wewrte4yr4g

1. Bab 5
DERET FOURIER
Pada Bab sebelumnya kita telah membahas deret Taylor. Syarat fungsi agar
dapat diekspansi ke dalam deret Taylor adalah fungsi tersebut harus terdiferensial
pada setiap tingkat. Untuk fungsi yang tidak terdiferensial masih ada alternatif
lain untuk mengekspansikannya ke dalam deret yang disebut deret Fourier. Agar
suatu fungsi dapat diekspansi ke dalam deret Fourier maka fungsi tersebut harus
periodik.
5.1 Fungsi periodik, fungsi genap, fungsi ganjil
Definisi 5.1.1. Suatu fungsi f(x) dikatakan fungsi periodik dengan periode T
jika untuk setiap x berlaku
f(x + T) = f(x).
Contoh 5.1.1. Fungsi f(x) = sin(x) mempunyai periode T = 2π, 4π, 6π, · · ·
sebab
sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) = sin(x + 6π) = · · ·
Bilangan T paling kecil yang dianggap sebagai periode suatu fungsi. Dalam
contoh ini, fungsi f(x) = sin(x) mempunyai periode 2π.
Contoh 5.1.2. Fungsi f(x) = sin nx, dengan n suatu bilangan bulat positip
merupakan fungsi periodik dengan periode 2π
n
, sebab
f x +
2π
n
= sin n(x +
2π
n
) = sin(nx + 2π) = sin nx = f(x).
65

2. 66
Ilustrasi untuk n = 2 dapat dilihat pada gambar.
Gambar 5.1: Grafik fungsi f(x) = sin 2x dan periodanya
Kita dapat membuat fungsi yang didefinisikan pada suatu interval menjadi
fungsi periodik dengan cara copy-paste. Artinya, fungsi y = f(x) dengan x ∈ [a, b]
diperluas menjadi y = f(x) dengan x ∈ R yaitu
f(x) =
f(x) bila x ∈ [a, b]
f(x − T) bila x /∈ [a, b].
Kita sebut teknik ini dengan periodisasi fungsi.
Definisi 5.1.2. Fungsi f(x), x ∈ R dikatakan
i. Fungsi ganjil jika f(−x) = −f(x) untuk setiap x ∈ R,
ii. Fungsi genap jika f(−x) = f(x) untuk setiap x ∈ R.
Contoh 5.1.3. Berikut ini beberapa contoh fungsi genap dan fungsi ganjil.
a. Fungsi f(x) = cos x merupakan fungsi genap, sebab cos(−x) = cos x.
b. Fungsi f(x) = sin x merupakan fungsi ganjil, sebab sin(−x) = −sinx.
c. Fungsi f(x) = x3
merupakan fungsi ganjil, sebab (−x)3
= −x3
.

3. kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi 67
Gambar 5.2: Periodisasi fungsi f(x) = x2
, x ∈ [0, 1].
d. Fungsi f(x) = x2
merupakan fungsi genap, sebab (−x)2
= −x2
.
e. Fungsi f(x) = ex
bukan merupakan fungsi genap maupun fungsi ganjil,
sebab e−x
= ex
dan e−x
= −ex
.
Berikut ilustrasi grafis fungsi genap dan fungsi ganjil.
5.2 Deret Fourier fungsi periodik
Definisi 5.2.1 (Deret Fourier). Misalkan fungsi f(x) periodik dengan periode
2L. Jika fungsi ini terdefinisi pada interval (c, c + 2L) dengan c suatu konstanta
maka fungsi ini dapat disajikan dalam bentuk deret
a0
2
+
∞
n=1
an cos
nπx
L
+ bn sin
nπx
L
(5.2.1)
dengan
an =
1
L
c+2L
c
f(x) cos
nπx
L
dx dan bn =
1
L
c+2L
c
f(x) sin
nπx
L
dx. (5.2.2)
Secara khusus, jika fungsi f didefinisikan pada interval (−L, L) yaitu bersesuaian
dengan c = −L maka koefisien deret Fourier di atas menjadi
an =
1
L
L
−L
f(x) cos
nπx
L
dx dan bn =
1
L
L
−L
f(x) sin
nπx
L
dx. (5.2.3)

4. 68
−1 0 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
y = x
2
−1 0 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y = x
3
Gambar 5.3: Grafik fungsi f(x) = x2
(genap) dan f(x) = x3
(ganjil)
.
Teorema 5.2.2. Misalkan f : [−L, L] → R. Jika f genap maka
an =
2
L
L
0
f(x) cos
nπx
L
dx dan bn = 0.
Jika f ganjil maka
an = 0 dan bn =
2
L
L
0
f(x) sin
nπx
L
dx.
Bukti. Akan dibuktikan saja kasus f ganjil. Untuk fungsi genap mahasiswa
dapat mencoba sendiri. Karena f ganjil maka f(−x) = −f(x).
an =
1
L
L
−L
f(x) cos
nπx
L
dx
=
1
L
0
−L
f(x) cos
nπx
L
dx +
L
0
f(x) cos
nπx
L
dx
=
1
L
0
L
f(−x) cos
nπ(−x)
L
d(−x) +
L
0
f(x) cos
nπx
L
dx
=
1
L
−
L
0
f(x) cos
nπx
L
dx +
L
0
f(x) cos
nπx
L
dx = 0

5. kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi 69
Selanjutnya,
bn =
1
L
L
−L
f(x) sin
nπx
L
dx
=
1
L
0
−L
f(x) sin
nπx
L
dx +
L
0
f(x) sin
nπx
L
dx
=
1
L
0
L
f(−x) sin
nπ(−x)
L
d(−x) +
L
0
f(x) sin
nπx
L
dx
=
1
L
L
0
f(x) sin
nπx
L
dx +
L
0
f(x) sin
nπx
L
dx
=
2
L
L
0
f(x) sin
nπx
L
dx
Berikut ini nilai integral yang memuat fungsi sinus dan cosinus yang sering
digunakan dalam menentukan koefisien deret Fourier.
L
−L
sin
kπx
L
dx = 0,
L
−L
cos
kπx
L
dx = 0
L
−L
cos
nπx
L
sin
mπx
L
dx = 0,
L
−L
cos
nπx
L
cos
mπx
L
dx =
L
−L
sin
nπx
L
sin
mπx
L
dx =
0 bila m = n
L bila m = n.
Contoh 5.2.1. Temukan deret Fourier untuk fungsi
f(x) =
−1 bila − 5 < x < 0
1 bila 0 < x < 5.
dan diluar interval ini [−5, 5] dilakukan periodisasi dengan periode = 10.
Penyelesaian. Diperhatikan bahwa fungsi ini adalah ganjil dengan 2L = 10,
lihat gambar berikut Karena itu, berdasarkan Teorema sebelumnya diperoleh
an = 0 dan

6. 70
−5 0 5
−1
0
1
Gambar 5.4: Grafik fungsi f
.
bn =
2
5
5
0
f(x) sin
nπx
L
dx
=
2
5
5
0
sin
nπx
L
dx
=
2
5
−
5
nπ
cos
nπx
5
5
0
dx
= −
2
nπ
[cos nπ − cos 0] = −
2
nπ
[cos nπ − 1]
Jadi deret Fourier untuk fungsi ini adalah
∞
n=1
−
2
nπ
[cos nπ − 1] sin
nπx
5
.
Untuk melihat bagaimana deret Fourier ini mengaproksimasi fungsi f(x),
kita ambil jumlah parsial N sukunya seperti terlihat pada Gambar berikut.
Diperhatikan bahwa semakin dekat dengan titik diskontinu x = 0 maka
aproksimasinya semakin jelek. Fakta ini sesuai dengan sifat kekonvergenan deret
Fourier, yaitu
a0
2
+
∞
n=1
an cos
nπx
L
+ bn sin
nπx
L
=
f(x) jika x titik kontinu
f(x+)−f(x−)
2
jika x titik diskontinu.

7. kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi 71
−5 0 5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
N = 3
N = 8N = 30
Gambar 5.5: Aproksimasi fungsi dengan deret Fourier
dimana f(x+
) dan f(x−) menyatakan limit kanan dan limit kiri. Kode MAT-
LAB yang dapat digunakan untuk mendefinisikan N suku pertama deret Fourier
diberikan sebagai berikut
function y = fourier1(x,N)
%N suku pertama deret Fourier contoh 5.1.4
a0=0; y=a0/2;
for n=1:N
an=0; bn=-2/(n*pi)*(cos(n*pi)-1);
y1= an*cos(n*pi*x/L)+bn*sin(n*pi*x/L);
y=y+y1;
end
%untuk kasus lainnya, perlu dimodifikasi
%pada a0, an dan bn.
Contoh 5.2.2. Ekspansikanlah fungsi f(x) = x2
pada interval (0, 2π) dalam
deret Fourier jika fungsi tersebut diperiodisasi dengan periode 2π.

8. 72
Penyelesaian. Dalam soal ini kita mempunyai L = π. Dengan mengambil
c = 0 maka dengan menggunakan teknik integral parsial diperoleh
an =
1
π
2π
0
x2
cos nx dx
=
1
π
x2 sin nx
n
− 2x
− cos nx
n2
+ 2
− sin nx
n2
2π
0
=
4
n2
, n = 0.
Untuk n = 0, a0 = 1
π
2π
0
x2
dx = 8π
3
.
bn =
1
π
2π
0
x2
sin nx dx
=
1
π
x2 − cos nx
n
− 2x
− sin nx
n2
+ 2
cos nx
n2
2π
0
= −
4π
n
.
Karena f(x) = x2
kontinu didalam interval (0, 2π) maka untuk setiap x ∈ (0, 2π)
berlaku
f(x) = x2
=
4π2
3
+
∞
n=1
4
n2
cos nπx −
4π
n
sin nπx .
Anda dapat melihat pola aproksimasi deret Fourier terhadap fungsi f den-
gan menggambarkan grafiknya seperti di atas.
5.3 Deret Fourier jangkauan setengah
Misalkan suatu fungsi f(x) didefinisikan pada interval (0, L). Fungsi ini dapat
diekspansikan kedalam deret Fourier dengan cara mengembangkan fungsi f pada
interval (−L, L). Jadi diperlukan pendefinisian fungsi pada interval (−L, 0). Ada
dua cara yang dapat dilakukan, yaitu fungsi f dikembangkan menjadi fungsi ganjil
atau menjadi fungsi genap. Kedua cara ini dapat dilihat pada gambar berikut.
Untuk pengembangan menjadi fungsi ganjil maka akan didapat deret
∞
n=1
bn sin
nπx
L
(5.3.1)

9. kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi 73
0 L−L
y = f(x)
Gambar 5.6: Pengembangan menjadi fungsi genap
dengan
bn =
2
L
L
0
f(x) sin
nπx
L
dx.
Sedangkan untuk pengembangan menjadi fungsi genap maka akan didapat deret
a0
2
+
∞
n=1
an cos
nπx
L
(5.3.2)
dengan
an =
2
L
L
0
f(x) cos
nπx
L
dx.
Deret yang terdapat pada (5.3.1) dan (5.3.2) disebut deret Fourier jangkauan
setengah.
Contoh 5.3.1. Ekspansikanlah fungsi f(x) = cos x, x ∈ [0, π] dalam bentuk deret
sinus.
Penyelesaian. Pertama-tama kita perluas fungsi f(x) = cos x yang semula
didefinisikan pada [0, π] menjadi fungsi genap yang didefinisikan pada [−π, π].

10. 74
0 L−L
y = f(x)
Gambar 5.7: Pengembangan menjadi fungsi ganjil
Karena L = π maka berdasarkan (5.3.1) diperoleh
bn =
2
π
π
0
cos x sin nx dx
=
2
π
π
0
1
2
[sin(n − 1)x + sin(n + 1)x] dx
= −
1
π
1
n − 1
cos(n − 1)x +
1
n + 1
cos(n + 1)x
π
0
= −
1
π
2n
n2 − 1
(cos(n + 1)π − 1) , untuk n ≥ 2.
Sedangkan untuk n = 1, dengan melihat langkah kedua penjabaran diatas, diper-
oleh b1 = 0. Jadi deret sinus untuk fungsi cosinus adalah
cos x = (1 − π)
∞
n=2
1
π
2n cos(n + 1)
n2 − 1
sin nx
Dengan cara yang sama, kita dapat manyajikan fungsi f(x) = cos x dalam deret
sinus.
Contoh 5.3.2. Ekspansikanlah fungsi berikut
f(x) =
x jika 0 < x < 4,
8 − x jika 4 < x < 8
kedalam (a) deret sinus dan (b)deret cosinus.

11. kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi 75
Penyelesaian. (a) Untuk ekspansi kedalam deret sinus, fungsi f perlu diperluas
menjadi fungsi ganjil seperti terlihat pada gambar berikut. Karena L = 8 maka
−8 −4 0 4 8
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Gambar 5.8: Aproksimasi fungsi dengan deret Fourier
diperoleh
bn =
2
8
8
0
f(x) sin
nπ
8
x dx
=
1
4
4
0
x sin
nπ
8
x dx +
8
4
(8 − x) sin
nπ
8
x dx
Dengan menerapkan integral parsial, kemudian memasukkan batas-batasnya maka
akhirnya diperoleh
bn =
32
π2n2
sin
nπ
2
.
Selanjutnya, pertanyaan (b) dapat diselesaikan dengan prinsip yang sama.