Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Matematika Diskrit: Fungsi pembangkit part 4

4,177 views

Published on

Matematika Diskrit Fungsi Pembangkit pada Deret Taylor

Published in: Education
  • Be the first to comment

Matematika Diskrit: Fungsi pembangkit part 4

  1. 1. Fungsi Pembangkit Fungsi Pembangkit digunakan untuk memecahkan berbagai masalah counting, memecahkan relasi recurrence, dan membuktikan identitas kombinatorik, untuk menentukan rumus suku ke n pada barisan bilangan bertingkat 3 dan 4. Turunan Fungsi Aljabar Ζ’(x) = x2 + 5x β†’ Ζ’ ’(x) = 2x1 + 5 = 2x + 5 Ζ’(x) = 5x4 β†’ Ζ’ ’(x) = 20x3 Ζ’(x) = x3 + 6x2 + 8x + 6 β†’ Ζ’ ’(x) = 3x2 + 12x + 8 Ζ’(x) = 10x3 + 6x2 β†’ Ζ’ ’(x) = 30x2 + 12x Deret Taylor Deret taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks yang terdefenisikan tak terhingga dalam sebuh perserikatan sebuah bilangan riil atau kompleks adalah deret pangkat. Teorema ini mendapat nama dari matematikawan Brook Taylor, yang menyatakannya pada tahun 1712, meskipun hasilnya sudah ditemukan pertama kali tahun 1671 oleh James Gregory Ada 2 fungsi yaitu: 1) Ζ’(x) = ex 2) Ζ’(x) = 1 (1βˆ’π‘₯) Rumus Deret Taylor: 𝑓( π‘₯) = βˆ‘ 1 𝑛! 𝑓 𝑛(0) π‘₯ 𝑛 ~ 𝑛=0 Ζ’(x) = (3x + 5)5 ƒ’(x) = 5(3x +2)4 . 3 = 15(3x+2)4 Ζ’(x) = 4 (x2 + 4x)4 ƒ’(x) = 16(x2 + 4x)3.(2X +4) Ζ’(x) = 3 (x2 + 5x)5 β†’ ƒ’(x) = 15 (x2 + 5x)4. 2x + 5 𝑓( π‘₯) = 1 (5π‘₯ + 2)10 = 1(5π‘₯ + 2)βˆ’10 𝑓′( π‘₯) = βˆ’10(5π‘₯ + 2)βˆ’11 .5 𝑓′ (π‘₯) = βˆ’50(5π‘₯ + 2)βˆ’11 = βˆ’50 (5π‘₯ + 2)11
  2. 2. 𝑓( π‘₯) = 2 (2π‘₯ + 3)5 = 2(2π‘₯ + 3)βˆ’5 𝑓′( π‘₯) = βˆ’10(2π‘₯ + 3)βˆ’6 . 2 = βˆ’20(2π‘₯ + 3)βˆ’6 = βˆ’20 (2π‘₯ + 3)6 𝑓( π‘₯) = 1 (π‘₯2 + 4π‘₯)6 = 1(π‘₯2 + 4π‘₯)βˆ’6 𝑓′( π‘₯) = βˆ’6( π‘₯2 + 4π‘₯)βˆ’7 . 2π‘₯ + 4 𝑓′( π‘₯) = βˆ’6(2π‘₯ + 4) (π‘₯2 + 4π‘₯)7 = βˆ’12π‘₯ βˆ’ 24 (π‘₯2 + 4π‘₯)7 Deret taylor 1) Ζ’(x) = ex 2) Ζ’(x) = 1 (1βˆ’π‘₯) Tentukan Deret Taylor dari Ζ’ (x) = ex gunakan: 𝑓( π‘₯) β‰ˆ βˆ‘ 1 𝑛! 𝑓 𝑛(0) π‘₯ 𝑛 ~ 𝑛=0 Contoh: 0! = 1 , 1!=1, 2! = 2x1=2, 3! = 3x2x1=6 Ζ’ n(0) = turunan ke n Ζ’ (x) = ex β†’ ƒ’(x) = 1ex = ex Ζ’ (x) = e2xβ†’ ƒ’(x) = 2e2x. Ζ’ (x) = 10e-3xβ†’ ƒ’(x) = -30 e-3x 𝑓( π‘₯) = 𝑒 π‘₯2 +4π‘₯ β†’ 𝑓′( π‘₯) = (2π‘₯ + 4) 𝑒 π‘₯2 +4π‘₯ Ζ’ (x) = e-5x + 1 β†’ ƒ’(x) = -5 e-5x+1 Tentukan deret taylor dari Ζ’ (x) = ex gunakan: 𝑓( π‘₯) β‰ˆ βˆ‘ 1 𝑛! 𝑓 𝑛(0) π‘₯ 𝑛 ~ 𝑛=0 𝑓(π‘₯) = 𝑒 π‘₯ β†’ 𝑓(0) = 𝑒0 = 1 𝑓’(π‘₯) = 𝑒 π‘₯ β†’ 𝑓’(0) = 𝑒0 = 1 𝑓’’(π‘₯) = 𝑒 π‘₯ β†’ 𝑓’’(0) = 𝑒0 = 1 𝑓’’’(π‘₯) = 𝑒 π‘₯ β†’ 𝑓’’’(0) = 𝑒0 = 1 π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘’π‘‘ 𝑓( π‘₯) = 𝑒 π‘₯ β‰ˆ βˆ‘ 1 𝑛! . 1π‘₯ 𝑛 = βˆ‘ 1 𝑛! π‘₯ 𝑛 ~ 𝑛=0 𝑛 𝑛=0 ∢ 1 + π‘₯ + π‘₯2 2 + π‘₯3 6 + β‹― Ζ’ (x) = e2x β†’f(0) =e0 =1 β†’20 ƒ’(x) = 2e2x β†’ ƒ’(0) = 2e0 = 2 β†’21 ƒ’’(x) = 4e2x β†’ ƒ’’(0) = 4e0 = 4 β†’22 ƒ’’’(x) = 8e2x β†’ ƒ’’’(0) = 8e0 = 8 β†’ 23
  3. 3. : Ζ’ n(0) = 2n Ζ’ (x) = e3x β†’f(0) =e0 =1 β†’30 ƒ’(x) = 3e3x β†’ ƒ’(0) = 3e0 = 3 β†’31 ƒ’’(x) = 9e3x β†’ ƒ’’(0) = 9e0 = 9 β†’32 ƒ’’’(x) = 27e3x β†’ ƒ’’’(0) = 27e0 = 27 β†’ 33 ; Ζ’ n(0) = 3n 𝑓( π‘₯) = 𝑒2π‘₯ β‰ˆ βˆ‘ 1 𝑛! . 2 𝑛 π‘₯ 𝑛 ~ 𝑛=0 = 1 + 2π‘₯ + 4π‘₯2 2 + 8π‘₯3 6 + β‹― Deret taylor dari𝑓( π‘₯) = 1 (1βˆ’π‘₯) 𝑓( π‘₯) = 1 (1 βˆ’ π‘₯) = (1 βˆ’ π‘₯)βˆ’1 β†’ 𝑓′( π‘₯) = βˆ’1(1 βˆ’ π‘₯)βˆ’2 . βˆ’1 = 1(1 βˆ’ π‘₯)βˆ’2 = 1 (1 βˆ’ π‘₯)2 𝑓′′( π‘₯) = βˆ’2(1 βˆ’ π‘₯)βˆ’3 . βˆ’1 = 2(1 βˆ’ π‘₯)βˆ’3 = 2 (1 βˆ’ π‘₯)3 𝑓′′′( π‘₯) = βˆ’6(1 βˆ’ π‘₯)βˆ’4 . βˆ’1 = 6(1 βˆ’ π‘₯)βˆ’4 = 6 (1 βˆ’ π‘₯)4 𝑓′′′′( π‘₯) = βˆ’24(1 βˆ’ π‘₯)βˆ’5 . βˆ’1 = 24(1 βˆ’ π‘₯)βˆ’5 = 24 (1 βˆ’ π‘₯)5 Deret taylor untuk 𝑓( π‘₯) = 1 (1βˆ’π‘₯) = (1 βˆ’ π‘₯)βˆ’1 gunakan: 𝑓( π‘₯) β‰ˆ βˆ‘ 1 𝑛! 𝑓 𝑛(0). π‘₯ 𝑛 ~ 𝑛=0 Ζ’ (x) = (1-x)-1 β†’ Ζ’ (0) = (1-0)-1= 1 β†’ 0! ƒ’(x) = -1(1-x)-2. (-1) = 1(1-x)-2 β†’ ƒ’(0) = 1(1-0)-2 = 1 β†’ 1! ƒ’’(x) = -2(1-x)-3.(-1) = 2(1-x)-3 β†’ ƒ’’(0) = 2(1-0)-3 = 2 β†’ 2! ƒ’’’(x) = -6(1-x)-4.(-1) = 6(1-x)-4 β†’ ƒ’’’(0) = 6(1-0)-4 = 6 β†’ 3! ƒ’’’’(x) = -24(1-x)-5. (-1) = 24(1-x)-5 β†’ ƒ’’’’(0) =24(1-0)-5 = 24 β†’ 4! Ζ’ n(0) = n! Deret taylor (1 βˆ’ π‘₯)βˆ’1 β‰ˆ βˆ‘ 1 𝑛! ~ 𝑛=0 𝑛1 . π‘₯ 𝑛 βˆ‘ π‘₯ 𝑛 ~ 𝑛=0 = 1 + π‘₯ + π‘₯2 + π‘₯3 + β‹― 𝑓( π‘₯) = 1 (1 + π‘₯) = (1 + π‘₯)βˆ’1 β†’ 𝑓(0) = (1 + 0)βˆ’1 = 1 ƒ’(x) = -1 (1+x)-2 . 1 = -1(1+x)-2 β†’ ƒ’(0) = -1(1+0)-2 = -1 ƒ’’(x) = 2 (1+x)-3 . 1 = 2 (1+x)-3 β†’ ƒ’’(0) = 2(1+0)-3 = 2 ƒ’’’(x) = -6 (1+x)-4 . 1 = -6(1+x)-4 β†’ ƒ’’’(0) = -6(1+0)-4 = 6 ƒ’’’’(x) = 24 (1+x)-5 . 1 = 24(1+x)-5 β†’ ƒ’’’’(0) = 24(1+0)-5 = 24 :
  4. 4. Ζ’ n(-1)n. n Fungsi Pembangkit 1) Kombinasi 𝑐 π‘Ÿπ‘› = π‘˜ π‘Ÿ = ( 𝑛 π‘Ÿ ) = 𝑛 ! ( π‘›βˆ’π‘Ÿ)!π‘Ÿ!𝑛 2) Permutasi π‘π‘Ÿπ‘› = 𝑛! ( π‘›βˆ’π‘Ÿ)! Contoh: 𝐾25 = ( 5 2 ) = 5! (5 βˆ’ 2)!2! = 5.4.3.2.1 3.2.1.2.1 = 20 2 = 10 Deret 1 (1βˆ’π‘₯) 𝑛 β‰… βˆ‘ ( 𝑛+π‘˜βˆ’1 π‘˜ )𝑛 π‘˜=0 π‘₯ π‘˜ 1 (1 βˆ’ π‘₯)3 β‰ˆ βˆ‘ ( 3 + π‘˜ βˆ’ 1 π‘˜ ) 3 π‘˜=0 π‘₯ π‘˜ = βˆ‘ ( π‘˜ + 2 π‘˜ ) 3 π‘˜=0 π‘₯0 π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘’π‘‘ ( 2 0 ) π‘₯0 + ( 3 1 ) π‘₯1 + ( 4 2 ) π‘₯2 + ( 5 3 ) π‘₯3 = 1 + 3π‘₯ + 6π‘₯2 + 10π‘₯3 Fungsi Pembangkit 1) Fungsi Pembangkit Biasa (FPB) 2) Fungsi Pembangkit Exporter (FPE) 𝐹𝑃𝐡 β†’ 𝑝( π‘₯) = βˆ‘ π‘Ž 𝑛 ~ 𝑛=0 π‘₯ 𝑛 𝐹𝑃𝐸 β†’ 𝑝( π‘₯) = βˆ‘ π‘Ž 𝑛 ~ 𝑛=0 π‘₯ 𝑛 𝑛! An barisan bilangan dari suatu deret an = a0,a1, a2, a3, ... Contoh tentukan fungsi pembangkit (FPB) dari FPE jika an diketahui π‘Ž 𝑛 { 0, 𝑛 ≀ 3 1, 𝑛 > 3 β†’ π‘Ž 𝑛 = π‘Ž0, π‘Ž1, π‘Ž2, π‘Ž3, π‘Ž4, π‘Ž5,… = 0,0, 0, 0, 1, 1,… Catatan 𝑒 π‘₯ :1 + π‘₯ + π‘₯2 2! + π‘₯3 3! + π‘₯4 4! + β‹― 1 1 βˆ’ π‘₯ ∢ 1 + π‘₯ + π‘₯2 + π‘₯3 + π‘₯4 + β‹― 𝐹𝑃𝐡 β†’ 𝑝( π‘₯)βˆ‘ π‘Ž 𝑛 ~ 𝑛=0 π‘₯ 𝑛 : π‘Ž4 π‘₯4 + π‘Ž5 π‘₯5 + π‘Ž6 π‘₯6 + β‹― P(x) = 1x4 + 1x5 + 1x6 + ... P(x) = X4 + X5 + X6 + .... = x4 (1 + x + x2 + x3 + ....) = π‘₯4 . 1 1 βˆ’ π‘₯ = π‘₯4 1 βˆ’ π‘₯ β†’βˆ΄ 𝑝( π‘₯) = π‘₯4 1 βˆ’ π‘₯ 𝐹𝑃𝐸 β†’ 𝑝( π‘₯) = βˆ‘ π‘Ž 𝑛 ~ 𝑛=0 π‘₯ 𝑛 𝑛! = π‘Ž4 π‘₯4 4! + π‘Ž5 π‘₯5 5! + π‘Ž6 π‘₯6 6! + β‹― 𝑝( π‘₯) = 1 π‘₯4 4! + 1 π‘₯5 5! + 1 π‘₯6 6! + β‹―
  5. 5. 𝑝( π‘₯) = π‘₯4 4! + π‘₯5 5! + π‘₯6 6! + β‹― 𝑝( π‘₯) = 𝑒 π‘₯ βˆ’ 1 βˆ’ π‘₯ βˆ’ π‘₯2 2! βˆ’ π‘₯3 3! Menentukan An dari fungsi Pembangkit Contoh: Tentukan An jika p(x) = x2ex Catatan: 𝑒 π‘₯ = 1 + π‘₯ + π‘₯2 2! + π‘₯3 3! + β‹― βˆ‘ π‘₯ 𝑛 𝑛! ~ 𝑛=0 1 1 βˆ’ π‘₯ = 1 + π‘₯ + π‘₯2 + π‘₯3 + β‹― βˆ‘ π‘₯ 𝑛 ~ 𝑛=0 1) 𝑝( π‘₯) = π‘₯2 𝑒 π‘₯ = π‘₯2 βˆ‘ π‘₯ π‘˜ π‘˜! 𝑛 π‘˜=0 = βˆ‘ π‘₯ π‘˜+2 π‘˜! 𝑛 π‘˜=0 = βˆ‘ π‘₯ 𝑛 ( π‘›βˆ’2)! 𝑛 π‘›βˆ’2 π‘‘π‘–π‘šπ‘Žπ‘›π‘Ž π‘šπ‘–π‘ π‘Žπ‘™π‘›π‘¦π‘Ž π‘˜ + 2 = 𝑛, π‘˜ = 𝑛 βˆ’ 2 π‘Ž5 . π‘Ž2 = π‘Ž7 π‘Ž 𝑛 { 0, 𝑛 < 2 1 ( 𝑛 βˆ’ 2)! , 𝑛 β‰₯ 2 , π‘Ž 𝑛 π‘ π‘’β„Žπ‘–π‘›π‘”π‘”π‘Ž 𝐹𝑃𝐡 π‘Ž 𝑛 { 0, 𝑛 < 2 𝑛! ( 𝑛 βˆ’ 2)! , 𝑛 β‰₯ 2 , π‘Ž 𝑛 π‘ π‘’β„Žπ‘–π‘›π‘”π‘”π‘Ž 𝐹𝑃𝐸 2) 𝑝( π‘₯) = π‘₯ (1βˆ’π‘₯) = π‘₯1 βˆ‘ π‘₯ π‘˜π‘› π‘˜=0 = βˆ‘ π‘₯ π‘˜+1𝑛 π‘˜=0 = βˆ‘ 1π‘₯ 𝑛𝑛 π‘›βˆ’1 π‘‘π‘–π‘šπ‘Žπ‘›π‘Ž π‘šπ‘–π‘ π‘Žπ‘™π‘›π‘¦π‘Ž π‘˜ + 1 = 𝑛, π‘˜ = 𝑛 βˆ’ 1 π‘Ž 𝑛 { 0, 𝑛 < 1 1, 𝑛 β‰₯ 1 , π‘Ž 𝑛 π‘ π‘’β„Žπ‘–π‘›π‘”π‘”π‘Ž 𝐹𝑃𝐡 π‘Ž 𝑛 { 0, 𝑛 < 1 𝑛!, 𝑛 β‰₯ 1 , π‘Ž 𝑛 π‘ π‘’β„Žπ‘–π‘›π‘”π‘”π‘Ž 𝐹𝑃𝐸 Fungsi Pembangkit pada kombinasi Dari 3 huruf a, b, c ada berapa cara disusun suatu kata sandi dengan syarat: a) Dipilih paling banyak 2 kali (2x, 1x, 0x) b) B dan c dipilih paling banyak satu kali (1x, 0x) P(x) = (1 + x + x2)(1 + x2) P(x) = (1 + x + x2)(1 + 2x + x2) = 1 + 2x + x2. ..... (I) x + 2x2 + x3..........(II) x2 + 2x3 + x4..........(III) dari Persamaan (I), (II) dan (III) jika keseluruhan dijumlahkan(ditambah) menjadi: 1 + 3x1 + 4x2 + 3x3 + 1x4 Variabel 1, 3, 4, 3, 1 merupakan banyaknya cara, dan perpangkatan0, 1, 2, 3, 4 merupakan kata sandi 2 huruf aa, ab, ac, bc
  6. 6. 3 huruf abc, aab, aac 4 huruf aabc Ada berapa cara dapat dipilih sebagai kata sandi dari kata β€œmati” dengan syarat: Setiap konsonan dipilih paling sedikit satu kali dan vokal dipilih paling sedikit 0 kali Kosonan : M, T = 2 Vokal: A, I = 2 P(x) = (x + x2 + x3 +...)2(1 + x + x2 + x3 +....)2 P(x) =x2(1+ x + x2 + x3 + ....)2( 1+x + x2 + x3 +....)2 P(x) = x2(1 + x + x2 + x3 + ...)4 𝑝( π‘₯) = π‘₯2 (1 βˆ’ π‘₯)4 𝑝( π‘₯) = π‘₯2 (1 βˆ’ π‘₯)4 = π‘₯2 βˆ‘ ( 4 + π‘˜ βˆ’ 1 π‘˜ ) ~ π‘˜=0 π‘₯ π‘˜ = βˆ‘ ( π‘˜ + 3 π‘˜ ) ~ π‘˜=0 π‘₯ π‘˜+2 , π‘šπ‘–π‘ π‘Žπ‘™π‘›π‘¦π‘Ž: π‘˜ + 2 = 𝑛, π‘˜ = 𝑛 βˆ’ 2 = βˆ‘ ( 𝑛 + 1 𝑛 βˆ’ 2 ) ~ 𝑛=2 π‘₯ 𝑛 ( 𝑛 + 1 𝑛 βˆ’ 2 ) β†’ π‘π‘Žπ‘›π‘¦π‘Žπ‘˜ π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž, 𝑛 β‰₯ 2 3 huruf (3+1 3βˆ’2 ) = (4 1 ) = 4 π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž MAT, MIT, MMT, MTT 4 huruf =(5 2 ) = 10 π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž MATI, MATT, MMAT, MITT, MMIT, MAAT, MIIT, MMTT, MMMT, MTTT Setiap konsonan dan vokal dipilih paling sedikit 0 kali

Γ—