Ringkasan mengenai BAB Nilai Mutlak (Kelas X SMA). Kritik dan saran : agung.anggoro@student.upi.edu

1. SMA Darul Hikam Bandung
BAB 1
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel yang Memuat Nilai
Mutlak
Konsep Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari bilangan real 𝑎 dinotasikan dengan |𝑎| memiliki definisi sebagai berikut :
|𝑎| =
𝑎, jika 𝑎 ≥ 0
−𝑎, jika 𝑎 < 0
Bentuk nilai mutlak ini dapat juga melibatkan variabel, seperti |𝑥| dan |𝑎𝑥 + 𝑏|. Adapun
definisi dari bentuk |𝑥| adalah sebagaimana definisi dari |𝑎| diatas. Perhatikan tabel berikut
ini sebagai contoh.
𝑥 𝑥 ≥ 0 𝑥 < 0 |𝑥|
−7  −(−7) = 7
0  0
3,14  3,14
−13  −(−13) = 13
−
1
2
 − −
1
2
=
1
2
22
7

22
7
√
2
−
√
3

−
√
2 −
√
3
=
√
3 −
√
2
Beberapa sifat nilai mutlak antara lain :
1. |𝑥| = 0
2.
√
𝑥 = |𝑥|
3. |𝑥| = |𝑥 | = 𝑥
4.
| |
| |
=
5. |𝑥||𝑦| = |𝑥𝑦|
6. |𝑥| + |𝑦| ≥ |𝑥 + 𝑦|
7. |𝑥 − 𝑦| = |𝑦 − 𝑥|

2. SMA Darul Hikam Bandung
Definisi Nilai Mutlak Bentuk |𝒂𝒙 + 𝒃|
Misalkan 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 ≠ 0, maka sebagaimana definisi nilai mutlak, kita peroleh
|𝑢| = |𝑎𝑥 + 𝑏| =
𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏, jika 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0
−𝑢 = −(𝑎𝑥 + 𝑏), jika 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0
Dengan sedikit pengetahuan aljabar, kita mengetahui bahwa definisi di atas sama saja dengan
definisi berikut ini :
Untuk 𝑎 > 0,
|𝑎𝑥 + 𝑏| =
⎩
⎨
⎧ 𝑎𝑥 + 𝑏, jika 𝑥 ≥ −
𝑏
𝑎
−(𝑎𝑥 + 𝑏), jika 𝑥 < −
𝑏
𝑎
sedangkan, untuk 𝑎 < 0,
|𝑎𝑥 + 𝑏| =
⎩
⎨
⎧ 𝑎𝑥 + 𝑏, jika 𝑥 < −
𝑏
𝑎
−(𝑎𝑥 + 𝑏), jika 𝑥 ≥ −
𝑏
𝑎
catatan : tanda ‘ = ’, boleh mengikuti tanda ′ < ′ maupun ′ > ′.
Contoh :
|𝑥 + 2| =
𝑥 + 2, 𝑥 ≥ −2
−𝑥 − 2, 𝑥 < −2
𝑎 = 1 > 0,
𝑏 = 2, −
𝑏
𝑎
= 2
|2 − 3𝑥| =
⎩
⎨
⎧3𝑥 − 2, 𝑥 ≥
2
3
2 − 3𝑥, 𝑥 <
2
3
kolom kedua merupakan kolom bantuan.
Latihan
1. Lengkapi tabel berikut ini
𝑥 𝑥 ≥ 0 𝑥 < 0 |𝑥|
−17 

3. SMA Darul Hikam Bandung
0,333...
√
17 − 5
3 +
√
−25
16 − 3
√
15
3
2
−
√
19
2
2. Tentukan definisi yang tepat dari :
a) |𝑥 − 2| =
b) |2 − 7𝑥| =
c) 2|5𝑥 + 3| =
d) 𝑥 − =
Definisi Nilai Mutlak Bentuk |𝒂𝒙 + 𝒃| ± |𝒑𝒙 + 𝒒|
Bagaimanakah membuat definisi dari bentuk aljabar yang memuat lebih dari satu buah suku
berbentuk nilai mutlak ? Misalnya seperti |𝑥 − 2| + |4 − 3𝑥|, |𝑥 − 3| − |2𝑥 − 6|, atau yang
lainnya. Perhatikan contoh berikut ini.
Contoh :
Pada contoh ini, kita akan mencari definisi dari
|𝑥 + 2| + |2𝑥 − 5| + 𝑥
Pertama, definisikan setiap suku yang berbentuk nilai mutlak.
|𝑥 + 2| =
𝑥 + 2, 𝑥 ≥ −2
−𝑥 − 2, 𝑥 < −2
|2𝑥 − 5| =
⎩
⎨
⎧2𝑥 − 5, 𝑥 ≥
5
2
5 − 2𝑥, 𝑥 <
5
2

4. SMA Darul Hikam Bandung
Selanjutnya, kita memperoleh dua buah titik batas definisi, yaitu 𝑥 = −2 dan 𝑥 = ,
kemudian, urutkan kedua batas definisi tersebut sebagaimana posisinya pada garis bilangan.
𝑥 = −2
𝑥 =
5
2
Maka dapat diperoleh tiga daerah sebagaimana berikut dengan definisi dari tiap bentuk pada
masing-masing daerah. Perhatikan tabel berikut.
Bentuk
Definisi
𝑥 < −2 −2 ≤ 𝑥 <
5
2
𝑥 ≥
5
2
|𝑥 + 2| −𝑥 − 2 𝑥 + 2 𝑥 + 2
|2𝑥 − 5| 5 − 2𝑥 5 − 2𝑥 2𝑥 − 5
|𝑥 + 2| + |2𝑥 − 5| + 𝑥
(−𝑥 − 2) + (5 − 2𝑥) + 𝑥
= 3 − 2𝑥
(𝑥 + 2) + (5 − 2𝑥) + 𝑥
= 7
(𝑥 + 2) + (2𝑥 − 5) + 𝑥
= 4𝑥 − 3
Dengan demikian, kita peroleh definisi berikut
|𝑥 + 2| + |2𝑥 − 5| + 𝑥 =
⎩
⎨
⎧ 4𝑥 + 3, 𝑥 ≥
5
2
7, −2 ≤ 𝑥 <
5
2
3 − 2𝑥, 𝑥 < 2
Latihan
Tentukan definisi yang tepat dari bentuk-bentuk nilai mutlak berikut ini.
1. |𝑥 − 3| + 4
2. |𝑥 − 2| + |4 − 3𝑥|
3. |𝑥 − 3| − |2𝑥 − 6|
4. 2|𝑥| − 1
5. |𝑥 + 2| − |2𝑥 − 1| + 𝑥
6. |𝑥 − 2| + 2|𝑥| − 1
7. |7𝑥 − 5| + |2𝑥 + 3|
8. |6𝑥 − 1| + |𝑥|
9. 2𝑡 + 3 − |𝑡|

5. SMA Darul Hikam Bandung
10. |𝑡 − 1| + |𝑡| + |𝑡 + 1|
Persamaan Linear yang Memuat Nilai Mutlak
Kita dapat mencari nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan |4𝑥 − 5| = 12. Selanjutnya, 𝑥 yang
demikian disebut sebagai solusi atau penyelesaian dari persamaan |4𝑥 − 5| = 12. Sebelumnya,
kita tahu bahwa
|4𝑥 − 5| =
⎩
⎨
⎧4𝑥 − 5, 𝑥 ≥
5
4
5 − 4𝑥, 𝑥 <
5
4
Jadi, dalam menyelesaikan persamaan
|4𝑥 − 5| = 12
Kita membaginya menjadi dua kasus, yaitu :
Kasus 1 : untuk 𝑥 ≥ , maka kita menyelesaikan persamaan
4𝑥 − 5 = 12
⇔ 4𝑥 = 17
⇔ 𝑥 =
17
4
Karena 𝑥 = ≥ , maka 𝑥 = merupakan solusi dari persamaan |4𝑥 − 5| = 12.
Kasus 2 : untuk 𝑥 < , maka kita menyelesaikan persamaan
5 − 4𝑥 = 12
⇔ −4𝑥 = 7
⇔ 𝑥 = −
7
4
Karena 𝑥 = − < , maka 𝑥 = − merupakan solusi dari persamaan |4𝑥 − 5| = 12.
Jadi, semua solusi dari persamaan |4𝑥 − 5| = 12 adalah − , .
Contoh lainnya merupakan contoh persamaan yang memuat lebih dari satu suku nilai mutlak.
Pada contoh kali ini, kita akan menentukan solusi dari
|𝑥 + 2| + |2𝑥 − 5| + 𝑥 = 14
Sebagaimana contoh pada subbab sebelumnya, kita peroleh bahwa

6. SMA Darul Hikam Bandung
|𝑥 + 2| + |2𝑥 − 5| + 𝑥 =
⎩
⎨
⎧ 4𝑥 + 3, 𝑥 ≥
5
2
7, −2 ≤ 𝑥 <
5
2
3 − 2𝑥, 𝑥 < −2
Dengan demikian, kita bisa membagi definisi persamaan menjadi 3 kasus.
Kasus 1 : 𝑥 < −2
3 − 2𝑥 = 14
⇔ 𝑥 = −
11
2
𝑥 = − < −2, memenuhi syarat 𝑥 < −2. Jadi, 𝑥 = − adalah solusi dari persamaan.
Kasus 2 : −2 ≤ 𝑥 <
7 = 14 (salah)
Kasus ini tidak menghasilkan solusi.
Kasus 3 : 𝑥 ≥
4𝑥 − 3 = 14
⟺ 𝑥 =
17
4
𝑥 = > , memenuhi syarat 𝑥 > . Jadi, 𝑥 = adalah solusi dari persamaan.
Jadi, solusi dari persamaan |𝑥 + 2| + |2𝑥 − 5| + 𝑥 = 14 adalah − , .
Latihan
Tentukan solusi dari persamaan-persamaan berikut.
1. |𝑥 − 3| + 4 = 17
2. |𝑥 − 2| + |4 − 3𝑥| = −1
3. |𝑥 − 3| = |2𝑥 − 6|
4. 2|𝑥| − 1 = 15
5. |𝑥 + 2| − |2𝑥 − 5| + 𝑥 = 7
6. |𝑥 − 2| + 2|𝑥| − 1 = 10
7. |7𝑥 − 5| + |2𝑥 + 3| = 15
8. |6𝑥 − 1| + |𝑥| = 20
9. 2𝑡 + 3 − |𝑡| = 7
10. |𝑡 − 1| + |𝑡| + |𝑡 + 1| = 12
Pertidaksamaan Linear yang Memuat Nilai Mutlak

7. SMA Darul Hikam Bandung
Kita dapat mencari nilai 𝑥 Kita dapat mencari nilai 𝑥 yang memenuhi pertidaksamaan
|4𝑥 − 5| ≥ 12. Selanjutnya, 𝑥 yang demikian disebut sebagai solusi atau penyelesaian dari
pertidaksamaan |4𝑥 − 5| ≥ 12. Sebelumnya, kita tahu bahwa
|4𝑥 − 5| =
⎩
⎨
⎧ 4𝑥 − 5, 𝑥 ≥
5
4
5 − 4𝑥, 𝑥 <
5
4
Jadi, dalam menyelesaikan pertidaksamaan
Kita membaginya menjadi dua kasus, yaitu :
Kasus 1 : untuk 𝑥 ≥ , maka kita menyelesaikan pertidaksamaan
4𝑥 − 5 ≥ 12
⇔ 4𝑥 ≥ 17
⇔ 𝑥 ≥
17
4
Kasus 1 memiliki syarat 𝑥 ≥ , sedangkan pertidaksamaan 4𝑥 − 5 ≥ 12 memiliki solusi 𝑥 ≥ .
Nilai 𝑥 yang memenuhi 𝑥 ≥ dan 𝑥 ≥ adalah 𝑥 ≥ .
Kasus 2 : untuk 𝑥 < , maka kita menyelesaikan pertidaksamaan
5 − 4𝑥 ≥ 12
⇔ −4𝑥 ≥ 7
⇔ 𝑥 ≤ −
7
4
Kasus 2 memiliki syarat 𝑥 < , sedangkan pertidaksamaan 5 − 4𝑥 ≥ 12 memiliki solusi 𝑥 ≤
− . Nilai 𝑥 yang memenuhi 𝑥 < dan 𝑥 ≤ − adalah 𝑥 ≤ − .
Jadi, solusi keseluruhan untuk pertidaksamaan |4𝑥 − 5| ≥ 12 adalah 𝑥 ≤ − atau 𝑥 ≥ .
Contoh lainnya merupakan contoh persamaan yang memuat lebih dari satu suku nilai mutlak.
Pada contoh kali ini, kita akan menentukan solusi dari
|𝑥 + 2| + |2𝑥 − 5| + 𝑥 > 14
Kita sudah peroleh bahwa
|𝑥 + 2| + |2𝑥 − 5| + 𝑥 =
⎩
⎨
⎧ 4𝑥 − 3, 𝑥 ≥
5
2
7, −2 ≤ 𝑥 <
5
2
3 − 2𝑥, 𝑥 < −2

8. SMA Darul Hikam Bandung
Dengan demikian, kita bisa membagi definisi persamaan menjadi 3 kasus.
Kasus 1 : 𝑥 < −2
3 − 2𝑥 > 14
⇔ 𝑥 < −
11
2
Kasus 1 memiliki syarat : 𝑥 < −2, sedangkan kasus 1 ini menghasilkan solusi pertidaksamaan,
yaitu 𝑥 < − . Nilai 𝑥 yang memenuhi 𝑥 < −2 dan 𝑥 < − adalah 𝑥 < − .
Kasus 2 : −2 ≤ 𝑥 <
7 > 14 (salah)
Kasus ini tidak menghasilkan solusi.
Kasus 3 : 𝑥 ≥
4𝑥 − 3 > 14
⟺ 𝑥 >
17
4
Kasus 3 memiliki syarat 𝑥 ≥ , sedangkan kasus 3 ini menghasilkan solusi pertidaksamaan,
yaitu 𝑥 > . Nilai 𝑥 yang memenuhi 𝑥 ≥ dan 𝑥 > adalah 𝑥 > .
Jadi, solusi keseluruhan dari pertidaksamaan |𝑥 + 2| + |2𝑥 − 5| + 𝑥 > 14 adalah 𝑥 < − atau
𝑥 > .
Latihan
Tentukan solusi dari persamaan-persamaan berikut.
1. |𝑥 − 3| + 4 < 17
2. |𝑥 − 2| + |4 − 3𝑥| > −1
3. |𝑥 − 3| ≥ |2𝑥 − 6|
4. 2|𝑥| − 1 ≥ 15
5. |𝑥 + 2| − |2𝑥 − 5| + 𝑥 < 7
6. |𝑥 − 2| + 2|𝑥| − 1 < 10
7. |7𝑥 − 5| + |2𝑥 + 3| ≥ 15
8. |6𝑥 − 1| + |𝑥| ≤ 20
9. 2𝑡 + 3 − |𝑡| ≥ 7
10. |𝑡 − 1| + |𝑡| + |𝑡 + 1| < 12

9. SMA Darul Hikam Bandung