matemáticas

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL
“ANDRES ELOY BLANCO”
BARQUISIMETO ESTADO LARA
CONJUNTOS, NÚMEROS REALES, VALOR ABSOLUTO,
DESIGUALDAD PLANO CARTESIANO (DISTANCIA, PUNTO MEDIO)
Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS CÓNICAS
Participante
María Antonio
PNF Contaduría
Sección CO0401
Barquisimeto Marzo de 2021

2. CONJUNTO
Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí
características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser sujetos u objetos,
tales como números, canciones, meses, personas, etc. Por ejemplo: el conjunto de números
primos o el conjunto de planetas del sistema solar.
A su vez, un conjunto puede convertirse también en un elemento. Por ejemplo: en el
caso de un ramo de flores, en principio una flor sería el primer elemento, pero al conjunto
de flores se lo puede considerar luego como un ramo de flores, convirtiéndose así, en un
nuevo elemento.
Para graficar un conjunto se utilizan corchetes para delimitar los elementos que lo
conforman, que se separan entre sí mediante comas. Por ejemplo: Se define a “S” como el
conjunto de los días de la semana, por lo tanto, S= [lunes, martes, miércoles, jueves,
viernes, sábado, domingo].
Teoría de conjuntos
La teoría de conjuntos es la rama de la matemática que estudia a los conjuntos. Fue
introducida como disciplina por el matemático ruso Georg Cantor, quien definió al
conjunto como la colección de elementos finitos o infinitos y lo utilizó para explicar las
matemáticas.
Cantor estudió el conjunto de números racionales y naturales y fue revolucionario su
descubrimiento de los conjuntos de números infinitos, ya que develó la existencia de
infinitos de diferentes tamaños al asegurar que siempre se puede encontrar un infinito
mayor.
Los descubrimientos de Cantor no fueron bien recibidos en el ámbito matemático de
finales del siglo XIX. Sin embargo, hoy es considerado un visionario en el estudio de lo
que él denominó los transfinitos, estudio que contribuyó al de los conjuntos abstractos e
infinitos.
Tipos de conjuntos
A la hora de formar un conjunto, la manera y el porqué de la agrupación de los
elementos que lo conforman puede variar dando lugar a diferentes tipos de conjuntos, que
pueden ser:
Conjuntos finitos. Sus elementos pueden contarse o enumerarse en su totalidad. Por
ejemplo: los meses del año, los días de la semana o los continentes.
Conjunto infinito. Sus elementos no se pueden contar o enumerar en su totalidad, debido a
que no tienen fin. Por ejemplo: los números.

3. Conjunto unitario. Está compuesto por un único elemento. Por ejemplo: La Luna es el
único elemento en el conjunto “satélites naturales de la Tierra”.
 Conjunto vacío. No presenta ni contiene elementos.
 Conjunto homogéneo. Sus elementos presentan una misma clase o categoría.
 Conjunto heterogéneo. Sus elementos difieren en clase y categoría.
Respecto a la relación entre conjuntos, pueden ser:
 Conjuntos equivalentes. La cantidad de elementos entre dos o más conjuntos es la
misma.
 Conjuntos iguales. Dos o más conjuntos están compuestos por elementos idénticos.
 Conjuntos y subconjuntos
Se denomina subconjunto al conjunto que se encuentra dentro de otro conjunto, es decir,
el conjunto A es subconjunto del conjunto B, si todos los elementos de A están incluidos en
B.
Por ejemplo:
 Los mamíferos son un subconjunto del conjunto animales.
 Los números impares son un subconjunto del conjunto números naturales.
 Los países de América del Sur son un subconjunto del conjunto países del mundo.
 Los meses de primavera son un subconjunto del conjunto meses del año.
 Los niños de primer grado son un subconjunto del conjunto de niños de la escuela.

4. LOS NÚMEROS NATURALES
Los números Naturales (N) los numero entero (Z), todos
números enteros es un numero Racional (Q) y todo
numero racional es un número real(R). Se puede escribir:
𝑁 ⊂ 𝑍 ⊂ 𝑄 ⊂ 𝑅
El conjunto I no tienen elementos comunes con Q. por lo
tanto, la intersección de ambos de ambos conjuntos es el
conjunto vacío, lo cual en símbolos se expresa así: Q ∩ 𝐼 =⊘
Pero el conjunto I es subconjunto de R, es decir 𝐼 ⊂ 𝑅.
Los subconjuntos notables de R son:
El conjunto de los números reales sin el cero, que se denota así: 𝑅+
= 𝑅 − {0}
El conjunto de los números reales positivos que se denota así: 𝑅+
El conjunto de los números reales negativo que se denota asi: 𝑅−
A la unión del conjunto I de los números irracionales con el conjunto Q de los números
racionales se le llama conjuntos de los números reales y se denota con la letra 𝑅 = 𝑄 ∪ 𝐼
Conjuntos Numéricos
Números Naturales (𝑁) 𝑁 = (1,2,3,4,5,6,7,8,9 … … … … … )
Números Enteros (𝑍) 𝑍 = (… … … . −3, −2, −1,0, 1, 2, 3 … … )
Números Racionales (𝑄) 𝑄 = (… . ; −2; −1; − 1
2
⁄ ; 0; 1
2
⁄ ; 1; 3
2
⁄ ; 2 … … … . . )
Números Irracionales (𝐼) 𝐼 = (… . . ; 𝜋, √7;
3
2
𝜋; √29; ℮; … … . )
Números Reales (ℝ) ℝ = (… . . ; −2; −1; 0; 1;
3
2
𝜋; √2: ℮; 2; 3 … . . )
𝑁 ∩ 𝑍−
=⊘. el conjunto de los números naturales no tienen elementos en común con el
subconjunto de los enteros negativos, por lo tanto, su intersección es conjunto vacío.
𝑄−
∪ 𝑄+
= 𝑄∗
. Al unirlos subconjuntos 𝑄−
y 𝑄+
se obtienen todos los racionales negativos
y positivos sin el cero, es decir , 𝑄∗
.
𝐼 ∩ 𝑅−
= 𝐼−
. Al intersectar los irracionales con los reales negativos, los elementos
comunes a ambos son los irracionales negativos.
𝑁 ∪ 𝐼 = 𝑁 ∪ 𝐼. Como el conjunto 𝑁 no tiene elementos en común con el conjunto
𝐼, su union no corresponde a ningun a ningún conjunto o subconjunto notable y por ello
el resultado se expresa de esa forma.

5. 𝑅∗
∪ {0} = 𝑅. El conjunto de todos los números reales sin el cero se denota así: 𝑅∗
, por lo
tanto al unirlo con el cero se obtienen todo el conjunto
PROPIEDADES
 La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ.
 La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
 La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c = a+(b+c).
 La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(-
a)=0
 La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈
ℜ.
 La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a.
 El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
 En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.
Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso
multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1.
Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número |𝑥|, es el valor no negativo de x sin importar el signo,
sea positivo o negativo. Asi, 7 es el valor absoluto de +7 y de -7
El valor absoluto de un número real a, denotado por |𝑎|, se como:
|𝑎| = {
𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 < 0
O sea, el valor absoluto de un número real es igual al mismo número si este es 0 ó positivo
y es igual a su inverso aditivo si es negativo
Sabemos que todo numero positivo x tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra
negativa. A la positiva la denotamos con √𝑥 y a la negativa con -√𝑥.
Considerando que √𝑎2 es raíz cuadrada positiva de 𝑎2
, se tiene que:
√𝑎2 = |𝑎|

6. De la definición obtenemos que:
|𝑎| ≥ 0; ⋁𝑎 ∈ 𝑅
−|𝑎| ≤ 𝑎 ≤ |𝑎|;∨ 𝑎 ∈ 𝑅
|𝑥| = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎 ó 𝑥 = −𝑎
DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es {𝑥 ∥ −4 < 𝑥 < 4}.
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquier números reales a y b, si | a | < b, entonces a < b Y a >- b
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4.
.

7. PLANO CARTESIANO
Es el conjunto ℝ2
formado por todos los pares ordenados (a,b) de números reales. Estos son
ℝ2
= {(𝑎, 𝑏) 𝑎, 𝑏
⁄ 𝜖 ℝ}
Estamos usando la misma notación para expresar tanto al par (𝑎, 𝑏). Debemos recordar que un
par ordenados de números reales es una pareja de números reales, en la cual se distingue un orden.
Es decir, en general,(𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎).
Dos pares ordenados (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) son iguales, si y solo si 𝑎 = 𝑐 𝑦 𝑏 = 𝑑.
Es de fundamental importancia tener una representación geométrica de ℝ2
. Para esto se toma un
plano cualquiera al cual fijamos. Sobre este plano tomamos dos rectas numéricas perpendiculares a
la misma escala y cuyos orígenes coinciden.
Estas dos rectas nos permiten establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos P del
plano y los pares ordenados (𝑥, 𝑦) de números reales, así como se muestra en la figura a
continuación. A la recta X o eje e las abscisas. La recta Y es el eje Y o eje de las ordenadas.
El punto de intersección es el punto 0 de los ejes es el origen. Si al punto P le corresponde el par
(𝑥, 𝑦), diremos que 𝑥 e 𝑦 son las coordenadas de P, siendo 𝑥 su abscisa e 𝑦 su ordenada. Con el
objeto de abreviar, identificaremos el punto P con el par (𝑥, 𝑦), y escribimos P = (𝑥, 𝑦), así
tenemos por ejemplo 𝐴 = (0, 0). Esta correspondencia biunívoca también nos permite identificar
al plano con ℝ2
Se ha adoptado el nombre de “Cartesiano” en honor al célebre matemático y filósofo
Rene Descarte (1.596 - 1650), a quien se le otorga la paternidad de la geometría analítica.
El plano, provisto con este sistema de coordenadas recibe el nombre de PLANO
CARTESIANO.

8. DISTANCIA
La distancia entre los puntos 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1) 𝑦 𝑝2(𝑥2 , 𝑦2) es
𝑑(𝑝1, 𝑝2) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Tomemos el triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa el segmento que une 𝑃1 =
(𝑥1 , 𝑦1) 𝑦 𝑝2(𝑥2 , 𝑦2) y por catetos, los segmentos paralelos a los ejes indicados en la
figura.
Las longitudes de los catetos son |𝑥2 − 𝑥1| y |𝑦2 − 𝑦1|. La distancia 𝑑(𝑝1, 𝑝2) es la
longitud de la hipotenusa. Luego, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:
𝑑(𝑝1, 𝑝2) = |𝑥2 − 𝑥1|2
+ |𝑦2 − 𝑦1|2
De donde obtenemos: 𝑑(𝑝1, 𝑝2) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
PUNTO MEDIO
El punto medio del segmento de rectas de extremos 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1) 𝑦 𝑝2(𝑥2 , 𝑦2) es el
punto
𝑀 = (
𝑥1 + 𝑥2
2
, 𝑦1+𝑦2
2
)
Sea 𝑀 = (𝑥 , 𝑦).
Proyectamos el segmento sobre los ejes.

9. Por ser Sea 𝑀 = (𝑥 , 𝑦) el punto medio de los intervalos [𝑥1 , 𝑥2] e [𝑦1 , 𝑦2],
respectivamente. Luego,
𝑥 − 𝑥1 = 𝑥2 − 𝑥 e 𝑦 − 𝑦1 = 𝑦2 − 𝑦 ⟹
2𝑥 = 𝑥1+ 𝑥2 e 2𝑦 = 𝑦1+𝑦2 ⇒ 𝑥 =
𝑥1+𝑥2
2
e 𝑦 =
𝑦1+𝑦2
2
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS CÓNICAS
La Circunferencias
La circunferencia de centro 𝑐 = (ℎ , 𝑘)
Y radio 𝑟 tiene por ecuación
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟
En particular, si el centro es el origen,
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
𝑃 = (𝑥 , 𝑦) Esta en la circunferencia ⟺ 𝑑(𝑃 , 𝐶) = 𝑟 ⟺ √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2= r
⟺ (𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟
Puede ser vista como la circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
a la cual le hemos aplicado la
traslación que lleva el origen (0,0) al punto .
La Parábola

10. Se le llama parábola al grafico de cualquiera de las dos ecuaciones siguientes donde a, b
y c son constantes con 𝑎 ≠ 0
𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑥 = 𝑎𝑦2
+ 𝑏𝑦 + 𝑐
Las parábolas más simples, y de las cuales se pueden obtener todas las otras mediante
traslaciones y reflexiones en la diagonal principal, son parábolas que tienen por ecuación.
𝑦 = 𝑎𝑥2
, 𝑎 ≠ 0
La parábola se abre hacia arriba o hacia abajo según 𝑎 > 0 𝑜 𝑎 < 0
Si en la ecuación 𝑦 = 𝑎𝑦2
intercambiamos las variables x e y, obtenemos las parábolas
4) 𝑥 = 𝑎𝑦2
Esta parábola, de acuerdo al criterio de inversión, se obtienen a partir de las anteriores,
reflejando en la diagonal principal.
La parábola es
un curva simétrica.
Se llama vértice de la
parábola al punto
donde el eje de
simetría corta a la
parábola. En los casos
anteriores, el vértice es
el origen O= (0 , 0)

11. La Elipse
Llamaremos elipse en posición normal al grafico de la siguiente ecuación
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Donde a y b son dos números positivos. A esta ecuación la llamaremos ecuación normal
de la elipse con centro en origen.
Esta ecuación no se altera si cambiamos x por –x o por –y. Esto significa que la elipse es
simétrica respecto al eje x, al eje y por lo tanto, también al origen
Hallemos la intersección con los ejes
𝑦 = 0 ⟹ 𝑥2
= 𝑎2
⟹ 𝑥 = 𝑎 ò 𝑥 = −𝑎
Luego, la curva intersecta al eje X en
(𝑎, 0) 𝑦 (−𝑎, , 0)
𝑥 = 0 ⟹ 𝑦2
= 𝑏2
⟹ 𝑦 = 𝑏 ò 𝑦 = −𝑏
Luego, la curva intersecta al eje Y en
(0, 𝑏) 𝑦 (0 − 𝑏).
Por ser la elipse en posición normal simétrica respecto al origen, diremos que este es su
centro.
La Hipérbola
Se le llama hipérbola en posición normal al grafico de cualquiera de las dos ecuaciones
siguientes, donde a y b son dos constantes positivas. A estas ecuaciones las llamaremos
ecuaciones normales de la hipérbola con centro en origen.
Análisis de cada una de las ecuaciones
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 no se altera si se cambia x por –x ò y
por –y

12. Luego, esta hipérbola es simétrica respecto a los dos ejes y al origen.
Esta hipérbola intersecta al eje x. en efecto 𝑦 = 0 ⟹ 𝑥 = 𝑎 ò 𝑥 = −𝑎.
Estos puntos de intersección:
𝑣1 = (−𝑎 , 0) 𝑦 𝑣2 = (𝑎 , 0),
Son los vértices de la hipérbola.
Esta hipérbola no intersecta al eje y. en efecto: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑦2
= −𝑏2
, pero esta última
ecuación no tiene soluciones reales.
De (1) obtenemos
𝑥2
𝑎2
= 1 +
𝑦2
𝑏2
≥ 1 ⇒ 𝑥2
≥ 𝑎2
⇒ |𝑥| ≥ 𝑎 ⇒ 𝑥 ≥ 𝑎 ò 𝑥 ≤ −𝑎
Esto quiere decir que la hipérbola se compone de dos partes, a las que se les llama
ramas.
Se llama asíntotas de esta hipérbola a las rectas
𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥, y = −
𝑏
𝑎
𝑥,
Esta recta se obtiene igualando a 0 el primer miembro de la izquierda de la ecuación de
la hipérbola. Así:
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 0 ⇒ (
𝑥
𝑎
−
𝑦
𝑏
) (
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
) = 0

13. 𝑥
𝑎
−
𝑦
𝑏
= 0 ò
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 0 ⇒ 𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥 ò 𝑦 = −
𝑏
𝑎
𝑥.
Las asíntotas tienen la particularidad de que ambas ramas de la hipérbola se van
aproximando cada vez más a ellas, a medida que nos alejamos del origen.
Para graficar la hipérbola se recomienda trazar las asíntotas primero
2) Para la ecuación
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1, 𝑝𝑜𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑠
Esta se puede obtener de la (1) intercambiando la 𝑥 por la 𝑦. esto significa que la
hipérbola corresponde a (2) se obtienen reflejando en la diagonal principal la hipérbola
correspondiente se tiene:
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: 𝑣1 = (0, − 𝑎), 𝑣2 = (0, 𝑎). 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑦 =
𝑎
𝑏
, 𝑦 = −
𝑎
𝑏
𝑥

14. (𝟏, −𝟏).
(𝟐, 𝟓)
(−1, 1)
(1, 2)
(−3, 0)
EJERCICIOS
Hallar el punto medio del segmento de recta de extremos (– 𝟑, 𝟎) 𝒚 (𝟏, 𝟐)
𝑀 = (
𝑥1 + 𝑥2
2
, 𝑦1+𝑦2
2
) ⇒ 𝑀 = (
−3 + 1
2
,
0 + 2
2
) = (−1 ,1)
Hallar una ecuación de la recta que pasa por los puntos (−𝟐, 𝟓) 𝒚 (𝟏, −𝟏)
Debemos buscar primero la pendiente dela recta tenemos la ecuación:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
⟹ 𝑚 =
−1 − 5
1 − (−2)
= −
6
3
= −2
Ahora vamos a utilizar la ecuación de punto pendiente de la recta
el punto 𝑝0puede ser cualquiera de los dos puntos dados, (−𝟐, 𝟓) 𝒚 (𝟏, −𝟏). Así , si
𝑝0 = (−𝟐, 𝟓)
𝑦 − 5 = −2(𝑥 − (−2)) ⇒ 𝑦 − 5 = −2𝑥 − 4 ⇒ 𝑦 + 2𝑥 − 1 = 0