En el siguiente podrás apreciar contenido y ejemplos de lo que son los conjuntos. ¡Espero y te sirva!

1. Números reales
Estudiante:
Keylimar Gómez
Sección:
HS0101
Área:
Matemática
Universidad Territorial De Lara Andrés Eloy Blanco

2. Los conjuntos se definen de dos maneras: por
COMPRENSIÓN y por EXTENCIÓN.
1. COMPRENSIÓN: Decimos que un conjunto
está definido por Comprensión cuando
nombramos una propiedad que se cumpla
solo por los elementos del conjunto.
P= {dedos del pie}
2. EXTENSION: Decimos que un conjunto está
definido por Extensión cuando nombramos
uno a uno sus elementos.
P= {meñique, anular, medio, índice, pulgar}
Ejemplo:
.2 .8
.6 .4
Comprensión:
P= {Números pares de 1 cifra}
Extensión:
P= {2, 4, 6, 8}
Relación de pertenencia: se dice que un
elemento pertenece a un conjunto cuando hace
parte de él.
Relación de inclusión: se da cuando todos los
elementos de un conjunto pertenecen al otro.
ØØ
Para indicar que el conjunto P está incluido en el
conjunto N debemos escribir.
P⊂N
También se dice que el conjunto P es
subconjunto del conjunto N.
La inclusión de conjuntos cumple las siguientes
propiedades.
Si el número de elementos de un conjunto
es igual a cero, decimos entonces que este
conjunto se llama Conjunto Vacío.
El Conjunto Vacío es subconjunto de
cualquier Conjunto bien definido.
Ejemplo:
 El número de fumadores que se
encuentra en la sección de no
fumadores de un avión, sería cero, por
lo tanto el Conjunto sería vacío.
 La cantidad de carne que come una
persona vegetariana , sería cero , por
lo tanto el Conjunto sería vacío
Cuando un elemento pertenece a un
conjunto se escribe ∈
Cuando un elemento no pertenece a
un conjunto se escribe ∉
P
.3
.9
.5
.1
.7
.2
.4
.6
.8
N
Transitiva: Si X⊂Y ∧ Y⊂Z ⇒ X⊂Z
Anti simétrica: Si X⊂Y ∧ Y⊂X ⇒ X=Y
Reflexiva: X⊂X
El conjunto vacío se representa: Ø

3. Si el número de elementos que tiene un
conjunto es igual a uno entonces decimos que el
conjunto se llama Unitario.
Ejemplo:
C = {partes del cuerpo humano que contienen el
cerebro}
C representa la cabeza
Es el conjunto que contiene todos los
elementos de una misma clase así:
Sería universal el conjunto de todas las frutas. U
U = {x/x es una fruta}
C = {x/x es una naranja}
Si tenemos:
P = {x/x es un número impar}
Con respecto a P el universal sería:
U = {x/x es un numero irracional}
Decimos que el conjunto A es igual al
conjunto B si A tiene los mismos elementos de B
y B tiene los mismos elementos de A.
A=B
La igualdad de Conjuntos cumple las siguientes
propiedades:
Unión de conjuntos: se dice que hay unión de dos
conjuntos cuando todos sus elementos se
reúnen y forman un solo conjunto.
Se representa de la siguiente manera:
P= {0, 2, 4, 6, 8}
N= {1, 3, 5, 7, 9}
El conjunto unión sería:
.c
Si ∀ x ∈A ⇒ x ∈B
Si ∀ y ∈B ⇒ y ∈A
Transitiva: Si X = Y ∧ Y = Z ⇒ X = Z
Reflexiva: X = X
Simétrica: si X = Y ⇒ Y = X
P ∪ N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
P
N
P ∪ N
.6 .4
.8
.0
.2
.7
.5
.1
.3
.9
.0
.2
.3
.5
.1
.7
.8
.4
.6
.9
Propiedades de la unión de conjuntos
La unión de conjuntos cumple dos
propiedades: la asociativa y la conmutativa.
Asociativa: dados tres conjuntos A, B y C, si
primero se hace la unión de A y B y el
conjunto que resulta de esta unión se une con
C, será igual que si se hace primero la unión
entre B y C y luego se une con A o si primero
se une C y A y luego se unen con B.
Conmutativa: el orden de los conjuntos no
altera el resultado de la unión, esto es.
A ∪ B = B ∪ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ B ∪ C
A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C
B ∪ (A ∪ C) = A ∪ B ∪ C

4. Intersección de conjuntos: llamamos
intersección de dos conjuntos A y B al conjunto
que forman los elementos comunes a los dos
conjuntos.
Para decir intersección de A y B escribimos:
A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
Que significa: los x tales que x pertenecen a A Y
x pertenece a B
Propiedades de la intersección de conjuntos
La intersección entre dos o más conjuntos
cumple las siguientes propiedades:
Propiedad conmutativa: el orden de los conjuntos
no altera el resultado de la intersección de
conjuntos.
A ∩ B = B ∩ A
Propiedad asociativa: dados tres conjuntos A, B y
C, si primero se hace la intersección de A y B y el
conjunto que resulta de esta intersección se une
con C, será igual que si se hace primero la
intersección entre B y C y luego se hace
intersección con A o si primero se hace
intersección C y A y luego se hace intersección
con B.
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C
A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C
B ∩ (A ∩ C) = A ∩ B ∩ C
.d
.b
.a .f
.h
.i .k
.g
I T
C
.c
.e .l
.j
.i .j .l .k
.e .f .g .h
.a .b .c .d
C ∪ I ∪ T
Gráficamente:
A= {naranja, pera, uva}
B= {uva, manzana, mango}
A ∩ B = {uva}
 Naranja
 Pera
 Uva
 Manzana
 Mango
 Uva
A B
.uva
Si tenemos:
F= {negro, café, rojo}
C= {rosado, amarillo, rojo}
F ∩ C
Diferencia de conjuntos: definimos la diferencia
de conjuntos P y Q como los elementos que
pertenecen a P pero no pertenecen a Q.
Así, los x tales que x pertenecen a P y no
pertenecen a Q.
Gráficamente sería:
P
Q
Donde:
A ∩ B
Donde P-Q = {x/x ∈ P ∧ x ∉ Q
.a .b
.c .d
.f .g
.a .d
.f
.a
.d
.b
.c
.g
P = {a, b, c, d} Q = {d, a, g, f}
P – Q = {b, c}

5. Los números reales son el conjunto que incluye
los números naturales, enteros, racionales e
irracionales. Se representa con la letra R.
La palabra real se usa para distinguir estos
números del número imaginario i, que es igual a
la raíz cuadrada de -1, o √-1. Esta expresión se
usa para simplificar la interpretación matemática
de efectos como los fenómenos eléctricos.
-Está formado por la unión de los números
racionales y los irracionales.
-Son un conjunto completo.
-Este tipo de números y la recta numérica tienen
una relación estrecha.
-Para cada número real existe un punto que lo
representa dentro de la recta numérica.
-Los números naturales son completos y es un
conjunto ordenado.
-Son números que tienen asociatividad y
conmutatividad.
-Todos tienen un orden y se escriben en forma
consecutiva.
-Cuando son utilizados para contar, entonces
nos referimos a que tienen una función cardinal.
Números naturales: a diario usamos números,
para mirar la hora al levantarnos, reconocer la
ruta del transporte, contar nuestro dinero, decir
nuestra edad, etc.
Estos números que usamos a diario son los que
llamamos Números Naturales. Y es designada
con la letra N mayúscula.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Números enteros: El conjunto de los números
enteros comprende los números naturales y sus
números simétricos. Esto incluye los enteros
positivos, el cero y los enteros negativos. Los
números negativos se denotan con un signo
"menos" (-). Se designa por la letra mayúscula Z
y se representa como:
Z= {… -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…}
Un número simétrico es aquel que sumado con
su correspondiente número natural da cero. Es
decir, el simétrico de n es -n, ya que:
n+ (-n)=0
5+ (-5)=0
27+ (-27)=0
Los enteros positivos son números mayores que
cero, mientras que los números menores que
cero son los enteros negativos.
Los números enteros nos sirven para:
 Representar números positivos: ganancias,
grados sobre cero, distancias a la derecha;
 Representar números negativos: deudas,
pérdidas, grados bajo cero y distancias a la
izquierda.
Números racionales: Los números fraccionarios
surgen por la necesidad de medir cantidades
continuas y las divisiones inexactas. Medir
magnitudes continuas tales como la longitud, el
volumen y el peso, llevó al hombre a introducir
las fracciones. El conjunto de números
racionales se designa con la letra Q:
Q=
𝑝
𝑞
p, q ∈ Z, q≠0
Números irracionales
Los números irracionales comprenden los
números que no pueden expresarse como la
división de enteros en el que el denominador es
distinto de cero. Se representa por la letra
mayúscula I.
Aquellas magnitudes que no pueden expresarse
en forma entera o como fracción que son

6. Inconmensurables son también irracionales. Por
ejemplo, la relación de la circunferencia al
diámetro el número π=3,141592…
Las raíces que no pueden expresarse
exactamente por ningún número entero ni
fraccionario, son números irracionales:
√𝟐, √𝟑, √𝟓, √𝟕
Propiedades de los números reales
En la suma
Propiedad interna: Esta es una de las
propiedades de los números reales que es
realmente fácil. Lo que establece es que el
resultado que se obtiene de la suma de dos
números reales viene a ser otro número real.
Por ejemplo:
2 ∈ R, 4/5 ∈ R → 2 + 4/5 = 14/ 5 ∈ R
-2 ∈ R, 23 ∈ R → -2 + 23 = 21 ∈ R
Propiedad asociativa: Esta propiedad que se
establece en la suma de números reales dice
que al tener dos o más números que sean
sumandos, no importa el orden en que se
efectúen las sumas. Es decir que se puede hacer
primero la b y después la a o se puede hacer en
orden como a, b, y luego c.
Por ejemplo:
0.021 + (0.014 + 0.033) = (0.021 + 0.014) + 0.033.
Propiedad conmutativa: Aplicar esta propiedad
en las sumas de números reales es muy sencillo
pues establece que no importa el orden que los
sumandos puedan tener pues la suma nunca
será alterada.
Por ejemplo:
3 ∈ R, 4 ∈ R → 3 + 4 = 4 + 3
√3 ∈ R, 9 ∈ R → √3 + 9 = 9 + √3
15,87∈ R, –2.35 ∈ R →15.87 + (–2.35) = –2.35 +
15.87.
En la resta
En el caso de las restas se debe tener
especial cuidado con las reglas de los
signos. A continuación se explican algunas
de ellas.
En el caso de que sean positivos el minuendo
y el sustraendo, siendo el minuendo el
número mayor, se debe proceder a realizar
la resta obteniendo como resultado un
número positivo.
Por ejemplo:
28.7 – 11.2 = 17.5
Presentándose el mismo caso anterior pero
con el minuendo siendo menor, entonces se
realiza la sustracción obteniendo como
resultado un número negativo.
Por ejemplo:
11.2 – 28.7 = –17.5
Puede que se presente el sustraendo
positivo y el minuendo negativo. En este
caso lo que se debe hacer es una suma y
colocarle en el resultado el signo negativo.
Por ejemplo:
–28.1 – 11.2 = –39.3
Otro dato importante es que al restar un
número que sea positivo se da el mismo caso
que al sumarlos.
Por ejemplo:
28.7 – 11.2 = 28.7 + (–11.2) = 17.5

7. Origen de los números reales
El descubrimiento de los números reales se
atribuye al matemático griego Pitágoras. Para él
no existía un número racional cuyo cuadrado sea
dos:
𝐧𝟐
= 𝟐 ⇒ 𝐧 = √𝟐
Entonces, los antiguos griegos vieron la
necesidad de llamar a estos números
irracionales.
¡Eureka!
Cuenta la leyenda que el rey de Siracusa encargó
una corona de oro puro. Sospechando que el
orfebre lo había engañado, haciendo una mezcla
de oro y plata, le pidió a Arquímedes que lo
comprobara. Tras darle muchas vueltas al
asunto Arquímedes, descubrió como proceder
cuando al entrar en una bañera llena de agua,
comienza a desbordarse. En ese instante
comprendió que si metía la corona en el agua y
medía la altura que alcanzaba el recipiente en el
que se introducía, hallaría el volumen del objeto
y por lo tanto su densidad. Según cuenta la
leyenda Arquímedes, eufórico por el
descubrimiento, salió desnudo a la calle
gritando: ¡Eureka! ¡Eureka! (¡Lo encontré! ¡Lo
encontré!).
Propiedades de la multiplicación
La propiedad interna: Aquí lo que establece es
que siempre el resultado será un número real si
la operación es con número reales.
Por ejemplo:
4 • 9 = 36 ∈ R
3/4 • 5/7 = 15/28 ∈ R
La propiedad asociativa: Esta es la propiedad
en la que se establece que si se multiplican tres
o más números reales dados, El resultado será
el mismo. Esto sin importar la manera en la que
se haga la multiplicación o se agrupen los
términos.
Por ejemplo:
2 • (3 • 4) = 24 → (2 • 3) • 4 = 24
La propiedad conmutativa: Aquí en esta
propiedad se dice que si se multiplican dos
números que sean reales pero en órdenes
diferentes, se obtendrá siempre el mismo
resultado.
Por ejemplo:
3 • (-8) = (-8) • 3
(-2 / 3) • (1/4) = (1/4) • (-2 / 3)
Propiedades de la división
En el caso de las propiedades en las divisiones,
se puede decir que no son satisfactorias
porque no se pueden aplicar, al menos no todas
de ellas. Entonces se puede decir lo siguiente:
No es conmutativa porque si se cambia el orden
del número el resultado también será diferente.
Por ejemplo:
10: 2 = 5 pero 2: 10 = 0,2
No puede ser asociativa porque 10: 2 = 5 pero
2: 10 = 0,2
En el caso de la aplicación de los signos, se
aplican las mismas normas que con las
multiplicaciones.

8. La desigualdad matemática es aquella
proposición que relaciona dos expresiones
algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata
de una proposición de relación entre dos
elementos diferentes, ya sea por desigualdad
mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o
igual. Cada una de las distintas tipologías de
desigualdad debe ser expresada con diferente
signo (> o <) y tendrá una reacción a operaciones
matemáticas diferente según su naturaleza.
Podemos sintetizar los signos de expresión de
todas las desigualdades matemáticas posibles
en los cinco siguientes:
 Desigual a: ≠
 Menor que: <
 Menor o igual que: ≤
 Mayor que: >
 Mayor o igual que: ≥
Cada una de ellas debe relacionar dos elementos
matemáticos. De modo que implicaría que a es
menor a b, mientras que “a>b” significa que a es
mayor a b. En el caso de “a≠b”, leeremos la
expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a es
menor o igual a b, y “a≥b” implica que a es mayor
o igual a b.
Es también importante conocer que la expresión
de desigualdad matemática “a≠b” no es
excluyente con las expresiones “a” y “a>b”, de
modo que, por ejemplo, “a≠b” y “a>b” pueden ser
ciertas al mismo tiempo. Por otro lado, tampoco
son excluyentes entre sí las expresiones “a≥b” y
“a>b” o “a≤b” y “a”.
Ejemplos
Las desigualdades matemáticas están formadas,
en la mayoría de ocasiones, por dos miembros o
componentes. Un miembro se encontrará a la
Izquierda del símbolo y el otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo
leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra
incógnita menos dos es superior a nueve”.
Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el
elemento B. La resolución nos mostraría que (en
números naturales) la desigualdad se cumple si
x es igual o superior a 3 (x≥3).
Existen dos tipos distintos de desigualdades
dependiendo de su nivel de aceptación. Ninguna
de ellas no incluye la desigualdad general (≠).
Son las siguientes:
 Desigualdades estrictas: son aquellas que no
aceptan la igualdad entre elementos. De este
modo, entenderemos como desigualdades de
este tipo el “mayor que” (>) o “menor que” (<).
 Desigualdades amplias o no estrictas: todas
aquellas en las que no se especifica si uno de
los elementos es mayor/menor o igual. Por lo
tanto, estamos hablando de “menor o igual
que” (≤), o bien “mayor o igual que” (≥).
Para operar con desigualdades debemos
conocer todas sus propiedades:
 Si los miembros de la expresión son
multiplicados por el mismo valor, no cambia
el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3(4x-2)
> 3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos
por el mismo valor, no cambia el signo de la
desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3
 Si los miembros de la expresión son sumados
o restados por el mismo valor, no cambia el

9. Ejemplo:
signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 -
3 / 4x – 2 > 9 = 4x-2 +3 > 9+3
Y también debes saber aquellas propiedades en
las que la desigualdad sí que cambia de sentido:
 Si los miembros de la expresión son
multiplicados por un valor negativo, sí cambia
de sentido: 4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos
por un valor negativo, sí cambia de sentido:
4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3
Conocemos por desigualdad de notación
encadenada todas aquellas expresiones de
desigualdad en las que se relacionan más de dos
elementos. Sería este caso si, por ejemplo,
relacionamos a, b y c de modo que cada uno es
menor al otro.
Pongamos como ejemplo: a < b < c indica que “a
es menor que b” y, a su vez, “b es menor que c”.
De modo que podemos deducir que “a es menor
que c”, esta propiedad la conocemos por el
nombre de propiedad transitiva.
Es importante conocer que existe un elemento
matemático diferente a la desigualdad
matemática que es usualmente confundido con
ella: las inecuaciones.
Una inecuación se basa en una desigualdad,
pero su resultado puede ser incongruente o,
simplemente, denotar que no existe solución
posible al enunciado. Por lo tanto, una
inecuación puede ser una desigualdad, pero, por
Otro lado, una desigualdad no tiene por qué ser
una inecuación.
Por ejemplo, 3 < 5 es una desigualdad que se
cumple, pero no será nunca una inecuación
porque no contiene ninguna incógnita.
Por lo tanto, una desigualdad es una proposición
que relaciona dos expresiones algebraicas
cuyos valores son distintos. No necesita
contener una incógnita y si es así puede ser, a la
vez, una inecuación. Para operar con ellas debes
entender sus propiedades ante la suma, resta,
multiplicación y división de sus elementos.
C.S=X∈ (-∞,-6/7)

10. El valor absoluto es un concepto que está
presente en diversos contextos de la Física y las
Matemáticas, por ejemplo en las nociones de
magnitud, distancia, y norma. En casos más
complejos es un concepto muy útil, como en las
definiciones de cuaterniones, anillos ordenados,
cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto o módulo de un número real
cualquiera es el mismo número pero con signo
positivo. En otras palabras, es el valor numérico
sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o
negativo. Por ejemplo, el valor absoluto del
número −4 se representa como |−4| y equivale a
4, y el valor absoluto de 4 se representa como |4|,
lo cual también equivale a 4.
Para poder desarrollar o entender las técnicas
que se utilizan para resolver igualdades o
desigualdades, es conveniente conocer las
propiedades del valor absoluto. Algunas
propiedades del valor absoluto derivan
directamente de su definición. Por ejemplo, si
tenemos un producto (o cociente) dentro de un
valor absoluto como | (−3) (−2+5)|, el resultado se
puede obtener de dos formas:
Una es resolviendo la expresión que se
encuentra encerrada entre los signos de valor
absoluto (||) y posteriormente al resultado se le
aplica el valor absoluto. En este caso: | (−3)
(−2+5)|=| (−3) (3)|=|−9|=9.
Otra forma de resolverlo es calcular el valor
absoluto de cada uno de los factores y después
Operarlos ya sea por producto o cociente, según
sea el caso: | (−3) (−2+5)|=| (−3) (3)|=|−3||3|=9.
Ahora consideremos los siguientes casos:
−
𝟒
𝟑
=
𝟒
𝟑
−𝟒
𝟑
=
𝟒
𝟑
𝟒
−𝟑
=
𝟒
𝟑
𝟒
𝟑
=
𝟒
𝟑
Como todas son igualdades y el término de la
derecha es el mismo para todas, podemos
concluir que:
| −
𝟒
𝟑
| = |
−𝟒
𝟑
| = |
𝟒
−𝟑
| =
| − 𝟒|
|𝟑|
=
|𝟒|
| − 𝟑|
A partir de estos resultados vemos que podemos
generalizar algunas propiedades. Dados los
números reales cualesquiera a y b, se cumple
que:
|a|≥0
|ab|=|a||b|
|
𝒂
𝒃
| =
|𝒂|
|𝒃|
|a+b|≤|a|+|b|
Otras propiedades importantes son:
|−a|=|a|
|a−b|=0⇔a=b
|a|≤b⇔−b≤a≤b
|a|≥b⇔a≥b o a≤−b
Recuerda que el símbolo ⇔ significa "Si y sólo
si", es decir, si es cierta la proposición del lado
izquierdo del símbolo, ocurre necesariamente lo
del lado derecho, y si es cierta la proposición del
lado derecho del símbolo, ocurre
necesariamente lo del lado izquierdo.

11. Skybrooks1 (sin fecha). Características de números reales. https://brainly.lat/tarea/13803568
Ana Z. (2018-2021). Números reales. https://www.todamateria.com/numeros-reales/
Adriana A. (sin fecha). Números reales propiedades y cuales son (con ejemplos).
https://estudianteo.com/matematicas/numeros-reales-propiedades-y-cuales-son-con-ejemplos/
Software del sol. (Sin fecha). Desigualdad matemática. https://www.sdelsol.com/glosario/desigualdad-
matematica/
Diego L. (sin fecha). Ejercicios de desigualdad. https://www.diloentutospc.com/ejercicios-de-
desigualdad/
Universidad autónoma metropolitana. (Sin fecha). Valor absoluto.
http://campusvirtual.cua.uam.mx/material/tallerm/34_Valor_Absoluto_html/index.html#
Merklin H. M. (sin fecha). Master educativo (pág. 3-7). Santiago de Cali, Colombia: editorial Edicol Ltda.