lomba internal matematika

1. LIMIT 2015
PETUNJUK PENGERJAAN
1. Isilah identitas dengan lengkap dan benar pada lembar jawaban yang
telah disediakan.
2. Bacalah soal dengan seksama terlebih dahulu.
3. Pilihlah jawaban yangmenurutAnda benar dengan memberikan tanda
silang pada kotak yang tersedia di lembar jawaban.
4. Kerjakan soal yang dianggap mudah terlebih dahulu.
5. Dilarang menggunakan kalkulator dan alat bantu hitung lainnya.
6. Bentuk soal berupa pilihan ganda dengan 5 option jawaban.
7. Nilai untuk jawaban benar +4, salah -1, dan tidak menjawab 0.
8. Banyak soal 40 butir dikerjakan dalam waktu 60 menit.

2. LIMIT 2015
1. Diketahui n memenuhi persamaan 250,25
× 250,25
× … × 250,25
⏟
𝑛
= 125. Jika
penyelesaian dari 𝑛
log( 𝑛2
× 6𝑛 ) adalah 𝑥, digit terakhir dari 𝑥1000015
adalah 𝑦,
dan matriks 𝑍 = (
𝑥 𝑦
2𝑦
𝑥
2
) , maka ( 𝑥 + 𝑦)( 𝑍 + 3𝐼) adalah ...
a. (
32 32
64 16
)
b. (
40 32
64 24
)
c. (
56 64
32 40
)
d. (
56 32
64 40
)
e. (
28 16
32 20
)
2. Jika A = (
2 1
0 4
) dan B = (
−3
−6
), maka 𝐴9
𝐵 adalah ...
a. 29
𝐵 b. 218
𝐵 c. 29
d. 49
𝐵 e. 418
3. Sisa dari pembagian polinom (3𝑥 − 10)20
+(13 − 4𝑥)27
+(5𝑥 − 16)34
+(𝑎𝑥 + 𝑏)41
oleh x – 3 adalah 3. Diketahui beberapa nilai a dan b berikut ini:
(1) a = 1 dan b = -3
(2) a = -1 dan b = 3
(3) a = 0 dan b = 0
(4) a = -1 dan b = 0
Dari pernyataan diatas nilai a dan b yang mungkin adalah ...
a. (1), (2), (3)
b. (1), (3)
c. (2), (4)
d. (4)
e. (1), (2), (3), (4)
4. Diketahui a = bilangan prima < 15, b = √64
𝑎
– 2, c = a – b, serta a, b, dan c
merupakan barisan aritmatika menurun, maka nilai dari (( 𝑎−1)3
x
𝑏5
𝑐−2 )
3
adalah ...
a. (
27
32
)
3
b. (
32
27
)
3
c. (
9
32
)
3
d. (
32
9
)
3
e. (
6
35
)
3

3. LIMIT 2015
5. Diketahui A = (
−1 1 2
−1 −1 0
), B = (
𝑎 −1
𝑏 1
𝑐 0
), dan AB = (
5 2
3 0
). Jika nilai dari 𝑐 − 𝑎
adalah 𝑥, 2log 𝑥 adalah 𝑦, dan digit terakhir dari 𝑦2015
adalah 𝑧, maka nilai dari 𝑥 +
2𝑦 + 𝑧 adalah ...
a. 7 b. 8 c. 9 d. 10 e. 11
6. Diketahui 𝑅( 𝑥) = 𝑎𝑥5
+ 𝑏𝑥 − 1. Jika 𝑅( 𝑥) dibagi dengan ( 𝑥 − 2015) akan bersisa
6, maka sisa dari 𝑅( 𝑥) dibagi dengan ( 𝑥 + 2015) adalah ...
a. 1 b. 8 c. −2 d. 2 e. −8
7. Lingkaran ( 𝑥 − 3)2
+ ( 𝑦 − 4)2
= 25 memotong sumbu-x di titik A dan B. Jika P
adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka nilai dari cos ∠𝐴𝑃𝐵 adalah ...
a.
7
25
b.
8
25
c.
9
25
d.
10
25
e.
11
25
8. Diketahui vektor
𝑢
→ dan vektor
𝑣
→ membentuk sudut 𝜃. Jika panjang proyeksi
𝑢
→
pada
𝑣
→ sama dengan tiga kali panjang
𝑣
→, maka perbandingan panjang
𝑢
→ terhadap
panjang
𝑣
→ adalah ...
a. 1 ∶ 3 cos 𝜃
b. 3 ∶ cos 𝜃
c. 3cos 𝜃 ∶ 1
d. cos 𝜃 ∶ 3
e. 1 ∶ cos 𝜃
9. Pak Rahman mempunyai sekantong permen yang akan dibagikan kepada anak-
anak. Jika tiap anak diberi 2 permen, maka di kantong masih tersisia 4 permen.
Namun, bila tiap anak diberi 3 permen akan ada 2 anak yang tidak mendapat
permen dan 1 anak mendapat 2 permen. Jika 𝑥 menyatakan banyak permen dalam
kantong dan 𝑦 menyatakan banyak anak, maka sistem persamaan yang mewakili
masalah diatas adalah …
a. {
𝑥 + 4 = 2𝑦
𝑥 − 7 = 3𝑦
b. {
𝑥 − 4 = 2𝑦
𝑥 − 7 = 3𝑦

4. LIMIT 2015
c. {
𝑥 − 4 = 3𝑦
𝑥 + 7 = 𝑦
d. {
𝑥 + 4 = 𝑦
𝑥 − 7 = 2𝑦
e. {
𝑥 − 4 = 2𝑦
𝑥 + 7 = 3𝑦
10. Jika 18, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, −6 merupakan barisan aritmatika, maka nilai dari 𝑎 +
𝑑 + 𝑔 adalah ...
a. 36 b. 30 c. 24 d. 18 e. 12
11. Jika 𝑓(𝑥) =
𝑥 – 2011
𝑥 – 1
, maka (𝑓 ∘ 𝑓 ∘ 𝑓 ∘ 𝑓 ∘ 𝑓) (𝑥)adalah …
a.
𝑥 + 2011
𝑥 – 1
b.
𝑥 + 2011
𝑥 + 1
c.
𝑥 – 2011
𝑥+ 1
d.
𝑥 – 2011
𝑥 – 1
e.
–𝑥+ 2011
𝑥 – 1
12. Diketahui 𝑥1 dan 𝑥2 merupakan akar-akar dari persamaan 𝑥2
+ 5𝑥 + 𝑎 = 0
dengan 𝑥1 dan 𝑥2 keduanya tidak sama dengan nol. 𝑥1, 2𝑥2, dan -3𝑥1 𝑥2 masing –
masing merupakan suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga dari deret
geometri dengan rasio positif. Nilai 𝑎 adalah …
a. -6 b. 2 c. 6 d. -6 atau 6 e. 2 atau 3
13. Jika 𝑓(3𝑥 + 2) = 𝑥√ 𝑥 + 1 dan 𝑓’ adalah turunan pertama fungsi 𝑓, maka nilai dari
12 𝑓’(11) adalah …
a. 9 b. 11 c. 12 d. 14 e. 15
14. Jika 𝑎2
dan 𝑏 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 𝑥2
− ( 𝑏2
− 1) 𝑥 + 𝑏 = 0,
maka himpunan dari nilai-nilai 𝑎 + 𝑏 adalah …
a. {−3,0,1,2}
b. {−2,0,1,3}
c. {−1,0,2,3}
d. {0,1,2,3}
e. {−2,−1,0,3}
15. Diketahui tiga pernyataan berikut ini:

5. LIMIT 2015
P : Jakarta ada di pulau Bali
Q : 2 adalah bilangan prima
R : Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil
Pernyataan majemuk di bawah ini yang bernilai benar adalah ...
a. (~𝑃 ˅ 𝑄) ˄ 𝑅
b. (~𝑄 ˅ ~𝑅) ˄ (~𝑄 ˅ 𝑃)
c. (𝑃 ˄ ~𝑄) ˄ (𝑄 ˅ ~𝑅)
d. ~𝑃 → 𝑅
e. ~𝑅 ˄ ~(𝑄˄𝑅)
16. Nilai dari 𝑐𝑜𝑠2(15°)+ 𝑐𝑜𝑠2(35°) + 𝑐𝑜𝑠2(55°) + 𝑐𝑜𝑠2(75°) adalah ...
a. 2 b.
3
2
c. 1 d.
1
2
e. 0
17. Bangun berikut adalah sebuah persegi.
Jika luas persegi A, B, dan C berturut-turut adalah 16, 36, dan 9 satuan luas, maka
luas daerah yang diarsir adalah ... satuan luas.
a. 61 b. 80 c. 82 d. 87 e. 88
18. Kolam renang berbentuk gabungan persegi panjang dan setengah lingkaran
seperti gambar dibawah ini. Keliling kolam renang sama dengan a satuan panjang.
Agar luas kolam renang maksimum, maka 𝑥 = ... satuan panjang.
x
y
y
a.
2𝑎
𝜋
b.
𝑎
𝜋
c.
𝑎
4+𝜋
d.
𝑎
4+2𝜋
e.
2𝑎
4+𝜋
A CB

6. LIMIT 2015
19. Perhatikan gambar berikut!
r
a
2a
Dua buah bangun setengah lingkaran yang sama bersinggungan dengan lingkaran
yang lainnya dalam sebuah segiempat. Panjang r adalah ...
a.
1
2
𝑎 b.
1
3
𝑎 c.
1
4
𝑎 d.
1
2
𝑎(√5 − 1) e.
1
2
𝑎(√10 − 2)
20. Misalkan ABCD adalah suatu daerah trapesium sedemikian sehingga
perpanjangan sisi AD dan perpanjangan sisi BC berpotongan di titik E. Diketahui
AB = 18, CD = 30, dan tinggi trapesium tersebut adalah 8. Jika F dan G masing-
masing adalah titik tengah AD dan BC , maka luas segitiga EFG adalah ... satuan
luas.
a. 192 b. 180 c. 168 d. 140 e. 190
21. Jika A = [
1
2
√2 −
1
2
√2
1
2
√2
1
2
√2
] dan T = 𝐴2
, maka T[−1
2
] adalah ...
a. [−1
−2
] b. [ 1
−2
] c. [ 2
−1
] d. [−2
−1
] e. [2
1
]
22. Nilai x yang memenuhi persamaan:
(
𝑥log 𝑦 2log 𝑧
1 3log 𝑦
)=(
4log 𝑧 2
1
1
2
)
adalah ...
a.√3 b. 3 c. √2 d. −3 e. 0
23. Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 2 meter. Setiap kali setelah bola
memantul ia mencapai ketinggian tiga perempat dari ketinggian yang dicapai
sebelumnya. Panjang lintasan bola tersebut dari pantulan ke−3 sampai ia berhenti
adalah ... meter.
a. 3,38 b. 3,75 c. 4,25 d. 6,75 e. 7,75

7. LIMIT 2015
24. Jika 4𝑦2
− 22𝑦 + 25 = 0, maka nilai dari (2𝑦 − 3)3
+
1
(2𝑦−3)3 adalah ...
a. 100 b. 110 c. 120 d. 130 e. 140
25. Hasil dari √4 + √7 − √4 − √7 adalah ...
a. 2 b. 3 c. √2 d. √3 e. 2√3
26. Nilai dari lim
𝑥→0
(√2− √1+cos 2𝑥)
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
adalah ...
a. 1 b.
1
2
c.
1
2
√2 d. 0 e. -1
27. Nilai x yang memenuhi persamaan 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 – 5 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 2 = 0 untuk 0o < 𝑥 <
360o adalah ...
a. {30°, 330°}
b. {30°, 300°}
c. {30°, 150°}
d. {30°, 240°}
e. {30°, 210°}
28. Untuk membuat roti jenis I Dinda membeli 5 kg tepung, 5 kg gula pasir, dan 3 kg
telur dengan harga Rp. 135.000,00. Untuk membuat roti jenis II Dinda membeli 4
kg tepung, 4 kg gula pasir, dan 2 kg telur dengan harga Rp. 102.000,00. Untuk
membuat roti jenis III Dinda membeli 3 kg tepung, 3 kg gula pasir, dan 2 kg telur
dengan harga Rp. 84.000,00. Harga 3 kg telur adalah ...
a. Rp. 45.000,00
b. Rp. 55.000,00
c. Rp. 65.000,00
d. Rp. 75.000,00
e. Rp. 85.000,00
29. Jika diketahui t𝑎𝑛 𝐴 =
3
4
, 0° < 𝐴 < 90°, maka nilai dari 𝑠𝑖𝑛 3𝐴 – 𝑠𝑖𝑛 𝐴 adalah ...
a. −
42
125
b. −
43
250
c.
42
125
d.
43
125
e.
42
250

8. LIMIT 2015
30. Jumlah suku-suku yang bernomor genap suatu deret geometri tak hingga adalah 3.
Jika jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, maka suku kedua deret tersebut
adalah ...
a.
21
64
b.
21
36
c.
21
16
d.
7
4
e.
21
4
31. Dari suatu deret aritmetika diketahui jumlah 5 suku pertama adalah 50 dan
jumlah 4 suku pertama adalah 36. Suku ke-16 deret ini adalah ...
a. 11 b. 26 c. 31 d. 36 e. 41
32. Turunan pertama dari 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠5
(4𝑥2
+ 2) adalah ...
a. −2 𝑐𝑜𝑠3
(4𝑥2
+ 2) 𝑠𝑖𝑛 (8𝑥2
+ 4)
b. −20 𝑐𝑜𝑠3
(4𝑥2
+ 2) 𝑠𝑖𝑛 (8𝑥2
+ 4)
c. −20𝑥 𝑐𝑜𝑠3
(4𝑥2
+ 2) 𝑠𝑖𝑛 (8𝑥2
+ 4)
d. −20𝑥 𝑠𝑖𝑛2
(4𝑥2
+ 3 ) 𝑐𝑜𝑠 (8𝑥2
+ 4)
e. −20𝑥 𝑠𝑖𝑛2
(4𝑥2
+ 3 ) 𝑐𝑜𝑠2
(8𝑥2
+ 4)
33. Letak titik A pada koordinat polar adalah (4√3, 3000). Pada koordinat cartesius
titik A terletak pada ...
a. (2√3, 6)
b. (2√3, −6)
c. (-2√3,6)
d. (6, −2√3)
e. (−6,2√3)
34. Jika hasil penjumlahan empat pecahan dari pecahan-pecahan
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
,
1
20
, dan
1
40
adalah
9
10
, maka hasil kali dua pecahan lainnya adalah ...
a.
1
320
b.
1
342
c.
1
122
d.
1
132
e.
1
232
35. Jika bilangan 2014 dinyatakan sebagai jumlah bilangan-bilangan asli berurutan,
maka bilangan asli terbesar yang mungkin adalah ...
a. 502 b. 503 c. 504 d. 505 e. 506

9. LIMIT 2015
36. Jika 2 + 22 + 222 + ⋯ + 222… 222⏟
2014 𝑠𝑢𝑘𝑢
= 𝑀, maka tiga digit terakhir dari 𝑀 adalah ...
a. 688 b. 678 c. 788 d. 687 e. 673
37. Banyak persegi pada gambar berikut ini adalah ...
a. 32 b. 33 c. 34 d. 35 e. 36
38. Hasil dari
32014
−32011
+130
32011 +5
adalah ...
a. 25 b. 26 c. 27 d. 28 e. 29
39. Jika diketahui jumlah 𝑛 suku pertama deret adalah log5 (
𝑏
( 𝑛−1)
𝑎2 )
𝑛
2
dan beda antara
dua suku berurutan adalah log5 𝑏, maka suku pertama deret tersebut adalah ...
a. log5
1
𝑎
b. log2
1
𝑎
c. log1
2
𝑎 d. log1
5
𝑎 e. log2
5
𝑎
40. Persamaan kuadrat 𝑥2
− 𝑑𝑥 + 4 = 0 mempunyai akar 𝑥1 dan 𝑥2. Jika persamaan
kuadrat 𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 mempunyai akar √
𝑥1
3
𝑥2
dan √
𝑥2
3
𝑥1
dan 𝑝 + 𝑞 = 6, maka nilai
dari 𝑑 adalah ...
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5