Teks tersebut membahas analisis kompleks gelombang sinusoid dan persamaan-persamaan saluran transmisi serta solusinya dalam bentuk fasor. Secara singkat, teks tersebut menjelaskan bagaimana gelombang sinusoid dinyatakan dalam bentuk fungsi kompleks, kemudian menggunakan identitas Euler untuk menentukan nilai fungsi kosinus dan sinus. Persamaan saluran transmisi kemudian disusun dalam bentuk tegangan fasor dan disederhanakan menjadi pers

1. Nama : Risdawati Hutabarat
NPM : 1215031064
11.5 ANALISIS KOMPLEKS GELOMBANG SINUSOID
Fungsi kosinus selalu dipilih untuk mempresentasikan sinusoid secara umum. Berikut
ini adalah analisis kompleks mengenai gelombang sinusoid. Sebelum kitamulai
menaganalisis kompleks gelombang sinusoid, hal pertama yang dilakukan adalah
menyatakan gelombang-gelombang yaitu sinusoid kedalam bentuk fungsi-fungsi
komplek. Dengan begitu prosess menganalisis dapat dilakukan dengan mudah dan akan
mendapatkan gambararan mengenaifase yang terakumulassi pada sinyal-sinyal yang
terjadi melalui berbagai mekanisme. Dalam proses menganalisis ini biasanya akan
terjadi permasalahan dimana dua gelomban sinusoid atau lebih harus digabungkan agar
membentuk sebuah gelombang resultan. Nah untuk memudahkan menyelesaikan
masalah ini adalah dengan analisis kompleks
Apabila kita ingin menyatakan fungsi-fungsi sinusoid kedalam bentuk kompleks maka
akan tidak jauh dengan yang namanya identitas Euler. Dimana dapat dinyakan pada
persamaan berikut
e±jx
= cos (x) ± j sin (x) (pers. 32)
Dari persamaan Euler diatas, maka kita dapat menentukan berapa nilai dari fungsi
kosinus dan fungsi sinus secara berturut-turut, sebagai bagian riil dan bagian imajiner
dari bilangan eksponen kompleks euler.
Berikut ini adalah persamaan untuk medapatkan nilai dari fungsi kosinus dan fungsi
sinus yaitu :
Cos(x) = Re | e±jx
| =
1
2
(ejx
+ e-jx
) =
1
2
ejx
+ k.k. (pers. 33a)
Sin (x) = ±Im | e±jx
| =
1
2 𝑗
(ejx
- e-jx
) =
1
2 𝑗
ejx
+ k.k. (pers. 33b)
Dari persamaan diatass diketahui bahwa j = √−1 dan k.k adalah singkatan dari
konjugasi kompleks dari suku yang muncul sebelumnya pada persamaan. Bilangan
konjugat dibentuk dengan mengubah tanda semua bilangan j yang muncull pada suku
terkait.
Dari persamaan 33a diatas yaitu untuk mencari fungsi cos(x) , fungsi ini dapat kita
terapkan pada persamaan sebelumnya yaitu pada persamaan untuk mencari nilai
tegangan maka akan didapatkan sebuah persamaan baru yaitu :
V (z,t) = |VO| cos | ωt ± βz + ϕ | =
1
2
(|Vo | ejϕ
) e±jβz
e
jωt
+ k.k (pers. 34)

2. Dari persamaan 34 diatas bahwa apabila dilihat pada persamaan itu tersusun atas
besaran-besaran fase sehingga kita dapat mengidentifikasikan amplitudo kompleks dari
gelombang tegangan yaitu Vo = (|Vo | ejϕ
). Dimana terdapat sebuah symbol tunggal
(pada kasus ini yaitu Vo) akan dinotasikan sebagai symbol untuk amplitude dari
gelombang tegangan dan arus, namun sebelumnya harus dipahami bahwa amplitude ini
secara umum adalah sebuah besaran kompleks yaitu magnitude dan fasse.
Kemudian dari persamaan (34) diatas kita akan menurunkan dua definisi baru yaitu
untuk memperoleh tegangan kompleks sesaat dan tegangan fasor .
Berikut ini adalah tegangan kompleks sesaat yang dituliskan dalam persamaan :
Vc (z,t) = Vo e±jβz
ejωt
(pers. 35)
Setelah itu didapatkan pula tegangan fasor yang diperoleh dengan menanggalkan factor
ejωt
dari persamaan tegangan kompleks sesaat diatass yang akan menghasilkan :
Vs (z) = V0 e±jβz
Namun ada yang perlu diperhatikan bahwa tegangan fasor hanya dapat difenisikan di
dalam kondisi steady-state sinusoid yang artinya adalah bahwa Vo tidak bergantung
pada waktu. Namun kita sering berasumsi akan hal tersebut karena sebuah amplitude
yang berubah terhadap waktu mengimplikasikan adanya beberapa komponen frekuensi
di dalam sinyal. Pada kesempatan ini kita hanya membicarakan tentang gelombang
frekuensi tunggal disini. Pengejawantahan dari tegangan fasor adalah bahwa kita secara
efektif mengamsumsikan bahwa waktu sama sekali berhenti dan kita mengamati sebuah
gelombang yang diam atau dengan kata lain stasioner di dalam ruang pada titik waktu
yaitu t = 0. Dengan demikian proses menganalisis fase-fase relative sinyal diberbagai
titik pada saluran dan ddengan menggabungkan beberapa gelombang untuk membentuk
gelombang baru yang akan menjadi relative mudah apabila berbentuk fasor. Namun hal
ini dapat diterapkan bila semua sinyal yang terkait telah memiliki frekuensi yang sama.
Dengan demikian maka dari definisi yang ada pada (35) dan (36) maka tegangan riil
sesaat dapat diturunkan persamaannya dari persamaan (34) menjadi :
V (z,t) = |VO| cos | ωt ± βz + ϕ | = Re |Vc (z,t) | =
1
2
Vc + k.k (Pers. 37a)
Atau apabila menggunakan tegangan fasor :
V (z,t) = |VO| cos | ωt ± βz + ϕ | = Re [ Vs (z) ejωt
] =
1
2
Vs (z) ejωt
+ k.k (37b)
Dengan demikian maka akan diperoleh kembali gelombang tegangan sinusoid riil
dengan mengalikan tegangan fasor dengan factor ejωt
yang berarti dengan memasukkan
factor kebergantungan terhadap waktu.

3. 11.6 PERSAMAAN-PERSAMAAN SALURAN TRANSMISI DAN SOLUSINYA
DALAM BENTUK FASOR.
Pada subbab sebelumnya terdapat beberapa persamaan yang telah diperoleh, maka dari
persamaan-persamaan yang telah diperoleh tersebut maka kita kita dapat
menerapkannya kedalam persamaan saluran transmisi, yang berawal dari persamaan
gelombang umum, dimana persamaan tersebut dituliskan kembali dalam bentuk
tegangan riil sesaat V (z,t) sebagai berikut :
Ə2
V / Əz2
= LC (Ə2
V / Ət2
) + (LG + RC) ƏV/ Ət + RGV (38)
Kemudian adalah menyulihkan V(z,t) dengan bentuk persamaan pada sisi paling kanan
persamaan 37b yaitu
1
2
Vs (z) ejωt
+ k.k , konjugat kompleks (k.k) akan membentuk
persamaan redundan terpisah. Kemudian operator Ə/ Ət akan sama dengan
mengalikannya dengan factor jω, setelah mengsubtitusikan operator Ə/ Ət kedalam
factor jω maka semua turunan terhadap waktu yang terjadi adalah factor ejω
akan
hilang. Kemudian akan didapatkan sebuah persamaan gelombang dengan suku-suku
berupa tegangan fasor.
Ə2
Vs /dz2
= -ω2
LC Vs + jω (LG + RC) Vs+ RG Vs (39)
Persamaan 39 diatass dapat disederhanakan lagi kedalam bentuk yaitu :
Ə2
Vs /dz2
= (R + jωL) (G + jωC) Vs = γ2
Vs (40)
↓ ↓
Z Y
Dari persamaan (40) diatas z, y diindikasikan pada persamaan ini secara berturut-turut
merepresentasikan impedansi seri netto dan admitansi shunt netto pada saluran transmisi
–kedua besaran diukur dalam basis persatuan jarak. Konstanta propagasi untuk saluran
ini didefinisikan sebagai :
γ = √(𝑅 + jωL)(G + jωC) = √𝑍𝑌 = α + jβ (41)
Namun interpertasi untuk suku-suku persamaan ini akan diberikan pada subbab
berikutnya yaitu pada subbab 11.7 nanti, jadi solusi untuk persamaan (40) adalah :
Vs(z)= V+
o e-γz
+ V-
o e+γz
(42a)
Ketika persamaan gelombang untuk tegangan didapatkan maka persamaan gelombang
untuk aruspun dapat didapatkan karena persamaannya memiliki bentuk yang identik
pada persaamaan (40)
Is(z) = I+
o e-γz
+ I-
o e+γz
(42b)

4. Setelah Diketahui hubungan antara tegangan dan arus kini kita dapat menuliskan
persamaan arus sinusoid , karena telah diindikasikan oleh kedua persamaan sang
telegrafis yaitu pada persamaan (5) dan (8) yaitu pada subbab 11.2 sebelumnya.
Ί (z,t) = |Io| cos (ωt +βz + ᶓ ) =
1
2
(|Io|eJᶓ
) e±jβz
ejωt
+ k.k =
1
2
Is(z) ejωt
+ k.k (43)
Kemudian menyulihkan sisi paling kanan dari persamaan (37b) dan (43) kedalam (5)
dan (8) akan mengubah persamaan (5 dan 8) akan menjadi :
Ə 𝑉
Ə𝑧
= - (RΊ + L
ƏΊ
Ə𝑡
) →
𝑑 𝑉𝑠
𝑑𝑧
= - (R + jωL) Is = -Z Is (44a)
Ə Ί
Ə𝑧
= - (GV + C
Ə𝑉
Ə𝑡
) →
𝑑 𝐼𝑠
𝑑𝑧
= - (G + jωC) Vs = -Y Vs (44b)
Kemudian menyulihkan persamaan (42a) dan (42b) kedalam salah satu dari persamaan
(44a) untuk mendapatkan :
-γ V+
o e-γz
+ γV-
o eγz
= -Z (I+
o e-γz
+ I-
o eγz
) (45)
Langkah berikutnya adalah menyamakan koefisien-koefisien dari suku-suku e –γz
dan
eγz
pada kedua sisi persamaan diataas, kemudian menurunkan persamaan umum untuk
impedansi karakteristik saluran transmisi :
Z0 = V+
o / I+
o = - V-
o / I-
o = Z/γ = Z/√𝑍𝑌 = √
𝑍
𝑌
(46)
Kemudian menyulihkan bentuk-bentuk Z dan Y yang telah diindikasikan pada (40)
kedalam persamaan tersebut. Maka akan didapatkan impedansi karakteristik sebagai
fungsi dari parameter-parameter saluran transmisi yaitu :
Z0 = √
𝑅+ jωL
𝐺+ jωC
= | Z0| ejθ
(47)
Setelah memperhatikan persamaan tegangan dan arus yang telah dituliskan pada
persamaan (37b) dan (43) secara berturut-turut maka kita akan mengetahui bahwa fase
dari impedansi karakteristik adalah θ = ϕ - ᶓ