รากที่สอง..

92,978 views

Published on

  • Be the first to comment

รากที่สอง..

  1. 1. รากที่สองบทนิยาม ให้ n เป็นจานวนจริงบวกใดๆ หรือ ศูนย์ รากที่สองของ n คือจานวนจริงที่ยกกาลังสองแล้วได้ nตัวอย่างหมายเหตุ1.รากที่สองของ 0 คือ 02.รากที่สองของจานวนจริงบวกจะเป็นจานวนตรรกยะหรือจานวนอตรรกยะอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น3.รากที่สองของจานวนจริงลบจะไม่เป็นจานวนจริง
  2. 2. 4.ถ้า n เป็นจานวนจริงใดๆ จะได้ l n l เมื่อ l n l แทน ค่าสัมบูรณ์ของ n
  3. 3. การหารากที่สอง 1. การหารากที่สองโดยแยกตัวประกอบตัวอย่างที่ 1 จงหารากที่สองของ 64วิธีทา 64 = 2 x2x2x2x2x2 = 8 x 8 = 82 หรือ 64 = (-8) x (-8) = (-8) 2 ดังนั้น รากที่สองของ 64 คือ 8 และ -8 2. การหารากที่สองของเลขจานวนเต็มบวกโดยการตั้งหาร1. แบ่งตัวเลขจากหลังมาเป็นคู่ๆ ถ้าเป็นเลขทศนิยมก็แบ่งจากจุดทศนิยมไปทางขวามือ ถ้าไม่ครบคู่ให้เติมศูนย์ให้ครบคู่2.หาเลขจานวนหนึ่ง ซึ่งคูณตัวมันเองได้ค่าใกล้เคียงกับตัวเลขหน้าหรือคู่หน้ามากที่สุด ( แต่ต้องไม่มากกว่า ) ให้ตั้งตัวเลขที่ได้ลงในช่องผลลัพธ์ตัวหนึ่ง และช่องตัวหารตัวหนึ่ง3.ยกกาลังสองของผลลัพธ์ ได้เท่าไรเอาไปตั้งเป็นตัวลบเลขตัวแรกหรือคู่แรกเศษเท่าไรชักลงมาแล้วชักเลขคู่ต่อไปลงมาคู่หนึ่ง4.เอา 2 คูณผลลัพธ์ ได้เท่าไรเอาไปหารตัวเลขที่ชักลงมาให้ถึงจานวนที่ชักลงมาเพียงจานวนเดียว ได้ผลลัพธ์เท่าไรเอาตั้งที่ผลลัพธ์ตัวหนึ่ง และตั้งที่ช่องหารตัวหนึ่ง5.เอาเลขลัพธ์ตัวใหม่คูณตัวหารทั้งหมด ตั้งเป็นตัวลบเหลือเศษเท่าไรชักลงมาพร้อมกับชักเลขตัวตั้งลงมา 2 จานวนด้วย
  4. 4. 6.ในกรณีที่ผลคูณในข้อ 5. ได้ผลลัพธ์ของตัวลบเกินตัวตั้งให้ลดค่าของผลลัพธ์ที่ได้จากข้อ 4. ลงมาอันดับหนึ่ง ต่อจากนั้นทาเวียนจากข้อ 4. ลงมาจนหมดก็จะได้ค่ารากที่สอง 1. การหารรากที่สองของทศนิยม โดยการตั้งหาร มีหลักเหมือนการหารากที่สองของเลขจานวนเต็มทุกประการ จะแตกต่างกันก็แต่เพียงการแบ่งเลขเป็นชุด ๆ หลังจุดทศนิยมจะแบ่งจากซ้ายไปขวา (โดยเริ่มจากจุดทศนิยม) ครั้งละ 2 หลัก โดยมีเครื่องหมาย , คั่นเช่นกัน ลองทาดูนะคะเช่น จงหาราที่สองของ 10.58 = 3.2527 รากที่สองของสอง รากที่สองของสอง หรือที่รู้จักในชื่อ ค่าคงตัวของพีทาโกรัส เขียนแทนด้วย√2 เป็นจานวนจริงบวกที่เมื่อคูณกับตัวเองแล้วจะมีค่าเท่ากับ 2 มีค่าประมาณ1.414213562373095ในทางเรขาคณิต รากที่สองของสองคือความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 1 หน่วย ความยาวนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งรากที่สองของสองนี้ถือเป็นจานวนอตรรกยะจานวนแรกที่เป็นที่รู้จัก
  5. 5. ประวัติ จากหลักฐานบันทึกบนก้อนโคลนของชาวบาบิโลเนียเผยให้เห็นค่าประมาณของ ในรูปผลบวกของเลขพหุคูณของ จานวน 4 พจน์ ซึ่งมีค่าใกล้เคียงถึงทศนิยมตาแหน่งที่หกบันทึกในหนังสือ Sulbasutras ของชาวอินเดียโบราณ (800-200 ปีก่อนคริสตกาล)ได้กล่าวถึงค่าประมาณของรากที่สองไว้คือ เป็นการเพิ่มความยาว (ของด้าน) ด้วยหนึ่งในสามเท่าของค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสี่เท่าของหนึ่งในสามเท่าค่านั้นแล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสามสิบสี่เท่าของค่าหนึ่งในสี่เท่าค่านั้นการค้นพบจานวนอตรรกยะนี้ ถือเป็นผลงานที่สาคัญของฮิปปาซุส (ศิษย์ในสานักของปีทากอรัส) ซึ่งเป็นผู้ที่พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของรากที่สองของสอง เป็นที่เชื่อกันตามคากล่าวว่าปีทากอรัสเชื่อในความสมบูรณ์แบบของจานวนและทาให้ไม่ยอมรับในการค้นพบจานวนอตรรกยะ ถึงแม้ว่าปีทากอรัสจะไม่สามารถพิสูจน์ความไม่มีอยู่ของจานวนอตรรกยะได้ แต่เขาก็ได้สั่งลงโทษประหารฮิปปาซุสโดยการกดน้า ตานานอื่นเล่าว่าเขาถูกฆ่ากดน้าโดยศิษย์คนอื่นของปีทากอรัสหรืออาจถูกขับออกจากสานัก
  6. 6. วิธีการคานวณนักคณิตศาสตร์ได้ค้นหาวิธีการคานวณรากที่สองของสองในรูปแบบต่างๆ กันเพื่อเขียนค่าประมาณใกล้เคียงของรากที่สองของสองออกมาในรูปของอัตราส่วนของจานวนเต็มหรือเลขทศนิยม หนึ่งในวิธีการที่ถือว่าเป็นเบื้องต้นที่สุดคืออัลกอริธึมของบาบิโลเนียนเพื่อคานวณรากที่สองของสอง ซึ่งถือเป็นพื้นฐานการคานวณของคอมพิวเตอร์และเครื่องคิดเลข อัลกอริธึมเพื่อหารากที่สอง (อาจใช้เพื่อหารากที่สองของจานวนใดๆ ไม่เฉพาะของสอง) ดังกล่าวสามารถทาได้ดังนี้1.เลือก a0 >0 ค่า a0 ที่เลือกนี้จะมีผลกระทบต่อความเร็วในการลู่เข้าสู่ค่าของ √2ในระดับความแม่นยาหนึ่งเท่านั้น2.ใช้ฟังก์ชันเรียกตัวเองเพื่อคานวณ a1, a2, a3, ..., anตัวอย่างการคานวณโดยเลือก a0=1 ได้ผลดังนี้a0 = 1a1 = 3/2 = 1.5a2 = 17/12 = 1.416...
  7. 7. a3 = 577/408 = 1.414215...a4 = 665857/470832 = 1.4142135623746...ในปี ค.ศ.1997 ทีมของยาซูมาสะ คานาดะได้คานวณค่าของ √2 แม่นยาถึงทศนิยมตาแหน่งที่ 137,438,953,444 เดือนกุมภาพันธ์ปี ค.ศ.2006 ความท้าทายในการคานวณค่าของ √2 ได้ถูกทาให้หมดไปด้วยการใช้คอมพิวเตอร์บ้าน ชิเกรุ คอนโดได้คานวณค่าประมาณใกล้เคียงของ √2 ถึงทศนิยมตาแหน่งที่ 200,000,000,000 ในเวลา 13 วัน 14 ชั่วโมงโดยใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลขนาด 3.6 GHz และหน่วยความจา 16 Gb อย่างไรก็ดี เป็นที่ยอมรับกันทั่วไปว่าในจานวนค่าคงตัวอตรรกยะทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ที่ถือเป็นความท้าทายต่อนักคณิตศาสตร์ที่จะเขียนในรูปของทศนิยมไม่รู้จบ ค่า π ดูจะเป็นจานวนที่ถูกประมาณได้แม่นยาละเอียดสูงสุด
  8. 8. แบบฝึกหัดเรื่องรากที่สอง1.ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง1. รากที่สองของ 484 คือ 22 และ -222. -21 เป็นรากที่สองของ 4413. รากที่สามของ 1,331 คือ 11 และ -114. 9 เป็นรากที่สามของ 7292.ใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง1.2.3.4.3.จงหาผลลัพธ์ของ4.จงหารากที่สองของ 2,6015.จงหารากที่สองของ 3,025
  9. 9. 6.จงหารากที่สองของ 4,2257.จงหารากที่สองของ 4,9008.จงหารากที่สองของ 6,0849. เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีฐานยาว 15 ซม.พื้นที่ 150 ตารางเซนติเมตรและ เป็นส่วนสูง จงหาว่า ยาวประมาณกี่เซนติเมตร(ตอบเป็นจานวนเต็มหน่วย)
  10. 10. 10.จากรูปกาหนดให้มี AB = 24 หน่วย BC = 7 หน่วย และ AC = CD จงหาความยาว (ตอบเป็นทศนิยมสองตาแหน่ง)11.จงหารากที่สองของ 2,60112.จงหารากที่สองของ 302513.รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งยาว 8 ซม. มีเส้นทแยงมุม 9 ซม.จงหาว่ารูปนี้กว้างกี่เซนติเมตร (ตอบทศนิยม 2 ตาแหน่ง)
  11. 11. 14.กาหนดให้ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCDEFGH มี AB = 5 หน่วยBC = 3 หน่วย และ CD = 4 หน่วย จงหาความยาว (ตอบเป็นทศนิยมสองตาแหน่ง)15.16.17.
  12. 12. 18.19.20.รากที่สองของ 4,096เฉลยแบบฝึกหัด1.ตอบ 3. รากที่สามของ 1,331 คือ 11 และ -112.ตอบ 4.3.ตอบ
  13. 13. 4.ตอบ5.ตอบ6.ตอบ7.ตอบ8.ตอบ9.วิธีทา พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ความยาวฐาน x สูงพื้นที่
  14. 14. เมื่อเรารู้ความสูงของรูปสี่เหลี่ยมแล้ว ต่อไปเรา จะหา AEพิจารณา Δ ABE อยู่ในเส้นขนาน AB // DC และมี BE เป็นเส้นตั้งฉาก กับ DCเกิดมุมแย้งกัน ดังนั้น จะได้มุมที่ Δ ABE จาก ทฤษฎีบทพีทาโกลัส
  15. 15. 10.วิธีทา พิจารณา Δ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก จาก ทฤษฎีบทพีทาโกลัส11. วิธีทา การหารากที่อง ใช้การแยกตัวประกอบ จะได้12.การหารากที่สอง ใช้การแยกตัวประกอบ จะได้
  16. 16. 13.วิธีทา จากรูปด้านบน เราดูที่ Δ ABC จาก ทฤษฎีบทพีทาโกลัส14.วิธีทา จากรูปด้านบนเรากาลัง จะหา BH จะได้ดังรูปที่ 2จากรูป หา BH จากสามเลี่ยม ABH มุม A เป็นมุมฉากจาก ทฤษฎีบทพีทาโกลัส เราจะหา BH ได้ดังนี้
  17. 17. ต่อไปเราจะหา GB พิจารณาสามเหลี่ยม GBH15.16.17.
  18. 18. 18.19.20.

×