่ากราฟ
นั้นยังลากไปต่อได้ในแนวเดิมอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

หมายเหตุ ในตัวอย่างที่เห็นนี้แม้ว่าจะไม่มีจุดทึบหรือจุดโปร่งที่จุดปลายของกราฟ แต่พอเข้าใจได้จากภาพว่าไม่มี
ส่วนของกราฟต่อไปจากจุดปลายทั้งสองนั้น
ครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติมเพื่อเสริมความเข้าใจของนักเรียนยิ่งขึ้น

17


ตัวอย่าง 9 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r ที่มีกราฟดังรูป
2

1

3 2 1 1 2 3

1

2

วิธีทา จากกราฟจะได้ว่า Dr [ 3, 3] และ Rr [ 2,2]

ตัวอย่าง 10 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r ที่มีกราฟดังรูป
15

10

5

4 2 2 4

วิธีทา จากกราฟจะได้ว่า Dr ( ,2] และ Rr [0, ]

18


ต่อมาในกรณีที่ไม่ได้วาดกราฟของความสัมพันธ์มาให้ หากนักเรียนสามารถวาดกราฟของความสัมพันธ์
แบบต่างๆ ได้ก็สามารถหาโดเมนและเรนจ์จากกราฟเหล่านั้นได้เช่นกัน

เมื่อถึงตอนนี้ครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม

ตัวอย่าง 11 กาหนดให้ r {(x, y) | y |x 1 | 2} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r

วิธีทา จากความสัมพันธ์ที่กาหนดให้สามารถวาดเป็นกราฟได้ดังนี้

19


6

5

4

3

2

1

2 0 2 4

ดังนั้น Dr และ Rr [2, )

ตัวอย่าง 12 กาหนดให้ r {(x , y ) | y 9 x2 และ xy 0} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r

วิธีทา จากความสัมพันธ์ที่กาหนดให้จะได้ว่า x 2 y 2 9 โดยที่ y 0 และ xy 0 ซึ่งกราฟของความสัมพันธ์
x 2 y 2 R 2 จะเป็นรูปวงกลมรัศมี R และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิด ดังนั้นความสัมพันธ์ r สามารถวาดเป็น
กราฟได้ดังนี้
3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

4 2 2 4

จะได้ว่า Dr [ 3, 0] {3} และ Rr [0, 3]

20


ในช่วงนี้อธิบายถึงการเลือกอาณาบริเวณสาหรับความสัมพันธ์ที่กาหนดเงื่อนไขมาในรูปอสมการ

เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจนาปัญหาชวนคิดที่เคยทิ้งไว้ในสื่อเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่ 1 มาให้
นักเรียนลองช่วยกันวาดกราฟและเลือกอาณาบริเวณกันอีกครั้ง หลังจากได้กราฟของความสัมพันธ์ดังกล่าวแล้วให้
นักเรียนหาโดเมนและเรนจ์จากกราฟที่ได้

ชวนคิด (จากสื่อเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่ 1)
1. r {(x, y ) | x y 10}
2. r {(x, y) || x | | y | 10}
นอกจากนี้ยังครูยังอาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม

21


ตัวอย่าง 13 กาหนดให้ r {(x, y) | x | y |} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r

Y

X

ดังนั้น Dr และ Rr

ตัวอย่าง 14 กาหนดให้ r {(x , y ) | y 2 1 x} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r

Y

X
1

ดังนั้น Dr ( ,1] และ Rr

22


ในตอนนี้ได้อธิบายถึงความสัมพันธ์ที่ประกอบด้วยเงื่อนไขมากกว่าหนึ่งเงื่อนไขและแต่ละเงื่อนไขเชื่อม
กันด้วย “และ” ทาให้สามารถแยกออกเป็นความสัมพันธ์ย่อยๆ ที่เชื่อมกันด้วยอินเตอร์เซกชันได้ ดังนั้นกราฟของ
ความสัมพันธ์ที่ต้องการจะมาจากกราฟของความสัมพันธ์ย่อยๆ เหล่านั้นอินเตอร์เซกชันกันนั่นเอง

เมื่อมาถึงตอนนี้อาจย้าว่าไม่จาเป็นที่เงื่อนไขของความสัมพันธ์จะต้องอยู่ในรูปอสมการทั้งหมดจึงจะทา
เช่นนี้ได้ โดยครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้ประกอบ

ตัวอย่าง 15 กาหนดให้ r {(x , y ) | y 2 1 x และ y 1} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r

23


วิธีทา จากความสัมพันธ์ที่กาหนดให้จะได้ว่า r r1 r2 เมื่อ r1 {(x, y) | y 2 1 x } และ
r2 {(x, y) | y 1} ซึ่งเหมือนกับการวาดกราฟ r1 แล้วตัดเฉพาะท่อนที่กราฟอยู่เหนือเส้นตรง y 1
โดยไม่รวมเส้นตรงดังกล่าว ทาให้ได้ว่ากราฟของ r คือ

2

1

3 2 1 1 2

1

2

ดังนั้น Dr ( ,1] และ Rr ( 1, )

ตัวอย่าง 16 กาหนดให้ r {(x , y ) | x 2 y2 9 และ xy 0} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r

วิ ธี ท า จากความสั ม พั น ธ์ ที่ ก าหนดให้ จะได้ ว่ า r r1 r2 เมื่ อ r1 {(x, y) | x 2 y 2 9} และ
r2 {(x, y) | xy 0} เนื่ อ งจากจุ ด (x, y ) ในจตุ ภ าคที่ 1 และ 3 (ไม่ ร วมจุ ด บนแกน X และ แกนY )
สอดคล้องอสมการ xy 0 ดังนั้นกราฟของความสัมพันธ์ r คือกราฟของความสัมพันธ์ r1 ซึ่งเป็นวงกลมรัศมี
3 หน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิดแล้วตัดเฉพาะท่อนที่กราฟอยู่ในจตุภาคที่ 1 และ 3 เท่านั้น โดยไม่รวมจุด
ที่อยู่บนแกน X และ แกนY ทาให้ได้ว่ากราฟของ r คือ
Y

3

-3 X
3

-3

ดังนั้น Dr ( 3, 0) (0, 3) และ Rr ( 3, 0) (0, 3)

24


สาหรับตัวอย่างที่ยกไว้ในสื่อตอนนี้ยังไม่ได้หาจุดตัดของเส้นตรง y x 2 และเส้นโค้ง y x 2
ซึ่ ง จุ ด ตั ด ดั ง กล่ า วหาได้ จ ากการแก้ ร ะบบส มการทั้ ง ส องนี้ นั่ น คื อ จะได้ ว่ า x 2 x 2 ดั ง นั้ น
0 x 2 x 2 (x 2)(x 1) ทาให้ x 2 หรือ 1 ซึ่งจะส่งผลให้ y 4 และ 1 ตามลาดับ จะ
ได้ว่าจุด (a, b) ในตัวอย่างดังกล่าวคือจุด ( 1,1) และจุด (c, d ) ในตัวอย่างดังกล่าวคือ (2, 4) ทาให้ได้ว่า
สาหรับตัวอย่างนี้ Dr ( 1,2) และ Rr (0, 4) นั่นเอง
เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม

ตัวอย่าง 17 กาหนดให้ r {(x , y ) | x 2 y2 9 และ y x 2} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r

วิ ธี ท า จาก ความสั ม พั น ธ์ ที่ ก าหนดให้ จะได้ ว่ า r r1 r2 เมื่ อ r1 {(x, y) | x 2 y 2 9} แล ะ
r2 {(x, y ) | y x 2 } เนื่องจากจุด (0, 0) สอดคล้องอสมการ x 2 y 2 9 ดังนั้นกราฟของความสัมพันธ์
r1 คืออาณาบริเวณภายในวงกลมรัศ มี 3 หน่วยที่ มี จุดศู นย์ ก ลางอยู่ ที่ จุดก าเนิดที่ รวมจุดบนขอบของเส้นรอบ
วงกลมด้วย ในขณะที่จุด (0,1) สอดคล้องอสมการ y x 2 ดังนั้นกราฟของความสัมพันธ์ r2 คืออาณาบริเวณ
เหนือเส้นโค้ง y x 2 ที่ไม่รวมจุดบนเส้นโค้งนี้ ในการหาจุดตัดของเส้นโค้งทั้งสองนี้ทาได้โดยแก้ระบบสมการ
1 37
x2 y2 9 แล ะ y x2 นั่ น คื อ y y2 9 ดั ง นั้ น y2 y 9 0 หรื อ y แต่
2
1 37 1 37
เนื่องจาก y x2 ดังนั้น y เท่านั้น ทาให้ x ทาให้ได้ว่ากราฟของ r คือ
2 2
อาณาบริเวณที่แรเงานี้

25

Y

3
A B

0 X

1 37 1 37 1 37 1 37
เมื่อ A , และ B , ดังนั้น
2 2 2 2

1 37 1 37
Dr , และ Rr (0, 3]
2 2

26


แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การหาโดเมนและเรนจ์โดยการวาดกราฟ

จงหาโดเมนและเรนจ์จากกราฟของความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1. 1.5
2. 8

6
1.0

0.5
4

2 1 1 2
2

0.5

1.0 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

3. 4.
8

2 1 1 2
6

1
4

2
2

3
2 1 0 1 2

5. 2.0

1.5

1.0

0.5

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้โดยการวาดกราฟ
6. r {(x,| x |) | 2 x 4}
7. r {(x, y ) | x y และ y x 2 2x 3}
5 2
8. r (x , y ) y x2 และ y x 1
9
9. r {(x , y ) | y 2 x 1 และ xy 0}
10. r {(x , y ) | x 0, 0 y 5 และ x 2 y2 2x 6y 8}

27


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

28


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

เมื่ อมาถึง ช่ วงสุดท้ า ยครูค วรย้ ากั บนัก เรีย นอีก ครั้ งว่าเทคนิ คการแก้ ส มการ อสมการ การแยกตั ว
ประกอบ ตลอดจนสมบัติต่างๆ ของจานวนจริงมีความสาคัญอย่างยิ่งในการหาโดเมนและเรนจ์ นอกจากนี้การ
ที่นักเรียนสามารถวาดกราฟของความสัมพันธ์พื้นฐานต่างๆ ได้ก็จะเป็นประโยชน์อย่างมากในการหาโดเมน
และเรนจ์เช่นเดียวกัน

29


ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

30


แบบฝึกหัดระคน

1. กาหนดให้ r {(x, y ) |y 4x 2} เมื่อ คือเซตของจานวนเต็ม ข้อใดต่อไปนี้คือเรนจ์
ของความสัมพันธ์ r
x x
1. x เป็นจานวนคี่ 2. x เป็นจานวนคู่
2 2
3. เซตของจานวนคี่ทั้งหมด 4. เซตของจานวนคู่ทั้งหมด
2
x
2. กาหนดให้ r (x , y ) y 1 และ s {(x , y ) | y x2 1} จงหา Dr Ds
1 x

3. กาหนดให้ r {(x, y ) | y ( x 2)2 } และ s {(x , y ) | y |x 1 | 1} จงหา Dr Rs
x2 4
4. กาหนดให้ r {(x , y ) | 2x 3
3xy 2
x 2
y 2
0} และ s (x , y ) y จงหา
x 2
Dr Ds
5. กาหนดให้ r {(x , y ) | y x2 และ y จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r
2x }
6. กาหนดให้ r {(x, y) | | x | |y | 2} จงวาดกราฟของความสัมพันธ์ r พร้อมทั้งหาโดเมน

และเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้
7. กาหนดให้ r {(x, y ) | 16x 2 25y 4 8x 10y 2 2} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r
y2 1
8. กาหนดให้ r (x , y ) 1 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r
4 x2
9. สาหรับจานวนจริงบวก k กาหนดให้ r {(x, y ) | x y k } จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r
10. กาหนดให้ r {(x , y ) | y x 2 และ y 2 x } จงวาดกราฟของความสัมพันธ์ r พร้อมทั้งหาโดเมน
และเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้

31


ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด

32


เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม
่
เรื่อง การหาโดเมนและเรนจ์โดยการแก้สมการ

1. Dr [0, ) ; Rr [1, ) 2. Dr ( , 2) (2, ) ; Rr {0}
1
3. Dr ( , 3] [ 3, ) ; Rr [0, ) 4. Dr ; Rr 0,
5
5
5. Dr ,10 ; Rr [0, 5] 6. Dr ( , 4] [ 2, ) ; Rr
2
7. Dr ; Rr [ 1, 0] 8. Dr { 1, 1} ; Rr {0}
1
9. Dr ( , 0] [ 3 12, ) ; Rr ( , 0) 0,
3
12
5
10. Dr [ 3,2] ; Rr 0,
2

เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม
่
เรื่อง การหาโดเมนและเรนจ์โดยการวาดกราฟ

1. Dr ( 1, 0) (0, ) ; Rr ( 1, 0) (1, )
2. Dr ( 1, ) ; Rr [0,1) (4, )
3. Dr {0} ; Rr
4. Dr ; Rr [1, )
5. Dr (0, ) ; Rr [0, )
6. 5

4

3

2

1

4 2 2 4

Dr ( 2, 4) ; Rr [0, 4)

33


1 13 1 13
7. เมื่อ A , และ
4 2 2

B 1 13 1 13
ดังนั้น
2

B ,
2 2
3 2 1 1 2

A
1 13 1 13
;
2

Dr ,
4
2 2

1 13
Rr 4,
2

8. 4

3

2

1

2 1 1 2

3 3 9
Dr , ; Rr 0,
2 2 4
9.
1.0

0.5

2 1 1 2

0.5

1.0

1.5

Dr ( 1, 0) (0, ) ; Rr ( , 1) (0,1)

34


10.
6

4

2

2 2 4

Dr [0, 4] ; Rr [0,5]
หมายเหตุ เส้นกราฟของความสัมพันธ์ในข้อ 6, 9 และ 10 ทุกเส้นเป็นเส้นทึบ

เฉลยแบบฝึกหัดระคน

1
1. 1 2. ( 1,1) (1, ) 3. [0,1) 4. ,4 (4, ) 5. Dr ( , 0] [2, ) ; Rr
3
6. Dr ; Rr
Y

2
X
-2 2
-2

1 1 1
7. Dr ; Rr , 8. Dr ( 1] [1, ) ; Rr ( 2,2)
4 5 5
9. Dr [0, k 2 ] ; Rr [0, k 2 ]
10. Dr (0,1) ; Rr (0,1)
Y

(1,1)

X
(0,0)

35


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน

36


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์

37


ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม

38


การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้

39

31 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่2_โดเมนและเรนจ์

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 31 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่2_โดเมนและเรนจ์

Similar to 31 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่2_โดเมนและเรนจ์ (20)

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)

31 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่2_โดเมนและเรนจ์