números reales y plano numérico

1. Republica bolivariana de Venezuela
ministerio del poder popular para la educación universitaria
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco-UPTAEB
NÚMEROS REALES Y
PLANO NUMÉRICO
Anderson Mendoza
C.I 26.136.217

2. Conjuntos numéricos
Son conjuntos de números. En su forma más genérica se refiere a los grandes conjuntos de números
como: naturales, enteros, faccionarios, racionales, irracionales, reales, imaginarios y complejos.
Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades
estructurales.
Por ejemplo el sistema más usual en aritmética natural está formado por el conjunto de los números
naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo.

3. Conjunto de Números Naturales (ℕ)
Este conjuntos está compuesto por los números {1,2,3,…} (los puntos suspensivos indican que la
enumeración continúa indefinidamente), estos números son todos positivos y representan
magnitudes enteras, es decir no tienen parte decimal.

4. Conjunto de Números Enteros (ℤ)
Si a los números naturales agregamos el número 0 y los números negativos sin parte decimal
obtenemos el conjunto de los números enteros. {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.
Con los números negativos podemos representar operaciones de sustracción, magnitudes
faltantes, valores que se encuentran por debajo del cero de referencia y demás.

5. Conjunto de Números Racionales (ℚ)
El conjunto de los números racionales surge de hacer divisiones de dos números enteros. Por
ejemplo 1 dividido 2 es una operación que da lugar a un número que es más pequeño que 1 pero
más grande que 0.
Estos números se utilizan para representar magnitudes no enteras, por ejemplo variables de
naturaleza continua como velocidad, peso, corriente eléctrica;

6. Conjunto de Números Reales (ℝ)
Si al conjunto de los números racionales le
agregamos el conjunto de los números irracionales
obtenemos el conjunto de los números reales.
Los números irracionales surgen de realizar ciertas
operaciones y no es posible expresarlos como el
cociente entre dos números enteros.
Los conjuntos numéricos estudiados hasta ahora: Los
Naturales, Los Enteros, Los Racionales y los
Irracionales están contenidos en los Reales.

7. La recta Real La consecuencia de lo afirmado en el
párrafo anterior es que a cada número Real corresponde
un punto sobre la recta y cada punto de la recta numérica
representa un número Real.

8. Propiedades de los números reales
La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ.
La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(-a)=0
La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈ ℜ.
La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a.
El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.
Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso multiplicativo, tal
que: a . a-1 = 1.
Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)

9. Conjunto de Números Complejos (ℂ)
Si al conjunto de los números reales agregamos los números imaginarios, obtenemos el conjunto
de números complejos. Todo número que elijamos será en términos generales un número
complejo.
El número imaginario i es el resultado de la raíz cuadrada de -1.
Los números complejos se componen de una parte real y una parte imaginaria y son muy útiles
para el estudio de circuitos eléctricos que involucran elementos capacitivos o inductivos. También
se utilizan en cálculos de transformadas de Fourier.

10. Sistemas y conjuntos numéricos
El término “sistema” hace referencia a la interrelación que existe entre las partes de un conjunto
de elementos que funciona bajo un modelo determinable. Un conjunto numérico es una parte de
un sistema numérico que obedece también a determinadas reglas y dentro del cual se pueden
desarrollar ciertas operaciones que conducen a otros elementos del sistema o de otros sistemas.

11. Los sistemas numéricos también se caracterizan por tener definidas operaciones que permiten
realizar conteos abreviados como son la adición y la multiplicación, y estas operaciones están regidas
por unas propiedades que se cumplen para los distintos conjuntos numéricos:
- propiedad conmutativa
- propiedad asociativa
- propiedad distributiva

12. Propiedad conmutativa
La conmutatividad consiste en la propiedad que tienen la suma y la multiplicación de ser
desarrollada con dos elementos de un conjunto numérico sin que importe el orden en el que se
operan los dos números, para conducir al mismo resultado.
Si 𝑎 y 𝑏 son números Reales (Esto se escribe en lenguaje matemático:
𝑎 ∈ 𝑅 𝑦 𝑏 ∈ 𝑅).
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎

13. Propiedad asociativa
La asociatividad consiste en la propiedad de la suma y la multiplicación de conducir al mismo
resultado independientemente de la forma como se asocien tres elementos, para operarse,
teniendo presente que solo se pueden operar dos números a la vez.
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐
𝑎(𝑏. 𝑐) = (𝑎. 𝑏)𝑐

14. Propiedad distributiva
La propiedad (o ley) distributiva consiste en la posibilidad de multiplicar dos elementos
asociados y operados mediante adición, en forma independiente con un número que opera al
conjunto asociado, para conducir al mismo resultado que si se operan inicialmente los dos
elementos sumados y luego se multiplica el resultado por el elemento no asociado.
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐

15. desigualdades
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando
estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales,
entonces pueden ser comparados.
La notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b

16. Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b;
también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que"
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;

17. 1) 4x + 6 > 2x − 8 Solución.
Se transponen términos: 4x − 2x > −8 − 6
se reducen los términos semejantes: 2x > −14 dividiendo por 2 :
𝑥 >
−14
2
→ 𝑥 > −7

18. Valor absoluto
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero,
y opuesto de a, si a es negativo.

19. Propiedades
Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
|a · b| = |a| ·|b|
El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los
sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b|

20. Ejercicio desigualdad con valor absoluto
1. |2x +4 | > 7
2x + 4 > 7
2x > 7 – 4
2x > 3
x > 3/2
2x + 4 < -7
2x < -7 – 4
2x < -11
x < -11/2
(-∞, -11/2) U (3/2, ∞)