2. Pengertian Integral
• Jika F(x) adalah fungsi umum yang
bersifat F’(x) = f(x),
• maka F(x) merupakan antiturunan atau
integral dari f(x).
3. Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x
dinotasikan sebagai berikut :
ò f ( x)dx = F( x) + c
ò
• notasi integral (yang diperkenalkan oleh
Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
• f(x) fungsi integran
• F(x) fungsi integral umum yang bersifat
F’(x) f(x)
• c konstanta pengintegralan
4. ( ) x c
f x = n +1
+
• Jika f ‘(x) = xn, maka n
+
1
, n
≠ -1, dengan c sebagai konstanta
1
5. Integral Tak Tentu
• apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat
didiferensialkan pada interval sedemikian
hingga maka antiturunan dari f(x) adalah
F(x) + c
• Secara matematis, ditulis
ò f ( x)dx = F( x) + c
6. • di mana
• Lambang integral yang
menyatakan operasi antiturunan
òdx
• f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang
dicari antiturunannya
• c Konstanta
7. Teorema 1
• Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka
x c , c adalah konstanta.
= + ò 1
xndx n +
n
+
1
1
8. Teorema 2
• Jika f fungsi yang terintegralkan dan k
suatu konstanta, maka
òkf ( x)dx = k ò f ( x)dx
9. Teorema 3
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka
ò( f ( x) + g( x))dx = ò f ( x)dx + ò g( x)dx
10. Teorema 4
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka
ò( f ( x) - g( x))dx = ò f ( x)dx - ò g( x)dx
11. Teorema 5
• Aturan integral substitusi
• Jika u suatu fungsi yang dapat
didiferensialkan dan r suatu bilangan
rasional tak nol maka
ò( u ( x )) r u ( x ) dx ( ( )) t 1
+
= u x + c
r
, dimana c adalah konstanta dan r
≠ -1.
+
1
' 1
12. Teorema 6
• Aturan integral parsial
• Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat
didiferensialkan, maka
òudv = uv - òvdu
13. Teorema 7
• Aturan integral trigonometri
xdx = x +
c
cos sin
xdx = - x +
c
sin cos
x c
x
= +
ò
ò
ò
tan
1
cos
2
• dimana c adalah konstanta.
14. METODE SUBTITUSI
Dalam menyelesaikan masalah integrasi pertama - tama kita
mengusahakan mengubahnya menjadi bentuk rumus dasar
dengan menggunakan variabel lain ( subtitusi )
Contoh :
1.ò 2x (x2 + 4)5dx = ...
dx du
Jawab :
u = x2 + 4 du = 2x dx
® Þ 2
x
=
1
1
u 2x du
ò 5 = òu5du = u6 + c = (x2 + 4)6 + c
2x
6
6
x dx ò =
...( )
1
2. 2
2
3
buat latihan
x
+
15. INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u dan v fungsi yang differensiabel
terhadap x, maka :
d(u.v) = v.du + u.dv
u.dv = d(u.v) – v.du
òu.dv = òd(u.v) -òv.du
òu.dv = u.v -òv.du
yang perlu diperhatikan pada metode ini adalah :
(1). Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegral.
(2).
òv du harus lebih mudah dari
òu.dv
16. òln x dx òu.dv
= 1
u = ln x du dx
x
òln x dx òdx
Contoh :
=
Jawab :
dv = dx v = x
Jadi :
= xln x -
= x ln x – x + c
17. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Sebuah polinom dalam x adalah sebuah fungsi berbentuk :
a xn + a xn + a xn + + a x + a -
n n
- -
1
2
2
1
0 1 ......
Fungsi H(x) disebut fungsi rasional jika :
H x = P x
( ) ( )
Q x
( )
dimana P(x) dan Q(x) adalah polinom
Jika derajat P(x) lebih rendah dari derajat Q(x), maka H(x)
disebut “Rasional Sejati”
Contoh :
2
+ - +
H x x x
= + +
x x x
( ) 2 2 3 2
2 2
18. Sedangkan jika derajat P(x) lebih tinggi dari derajat Q(x),
maka H(x) disebut “Rasional Tidak Sejati”
Contoh :
4 2
x x
= - + -
H x x x x
= - + +
( ) 10 3 1 2
6 3 23
4
4
2
2
-
-
x
x
Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,
P x
( )
Q x
( )
: ditulis sebagai jumlah dari bagian yang lebih
sederhana dengan menguraikan Q(x) dalam hasil
kali faktor-faktor linier atau kuadratis, yaitu :
19. 1. Faktor Q(x) semua linier dan tak berulang,
( ) ( )( ).....( ) 1 2 n Q x = x + a x + a x + a
A
( )
.....
P x
( )
A
A
( ) ( ) ( )
2
2
1
1
n
n
x a
x a
x a
Q x
+
+ +
+
+
+
=
Q(x) = (x + a)n
n
A
n
x a
A
x a
A
x a
P x
( )
Q x
( )
.....
( ) ( ) ( )
2
1 2
+
+ +
+
+
+
=
Q(x) = (ax2 + bx + c)(dx2 + ex + f )
P x
( )
Cx D
Ax B
+ +
= +
2 dx2 ex f
( ) ( ax bx c
) ( )
Q x
+ +
+ +
, maka :
2. Faktor Q(x) semua linier berulang,
, maka :
3. Q(x) adalah kuadratis,
, maka :
20. - ....
x
1. ( 1) 2 dx
ò =
- +
2
x x
A x B x
= + + -
( 1) ( 2)
( 2)( 1)
1
-
x
( 2)( 1) 2 1
- +
+
+
-
=
- +
x x
x
B
x
A
x x
- dx
x
( 1)
2 3 ò - 2
ò =
x x
- +
2
1
x
dx 2
3 ò dx
x
+1
ln | 2 | 2
3
= x - + ln | x +1| +c
3
1
contoh :
jawab :
x = 2 ® 2 – 1 = A(2+1)
1 = 3A ® A = 1/3
x = -1 ® -1 – 1 = B(-1-2)
-2= -3B ® B = 2/3
Jadi,
+
=
21. + ....
2 1
x
2. ( 1) 2 dx
ò =
x x
- +
A x B
= ( - 1)
+
2 2 ( 1)2
1
+
x
( 1) 1 ( 1)
-
-
+
-
=
-
x
x
B
x
A
x
x = 1 ® 1 + 1 = B ® B = 2
mis, x = 0 ® 0 +1 = A(0 – 1) + B
x
2 1
+ dx
1 = - A + 2 ® A = 1
( 1)
2 ò x -1
ò =
x x
- +
dx 2
ò dx
( x
-1)2
c
ln | 1| 2
x +
x
-
= - -
( 1)
Jadi,
+
22. SUBTITUSI TRIGONOMETRI
Jika Integran mengandung salah satu dari bentuk :
a2 - b2x2 , a2 + b2x2 ,atau b2 x2 - a2
x = a sin a2 -b2x2 = a cos z
a2 - b2 x2 z
b
x = a a2 + b2x2 = a sec z
a2 + b2 x2 tg z
b
x = a sec b2x2 - a2 = a tg z
b2x2 - a2 z
b
,
dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapat
ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri dengan
menggunakan variabel baru :
Bentuk Subtitusi Memperoleh
23. 2
dx
1.ò 9 - 4 = ....
x
x
= 3 9 - 4x2 = 3 cos z
= 3 dx cos zdz
x sin z
2
2
9 4 2 3cos 2
z dz z
dx z
ò - = ò = ò dz
z
z
x
x
cos ) 3 cos
2
sin
(3
3
sin
2
3òcos ec z dz - 3òsin z dz
- = ò dz
= - - x + - 2 +
x c
3ln | 3 9 4
x
2
| 9 4
2
contoh :
jawab :
®
, Jadi,
= 3 ln |cosec z – ctg z| + 3 cos z + c
3 1 sin
z
z
sin
2
24. dx
ò =
+
....
4
2.
x2 x2
x = 2 tg z dx = 2sec2 zdz 4 + x2 = 2sec z
dx ò dz =
ò =
x2 4 + x2
z
2sec
2
2
tg z z
(4 )(2sec )
cos
ò dz
z
z
4sin2
d z
sin2
1 (sin )
c
ò = z
4
- +
4sin
z
1
c
4 2
= - + x +
x
4
jawab :
®
,
Jadi,
25. Integral TerTentu
• Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang
nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)
tertentu.
• Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka
integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh :
• Dimana :
b
ò
a
f (x)dx
• f(x) : integran
a : batas bawah
b : batas atas
26. KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
5
ù
é
b
ò f (x)dx = [F(x)] = F(b) - F(a)
[ ] ( )
a
b
a
ò x dx = x x
êë
1
1
5 5 5
2
- = = úû
5 2
5
1
5
5
5
2
(3125 32) 618,6
5
5
2
5
4
= - =
a
ò =
a
ù
é
f (x)dx 0 [ ] ( )
ò x dx = x x
êë
1
1
- = = úû
(32 32) 0
5
1
2 2
5
5
5
2 5 5
2
5
2
2
2
2
5
4
= - =
b
ù
é
f (x)dx f (x)dx [ ] ( )
ò =-ò
a
a
b
- ò x dx = - x x
1
1
- - = - = úû
êë
(32 3125) 618,6
5
1
2 5
5
5
5
2 5 5
5
5
2
5
2
5
5
4
= - - =
27. KKAAIIDDAAHH--KKAAIIDDAAHH IINNTTEEGGRRAASSII TTEERRTTEENNTTUU
b
ù
êë é
kf (x)dx k f (x)dx [ ]
ò = ò
a
b
a
ò x dx = x 5.1
x
5 5 5
5
5
= úû
3125 32 3093
2
5
5
2
5
2
5
4
= - =
b
f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx ( )
ò{ + } = ò + ò
a
b
a
b
a
ò x 4 + 5 x 4 dx = ò x 4 dx + ò 5
x 4
dx
618,6 3093 3.7111,6
5
2
5
2
5
2
= + =
c
ò x4dx + ò x4dx = ò x4dx =
f (x)dx f (x)dx f (x)dx 618,6
ò + ò = ò
a
b
c
b
a
3
2
5
3
5
2
