Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai sistem bilangan real, operasi-operasi pada bilangan real seperti bilangan rasional, bilangan irasional, bilangan bulat, bilangan pecahan, bilangan desimal, bilangan eksponen, logaritma, serta contoh soal-soal terkait.

1. MATERI
OLIMPIADE MATEMATIKA SMA
PERSIAPAN MENUJU OSN BIDANG MATEMATIKA 2018
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA SMA NEGERI 1 BATUJAJAR 2017
(PEMATERI: REZA FAHLEVI)
KOMUNITAS MATEMATIKA DAN KOLUM HALOGEN
SMA NEGERI 1 BATUJAJAR
TAHUN 2017

2. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
2
Bab 1 Ajabar

3. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
3
Bilangan Real
Bilangan Irrasional Bilangan Rasional
Bilangan Bulat Bilangan Pecahan
Bilangan Bulat
Negatif
Bilangan Bulat
Positif/ Cacah
0 (Nol) Bilangan Asli
Sistem Bilangan Real
(Bagan Bilangan Real)
Himpunan Bilangan Real (ℝ)
Bilangan Rasional
Bentuk umum ℚ = = , , ∈ ℤ, ≠ 0
 −2, −1, 0, 1, 2 dan lain-lain
 Dilambangkan ℚ
 Dapat berupa bilangan bentuk pecahan
 Bilangan desimal berbatas/ terbatas
 Bilangan desimal berulang.
Sistem Bilangan Real

4. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
4
Contoh:
1) Hitunglah 1 + + + = 1 + 1 + 4 + 9 = 15.
2) Tentukan bilangan pecahan dari 0,4444 …
Jawab: Misalkan = 0,444 … , maka
10 = 4,444 …
sehingga, 10 = 4,444 …
= 0,444 …
9 = 4
=
4
9
Bilangan Asli (Natural)
 ℕ = {1,2,3, … }
 Terdiri dari bilangan 3 bilangan utama, yaitu: Bilangan tunggal, bilangan basit
(prima) dan bilangan majemuk (komposit).
Bilangan Cacah
 = {0,1,2,3, … }
 Terdiri dari 0 dan bilangan asli
BIlangan Bulat (Integer)
 ℤ = {0, ±1, ±2, ±3, … }
 Terdiri bilangan asli, nol dan bilangan negatif
Bilangan Irrasional (bilangan Bentuk Akar)
Bentuk Umum: ≠ , , ∈ bilangan bulat, ≠ 0
 Bilangan bentuk akar
 Bilangan desimal bersambung tapi tak berulang.
Sistem Bilangan Real

5. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
5
Operasi Pada Bilangan Real
o Aturan Dasar Pada Pertambahan, Pengurangan, Perkalian, Pembagian
Hukum Komutatif: + = + =
Hukum Assosiatif: ( + ) + = + ( + ) ( ) = ( )
Hukum Distributif: + = ( + ) = ( + )
Elemen Identitas: terhadap penjumlahan: 0 dan terhadap perkalian: 1.
Elemen Invers: terhadap penjumlahan adalah negatif dari bilangan tersebut, dan terhadap
perkalian adalah kebalikan dari bilangan tersebut (kecuali nol).
o Sifat-sifat Urutan
Trikotomi: Jika dan suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari <
atau = atau > .
Ketransitifan: < dan < ⟹ <
Penambahan: < ⟺ + < +
Perkalian: < ⟺ < , bila adalah positif
< ⟺ > , bila adalah negatif
Contoh Soal
(OSK 2016) Jika , , , , merupakan bilangan dari dengan < 2 , < 3 , < 4 ,
< 5 dan < 100, maka nilai maksimum dari adalah…
Jawab:
≤ 99 ⟹ < 495
≤ 494 ⟹ < 1976
≤ 1975 ⟹ < 5925
≤ 5924 ⟹ < 11848
Jadi, nilai maksimum adalah 11847.
Diskusikan!
(Canadian Mathematical Olympiad 1997) Buktikan bahwa
1
1999
<
1
2
.
3
4
.
5
6
… .
1997
1998
<
1
44
Operasi Sistem Bilangan Real

6. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
6
o Aturan Lebih Lanjut
1. Penjumlahan Teleskopik (Deret Teleskopik)
Deret Teleskopik adalah sebuah deret yang mempunyai sifat “mendekatkan” dengan
menggunakan prinsip merasionalisasi (memecah) pecahan. Deret teleskopik dapat
dibedakan menjadi 4 jenis pecahan dengan penyebut berikut:
Kandungan Penyebut Bentuk Pernyataan Bentuk Parsial
I. Faktor-faktor linear
tidak berulang
( )
( + )( + )( + ) ( + )
+
( + )
+
( + )
II. Faktor linear berulang ( )
( + ) ( + )
+
( + )
+
( + )
III. Faktor kuadratik tidak
berulang
( )
( + + )( + )
+
( + + )
+
( + )
IV. Faktor kuadratik
berulang
( )
( + + )
+
( + + )
+
+
( + + )
Bentuk Umum
o ( )
= −
o ( )
= −
o ( )( )
=
( )
−
( )( )
Contoh Soal
(HKMO 1999) Find the value
×
+
×
+
×
+ ⋯ +
×
.
Jawab:
⟺
1
2 × 3
+
1
3 × 4
+
1
4 × 5
+ ⋯ +
1
19 × 20
=
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+
1
4
−
1
5
+ ⋯ +
1
19
−
1
20
=
1
2
−
1
20
=
9
20
Sistem Bilangan Real (Deret Teleskopik)

7. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
7
Operasi Pada Bilangan Irrasional (Bentuk Akar)
 √ =
 √ =
 √ . √ = √ . ≥ 0, ≥ 0
 . =
 + = ( + )
 − = ( − )
 + = √ + √ √ − + √
 − = √ − √ √ + + √
 . = , ≠ 0
 √ = √ =

√
=
√
, penyebut ≠ 0

√ √
=
√ √

√ √
=
√ √

√ √
√ √
=
√ √ √ √

√
=
√
= √

√ √
=
√ √
×
√ √ √
√ √ √
=
√ √ √

√ √
=
√ √
×
√ √ √
√ √ √
=
√ √ √
 + + 2√ = √ + √
 + − 2√ = √ − √ , >
Operasi Sistem Bilangan Real

8. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
8
 + + + √… = , jika , > 0 dan − = 1
 − − − √… = , jika , > 0 dan − = 1
 √… =
 1 + 1 + ( + 1) 1 + ( + 2) 1 + ( + 3)√1 + ⋯ = + 1 ,
dengan ∈ ℕ .
Operasi Bilangan Pada Bentuk Eksponen (Pangkat)
Bentuk Umum
adalah bilangan pokok/dasar/basik
adalah eksponen/pangkat/derajat
 = . . . …
buah faktor dari
 × =
 × = ( )
 ÷ =
 ÷ = , ≠ 0
 ( ) =
 = , = , ≠ 0
 = √
 = 1 , ≠ 0
Sistem Bilangan Real (Operasi Bilangan Bentuk Eksponen)

9. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
9
 =
 ( )
= 1, dengan > 0 dan ≠ 1 maka ( ) = 0
 ( )
= , dengan > 0 dan ≠ 1 maka ( ) =
 ( )
= ( )
, dengan > 0 dan ≠ 1 maka ( ) = ( )
 ( )
= ( )
, dengan , > 0 dan ≠ serta ≠ 1 dan ≠ 1,
maka ( ) = 0.
 ( ) ( )
= ( ) ( )
maka akan ada 4 kemungkinan solusi
I. ( ) = ( )
II. ( ) = 1
III. ( ) = −1 , syarat ( ) dan ℎ( ) keduanya genap atau keduanya ganjil
IV. ( ) = 0 , syarat ( ) dan ℎ( ) keduanya positif
 ( )
+ ( )
+ = 0 dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran persamaan
biasa dan rumus ABC.
Operasi Bilangan Pada Bentuk Pemfaktoran (Manipulasi Aljabar)
 ( + ) = + 2 +
 ( − ) = − 2 +
 ( + + ) = + + + 2 + 2 + 2
 ( + − ) = + + + 2 − 2 − 2
 ( + ) = + + 3 ( + )
 ( − ) = − − 3 ( − )
 ( + + ) = + + + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 6
 ( + ) = + 4 + 6 + 4 +
 ( − ) = − 4 + 6 − 4 +
 + = ( + )( − + ⋯ − + ) dengan ∈ bilangan ganjil
 − = ( − )( − + ⋯ − + ) dengan ∈ bilangan asli
Operasi Sistem Bilangan Real

10. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
10
 Koefisien Binomial Newton:
( + ) = . , dengan =
!
( − )! !
 + = ( + )( + ) − ( + )
 + + = ( + + ) − ( + + ) +
( + + ), dengan = + + , = + + , dan =
 + = ( + ) − 2
 ( + 1)( + 1)( + 1) = + + + + + + + 1
 − = ( − )( + )
 + = ( + ) − 3 ( + )
 + = ( + )( − + )
 − = ( − )( + + )
 + + − 3 = ( + + )( + + − − − )
 + = ( + ) − 2 = ( + )( + ) − ( + )
 + = ( + ) − 3 ( + )
 + + = ( + + ) − 2( + + )
 + 4 = ( + 2 + 2 )( − 2 + 2 ) Sophie Germain
+ 4 = (( − ) + )(( + ) + )
 ( + )( + ) = ( + ) + ( − )
 + + = ( + − )( + + )
 ( + + )( + + ) − = ( + )( + )( + )
 + + − − − = {( − ) + ( − ) + ( − ) }
 1 + ( − 1) ( + 1)( + 2) = ( ( + 1) − 1)
Operasi Bilangan Pada Bentuk Logaritma
Bentuk Umum
log = ⟺ =
Dengan
 adalah bilangan pokok basis, > 0 dan ≠ 1
 adalah numerus, yaitu bilangan yang dicari nilai logaritmanya, > 0
 adalah bilangan hasil pencarian nilai dari logaritma
Operasi Sistem Bilangan Real

11. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
11
Sifat-sifat Logaritma
 log + log = log
 log − log = log
 log = . log
 log = , dengan , > 0 dan , ≠ 1
 log = 1
 log = −1
 log =
 log . log . log = log
 log = log
 log = log
 log 1 = 0 , > 0 ≠ 1
 log 10 = 1
 log 100 = 2
 log 1000 = 3
 log = −1
 log = −2
 log = −3
 log ( ) = log ( ) maka ( ) = ( ) , (Persamaan Logaritma)
 log = 0,4343 In (In = logaritma natural)
 In = 2,303 log .
Operasi Sistem Bilangan Real

12. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
12
o Latihan (Sistem Bilangan Real)
1. (AIME 1987) Tentukan bilangan bulat terbesar sehingga nilai yang memenuhi
pertidaksamaan
8
15
<
+
<
7
13
2. (OSK 2003) Berapakah hasil perkalian
1 −
1
2
1 −
1
3
1 −
1
4
… 1 −
1
2003
3. (HKMO 2009) If is a positive integer and
1
( + 1)
+
1
( + 1)( + 2)
+ ⋯ +
1
2008 × 2009
=
272
30135
Tentukanlah nilai dari .
4. Ubahlah ke bentuk sederhana dari
1 −
2
1. (1 + 2)
−
3
(1 + 2)(1 + 2 + 3)
−
4
(1 + 2 + 3)(1 + 2 + 3 + 4)
− ⋯ −
100
(1 + 2 + ⋯ + 99)(1 + 2 + ⋯ + 100)
Tentukanlah nilai selisih dari penyebut dan pembilang bentuk sederhananya.
5. (USC Math Contest 2010) What is the value of the sum
1
2!
+
2
3!
+
3
4!
+ ⋯ +
99
100!
6. (Olmipa 2015) Hasil dari (65 )(31( )
) adalah…
7. (OSK 2011) Jumlah dari seluruh solusi persamaan
√ =
12
7 − √
adalah…
Latihan Soal Sistem Bilangan Real

13. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
13
8. (HKMO 2001) Diketahui jika
4
1 −
≡
2
1 −
+
2
1 +
+
4
1 +
+
8
1 +
+
16
1 +
Tentukanlah nilai dari a.
9. (OSK 2017) Jika
( )( )
( )( )
= − , maka nilai dari
( )( )
( )( )
adalah…
10. The value from
(−1) .
+ + 1
!
Are…
11. (SSSMO 2000) Tentukanlah nilai terkecil yang mungkin dari persamaan berikut
3 + 27 + 5 − 18 − 30 + 237
dengan , dan adalah bilangan real.
12. Jika , , , > 0 + + + = 4 , buktikan bahwa
= = =
13. (SSSMO 1998) Suppose , are two numbers such that
+ + 8 − 14 + 65 = 0
Find the value of + + .
14. Diketahui 14( + + ) = ( + 2 + 3 ) , tentukanlah rasio dari ∶ ∶ .
15. Diketahui − = 2, − = 4, tentukanlah nilai dari + + − − −
16. Given = ( ≠ 0), find the value of .
17. (CHNMOL 2004) Given that the real numbers , satisfy + + 3 = 1, find
+ .
Latihan Soal Sistem Bilangan Real

14. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
14
18. Jika + = 1, + = 2 , tentukanlah nilai dari + .
19. Untuk setiap bilangan bulat positif , ditentukan
( ) =
log , jika log rasional
0, jika log tidak rasional
Berapakah
( ) ?
20. Berapakah nilai pernyataan
=
1
log 2017!
+
1
log 2017!
+
1
log 2017!
+ ⋯ +
1
log 2017!
Latihan Soal Sistem Bilangan Real

15. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
15
Persamaan dan Sistem Persamaan
Pemfaktoran dan Penguraian
Contoh Soal:
Sederhanakanlah bentuk dari
−
( − )( − + )
Jawab:
Menggunakan persamaan − = ( − )( + ) dan
− = ( + )( − + )
Maka,
−
( − )( − + )
=
( − )( + )
( − )( − + )
=
( + )
( − + )
=
( + )( − + )
( − + )
= + .
Soal Latihan:
1. Tentukanlah nilai dari (2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) … 2 + 1 + 1.
Petunjuk: Menggunakan rumus − = ( − )( + ) secara berulang.
2. Given − = 8, = −15, find the value of
I. ( + )
II. +
3. Diketahui + = 3, tentukanlah nilai dari + .
4. Given + = , + = , find value of + .
Petunjuk: ( + )( + ) = ( + ) + ( ) ( + ).
Persamaan dan Sistem Persamaan

16. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
16
5. Diketahui , dan z adalah bilangan real yang memenuhi sistem persamaan
+ + = 6
+ + = 26
+ + = 90
Tentukanlah nilai dari dan + + .
Petunjuk: Menggunakan rumus + + = ( + + ) −
( + + ) + ( + + ), dengan
= + + , = + + , dan =
6. Jika = , = , = dan ≠ 0, tentukanlah nilai dari + + dalam
, , .
7. (SSSMO/2000) Diketahui , dan adalah bilangan real, tentukanlah nilai terkecil
yang mungkin memenuhi.
3 + 27 + 5 − 18 − 30 + 237.
Persamaan dan Sistem Persamaan

17. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
17
Teori Bilangan
Teori Bilangan (Hal Keterbagian)
Bilangan yang Habis Dibagi
1. Untuk = 1, suatu bilangan habis dibagi 2 jika 1 angka terakhir dari bilangan tersebut
habis dibagi 2.
2. Untuk = 2, suatu bilangan habis dibagi 4 jika dua angka terakhir dari bilangan
tersebut habis dibagi 4. Contoh:
 Apakah 62814 habis dibagi 4? Ambil 2 digit terakhir dari 62814, ternyata 14 tidak
habis dibagi 4. Maka, 62814 tidak habis dibagi 4.
 Apakah 11348 habis dibagi 4? Ambil 2 digit terakhir dari 11348, ternyata 48 habis
dibagi 4. Maka, 11348 habis dibagi 4.
3. Untuk = 3, suatu bilangan habis dibagi 8 jika tiga angka terakhir dari bilangan
tersebut habis dibagi 8. Contoh:
 Apakah 532096 habis dibagi 8? Ambil 3 digit terakhir dari 532096, ternyata 096
habis dibagi 8. Maka, 532096 habis dibagi 8.
 Apakah 148132 habis dibagi 8? Ambil 3 digit terakhir dari 148132, ternyata 132
tidak habis dibagi 8. Maka, 148132 tidak habis dibagi 8.
4. Bagitu juga seterusnya, untuk bilangan yang habis dibagi 2 , digit angka terakhir
diambil sesuai dengan nilai n.
Bilangan yang Habis Dibagi 3
Bilangan habis dibagi 3 apabila jumlah silang angka-angkanya habis dibagi 3. Misalnya,
apakah 2331 terbagi 3? Karena 2 + 3 + 3 + 1 = 9 habis dibagi 3, maka bilangan 2331
habis dibagi 3.
Bilangan yang Habis Dibagi 5
Setiap bilangan majemuk yang berakhiran 0 dan 5 habis dibagi 5. Hal notasi:
1. Agar bisa habis dibagi 5, bilangan a harus berakhiran satuan 0 dan 5. Notasi matematika:
agar 5| , haruslah bersatuan 0 dan 5.
2. Agar habis dibagi 10, maka bilangan a harus berakhiran satuan 0.
Bilangan yang Habis Dibagi 6
Bilangan yang habis dibagi 6 memiliki syarat yang sama dengan keterbagian 3, tetapi
bilangan tersebut harus merupakan bilangan genap. Misalnya, apakah 7321 terbagi 6? 7 +
3 + 2 + 1 = 6, yang memang habis dibagi 3. Tetapi karena 7321 bilangan ganjil, maka
bilangan tersebut tidak habis dibagi 6.
Teori Bilangan (Hal Keterbagian)

18. BAB 1 Aljabar
Created by: Reza Fahlevi KOMUNITAS MATEMATIKA SMAN 1 BATUJAJAR
18
Bilangan yang Habis Dibagi 7
Untuk bilangan yang habis dibagi 7, bagian satuan dari bilangan tersebut dikalikan 2 dan
menjadi pengurang dari bilangan yang tersisa. Bila hasil pengurangan habis dibagi 7, maka
bilangan tersebut keterbagian 7.
Misalnya, apakah 5236 habis dibagi 7?
Ambil angka satuannya yaitu 6, kemudian 532 − 2 × 6 = 511 (angka 2 adalah rumusan,
sedangkan 6 adalah angka terakhir). Dilanjutkan lagi, apakah 511 habis dibagi 7? Karena
51 − 2 × 1 = 49 habis dibagi 7, maka 5236 habis dibagi 7.
Bilangan yang Habis Dibagi 9
Bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah silang angka-angkanya habis dibagi 9. Misalnya,
apakah bilangan 271107 habis dibagi 9? Karena 2 + 7 + 1 + 1 + 0 + 7 = 18, dan ternyata
18 habis dibagi 9, maka bilangan 271107 habis dibagi 9.
Bilangan yang Habis Dibagi 11
Bilangan yang habis dibagi 11 apabila jumlah silang tanda berganti habis dibagi 11.
Misalnya, apakah bilangan 25256 habis dibagi 11? Karena jumlah silang tanda berganti
habis dibagi 11 mulai dari satuan 6 ke puluhan 5 dan seterusnya (6 − 5 + 2 − 5 + 2 = 0),
dan ternyata 0 habis dibagi 11, maka bilangan 25256 habis dibagi 11.
Contoh Soal (Hal Keterbagian):
1. Diketahui bahwa 2017 adalah bilangan 6-angka yang habis dibagi 72, tentukanlah
nilai dari A? (HKMO 2017)
Jawab:
72 = 8 × 9, sehingga bilangan 2017 habis dibagi oleh 8 dan 9.
Ketika habis dibagi 8, maka diambil 3 digit terakhir dari 2017 , maka 17 habis
dibagi 8. Agar dapat habis dibagi 8 nilai B harus bernilai = 6. Karena 176 habis
dibagi 8.
Ketika habis dibagi 9, maka jumlahkan silang angka-angkanya dari 2017 , yaitu
+ 2 + 0 + 1 + 7 + = + 2 + 0 + 1 + 7 + 6.
= + 16 (habis dibagi 9)
Sehingga, nilai A yang memenuhi untuk bilangan tersebut habis dibagi 9 hanya 2. Maka
= 2. (karena + 16 = 2 + 16 = 18 (habis dibagi 9)).
2. Jika 679 adalah bilangan lima angka yang habis dibagi 72, tentukanlah nilai a dan b.
(Canadian Mathematical Olympiad 1980)
3. Diketahui bahwa + = dan bilangan 6-angka 1234 habis dibagi oleh 8 dan 9.
Maka, tentukanlah nilai dari c. (HKMO 2001 Final)
4. Suppose the 9-digit number 32 35717 is a multiple of 72, and = , find the value
of P. (HKMO 2003 Final)
Teori Bilangan (Hal Keterbagian)